杭电物理习题答案

单元一简谐振动

一、选择、填空题

1.对一个作简谐振动的物体,下面哪种说法是正确的？[C]

(A)物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值；

(B)物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零；

(C)物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零：

(D)物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零。

2.一沿X轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为4周期为7,振动方程用余弦函数表示，如果该振子

的初相为士乃，则£=0时，质点的位置在：[D]

3

白)过了=，4处，向负方向运动；(B)过x处，向正方向运动；

22

(C)过x=—4A处，向负方向运动；(D)过x=—4A处，向正方向运动。

22

3.将单投从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成微小角度。然后由静止释放任其振动，从放手

开始计时，若用余弦函数表示运动方程，则该单摆的初相为：[B]

(A)0-,(B)0-,(On/2-,(D)-0

4.图(a)、(b)、3为三个不同的谐振动系统，组成各系统的各弹簧的倔强系数及重物质量如图所

示，(a)、(b)、。三个振动系统的①(。为固有圆频率)值之比为：

[B]

5.一弹簧振子，当把它水平放置时，它可以作简谐振动，若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上

如图，试判断下面哪种情况是正确的：[C]

(A)竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动；

(B)竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动；

(C)两种情况都可作简谐振动；

(D)两种情况都不能作简谐振动。

6.一谐振子作振幅为A的谐振动，它的动能与势能相等时，它的相位和坐标分别为:

7V|2式5

(A)+—,or±—乃，±如

3300

1

713(D)±

(C)±—,or±——兀,T±"士金

444-2

7.如果外力按简谐振动的规律变化，但不等于振子的固有频率。那么，关于受迫振动，下列说法正

确的是：(B]

(A)在稳定状态下,受迫振动的频率等于固有频率：

(B)在稳定状态下,受迫振动的频率等于外力的频率;

(C)在稳定状态下,受迫振动的振幅与固有频率无关;

(D)在稳定状态下,外力所作的功大于阻尼战耗的功。

8.关于共振，下列说法正确的是：[A]

(A)当振子为无阻尼自由振子时，共振的速度振幅为无限大；

(B)当振子为无阻尼自由振子时，共振的速度振幅很大，但不会无限大；

(C)当振子为有阻尼振动时，位移振幅的极大值在固有频率处；

(D)共振不是受迫振动。

9.下列几个方程，表示质点振动为“拍”现象的是：【6】

(A)y=Acos((ot+(pt)+Bcos(cot+(p2);(B)y=Acos(200t)+Bcos(201t+(p);

(C)x,-A,coscot,y2-A2sin(a)t+);(D)x,-A,coscot,y2-A2cos2CDt

10.一质点作简谐振动，周期为7,质点由平衡位置到二分之一最大位移处所需要的时间为‘-T；

由最大位移到二分之一最大位移处所需要的时间为,T。

6

-JT

11.两个同频率简谐交流电力69和心〃，的振动曲线如图所示，则位相差%-勿

12.一筒谐振动用余弦函数表示，振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为：A=10cm,

co=—rad/s,g一

63

13.一质量为加的质点在力尸=-乃2苫的作用下沿x轴运动(如图所示)，其运动周期为2标。

14.试在图中画出谐振子的动能，振动势能和机械能随时间而变的三条曲线。(设t=0时物体经过

平衡位置)

15.当重力加速度g改变由时，单摆周期7的变化dT=,一只摆钟，在.g=9.80m/$

处走时准确，移到另一地点后每天快该地点的重力加速度为9.8023加//。

16.有两个弹簧，质量忽略不计，原长都是/在加，第一个弹簧上端固定，下挂一个质量为力的物体

后，长11cm,两第二个弹簧上端固定，下挂一质量为勿的物体后，长13cm,现将两弹簧串联，上

端固定，下面仍挂一质量为力的物体，则两弹簧的总长为0.24机。

X.=6x.10cos(5t——7i)(SI)

17.两个同方向同频率的简谐振动，振动表达式分别为：/2它们

2

x2=2x70sin(7U-5t)(SI)

的合振动的振幅为8x/0-2〃人初位相为一,万。

--------2

Xj=Acos(-)

