2024年中考数学常见几何模型全归纳圆中的重要模型之隐圆模型（解析版）

圆中的重要模型之隐圆模型

隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，

或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定

长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、

旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型

的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、动点定长模型（圆的定义）

若P为动点，H.AB=AC=AP,贝1」凤C、P三点共圆，/圆心，A8半径

圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合.

寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧.

例1.（2023•山东泰安•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，RtZUOB的一条直角边08在x轴上,

点/的坐标为（-6,4）；RtACOD中，ZCOD=90°,OD=473,ND=30。，连接8C,点河是中点，连

接将RMCOD以点。为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（）

A.3B.6后-4C.2713-2D.2

【答案】A

【分析】如图所示，延长8/到瓦使得AEMB,连接OE,CE,根据点/的坐标为（-6,4）得到=8,再

证明是ABCE的中位线，得到=解RSC。。得到OC=4,进一步求出点C在以。为圆心，

半径为4的圆上运动，则当点〃在线段OE上时，CE有最小值，即此时有最小值，据此求出CE的最

小值，即可得到答案.

【详解】解：如图所示，延长A4到E,使得4E=/B,连接。及CE,

■■■RtA^OS的一条直角边OS在x轴上，点A的坐标为(-6,4),

AB=4,OB=6,AE=AB=4,.'.BE=8,

,・,点〃■为中点，点/为BE中点，二/河是ABCE的中位线，二=

在RMCOD中，ACOD=90°,OD=473,ZZ)=30°,OC=—OD=4,

3

■.•将RMCOD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，.•.点C在以。为圆心，半径为4的圆上运动,

当点M在线段。£上时，CE有最小值，即此时有最小值，

OE=yjBE2+OB2=10.的最小值为10-4=6,0/W的最小值为3,故选A.

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30

度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键.

例2.(2023・广东清远・统考三模)如图，在RSABC,44c3=90。，E为/C边上的任意一点，把ABCE沿

BE折叠，得至IJABFE,连接*'.若BC=6,AC=S,则的的最小值为

【答案】4

【分析】本题考查翻折变换，最短路线问题，勾股定理，先确定点厂的运动路线，并确定"最小时点尸所

在位置/‘，再求出/F的长度即可.确定点厂的运动路线是解题的关键.

【详解】解：1.△BCE沿班折叠，得到48尸8尸=3C=6,

二点尸在以B为圆心6为半径的圆上，设以B为圆心6为半径的圆与48交于点9，

则3F=BC=6,"的最小值为/尸的长;

在RtAASC中，BC=6,AC=8,AB=^BC2+AC2=762+82=10，

AF'=AB-BF'=\0-6=4,二"的最小值为4,故答案为：4.

例3.（2022•北京市•九年级专题练习）如图，四边形/BCD中，AE、肝分别是8C,CD的中垂线，ZEAF=80°,

NCBD=30°,则ZA8C=ZADC=—.

【答案】40°；60°

【分析】连接/C,根据线段垂直平分线的性质可得48=/C=40,从而得到8、C、。在以A为圆心，AS为半径的

圆上，根据圆周角定理可得NmC=2NDBC=60。，再由等腰三角形的性质可得，即可求解.

【详解】解：连接NC,ADAF=ZCAF=3Q°

'：AE,即分别是3C、CD的中垂线，.•./&=/C=/。，

:.B、C,。在以A为圆心，48为半径的圆上，,「NC&D=30。，:.ND4c=2NDBC=60°,

'：AF1CD,CF=DF,:.NDAF=NCAF=3。°,AADC=60°,

;AB=AC,BE=CE,:"BAE=NCAE,

又■:NE4C=NE4F-NC4F=8。°-3Q°=50°,ZABC=ZACE=90°-50°=40°.故答案为：40°,60°.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到3、C、

。在以A为圆心，NB为半径的圆上是解题的关键.

