数学-河南省湘豫名校联考2024-2025学年高三下学期春季学期第二次模拟考试（湘豫二模）试题和答案

2024-2025学年高三春季学期第二次模拟考试数学注意事项：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“Vx∈R,2-+2²≥1”的否定是A.Vx∈R,2-+2*<1B.3x∈R,2-+2≥1C.Vx∈R,2-*+2²<1D.3x∈R,2⁻+2*<12.已知z=1-i,则在复平面内，复数对应的点位于A.实轴上B.虚轴上C.直线y=x上D.直线y=-x上3.某完全中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，特举办了“校园安全知识”竞赛.现按照分层随机抽样的方法，分别抽取初中生m名，高中生n名，经统计，这(m+n)名学生的平均成绩为74分，其中m名初中生的平均成绩为72分，n名高中生的平均成绩为x分，则x=A.74B.76C.78D.80数学试题第1页(共6页)4.已知1OA|=|OB|=1,|oCl=√2,OA+OB+OC=0,设OA与OC的夹角为A.240°B.225°C.135°D.90°5.已知函数f(x)为R上的奇函数，若函数y=g(x+2)与y=f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(4)=A.1B.0C.-1D.-26.若函数f(x)=sinwx(w>0)在区间(π,2π)内没有最小值，则w的取值范A.B.7.已知集合M={(x,y)|(x-1)2+y2=4},曲线C上的点构成集合N= ,则曲线C上的点到直线y=x+2√5的最大距离为8.已知函数则满足f(5-a)<f(a+1)的实数a的取值范围为A.(1,+○)B.(2,+)C.(3,+∞)D.(4,+∞)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的9.已知数列{an}的通项公式为an=n²-8n,则B.{an}中的最小项为-16C.从第三项起，{an}的每一项都大于它的前一项D.数列{an+2-an}为等差数列数学试题第2页(共6页)10.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，0是BC1与B1C的交点，∠BAC=∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,则 A.AO=AB+AA1+ACB. C.AO⊥平面A1BCD.B1到平面A1BC的距离为：11.已知曲线C:(x2+y2+4)2=16(x2+4),F1任意一点，0为坐标原点，则A.曲线C关于原点O对称B.曲线C上所有的点都在椭圆1内部C.曲线C在由直线x=±2√3和y=±2所围成的矩形框里(含边界)D.存在点M,使得∠F1MF2为钝角三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某同学收集了第一届全国学生(青年)运动会吉祥物“壮壮”和“美美”的卡片各一张，第19届亚运会吉祥物“宸宸”“琮琮”和“莲莲”的卡片各一张.现该同学准备将这5张卡片贴在墙上，若将“壮壮"和“美美”的卡片贴在“宸13.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,过点F且不与x轴垂直的直线与E交于A,B两点，过AB的中点M作x轴的平行线交E于N点，则14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,BC边上的高为h.若a=4, .(第一空2分，第二空3分)数学试题第3页(共6页)四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小鼠随机均分为两组：对照组(不含药物)和实验组(添加药物),饲养相同时间后，分别测量这两组小鼠的体重增加量(单位：g),并对数据进行分析，得到如下频率分布直方图：0.0550.0450.0400.0300.0200.010对照组增加量/g实验组增加量/g(1)估计实验组小鼠体重增加量的80%分位数m;(2)将这两组小鼠的体重增加量，从低到高分为三个等级：体重增加量x/gx<10x≥20等级较轻较重假设对照组和实验组小鼠体重增加量的等级结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从实验组和对照组中各随机抓取一只小鼠，求抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级的概率.数学试题第4页(共6页)16.(本小题满分15分)已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为S,且a₁=1,√Sn+1是1-S,与Sn+1的等差中项. (2)设bn=(-1)”·(S,+an),求数列{bn}的前2n项和Tzm.17.(本小题满分15分)已知双曲线的左、右顶点分别为A₁,A₂,虚轴的两个端点分别为B1(0,-b),B2(0,b),点E(2,2√3)在C上，四边形(1)求C的标准方程；(2)过点D(-1,2)的直线与C交于P,Q两点，直线A₁P,A₁Q分别与y轴数学试题第5页(共6页)数学试题第6页(共6页)18.(本小题满分17分)已知函数f(x)=e²-ax-3(a∈R).(1)当x≥0时，若不等式恒成立，求a的取值范围；(i)求a的取值范围；19.