人教版九年级数学上册《点和圆、直线和圆的位置关系（第2课时）》示范教学设计

点和圆、直线和圆的位置关系（第2课时）教学目标1．理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．2．理解三角形的外接圆和外心的概念，会画三角形的外接圆．3．经历探索过点画圆的过程，体会数形结合、分类讨论的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力．教学重点理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆；掌握三角形的外接圆和外心的概念．教学难点经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．教学过程知识回顾1．几个点确定一条直线？【师生活动】学生独立思考后回答．【答案】两点确定一条直线．2．如何确定一个圆？【师生活动】教师出示题目，学生独立思考后回答．【答案】如果确定了圆心和半径，那么这个圆的位置和大小就被确定了．【设计意图】带领学生先复习“两点确定一条直线”的基本事实，巩固基础，在此基础上提出：类似两点确定一条直线，对于圆来说，是否也有几点确定的问题呢？由此引出本节课的学习内容．新知探究一、探究学习【问题】我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆．经过一个已知点A能不能作圆，这样的圆你能作出多少个？【师生活动】学生自己动手画图，教师展示分析过程，学生独立思考得出答案．【答案】经过已知点A作圆，当圆心确定后，半径也就随之确定，这时作圆的问题就转化为确定圆心的问题．因此，经过一个点A作圆，只要以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出．这样的圆有无数个．【问题】经过两个已知点A，B能不能作圆？如果能，圆心分布有什么特点？【师生活动】学生自己动手画图，教师展示分析过程，学生独立思考进行填空．【分析】经过两点A，B作圆，因为圆心到A，B的距离相等，所以圆心应在线段AB的垂直平分线上．线段AB的垂直平分线上有无数个点，所以这样的圆心有无数个，这样的圆也可以作出无数个．【设计意图】从过一点、过两点作圆开始探究，引导学生知道：过已知点作圆，关键是确定圆心，能作多少个圆，取决于圆心的位置和圆心的个数．为后面过三点作圆做好准备．【问题】经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？【师生活动】学生自己动手画图，教师展示分析过程，学生小组讨论：如何确定所作圆的圆心．【分析】经过不在同一条直线上的A，B，C三点作圆，这就需要确定一个点作为圆心，使它到A，B，C三点的距离相等，因此圆心既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC（或AC）的垂直平分线上．【答案】连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线l1和l2，设它们的交点为O，则OA＝OB＝OC．于是以点O为圆心，OA（或OB，OC）为半径，便可作出经过A，B，C三点的圆．因为两条垂直平分线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即这样的圆只有一个．【新知】不在同一条直线上的三个点确定一个圆．提醒：（1）三个点确定一个圆的前提是“三个点不在同一条直线上”．（2）“确定”的含义是“有且只有”的意思，即经过不在同一条直线上的三点有且只有一个圆．【设计意图】通过探索，让学生知道不在同一条直线上的三个点确定一个圆，帮助学生实现直观感知、操作实验和逻辑推理三者的有机结合．【新知】由图可以看出，经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．如图，⊙O是△ABC的外接圆，或者说△ABC内接于圆O．点O是△ABC的外心．【练习】请作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆．这些外接圆的圆心在什么位置？ 【师生活动】学生独立完成，一名学生展示答案．【答案】如图． 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部．【归纳】（1）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．因此可由外心的位置判断三角形的形状．（2）三角形外心到三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径．（3）因为任意一个三角形的三个顶点都不在同一直线上，所以任意一个三角形有且只有一个外接圆；顺次连接圆上任意三点，都可以得到圆内接三角形，也就是说，一个圆有无数个内接三角形．【设计意图】让学生初步掌握画三角形的外接圆的方法，加深对三角形的外接圆和外心的概念的理解．二、典例精讲【例1】如图是一块破损的圆形模板，木工师傅想要将它修复为原来的模样，你有办法复原吗？（保留作图痕迹）【师生活动】学生根据分析完成解答，教师给予指导．【分析】对于已知圆上的某段弧，作出全部圆的问题，实质上属于确定圆心的问题，解决此类问题的方法是在圆弧上任意找三点，形成两条线段，这两条线段垂直平分线的交点就是圆心，圆心到圆弧上任意点的距离就是半径．【答案】解：在圆弧上任取三点A，B，C，连接AB，BC．分别作出AB，BC的垂直平分线，其交点为O．连接AO，以O为圆心，AO为半径，画出这个圆．【归纳】确定圆心的方法（1）不在同一条直线上的三点确定一个圆，三点所连线段的垂直平分线的交点即为圆心；（2）先确定直径，两条直径的交点或一条直径的中点即为圆心．【设计意图】通过例题，帮助学生巩固过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．【例2】在△ABC中，BC＝24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．【师生活动】学生独立完成解答，一名学生板书解答，教师给予指导．【答案】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，则OD＝6cm．∵外心O是△ABC三条边的垂直平分线的交点．∴BD＝BC＝12cm．∵在Rt△OBD中，OD＝6cm，BD＝12cm，∴OB＝＝＝6cm．即△ABC的外接圆的半径为6cm．【归纳】巧作辅助线求解与三角形外接圆有关的计算在与三角形的外接圆有关的计算中，经常连接圆心与三角形的顶点，这样作辅助线可出现圆心角、半径等，为利用圆心角定理、垂径定理、勾股定理等进行解题创造了条件．三、拓展提升【思考】过任意三点都不在同一直线上的四点能作一个圆吗？也就是说过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？【师生活动】教师提出问题，学生思考，回答问题．【分析】要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，若第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，否则不在圆上．【设计意图】由经过三角形三个顶点可以作一个圆想到经过四边形的四个顶点是否可以作一个圆，从学生已有的知识经验出发，获得探究问题的方向，为后续的探究做好准备．【问题】过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？【师生活动】学生自己动手画图，教师展示动画．【答案】如图．【思考】分别测量上面各四边形的内角，你发现四边形的哪些元素决定了过它的四个顶点可以作一个圆？能再找几个四边形验证吗？【师生活动】学生先自己动手测量，小组交流，师生一起总结．【新知】过对角互补的四边形的四个顶点可以作一个圆．【设计意图】让学生学会利用特例去对问题进行研究，从特殊到一般情形，一步一