（初中教案）九年级春季班第3讲：圆与正多边形-教师版

（初中教案）九年级春季班第3讲：圆与正多边形-教师版（初中教案）九年级春季班第3讲：圆与正多边形-教师版/（初中教案）九年级春季班第3讲：圆与正多边形-教师版圆与正多边形圆与正多边形知识结构知识结构模块模块一：圆的基本性质知识知识精讲一、圆的确定1、圆的概念圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．圆心：以上概念中的"定点”;以点O为圆心的圆称为"圆O”,记作．半径：联结圆心和圆上任意一点的线段;以上概念中的"定长”是圆的半径长．点与圆的位置关系设一个圆的半径长为R,点P到圆心的距离为d,则有以下结论：当点P在圆外时,d>R;当点P在圆上时,d=R;当点P在圆内时,．反之亦然．3、相关定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做这个三角形的外心;这个三角形叫做这个圆的内接三角形．如果一个圆经过一个多边形的各顶点,那么这个圆叫做这个多边形的外接圆,这个多边形叫做这个圆的内接多边形．二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1、圆心角、弧、弦、弦心距的概念圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角;弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧;弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦,过圆心的弦就是直径;弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距．2、半圆、优弧、劣弧半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆．ABCOABCO劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．如图,以A、C为端点的劣弧记作,读作"弧AC”;以A、C为端点的优弧记作,读作"弧ABC”．3、等弧和等圆能够重合的两条弧称为等弧,或者说这两条弧相等．若与是等弧,记作．半径相等的两个圆一定能够重合,我们把半径相等的两个圆称为等圆．4、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等．5、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条劣弧(或优弧)、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等,那么它们所对应的其余三组量也分别相等．垂径定理1、垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的弧．2、相关结论(1)如果圆的直径平分弦(这条弦不是直径),那么这条直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的弧．(2)如果圆的直径平分弧,那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦．(3)如果一条直线是弦的垂直平分线,那么这条直线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧．(4)如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧,那么这条直线经过圆心,并且垂直于这条弦．(5)如果一条直线垂直于弦,并且平分弦所对的一条弧,那么这条直线经过圆心,并且平分这条弦．总结：在圆中,对于某一条直线"经过圆心”、"垂直于弦”、"平分弦”、"平分弦所对的弧”这四组关系中,如果有两组关系成立,那么其余两组关系也成立．例题解析例题解析(2014学年·闵行区二模·第6题)下列命题中假命题是()A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦【难度】★【答案】A【解析】平分弦(非直径)的半径垂直于弦,所以A为假命题．【总结】本题主要考查对垂径定理的相关知识的理解,同时还要对假命题这一概念熟悉．(2014学年·黄浦区二模·第15题)已知AB是的弦,如果的半径长为5,AB长为4,那么圆心O到弦AB的距离是______．【难度】★【答案】．【解析】如图所示：过点O作于点D,,在Rt中,．【总结】本题考查的是垂径定理及勾股定理的运用,根据题意画出图形,利用数形结合进行求解．(2015学年·金山区二模·第15题)如图,OA是的半径,BC是的弦,ABCDOOABC,垂足为D,如果OD=3,DA=2,那么ABCDO【难度】★★【答案】8．【解析】如图,连接OB,,OA过点O,,,,,,在中,由勾股定理,得：,．【总结】本题考查了垂径定理和勾股定理得应用,能根据垂径定理得出是解此题的关键．(2015学年·闵行区二模·第17题)点P为内一点,过点P的最长的弦长为10cm,最短的弦长为8cm,那么OP的长等于______cm．【难度】★★【答案】3【解析】如图所示,于点．根据题意,得：,．,．根据勾股定理,得：．【总结】此题综合运用了垂径定理和勾股定理,正确理解圆中过一点最长的弦和最短的弦．ABODC(2014学年·宝山区、嘉定区二模·第16题)如图,在平行四边形ADBO中,圆O经过点A、D、B,如果圆O的半径OA=4,那么ABODC【难度】★★【答案】．【解析】四边形是平行四边形,,是菱形,,互相垂直平分,,,．【总结】本题考查了菱形的判定和性质定理,以及勾股定理的运用,需熟记同圆的半径相等．(2015学年·浦东新区二模·第21题)如图,AB是的弦,C是AB上一点,,OA=4,OC=3,求弦AB的长．【难度】★★【答案】．【解析】如图所示,过点作交于点,,,,,,又,,,,．【总结】本题考查了锐角三角比及垂径定理的综合运用．ABCDOPE(2015学年·奉贤区二模·第22题)如图,已知AB是的直径,AB=16,点P是AB所在直线上一点,OP=10,点C是上一点,PC交于点D,,求CDABCDOPE【难度】★★【答案】．【解析】如图,过作于,．是的直径,,．,,,,．【总结】本题考查了锐角三角比、勾股定理和垂径定理的综合运用．ABCOE(2014学年·虹口区二模·第21题)如图,等腰内接于半径为5ABCOEAB=AC,．求BC的长．【难度】★★【答案】6．【解析】连接,交于点,连接,,,又是半径,,,在中,,．