例4.（2023上•江苏无锡・九年级校联考期中）如图，正方形ABCD中，AB=6,E是BC的中点.以点C

为圆心，CE长为半径画圆，点尸是上一动点，点尸是边/。上一动点，连接4尸，若点。是4尸的中点,

连接防，FQ,则2尸+抽的最小值为.

【答案】3Vi0-1

［分析】取点B关于直线AD的对称点M,连接、/C两线交于点O,连接。。，CP,MO,过。作ON143

1133

于点N,则。。=5讨=5,3=5，所以点。在以。为圆心，5为半径的。。上运动，求出

ON=AN=BN=；AB=3,则ACV=6+3=9,由勾股定理得OM=+ON：也。+3?=3屈，由

BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ>OMt所以当M、F、Q、O四点共线时，

BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ=OM=3^/10的值最小，所以3尸+尸。的最小值为

__O

BF+FQ=OM-OQ=3y/u）--.

【详解】解：取点3关于直线/。的对称点连接8。、ZC两线交于点。，连接CP,MO,过。

「正方形/BCD中，/8=6,E是8c的中点，，CE=g5C=3,

114

;点。是/P的中点，点。是NC的中点，.•.。。=5。=万底=,

3

.・•点。在以。为圆心，J为半径的。。上运动，

;四边形/BCD是正方形，二/C18。，OA=OB,:.0N=AN=BN=；AB=3,

'：AM=AB=6,MN=6+3=9,:.0M=NMN、0N2=V92+32=3弧，•BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQNOM,

・•・当M、F、Q、O四点共线时，BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ=OM=3^M>7j\

BF+FQBF+FQ^OM-OQ=3710-1.故答案为：3V10-1.

【点睛】本题考查圆的有关性质的应用，正方形的性质，两点之间线段最短公理的应用，勾股定理，解题

的关键是正确确定点。的运动路径.

模型2、定边对直角模型（直角对直径）

固定线段所对动角NC恒为90°,则/、B、。三点共圆，48为直径

寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

例1.（2023•山东•统考中考真题）如图，在四边形438中，乙4BC=NBAD=90。,4B=5,4D=4,ADvBC,

点£在线段BC上运动，点尸在线段/E上，乙ADF=LBAE,则线段3尸的最小值为.

【答案】V29-2/-2+V29

【分析】设/。的中点为。，以为直径画圆，连接。8,设a与。。的交点为点尸，证明乙DE4=90。,

可知点厂在以ND为直径的半圆上运动，当点尸运动到03与。。的交点尸时，线段所有最小值，据此求

解即可.

【详解】解：设/。的中点为O,以为直径画圆，连接。8,设03与。。的交点为点9，

ZABC=ZBAD=90°,AD//BC,：.ZDAE=ZAEB,

AADF=LBAE,ADFA=AABE=90°,.•.点/在以4D为直径的半圆上运动，

当点F运动到OB与0（9的交点F'时，线段BF有最小值，

AD=4,：.AO=OF'=^AD=2,,50=A/52+22=729.

8尸的最小值为扬一2,故答案为：V29-2.

【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点尸的运动

轨迹是解题的关键.

例2.（2023上•江苏苏州•九年级校考阶段练习）如图，以G（0,l）为圆心，半径为2的圆与x轴交于n,B

两点，与〉轴交于G。两点，点E为。G上一动点，作CFL4E于点尸.当点E从点3出发，顺时针旋

转到点。时，点尸所经过的路径长为（）

aV3DV30Gn2^/3

A.——TIa.—7tC.——兀U.----n

4323

【答案】B

【分析】连接ZC,AG,AD,先由圆周角定理得到点尸的运动轨迹是以ZC为直径的圆上，且点。在圆

上，进而得到当点E从点8出发，顺时针旋转到点。时，点尸所经过的路径长为近的长；根据勾股定理

和锐角三角函数求得/C=Jo/2+m2=2g,ZACO=30°,则为所对的圆心角的度数为60。，利用弧长

公式求得通的长即可求解.

【详解】解：连接ZC,AG,AD.