5兀

18.•质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程分别为：X2=ACOS(M+=^-)

x3=Acos(cot+7T)

其合成运动的运动方程为X=0。

二、计算题

1.一物体沿x轴作简谐振动，振幅为10.0cm,周期为2。s。在力=。时坐标为5.0cm,且向x

轴负方向运动，求在x=-6.0。/处，向x轴负方向运动时、物体的速度和加速度。

TT

物体的振动方程：x=4cos(of+6),根据已知的初始条件得到：X^10COS(^+―)

冗

物体的速度：v=-107rsin(+—)

物体的加速度：a=-IOTI2COS(R+?)

JI冗37i4

当：x--6.0cm,-6=10cos(+—),cos(cot+­)=-^,sin(—)=±—

TT4

根据物体向力轴的负方向运动的条件，+=,

所以：v=-87rxl0-2m/s,a=67r2xl0-2m/s2

2.一质点按如下规律沿才轴作筒谐振动：x^0.1cos(87rt+27r/3)(5Z)

求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加

速度最大值；

⑵分别画出这振动的x-t图。

241

周期：T=-=-s；

CD4

振幅：A=0Jm；

2万

初相位：(p----;

速度最大值：xmax=Aco,xniax=0.8TTm/s

222

加速度最大值：xmax=Aco,xmax=6.4Km/s

3.定滑轮半径为兄转动惯量为/轻绳绕过滑轮，一端与固定的轻弹簧连接，弹簧的倔强系数为

长另一端挂一质量为勿的物体，如图。现将勿从平衡位置向下拉--微小距离后放手，试证物体作

简谐振动，并求其振动周期。(设绳与滑轮间无滑动，轴的摩擦及空气阻力忽略不计)。

以物体的平衡位置为原点建立如图所示的坐标。

物体的运动方程：mg-T,=mx

Y

滑轮的转动方程：=J—

R

对于弹簧:T2=k(x+x0),kx0=mg

k

由以上四个方程得到：x+-------x=0

计算题⑶

令。2

K

物体的运动微分方程：x+co2x^O

物体作简谐振动。振动周期：T=2乃11—仁

4.一个轻弹簧在仇W的拉力作用下可伸长30cm.现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小

物体，它们的总质量为4kg。待静止后再把物体向下拉10cm,然后释放。问：

①此小物体是停在振动物体上面还是离开它？

0如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅/需满足何条件？二者在何位置开

始分离？

物体的振动方程：x=Acos(cot+(p)

根据题中给定的条件和初始条件得到：k，,k="=200N/m

So0.3

CD-

选取向下为X轴的正方向，f=0：物体的位移为为正，速度为零。

所以初位相°=。

物体的振动方程：x^0.1cos5)2t

22

物体的最大加速度：amax=A(o=5m/s

小物体的运动方程：mg-N=ma,物体对小物体的支撑力：N=mg-ma

小物体脱离物体的条件：N=0

即a=g=9.8m/I,而/皿=5m/s2<9.8m/s2

右)此小物体停在振动物体上面;

⑵如小物体与振动物体分离，小物体运动的加速度：a=g=9.8m/s2

有：Aa>2=g,4=鸟

----co

A=0.196m,两个物体在振动最高点分离。

5.两个同振动方向，同频率的谐振动,它们的方程为x,=5cos乃力(c4和x2=5cos(nt+ji/2)(cm),

如有另一个同振向同频率的谐振动|，使得处，必和加三个谐振动的合振动为零。求

第三个谐振动的振动方程。

已知X/=5COSE,x2=5COS(-)

f

x=x,+x2=Acos(cot+(p)

A=)A；+A；+2AJA2COS((p2一仍),A=5^2cm

A,sin(p,+A.sincp,乃

(p=arctg—i------L-/------J,(p=—

A,cosq)[+A2COS(p24

1

X=x=x'+x3=0,x3=-x

5J2cos(m+芳)

X3

6.已知两同振向同频率的简谐振动：

Xj=0.05cos(10),x2=0.06cos(10t-\-^7r)(SI)

