青海大学附中版高考数学一轮复习 圆锥曲线与方程单元训练 新人教A版

青海大学附中版《创新设计》高考数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．椭圆和双曲线的公共焦点为、,是两曲线的一个交点，那么的值是()A． B． C． D．【答案】A2．已知抛物线M：y2=4x，圆N：（x-1）2+y2=r2（r为常数，r＞0），过点（1，0）的直线l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足=的直线l只有三条的必要条件是()A．r B．r C．r D．r【答案】D3．设x1、x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”，x1*x2＝（x1＋x2）2－（x1－x2）2，若x≥0，则动点的轨迹是()A．圆 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分【答案】D4．设双曲线的半焦距为c，离心率为.若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于()A． B． C． D．【答案】C5．已知对，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】C6．过椭圆：的左焦点作直线轴，交椭圆C于A、B两点.若△OAB（O为坐标原点）是直角三角形，则椭圆C的离心率e为()A． B． C． D．【答案】A7．双曲线左、右集点分别，过作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若垂直于x轴，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．【答案】D8．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是()A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线【答案】D9．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率为()A． B． C． D．【答案】D10．过双曲线的右焦点F作圆的切线FM（切点为M），交y轴于点P，若M为线段FP的中点,则双曲线的离心率是()A． B． C．2 D．【答案】A11．椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A． B． C． D．【答案】B12．若双曲线的右支上一点到直线的距离为，则的值为()A． B． C．2 D．【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知直线与双曲线的右支相交于不同两点，则的取值范围是____________【答案】14．椭圆被直线截得的弦长为【答案】15．以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，K为非零常数，若｜PA｜－｜PB｜＝K，则动点P的轨迹是双曲线.②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.③双曲线与椭圆有相同的焦点.④已知抛物线,以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切.其中真命题为(写出所有真命题的序号）.【答案】②③④16．已知双曲线的左、右焦点分别为.若双曲线上存在点使,则该双曲线的离心率的取值范围是.【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且．(1）求该抛物线的方程；(2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．【答案】(1）直线AB的方程是所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，抛物线方程为：(2）由p=4，化简得，从而,从而A:(1,),B(4,)设=，又，即8（4），即，解得18．已知,，点满足，记点的轨迹为，过点作直线与轨迹交于两点，过作直线的垂线、，垂足分别为，记。(1）求轨迹的方程；(2）设点，求证：当取最小值时，的面积为．【答案】（1）由|PF1|－|PF2|＝2＜|F1F2|知，点P的轨迹S是以F1、F2为焦点的双曲线右支．由c＝2,2a＝2，∴b2＝3．故轨迹S的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1(x≥1)(2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与双曲线方程联立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0．∴解得k2＞3．|AP|·|BQ|＝＝eq\f(1,4)(2x1－1)(2x2－1)＝eq\f(1,4)[4x1x2－2(x1＋x2)＋1]＝x1x2－eq\f(x1＋x2,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(4k2＋3,k2－3)－eq\f(2k2,k2－3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(2k2＋3,k2－3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(9,4)＋eq\f(9,k2－3)＞eq\f(9,4)．当斜率不存在时，|AP|·|BQ|＝eq\f(9,4)，∴λ的最小值为eq\f(9,4)．此时，|PQ|＝6，|MF2|＝3，S△PMQ＝eq\f(1,2)|MQ|·|PQ|＝9．19．设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．(Ⅰ）若，求的值；(Ⅱ）求四边形面积的最大值．【答案】（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，．如图，设，其中，且满足方程，故．①由知，得；由在上知，得．所以，化简得，解得或．(Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，．又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．解法二：由题设，，．设，，由①得，，故四边形的面积为，当时，上式取等号．所以的最大值为．20．过双曲线的右焦点F2，作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，求：（1）|AB|的值；(2）△F1AB的周长（F1为双曲线的左焦点）。【答案】（1）由双曲线方程可得(2）如图，由双曲线定义得：|AF1|＝|AF2|＋2a，|BF1|＝|BF2|＋2a∴△F1AB的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF2|＋4×＋|AB|＝21．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)求、的坐标。(3)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．【答案】(1)直线AB的方程是y＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝eq\f(5p,4)．由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，从而A(1，－2eq\r(2))，B(4,4eq\r(2))．(3)设＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4,4eq\r(2))＝(4λ＋1，4eq\r(2)λ－2eq\r(2))，又yeq\o\al(2,3)＝8x3，即[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.22．已知曲线是到点和到直线距离相等的点的轨迹．是过点的直线，是上（不在上）