■：CFLAE,ZAFC=ZAOC=90°,

.,.点厂的运动轨迹是以ZC为直径的圆上，且点。在圆上，当点£在点8处时，CO1点尸与O重合;

当点E在点。处时，:以G(0,l)为圆心，半径为2的圆与x轴交于/,3两点，与y轴交于C,D两点,

NC4D=90。即C4_L空，点尸与二重合,

当点E从点2出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为OA的长；

.■GO1AB,G(0,l),/G=2,OA=^AG2-OG2=V3,

•.OC=OG+CG=l+2=3,tanZ^CO=—=—,AC=^OA2+OC2=2>/3,

OC3

4c。=30°,则而所对的圆心角的度数为60。,

.⑤的长为607txe兀即点/所经过的路径长为祖加，故选：B.

18033

【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形、弧长公式、坐标与图形等知识，正确得到点尸的运动轨迹

以及点F所经过的路径长为OA的长是解答的关键.

例3.(2022•内蒙古•中考真题)如图，。。是A48C的外接圆，/C为直径，若AB=2后,BC=3,点P仄B

点出发，在A/BC内运动且始终保持NC3P=44P,当C,尸两点距离最小时，动点P的运动路径长为

A

【答案】—n.

3

【分析】根据题中的条件可先确定点尸的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定。的长最小时点P的

位置，进而求出点尸的运动路径长.

【详解】解：为。。的直径，ZABC=90°.ZABP+ZPBC=90°.

QNP4B=4PBC,：.NP4B+NABP=90°,，NAPB=90°.

点P在以AB为直径的圆上运动，且在△/BC的内部，

如图，记以12为直径的圆的圆心为a,连接。。交oq于点P,连接QRCP.

QCPNOC-gP,.•.当点Q,P,C三点共线时，即点尸在点p处时，C尸有最小值，

BC3l

AB=2y/3O1S=V3在RtABCO］中，tan餐0©=6~^=忑=亚

.../BO©=60°....焉=60〃x。""二。,尸两点距离最小时，点P的运动路径长为如心

18033

【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点尸的路径是解

答本题的关键.

例4.（2023・广东•九年级课时练习）如图，△NC2中，CA=CB=4,N/C8=90。，点尸为C4上的动点，

连BP,过点/作/ML8P于M.当点尸从点C运动到点/时，线段8M的中点N运动的路径长为（）

A.7iB.-y/2兀C.57371D.2,71

2

【答案】A

【详解】解：设48的中点为。，连接NQ,如图所示：

••・N为的中点，。为45的中点，.「N。为△氏4M的中位线，

:AMLBP,:.QN_LBN,：ZQNB=90。,

二点N的路径是以QB的中点。为圆心，长为半径的圆交C8于£）的诙，

：CA=CB=A,ZACB=90°,:.AB=y[iCA=4啦,/。8。=45°,/.ADOQ=90°,

90/7XX4

二而为。。的1周长，二线段W的中点N运动的路径长为：Z^_V2K,故选：4

4------------------二---

1802

在A4PC中，:点M、F为PC、NC的中点，MF=-AP,

2

:.MEIMF.BPZEMF=90°,.•.点”在以所为直径的半圆上，

.•.跖=工/2=10,.•.点M的运动路径长为,x2〃x5=5/r,故答案为：5〃.

22

模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）

固定线段AB所对同侧动角NA乙C,则4B、C、P四点共圆

根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相.

寻找隐圆技巧：43为定值，4P为定角，则P点轨迹是一个圆.

1.（2023・四川自贡・统考中考真题）如图，分别经过原点。和点/（4,0）的动直线。，。夹角2。以=30。,

点〃是03中点，连接贝iJsinNGUM的最大值是（）

【答案】A

【分析】根据已知条件，/。8/=30。，得出8的轨迹是圆，取点。（8,0）,则是AOB。的中位线，则求

得的正弦的最大值即可求解，当5。与OC相切时，N0D8最大，则正弦值最大，据此即可求解.