(7)求合成振动的振幅和初相位；

(2)另有一个同振动方向的谐振动与=0.07cos(10/+%"S/),问夕,为何值时X1+与的振

幅为最大，仍为何值时工2十%的振幅为最小;

⑶用旋转矢量图示(7人⑵的结果。

(1)为和必合振动的振幅：

4=)+A，2+2,A.JA,2COS((p2-(pJ)

A=0.09m

振动的初相位9=arctgAR〃…血外

Afcos(p{+A2COS(p2

(P—68°

(2)振动1和振动3叠加，当满足

3

A(p=/一。/=2kji,即(p3=2k兀+；兀时合振动的振幅最大。

A—jA；++24A,cos(cp3-(p])=A1+A,^

A=0.12m

振动2和振动3的叠加，当满足：A(p=(p^(p2=(2k-^l)7v

即仍=(2k+1)TC+-7T振幅最小°

A=)++2A^A2COS((P2—(p3)=4-A?

A=0.01m

A~4-4

x=x2+x3

计算题⑹计算题(6)

单元二简谐波波动方程

一、选择题

TT

1.频率为100Hz,传播速度为3。诙/s的平面简谐波,波线上两点振动的相位差为;，则此两

点相距：

(A)2m;(B)2.19m;(C)0.5m;(D)28.6m

2.一平面余弦波在r=。时刻的波形曲线如图所示，则。点的振动初位相夕为：[D]

[B]

兀71

+

(A)y=Acos[2m(t+t0)~^](B)y=Acos[2m(t-t0)+—]

(C)y=Acos[2m>(t-t0)~~1(D)y=Acos[2/n>(t-t0)+JI]

4.某平面简谐波在时的波形曲线和原点(x=〃处)的振动曲线如图⑷㈤所示，则该简谐波

的波动方程6。为：

选择题(4)

[C]

JI兀3

(A)y=2cos(7rt+-x+一);(B)y=2cos(加----x+―兀)

2222

71TC7171

(C)y=2cos(Tut--x(D)y=2cos(nt-x--)

5.在简谐波传播过程中，沿传播方向相距为生，(4为波长)的两点的振动速度必定：[A]

2

(A)大小相同，而方向相反；(B)大小和方向均相同；

(C)大小不同，方向相同；(D)大小不同,而方向相反。

6.横波以波速u沿x轴负方向传播，2时刻的波形曲线如图，则该时刻：【〃】

力点的振动速度大于零；㈤6点静止不动；

(C)C点向下运动；(D)〃点振动速度小于零

7.当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大变形量发生在：[C]

后A

(A)媒质质元离开其平衡位置最大位移处；(B)媒质质元离开其平衡位置(2七)处；

2

A

(C)媒质质元在其平衡位置处；益媒质质元离开其平衡位置勺处C4是振动振幅)。

2

8.一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从最大位移处回到平衡位置过程中：[C]

(A)它的势能转换成动能；

如它的动能转换成势能；

⑨它从相邻的一段媒质质元获得能量，其能量逐渐增加；

3它把自己的能量传给相邻的一段媒质质元，其能量逐渐减小。

9.一平面简谐波在弹性媒质中传播时，在传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能

量是：【夕】

(A)动能为零，势能最大；(B)动能为零，势能为零；

(C)动能最大，势能最大；(D)动能最大，势能为零。

二、填空题

1.一平面简谐波的波动方程为y=0.25cos(125t-0.37x)(SI),其圆频率0=125rad/s,

^u=337.80m/s,波长4=16.97〃？。

2.一平面筒谐波沿才轴正方向传播，波速u=100m/s,t=0时刻的波形曲线如图所示,波长

A=0.8m,振幅4=。.2用，频率i/=/25Hz。

U

LL—TL一

P,OP2X

填空题（3）

3.如图所示，一平面简谐波沿如轴正方向传播，,若Q点处质点的振

动方程为=Acos(27ivt+(p),贝I」振动方程为

乃=Acos(2m4-24与里力+夕/；与尸,点处质点振动状态相同的那些点的位置是x=H-

A>-------------------------

k=±7,±2,±3,…。

4.•简谐波沿如轴负方向传播，x轴上Q点处振动方程

TT

Pp)=0.04cos(m--)(SI),乃轴2点坐标减去Q点坐标等于

二，(4为波长)，则2点振动方程：

4

yP=0.04cos(加+万)。

已知。点的振动曲线如图Q）,试在图如上画出x=，2处质点"的振动曲线。

5.