设,,则,在,,,解得：(舍去),,,．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系,解此题的关键是构造直角三角形．

模块模块二：直线与圆、圆与圆的位置关系知识知识精讲直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：相离、相切、相交当直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离;当直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切;这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点;当直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交;这时直线叫做圆的割线．2、数量关系描述直线与圆的位置关系如果的半径长为R,圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与相交;直线l与相切;直线l与相离．3、切线的判定定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系图图5图4图3图2图1外离：图1中,两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部,叫做这两个圆外离．外切：图2中,两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部,叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．相交：图3中,两个圆有两个公共点,叫做这两个圆相交．内切：图4中,两个圆有唯一公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部,叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．内含：图5中,两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部,叫做这两个圆内含．当两个圆心重合时,称它们为同心圆．综上,一般地,两圆的位置关系有五种情况：外离、外切、相交、内切、内含．两个圆外离或内含时,也可以叫做两圆相离;两个圆外切或者内切时,也可以叫做两圆相切．2、相关概念圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距．连心线：经过两个圆圆心的直线叫做连心线．3、两圆位置关系的数量表达如果两圆的半径长分别为和,圆心距为d,那么两圆的位置关系可用、和d之间的数量关系表达,具体表达如下：两圆外离;两圆外切;两圆相交;两圆内切;两圆内含．4、相关定理(1)如果两圆相交,那么它们的两个交点关于连心线对称,于是,可推出以下定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．(2)如果两圆相切,可归纳出以下定理：相切两圆的连心线经过切点．例题解析例题解析(2014学年·徐汇区二模·第6题)下列命题中,假命题是()A．没有公共点的两圆叫两圆相离B．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线所在直线对称C．联结相切两圆圆心的直线必经过切点D．内含的两个圆的圆心距大于零【难度】★【答案】D【解析】没有公共点的两圆叫两圆相离,故A为真命题;相交两圆的交点关于这两个圆的连心线所在的直线对称,故B为真命题;联结相切两圆圆心的直线必经过切点,故C为真命题;内含的两个圆的圆心距大于零错误,同心圆的圆心距等于零,故D为假命题．【总结】本题主要考查了对真假命题的判断,并要求熟悉课本中与圆相关的性质定理．(2015学年·黄浦区二模·第5题)如果两圆的半径长分别为1和3,圆心距为3,那么这两个圆的位置关系是()A．内含 B．内切 C．外切 D．相交【难度】★【答案】D【解析】两圆的半径长分别为1和3,两圆的半径和为4,差为2,圆心距为3,这两个圆的位置关系是相交．故选D．【总结】本题考查了圆与圆的位置关系,掌握两圆位置关系与圆心距、两圆半径的数量关系是解此题的关键．(2014学年·黄浦区二模·第5题)如果两圆的半径长分别为6与2,圆心距为4,那么这两个圆的位置关系是()A．内含 B．内切 C．外切 D．相交【难度】★【答案】B【解析】两圆半径之差圆心距,两个圆的位置关系是内切．【总结】本题考查了两圆内切时,圆心距等于两圆半径的差．(2015学年·静安区二模·第17题)已知、的半径分别为3、2,且上的点都在的外部,那么圆心距d的取值范围是．【难度】★【答案】或．【解析】上的点都在的外部,它们的位置关系是外离或内含,它们的圆心距的取值范围是或．【总结】本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系的方法．(2015学年·闸北区二模·第6题)若与相交于两点,且圆心距cm,则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径?