【详解】解：如图所示，以。/为边向上作等边AO/C,过点C作CELx轴于点E,贝l]OC=GM=/C=4,

则C的横坐标为2,纵坐标为。£=。。*$吊60。=26,二42,28）,

取点£＞（8,0）,贝I]是AOBD的中位线，,CD=“8-2）2+仅退『=，百,

ZOBA=30°,.,.点3在半径为4的0c上运动，1•NW是AOAD的中位线，.1

ZOAM=AODB,当AD与。C相切时，/ODB最大,则正弦值最大，

在RSBCD中，BD=^CD2-BC2=团-42=472,

过点8作尸2〃x轴，过点。作C尸1尸G于点尸，过点。作。G1FG于点G,贝Ij/F=NG

―、CFFBBC41

Z.FCB=Z.DBG,：.4CFB—ABGD,/.——————"zrr——T==~f=

GBGDBD4V2V2

设C产=Q,FB=b，则BG=6a,DG=Cb/./（2,2百+a）,G（8,后6）FG=S-2=6,DG=a+2^

2+6+41a=8八2/-DG\Flb3+J6

l「解得：b=2+-46：.sinZODB=sinZGBD=——=——

〃+2行=•3BD4V26

「.sinNCMM的最大值为也反，故选：A.

6

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。圆周角定理，得出点B的轨迹

是解题的关键.

例2.（2023•广东深圳•校考模拟预测）如图，在边长为6的等边中，点E在边NC上自/向C运动,

点尸在边C3上自C向3运动，且运动速度相同，连接厂交于点R连接CP,在运动过程中，点尸

的运动路径长为（）

C.3A/3D.T

【答案】A

【分析】过点/作。/1/C于4作。，3c于B,连接。C,交AB于D,证明RtA/CO/RtA8CO（HL）,

得。4=08,再证明zUCF外BNE（SAS）,可得ZAPS=180。-60。=120。，确定点尸的运动路径是以点。为

圆心，以。4为半径的弧再由弧长公式求解即可.

【详解】解：如图，过点工作CU1/C于4作。818c于8,连接OC,交4B于D,

6

「△/CB是等边三角形，:.AC=BC=AB,ZACB=ZCAB=60°,AAOB=360°-60°-90°-90°=120°,

：OC=OC,：.RtA^C0^RtA5C0(HL),:.OA=OB,OC是A8的垂直平分线，AD=BD=^AB=3,

在RQ/DO中，Z.DAO=30°,.tan30。=百，OA=2OD=273,

'：AE=CF,:.AACFABAE(SAS),:.NC4F=NABE,

NC4F+NBAP=60。,ZABE+ABAP=60°,ZL4P5=180°-60°=120°,

点尸的运动路径是以点。为圆心，以。4为半径的弧48,

•・•点P的运动路径长为120丝@8=拽".故选：A.

1803

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，动点尸的运动轨迹等知识，确定点尸的运动轨

迹是解本题的关键.

例3.（2023・成都市•九年级专题练习）如图所示，在扇形中，04=3,乙108=120。，点C是部上的

动点，以BC为边作正方形8CDE,当点C从点A移动至点B时，求点。经过的路径长.

【答案】点。经过的路径长为20〃.

【分析】如图，由此30交。。于尸，取麻的中点H连接FH、HB、BD.易知是等腰直角三角形,

HF=HB,ZF/ffi=90°,由/FDB=45。=g4FHB,推出点。在。〃上运动，轨迹是面（图中红线），易

知LHFG=4HGF=15。,推出/FHG=150。，推出/G//B=120。，易知HB=3插,利用弧长公式即可解

决问题.

【详解】解：如图，由此80交。。于£取前的中点“，连接尸口、HB、BD.