4

6.余弦波y=Acos07--）在介质中传播，介质密度为,波的传播过程也是能量

C

传播过程，不同位相的波阵面所携带的能量也不同，若□在某一时刻去观察位相为勺7T处的波阵面，

2

三、计算题

Y

1.如图所示，一平面筒谐波沿如轴传播，波动方程为y=Acos/2加可-勿，求

A

。）夕处质点的振动方程；

⑨该质点的速度表达式与加速度表达式。

u

P处质点的振动方程：y-Acos[2TI（vt+—）+（/）]

A

一I-

（x=-L,尸处质点的振动位相超前）

P0x

〃处质点的速度：v=y=-2A^sin[27i（vt+—）+（p]

A

------------------------------计算题(“

P处质点的加速度：a=y=-4ATT2V2COS[2TI(vt+—)+(p]

A

2.某质点作简谐振动，周期为2s,振幅为0.06m,开始计时（t=0）,质点恰好处在负向最

大位移处，求

该质点的振动方程；

⑵此振动以速度"二2%沿x轴正方向传播时，形成的一维筒谐波的波动方程；

⑶该波的波长。

质点作简谐振动的标准方程：y=Acos（2兀*+如，由初始条件得到：y=0.06cosm+乃）

X

一维筒谐波的波动方程：y^0.06cos[7i（t-）+7r],波长：4=4=4加

3.一平面简谐波在介质中以速度u=20m/s自左向右传播,已知yU

在传播路径上的某点A的振动方程为

y=3cos(4m-K)(SI),另一点〃在力点右方9米处。H

4)若取X轴方向向左，并以4为坐标原点，试写出波动方X/D

程，并求出。点的振动方程；

⑵若取开轴方向向右，以4点左方5米处的。点为x轴原点，YII

重新写出波动方程及〃点的振动方程。

X轴方向向左，传播方向向右。--------j-------------方

力的振动方程：y=3cos(4m-7r)(坐标原点)

、山办十项2//一次1计算题(3)

波动力程：y=3cos[4TT(r+—)-7i]7

4

将x=—9m代入波动方程，得到〃点的振动方程：=3cos(4m--7r)

取X轴方向向右，。点为乃轴原点，。点的振动方程：y0=3cos[47i(t+*)-7i]

x5x

波动方程：y=3cos[4兀(+三)一兀],y=3cos4兀(t-三)

4

将x=/4机代入波动方程，得到〃点的振动方程：yD=3cos(4m—M兀)

可见，对于给定的波动，某一点的振动方程与坐标原点以及X轴正方向的选取无关。

4.一平面简谐波沿。T轴的负方向传播，波长为/I,£=。时

刻，〃处质点的振动规律如图所示。

求尸处质点的振动方程；

⑵求此波的波动方程。若图中d=4,求坐标原点0

2

处质点的振动方程。

〃处质点的振动方程：yP^Acos[27v~:+(p]

根据图中给出的条件：T=4s

JI

由初始条件：t=Ofyp=-A,中=兀，yp=Acos[+7T]

TT2冗(I

原点。的振动方程：yo^Acos[(-t--)+7r](。点振动落后于尸点的振动)

2A

波动方程：y=Ac。咤+2加；勺+%/

如果：d,九,原点0的振动方程：yo^Acos-m

202

单元三波的干涉驻波多普勒效应

一、选择、填空题

I.如图所示，两列波长1|的机干波在户点相遇,S,

点的初位相是0"S到。点的距离是r”W点的初位相是我，&

到月点的距离是力，以k代表零或正、负整数，则一点是干涉极大

的条件为：

[D]

(A)r2-rj=kQ

(B)①2一①i=2k兀;

(C)①2-①卢27r(,2-。)=2k兀;