()A．1cm、2cm B．2cm、3cmC．10cm、15cm D．2cm、5cm【难度】★★【答案】D【解析】,,两圆外离,故A错误;,,两圆外切,故B错误;,,两圆内切,故C错误;,,两圆相交,故D正确．【总结】本题考查了圆和圆的位置关系与两圆的圆心距和半径之间的数量关系．(2015学年·松江区二模·第6题)已知的半径,的半径为,圆心距,如果与有交点,那么的取值范围是()A． B． C． D．【难度】★★【答案】D【解析】的半径,的半径为,则圆心距,若与内切,则或,与有交点,的取值范围是：,故选D．【总结】本题考查了圆和圆的位置关系与两圆的圆心距和半径之间的数量关系．(2014学年·宝山区、嘉定区二模·第6题)中,已知,AC=BC=4,以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C,这三个圆的半径长都等于2,那么下列结论正确的是()A．圆A与圆B外离 B．圆B与圆C外离C．圆A与圆C外离 D．圆A与圆B相交【难度】★★【答案】A【解析】,,,三个圆的半径长都等于,与外切,与外切,与外离,故选A．【总结】本题考查了圆与圆的位置关系,解题的关键是根据三角形的两边长求得第三边的长．AB(2014学年·虹口区二模·第16题)如图,、的半径分别为1cm、2cm,圆心距AB为5cm．将由图示位置沿直线AB向右平移,当该圆与内切时,平移的距离是______cm．AB【难度】★★【答案】或．【解析】当内切时,圆心距为,当点在点的左侧时,移动的距离为;当点在点的右侧时,移动的距离为;所以向右移动或时两圆内切．【总结】本题考查了圆与圆的位置关系,注意分两种情况讨论．(2015学年·宝山区、嘉定区二模·第15题)以点A、B、C为圆心的圆分别记作、、,其中的半径长为1、的半径长为2、的半径长为3,如果这三个圆两两外切,那么cosB的值是______．【难度】★★【答案】．【解析】如图所示：的半径长为1,的半径长为2,的半径长为3,且这三个圆两两外切,,,,,是直角三角形,,．【总结】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理的逆定理及锐角三角比等知识点．(2015学年·杨浦区二模·第17题)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点O为边AD的中点,如果以点O为圆心,r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切,那么r的值是______．【难度】★★【答案】．【解析】如图所示,当以点为圆心,为半径的的圆与对角线所在的直线相切时,则,且．,,,．,,,,解得：．【总结】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质．(2014学年·金山区二模·第6题)在中,,AC=BC,若以点C为圆心,以2cm长为半径的圆与斜边AB相切,那么BC的长等于()A．2cm B．cm C．cm D．4cm【难度】★★【答案】B【解析】如图所示,在,,,,是等腰直角三角形．以点为圆心,以长为半径的圆与斜边相切,．,,．故选．【总结】本题考查的是直线与圆的位置关系,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键．ABCOD(2014学年·杨浦区二模·第15题)如图,中,,BC=4cm,AC=3cm,是以BC为直径的圆,如果与相内切,那么的半径长为______cm．ABCOD【难度】★★【答案】．【解析】连接并延长交于,如图所示．与相内切,为切点,,,根据勾股定理得：,,即的半径长为cm．【总结】本题考查了相切两圆的性质及勾股定理的运用．(2015学年·徐汇区二模·第22题)如图1,三个直径为a的等圆、、两两外切,切点分别是A、B、C．(1)那么OA的长是______(用含a的代数式表示);(2)探索：现有若干个直径为a的圆圈分别按如图2所示的方案一和如图3所示的方案二的方式排放,那么这两种方案中n层圆圈的高度______,______(用含n、a的代数式表示);图1ABCOQP(3)应用：现有一种长方体集装箱,箱内长为6米,宽为2．5米,高为2．5米．用这种集装箱装运长为6图1ABCOQP(参考数据：,)【难度】★★★……图2图31层2层3层n层1层2层3层n层h’1h’2h’3h’n……………图1ABCOQP【答案】(1);(2),;(图1ABCOQP【解析】(1)如右图所示,连接,三个直径为的等圆、、两两外切,,是等边三角形,,,,;(2)如图2所示：高度;如图3所示：高度;方案二在这种集装箱中装运的铜管数多．方案一：,解得：,．方案二：根据题意第一层放25根,第二层放24根,设钢管的放置层数为,可得,解得：,为整数,．所以钢管放置的最多根数为：(根)．方案二在这种集装箱中装运铜管数多．【总结】此题属于圆的综合题,考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识点．模块模块三：正多边形与圆知识知识精讲正多边形各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形．有n条边的正多边形(n是正整数,且)就称作正n边形．正n边形的对称性正n边形是轴对称图形,对称轴的条数=n．当n为偶数时,正n边形是中心对称图形,对称中心是它的两条对称轴的交点．正多边形的外接圆和内切圆任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点．正多边形外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距．正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．例题解析例题解析(2015学年·浦东新区二模·第14题)正八边形的中心角等于______度．