易知△WB是等腰直角三角形，HF=HB,/"ZB=90。，

；/FDB=45。//FHB,二点。在。〃上运动，轨迹是为（图中红线），

易知NHFG=NHGF=15。,：.AFHG=150°,:.NGHB=120。,易知HB=3拒,

,点D的运动轨迹的长为120-=2&兀

180

【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、圆的有关知识、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅

助线，正确寻找点。的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题.

例4.（2023上•湖北武汉•九年级校考阶段练习）如图，。。的半径为2,弦的长为2百，点C是优弧

48上的一动点，交直线NC于点D,当点C从△48C面积最大时运动到8C最长时，点。所经过

的路径长为.

【答案】工n

3

【分析】如图，以43为边向上作等边三角形连接04,OB,OF,DF,O尸交4B于H.说明点。

的运动轨迹是以尸为圆心，加为半径的圆，再利用弧长公式求解即可.

【详解】如图，以N8为边向上作等边三角形△/3月，连接。4OB,OF,DF,OF交AB于H.

NBOH=/AOH=6。。,//。8=120°，NC=：AAOB=GO0,

:DB_LBC,ADBC=90°,：.ACDB=30°,

；N4FB=60。,：.ZADB=YAAFB,二点。的运动轨迹是以r为圆心，E4为半径的圆，

当点C从△48C面积最大时运动到BC最长时，BC绕点B顺时针旋转了30。，

..BD绕点3也旋转了30。，.•.点。的轨迹所对的圆心角为60°,

运动路径的长=60"x2包9人故答案为：正w.

18033

【点睛】本题考查轨迹，垂径定理，等边三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是

学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

模型4、四点共圆模型

四点共圆模型我们在上一专题中已经详细讲解了，本专题就不在赘述了.在此就针对几类考查频率高的模

型作相应练习即可。

1）若平面上/、B、C.。四个点满足43C+N4DC=180。，贝!M.B、C、。四点共圆.

条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角.

“;\----_------/B酒

2）若平面上4B、C、。四个点满足乙包切=4CB,贝IJ4、B.,C,。四点共圆.

条件：线段同侧张角相等.

例1.（2023•安徽阜阳•九年级校考期中）如图，。为线段3c的中点，点4C,。到点O的距离相等，则

//与NC的数量关系为（）

A.ZA=NCB.DA=2DCC,zL4-ZC=90°D,ZA+ZC=180°

【答案】D

【分析】根据题意可得四边形为。。的圆内接四边形，即可求解.

【详解】解：为线段BC的中点，点4C,。到点。的距离相等，

.,.点aB,c,。到点o的距离相等，

.,.点aB,c,。在以。为圆心的圆上，即四边形为。。的圆内接四边形，

.-.ZA+ZC=180°.故选：D

【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键.

例2.（2023•山西临汾・九年级统考期末）如图在四边形/BCD中，NADB=ZACB=90°,若ND4C=30。,

则n笔r的值为（）

【答案】D

【分析】首先根据题意得到点4B,C,。四点共圆，然后证明出ACEOSABE/,进而得到与=隼，然

ABAE

DF1

后利用30。直角三角形的性质得到—进而求解即可.

AE2

【详解】如图所示，・••N4DB=N/C3=90。.,.点4,B,C,。四点共圆,

——CDDE

CB-CB/BAC=Z.BDC/DEC=Z.AEB...ACED—ABEA......------

3~3ABAE

CDDEg.故选：

...405=90°,ADAC=30°：.DE=-AE：.-=-D.

2AE2~AB~AE

【点睛】此题考查了四点共圆，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌

握以上知识点.