(本小题满分17分)已知四面体ABCD.(1)若该四面体为正四面体，球0与其四个面都相切，证明：该四面体与球O的体积之比等于它们的表面积之比；(2)设点G是满足GA+GB+GC+GD=0,过点G的平面Ω分别与直线AB,AC,AD交于点P,Q,R,且AP=a1AB,AQ=λ2AC,AR=AsAD,(3)若空间内一点H满足aHA+bHB+cHC+dHD=0(a,b,c,d均为实数，且全不为0),证明：VH-BCD:VH-ACD:VH-ABD:VH-ABC=lal:|b|:湘豫名校联考2024—2025学年高三春季学期第二次模拟考试数学参考答案题号123456789答案DCDCBDABABDAC一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.D【试题立意】本题考查全称量词命题的否定.【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题,对命题否定需要改量词、否结论.故选D.2.C【试题立意】本题考查复数的运算及其几何意义. 十1—i=2十2i,所以在复平面内义/对应点的坐标为(2,2),位3.D【试题立意】本题考查分层随机抽样及数字特征.4.C【试题立意】本题考查向量的夹角.5.B【试题立意】本题考查函数奇偶性和图象的对称性等.【解析】与函数y=f(父)的图象关于点(1,0)对称的函数为y=—f(2—父),则g(父十2)=—f(2—父).又f(父)为R上的奇函数,所以f(0)=0,所以g(4)=g(2十2)=—f(2—2)=—f(0)=0.故选B.6.D【试题立意】本题考查三角函数的图象与性质.数学参考答案第1页(共8页)数学参考答案第2页(共8页)w 7.A【试题立意】本题考查图象变换及直线与椭圆的位置关系. 【解析】方法一:将圆(儿—1)十y=4上所有点向左平移1个单位长度,再将纵坐标缩小为原来的2,就变为EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up3(儿),4)EQ\*jc3\*hps8\o\al(\s\up3(),)2\之间的距离即为曲线C上的点到直线y=儿十2\的最大距离,为故选A.8.B【试题立意】本题考查函数的图象与性质,解抽象不等式,综合性较强.f(a十1),得|5—a—1|<|a十1—1|,等价于(4—a)<a,解得a>2,即实数a的取值范围是(2,十∞).故选B.项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.ABD【试题立意】本题考查数列基本量的计算及等差数列的概念.a数学参考答案第3页(共8页)=(4n—12)—[4(n—1)—12]=4,所以{bn}为等差数列,D正确.故选ABD.10.BC【试题立意】本题考查立体几何及空间向量的综合应用,但本题反套路,不易于建系,需要突破思维定势.EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up2(—),)) — 11.AC【试题立意】本题考查与曲线有关的新定义问题,考查学生的创新意识及探究能力.于原点O对称,A正确.对于B,方法一:将EQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up7(父2),12)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up3(2),2)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up3(2),2)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up3(2),2)EQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up6(父2),12)EQ\*jc3\*hps9\o\al(\s\up6(父2),12)当父=0时,(y)=4,即—2≤y≤2.综上所述,曲线C在由直线父=±2\和y≥0,所以上FMF不可能为钝角,D错误.12.20【试题立意】本题取材于运动会吉祥物,意在考查排列及排列的应用.EQ\*jc3\*hps8\o\al(\s\up3(),)EQ\*jc3\*hps8\o\al(\s\up3(),)EQ\*jc3\*hps8\o\al(\s\up3(),)EQ\*jc3\*hps8\o\al(\s\up3(),)EQ\*jc3\*hps8\o\al(\s\up3(),)EQ\*jc3\*hps8\o\al(\s\up3(),)EQ\*jc3\*hps8\o\al(\s\up3(),)EQ\*jc3\*hps8\o\al(\s\up3(),)数学参考答案第4页(共8页)13.4【试题立意】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系及弦长问题.【解析】显然直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为y=k(父—1),代入y=4父,得k父—2(k十 14.6(2分)4(3分)【试题立意】本题考查正、余弦定理,以及三角恒等变换. 【解析】若h=2,则过点A且与BC平行的直线与以BC为直径的圆必有公共点,从而角A可取到90.由EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(十),bc)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(十),bc)c15.