A>

4

2.如图所示，S”£为两相干波源，其振幅皆为0.5m,频率皆为100Hz,但当S为波峰时，$

点适为波谷，设在媒质中的波速为10ms",则两波抵达〃点的相位差和P点的合振幅为：

(A)2。如，Im;(B)20bi,0.5m;(C)20历，0;(D)20(kf0;(E)20bi,Im

7T

3.两相干波源S和S的振动方程是力=Acos+5J和%=，S,距P点6个波长，S2

距尸点为13.4个波长，两波在月点的相位差的绝对值是15.3冗。

4.在弦线上有一简谐波，其表达式为力=26万3〃0血。+当告/6。为了在此弦线上形

成驻波，并在x=0处为一波腹，此弦线上还应有一简谐波，其表达式为：[D]

2

(A)y2=2.0xl0cos[100t--^)+y](SI)

4

2x

(B)y2=2.0xl0cos[100TV(t--)+-TT](SI)

2

(C)y2=2.0xlOcos[10071((SI)

)x4

(D)y2=2.0x10~cos[100TV(](SI)

XX

y2=Acos27rv(t一一),设反射波无能量损失，那么入射波的方程式力=Acos[”+—J+万],

4A

X7T7T

形成驻波的表达式y=2Acos(2万一+—卜cos(2九7十一)。

丸22

277T

7.在绳上传播的入射波波动方程乃=Acos(m+q),入射波在x=0处绳端反射，反射端为自

由端，设反射波不衰减，则反射波波动方程V2=Acos-二人形成驻波波动方程

2

y=2Acos----cosMo

4

277Y7T

8.弦线上的驻波方程为y=Acos(W+・％os3.，则振动势能总是为零的点的位置是

A2

x=(2k-l)--,振动动能总是为零的位置是》=人生。其中

42

k=0,±i,±2,±3…

9.已知一驻波在t时刻各点振动到最大位移处，其波形如图

⑷所示，•行波在t时刻的波形如图㈤所示，试分别在图

(A),图划上注明所示的a、b、c、d四点此时的运动速度的

方向(设为横波)。

在图4中：va-vh-vc-vd-0

二、计算题

1.两列相干平面简谐波沿X轴传播。波源S与£相距

d=30m,S/为坐标原点。已知Xi=9m和x2=12m处的

两点是相邻的两个因干涉而静止的点。求两波的波长和两

波源的最小位相差。d=30m______________________-

选取/轴正方向向右，S向右传播，W向左传播。.T(

两列波的波动方程：y,^A,cos[(ca-27r)+(pl0]2及|

A

y2=A2cos[(at-2TC)+(p20]计算就

A,

Xj=9m和x2=12tn的两点为干涉相消。

d-xx

满足：(P2-(Pi=[(M------2TT)+(p20]-[(M——2兀)+(p[0]=(2k+l)7T

4A

((p20-(Pi0)+2^(^--^——)=(2k+l)7c

A/I

(①20-)+2兀(与一=[2(k+1)+1]兀

AA

两式相减：4兀(皂~—)=2^-,2=6机。由I%。-0/0)+2%(土一'一~)=(2k+l)7t

A-------AA,

得到(°2o一夕/o)=(2%+】用■一4%，k=0,1,2,3…，两波源的最小位相差：(p20~(pl0=71

2.0—列波长为4的平面筒谐波沿才轴正方向传播。已知在x=/l/2处振动方程尸4cos〃，试

写出该平面简谐波的波动方程；

(2)如果在上述波的波线上x=>4/2)处放一和波线相垂直的波密介质反射面，如图，假

777Y4兀I

设反射波的振幅为A',试证明反射波的方程为y'=A'cos(a)t+----------)

22

已知x=A/2处振动方程：y=Acosa)t

原点处。点的振动方程：U

2%A

y0=ACOS(cot+------),>0=4cos(M+7T)

A,2

277Y0X

平面简谐波的波动方程：y=Acos(cot---+^)L

71

计算题(2)

反射面处入射波的振动方程:y=Acos((Dt--+^)