例3.（2023•江苏镇江•校联考一模）如图，菱形/BCD的边长为12,々8=60。，点£为8C边的中点.点M

从点£出发，以每秒1个单位的速度向点3运动，点N同时从点A出发，以每秒2个单位的速度向点。运动,

连接跖V,过点C作于点7/.当点M到达点8时，点N也停止运动，则点8的运动路径长是（）

C.”D.WL

A.6B.12

33

【分析】如图，连接/£、AC,BD,设NC、3D交于点尸，AE交MN于点、F,连接CF,设CF中点为O,

连接OP、OE,根据菱形及等边三角形得性质可得/EIBC,&ANF~AEBF,可得出二=！，可得必

AF2

经过点歹，根据4C=NCHF=90。，可得点”在以CF为直径的圆上，根据M、N的速度及菱形性质可

得当点M达到点B时，点N达到点。，AC1BD,可得点〃点运动路径长是胡的长，利用勾股定理可求

出C尸的长，根据圆周角定理可得NEOP=120。，利用弧长公式即可得答案.

【详解】如图，连接/£、AC.BD,设NC、BD交于点、P,AE交MN于点、F,连接CF,设CF中点为O,

连接。P、OE,

•.•菱形48c。的边长为12,^5=60°,:.AB=BC=n,“3C是等边三角形,

•点£为8C边的中点，，4E1BC,BE=CE=-AB=6,4E=66

•••点/的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒2个单位，，受

FFMF1

AN\\ME"NFrEBF,

fAFAN2

，尸£=；/£=26,CF=yjFE2+CE2=473，，跖V必经过点尸，

■:CHLMN,/E18C,.•.点"在以CF为直径的圆上，且尸、E、C、H四点共圆，

,当点M达到点3时，点N达到点。，.•.点8点运动路径长是涉的长，

ABCA=60°,EP=EP，:.NEOP=2NBC4=120。,

.反J20乙即点H点运动路径长是生8〃.故选：D.

18033

【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆的证明、勾股定理、圆周角定理及弧

长公式，正确得出点石的运动轨迹是解题关键.

例4.（2023.江苏九年级期末）如图，在Rt^ABC中，乙痣8=90。，BC=3,/C=4,点P为平面内一点,

且NCP3=N/,过C作C01CP交PB的延长线于点Q,则CQ的最大值为（）

4石675

—

【答案】B

【分析】根据题意可得A、B、C、P四点共圆，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值与PC有关,

当PC最大时CQ即取最大值.

【详解】解：1•在RS/3C中，//C3=90°,NCPB=AA,BC=3,AC=4

.'.A,B、C、P四点共圆，AB为圆的直径，AB=V5C2+^C2=5

•••CQ1CPNACB=ZPCQ=90°AABCcnAPQC

ACPC4pca

'BCCQ'3或即

当PC取得最大值时，CQ即为最大值

.•.当PC=AB=5时，CQ取得最大值为?故选B.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确

定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键.

例5.（2023・河南周口•校考三模）在中，。=。5,〃是“8。外一动点，满足DC/M+=180°,

若NCMA=60°,MA=4,MB=2,则"D的长度为.

［分析］过点8作1交的延长线于点H,过点。作DE1于点E,过点D作。尸1M3于点

E点N,M8,C四点共圆，得4MC=Z3MC=60。，解直角三角形。£=。尸=,BH=—MB,面积

22

1114

法求解，S^AMB=-AMDE+-BM-DF=-AMBH,得MO..

【详解】解析：过点B作BH1交的延长线于点H,过点。作DE工/河于点E,过点D作。尸1MB

于点£如图所示：

c

：DCAM+DCBM=180°.•.点四点共圆

h

'：CA=CB：./AMC=/BMC=60。，DE=DF=MD-sin6(f=-MD,^AMB=120°

2

h

ZBMH=60°,..BH=MBsin60°=—MB,

2

-：MA=4MB=2：.SAAMB=^AM-DE+^BM-DF=^AM-BH,

J3J34

4x—ME>+2x—A0=4xV3,：.MD=-

223

【点睛】本题考查四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，角平分线性质定理，添加辅助构造直角三角形

是解题的关键.

课后专项训练

1.（2023上•江苏南通•九年级校考阶段练习）如图，等边三角形Z8C与等边三角形EE8共端点8,BC=2,

BF=日△EF3绕点8旋转，N2CF的最大度数（）

A.30°B.45°C,60°D,90°

【答案】C

【分析】由旋转的性质可得点尸在以点8为圆心，8尸长为半径的圆上，可得当CF'与02相切时，乙BCF'

的度数有最大值，由三边关系得△CB9是含30度角的直角三角形，即可求解.