【试题立意】本题考查百分位数及相互独立事件概率的计算.(2)记事件S=“实验组小鼠体重增加量的等级为中等”,事件S=“实验组小鼠体重增加量的等级为较记事件D=“对照组小鼠体重增加量的等级为较轻”,事件D=“对照组小鼠体重增加量的等级为中等”,记“实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级”为事件E,则十SD十SD)=P(SD))十P(S)P(D)十P(S)P(D)故实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级的概率为0.26.13分16.【试题立意】本题考查等差数列的性质及数列求和的综合问费高中试卷公众号：凹凸学长数学参考答案第5页(共8页)所以\sn—1=\,即\sn—\=1. 所以an=sn—sn=2\/sn—1=2(n十1)—1=2n十1,b十bk=(k十2k—1)(—1)k十[(k十1)十2(k十1)—1](—1)k=2k十3,12分=(b十b)十(b十b)十(b十b)十…十(bn十bn)十(bn=(2×1十3)十(2×3十3)十(2×5十3)十…十[2(2n—3)十3]十[2(2n—1)十3]=5十9十13十…十(4n—3)十(4n十1)17.【试题立意】本题考查双曲线的性质,直线与双曲线的位置关系及定值问题.【解析】(1)根据双曲线的几何性质,得四边形ABAB为菱形,其周长为4\/a十(2)显然,直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为y—2=k(x十1),(Δ=[2k(k十2)]十4(4—k)(k十4k十8)>0,xxEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up2(十),k)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up2(十),4)4EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up2(k十),k)8......................EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),十)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),十)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),十)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up7(十),2)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),十)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up7(1),1)EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(y2),x)(EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up7(x),十)数学参考答案第6页(共8页)==十(k十1)(父十父)十k18.【试题立意】本题考查不等式恒成立问题、零点问题、双变量问题.2【解析】(1)f(2—2(父≥0)恒成立,即EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(父),2)①当1—a≥0,即a≤1时,PI(父)≥0,则P(父)在[0,十∞ 调递减,从而P(父)<P(0)=0,不符合题意.综上所述,a的取值范围为(—∞,1].当a≤0时,fI(父)>0,所以f(当父>lna时,fI(父)>0,f(父)在(lna,十∞)所以当0<a<1时,gI(a)>0,g(a)在(0,1)上单调递增;当a>1时,gI(a)<0,g(a)在(1,十∞)上单调递减,所以a=1是g(a)的极大值点,也是g(a)的最大值点.EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up3(父),2)—1时,父≥ln(1十父)也成立. 数学参考答案第7页(共8页)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(父),2)又lna<a<2a十3(lna≤a—1<a<2a十3),所以f(2a十3)=e2a十3—a(2a十3)—3>1十(2a十3)十.(2aEQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(十),2)3)2—a(2a十3)—3=5a十>0,综上所述,a的取值范围是(0,十∞).13分.t(t>0),则所以h(t)在区间(0,十∞)上单调递增,所以h(t)>h(0)=0,即(*)式成立.19.【试题立意】本题考查立体几何的表面积、体积以及空间向量基本定理等.【解析】(1)设正四面体ABCD的棱长为a,每个面的面积为S,球O的半径为r.则点F是△BCD的中心,点A,O,F在同一直线上.连接并延长DF交BC于点M,则所以所以该正四面体的体积为S×AF=a3.……2分则球O的体积为数学参考答案第8页(共8页)设正四面体,球O的表面积分别为S,S,解得分A