A

2jrJ

反射面处反射波的振动方程:y'=A'cos-一卜)(波疏到波密介质，反射波发生万相变)

A

反射波在原点。的振动方程:y'=A'cos(M-2——)(反射波沿才轴负方向传播，。点的

o2

振动位相滞后)

反射波的方程：y'o=A'cos(m+亨—等J

y,-0.06cos7i(x-4t)

3.两列波在一根很长的细绳上传播，它们的方程为：…,,、

y2=0.06cosx+4t)

证明细绳上作驻波振动，并求波节和波腹的位置；

仞波腹处的振幅有多大？在x=1.%7处振幅有多大？

yt-0.06cos(7ix-4t7i),y,-0.06cos(4加一公)向右传播的行波。

y2=0.06cos(TJX+4t7i),y2=0.06cos(4t兀+7ix)向左传播的行波。

两列波的频率相等、且沿相反方向传播，因此细绳作驻波振动：y=2Acosmcos4m

A今=2A|cos利

兀1

波节满足：7ix=(2k+1)—x=k+—,%=0,±7,±2,±3…

292

波幅满足：7rx=k7i,x=k,女=0,±/,±2,±3…

波幅处的振幅：A合二2业os利，将x=Z和A=0.06加代入得到：A=0.12m

在x=1.2〃z处，振幅：A=2A|C(75^X|,A=0.12\cos,A=0.097m

tx

4.设入射波的表达式为y,=Acos2亚上+土)，在x=0发生反射，反射点为一固定端，求：

TX

反射波的表达式；(2)驻波的表达式；⑶波腹、波节的位置。

tX

入射波：y,^Acos27r(-+^),反射点x=。为固定点，说明反射波存在半波损失。

T2

tX

反射波的波动方程：乃=-----)+^7

TA

根据波的叠加原理，驻波方程：)，=24。。5(2万：+经二")。。$(2万,+0)

42T

X7T

将％=0和°2="代入得到：驻波方程：y=2Asin27r—cos(2^vr+—)

A2

驻波的振幅：A合=2As比2万目

波幅的位置:27r-=(2k+l)-,x=(2k+l)~,k=0,1,2,3-

224

Yk

波节的位置：27tt=k兀，x=±/l,k=0,l,2,3…(因为波只在的空间，4取正整数)

22

5.一驻波的表达式y=2Acos2;r—cos。/,求：

(1)x=一处质点的振动表达式；⑵该质点的振动速度。

2

驻波方程：y=2Acos27i—coscot,在工=一处的质点，振幅：2ACOS2TT—=2A

222

振动表达式：y=2Acos(a)t+7r)

该质点的振动速度：v=y=-2Acosin(a)t+7i),v=2Acosincot

6.一固定波源在海水中发射频率为"的超声波，射在一艘运动的潜艇上反射回来，反射波与入射波

u

的频率差为潜艇的运动速度『远小于海水中的声速〃，试证明潜艇运动的速度为：V=—Av

2v

根据多普勒效应，舰艇收到的信号频率：(波源静止，观察者背离波源运动)

U

潜艇反射回来的信号频率："'=('一)/(观察者静止，波源背离观察者运动)

4+V

,,=u,,,

v(---)(1--)v,V=(---)(v-v),当V<<〃，v+v=2vfAv=v-v',

w+Vu»+/'

V=—Av

2v

7.一个观测者在铁路边，看到一列火车从远处开来，他测得远处传来的火车汽笛声的频率为650

Hz,当列车从身旁驶过而远离他时，他测得汽笛声频率降低为540Hz,求火车行驶的速度。已知

空气中的声速为330m/s.

根据多普勒效应，列车接近观察者时，测得汽笛的频率：）/'=（」一）％（观察者静止，波源朝

u-vs

着观察者运动）

列车离开观察者时，测得汽笛的频率：/'=（'一）v0（观察者静止，波源背离观察者运动）

U^rVs

]/'//4-V|/一

由上面两式得到：—=——5列车行驶的速度：匕=------u,vs=30.5m/s

v"u-vsv'+v"--------------

单元四（一）振动和波习题课

一、填空、选择题