【详解】解：如图，

,・,△EEB绕点8旋转，.・・点/在以点8为圆心，8厂长为半径的圆上，

・••当C/与03相切时，48CF的度数有最大值，连接2尸，.••4CF'8=90°,

,:BC=2,BF'=BF=y/3,CF'=42s=1=

；2cBp=30°,ABCF'=60°,故选：C.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及直线与圆的位置关系，确定点F的运动轨迹是本

题的关键.

2.（2023上•安徽六安•九年级校考期末）如图，AABC是等边三角形，/8=2,点尸是“3C内一点，且

ZBAP-ZCBP=30°,连接CP,则CP的最小值为（）

A

C.2-73D.V3-1

【答案】D

【分析】根据等边三角形的性质得到N4BC=60°,AB=BC=AC,继而推出NAPB=90°,可得点P在以AB

为直径的圆上，得知当C,D,尸三点共线时，。尸最小，再利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可.

【详解】解：“3C是等边三角形，ZABC=60°,AB=BC=AC,

■：ZBAP-ZCBP=30°,ZBAP-[600-ZABP）=30°,

整理得：NBAP+ZABP=90°,则乙4尸8=90。，.•.点尸在以为直径的圆上,

如图，设的中点为。，连接。P,即。尸长度不变，

CP+DP>CD,.•.当C,D,P三点共线时，CP最小，此时CD_L4B,

:AB=BC=AC=2,:.DP=^AB=\,CD=yjBC2-BD2=73.

二CP的最小值为0。-。尸=百-1,故选D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是

根据已知条件推出乙1PB=90。,得到点P在以为直径的圆上.

3.（2023•广西中考模拟）如图所示，四边形ABCD中，DC//AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD的长为

A.714B.V15C.班D.2A/3

【答案】B

【详解】解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交0A于F,连接DF.

.AB=AC=AD=2,.'.D,C在圆A上,

'.DC//AB,...弧DF=MBC,.-.DF=CB=1,BF=AB+AF=2AB=4,

.FB是。A的直径，.•.NFDB=90。，.-.BD=^BF2-DF2=岳故选B

4.（2023上•浙江杭州•九年级校联考期中）如图，点。在线段N8上，OA=2,OB=6,以。为圆心，OA为

半径作O。，点〃■在0。上运动，连接"B,以MB为一边作等边AASC,连接/C,则ZC长度的最小值为

A.2713+2B.2V13-2C.473+2D.473-2

【答案】B

【分析】以08为边，在Q5的上面作等边AOBP,使OB=BP=OP=6,NOBP=60°,连接。P,PC,OM,

根据全等三家巷的性质得到OM=PC=2,连接/P并延长，交。尸于点C',则/C的最小值为NC',过产作

尸H1于H,根据勾股定理即可得到答案.

【详解】解：如图，以为边，在的上面作等边AOAP,使OB=BP=OP=6,ZOBP=60°,连接。尸,

PC,OM,

,:NMBC=ZOBP=6Q°,ZOBM=ZCBP,

BM=BC

在AOW和ACBP中，\ZOBM=ZCBP,:AOBMHCBP(SAS),

OB=BP

：.OM=PC=2,，点C的运动轨迹为以点尸为圆心，2为半径的圆，

连接NP并延长，交。P于点C，，则ZC的最小值为/C,过P作于//,

同1

:.PH=—PB=343,BH=-PB=3,

22

'：AH=AB-BH=5,：,AP=SIAH2+PH2=,+g同=2屈,

AC=AP-PC=2413-1,.1NC'长度白勺最/］、值为2而一2,故选：B.

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确

地作出辅助线是解题的关键.

5.（2023上•江苏无锡・九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点4C,N的坐标分别为（-3,0）,

（3,0）,（6,8）,以点C为圆心，3为半径画。C,点尸在。。上运动，连接AP,交。。于点。，点M为线

段。尸的中点，连接则线段儿W的最小值为（）

A.7B.10C.3拒D.V73-1

【答案】A

【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握垂径定理，勾股定理，两点间的距离公式，直角三角形斜边

上中线的性质，三点共线等知识是解决问题的关键.

连接CM,OM,由垂径定理得出CM10尸，由直角三角形的性质得出（W=g/C=3,进而得出点“在

以。为圆心，以3为半径的O。上，得出当。、M、N三点共线时，儿W有最小值，由N（6,8）,求出ON=10,

进而求出MN=7,即线段MN的最小值为7.

【详解】解：如图1,连接CW,OM,

,.Z（-3,0）,C（3,0）,.-.AC=6,。是/C的中点，

是。尸的中点，CMLQP,:.ZAMC=90°,:.OM=^AC=?>,

.•.点初在以O为圆心，以3为半径的。。上，如图2,当。、M,N三点共线时，有最小值，

7N（6,8）,二加=10,...（W=3,.•.TW=ON-OM=10-3=7,.•.线段ACV的最小值为7,故选A.

6.（2023上•浙江丽水・九年级统考期中）如图，48是半圆。的直径，点C在半圆。上，AB=4.ACAB=60°,P

是弧5c上的一个动点，连结/尸，过点C点作C。！/尸于点。，连结5。，在点P移动的过程中.（1）

AC=；（2）8。的最小值是.

【答案】2VB-1/-1+V13

【分析】⑴连接8C,因为A3是直径，则44c8=90。，所以N4BC=30。，所以/C=gA8=2；

（2）以/C为直径作圆O',连接B。、BC,在点尸移动的过程中，点。在以/C为直径的圆上运动，当。、

D、B共线时，5。的值最小，最小值为OB-OD,利用勾股定理求出3。'即可解决问题.

【详解】解：（1）如图，连接8C,..Z8是直径，.♦.N/CB=90。，

,/ZC45=60°,AZ^5C=30°,../C==；x4=2.故答案为：2；

(2)如图，以/C为直径作圆O',连接80',...。。1/尸，；.N4DC=90。，

在点尸移动的过程中，点。在以/C为直径的圆上运动，

在RtzX48C中，..25=4,ACAB=60°,8C=/B-sin60。=2百，

'：AC=2,:.O'C=O'D=\,在Rt^BCO'中，BO'=SJBC2+O'C2=71277=V13,

：O'D+BDNO'B,：.当O'、D、3共线时，3。的值最小，最小值为。B-。h=旧-1.故答案为：V13-1.

【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理、点与圆的位置关系，两点之间线段最短，解题的关键是确定点。

的运动路径是以/C为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题.

7.(2023上•山东日照•九年级校考期中)如图，AASC中，AC=5,BC=^,AACB=60°,过点A作的

平行线/，尸为直线/上一动点，为△NPC的外接圆，直线8尸交。。于E点，则/E的最小值为.

【答案】V41-4/-4+V41

【分析】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等

知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题.

如图，连接CE.首先证明NBEC=120。，由此推出点E在以。'为圆心，03为半径的前上运动，连接少/

交前于E：此时//的值最小.

【详解】解：如图，连接CE.

AP//BC,:.NPAC=N4CB=60°,ZCEP=ZCAP=60°,

NB£C=120。，.•.点E在以。为圆心，为半径的部上运动,

连接O'/交灰?于？，此时的值最小.此时。。与OO'交点为E,

ZBE'C=120°前所对圆周角为60。，：.N8O'C=2x60。=120。，

llRr

△BOC是等腰三角形，5C=4V3，O'B=O'C=Z=4，

cos30°

ZACB=60°,ZBCO'=30°,ZACO'=90°,O'A=y/o'C2+AC2=A/42+52=V?1,

.•.//=ON-OE