【难度】★【答案】．【解析】正八边形的中心角度为：．【总结】本题考查了正多边形和圆的相关知识点,注意中心角的计算公式．(2015学年·黄浦区二模·第15题)中心角为60°的正多边形有______条对称轴．【难度】★【答案】6【解析】正多边形的边数是,则正多边形有6天对称轴．【总结】本题考查了正多边形的计算以及正多边形的性质,理解正边形有条对称轴是解此题的关键．(2014学年·虹口区二模·第5题)下列正多边形中,中心角等于内角的是()A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形【难度】★★【答案】B【解析】设正四边形的边数是,根据题意得：,解得：,故选B．【总结】本题考查了正多边形的中心角和内角和的知识点．(2015学年·金山区二模·第17题)已知AB、AC分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边,那么的度数是______度．【难度】★★【答案】或【解析】如图1中,．如图2中,．【总结】本题考查了正多边形与圆的有关知识,解题的关键是能够正确的画出图形,注意两种情况的讨论．(2015学年·崇明县二模·第5题)如图,正六边形ABCDEF内接于圆O,半径为4,那么这个正六边形的边心距OM和弧BC的长分别为()A．2、 B．, C．, D．,FEAFEADBCMO【答案】D【解析】连接,,,,弧的长度为：,故选．【总结】本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算问题,将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合,构思巧妙．(2015学年·普陀区二模·第6题)如果圆形纸片的直径是8cm,用它完全覆盖正六边形,那么正六边形的边长最大不能超过()A．2cm B．cm C．4cm D．cm【难度】★★【答案】C【解析】如图所示,已知圆内接半径是,则．,则,故选．【总结】此题考查了关于正多边形的有关计算问题．随堂检测随堂检测(2014学年·奉贤区二模·第6题)已知与外离,的半径是5,圆心距,那么的半径可以是()A．4 B．3 C．2 D．1【难度】★【答案】D【解析】与外离,圆心距,与的半径之和小于,的半径是5,的半径小于2,的半径可以是1．故选．【总结】此题考查了圆与圆的位置关系．掌握两圆位置关系与圆心距、两圆半径的数量关系是解此题的关键．(2014学年·奉贤区二模·第14题)如果正n边形的中心角是40°,那么n=______．【难度】★【答案】9【解析】．【总结】本题考查了正多边形的计算,理解中心角的度数和正多边形的边数之间的关系是解本题的关键．(2014学年·长宁区、金山区二模·第14题)已知和的半径分别是5和3,若,则两圆的位置关系是____________．【难度】★【答案】内切【解析】和的半径分别是5和3,半径差为2,,两圆的位置关系是：内切．【总结】此题考查了圆与圆的位置关系．掌握两圆位置关系与圆心距、两圆半径的数量关系是解此题的关键．(2015学年·杨浦区二模·第6题)圆O是正n边形的外接圆,半径为18,若长为,那么边数n为()A．5 B．10 C．36 D．72【难度】★ 【答案】C【解析】设正多边形的中心角的度数是,根据题意得：,解得：,则,故选．【总结】本题考查了正多边形的计算以及扇形的弧长公式．(2015学年·闵行区二模·第6题)下列四个命题,其中真命题有()(1)有理数乘以无理数一定是无理数;(2)顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形;(3)在同圆中,相等的弦所对的弧也相等;(4)如果正九边形的半径为a,那么边心距为．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【难度】★★【答案】A【解析】有理数乘以无理数也可以是有理数,如0乘任何数都为零,故(1)为假命题;因为等腰梯形的对角线相等,所以顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形,故(2)为真命题;在同圆中,相等的弦所对的弧不一定相等,因为有优弧和劣弧,故(3)为假命题;如果正九边形的半径为a,那么边心距为,所以(4)为假命题;综上所述,只用一个真命题,故选A．【总结】本题主要考查对真假命题概念的掌握,同时需熟知有理数、特殊的平行四边形、圆及正多边形的相关性质．(2015学年·浦东新区二模·第16题)已知：、的半径长分别为2和R,如果与相切,且两圆的圆心距d=3,则R的值为______．【难度】★【答案】1或5．【解析】与相切,且两圆的圆心距d=3,或,故R为1或5．【总结】此题考查了圆与圆的位置关系．掌握两圆位置关系与圆心距、两圆半径的数量关系是解此题的关键．ABCDEO(2014学年·崇明县二模·第16题)如图,已知在中,弦CD垂直于直径AB,垂足为点E,如果,OE=2,那么ABCDEO【难度】★★【答案】．【解析】连接,,,设半径为,,,,,．【总结】本题主要考查了垂径定理,特殊角的锐角三角比的综合运用．(2014学年·闵行区二模·第14题)在中,,AC=3,BC=4．如果以点C为圆心,r为半径的圆与直线AB相切,那么r=______．【难度】★★【答案】．【解析】,,,．设圆心到的距离为,则,．根据与相切,则圆心到的距离就是半径的长,．【总结】本题考查的是直线与圆的位置关系,解决此类问题可通过比较圆心到直线的距离与圆半径大小关系来完成．课后作业课后作业(2015学年·虹口区二模·第15题)若两圆的半径分别为1cm和5cm,圆心距为4cm,则这两圆的位置关系是__________．【难度】★【答案】内切．【解析】,即两圆的圆心距等于两圆的半径之差,两圆内切．【总结】此题考查了圆与圆的位置关系．掌握两圆位置关系与圆心距、两圆半径的数量关系是解此题的关键．(2015学年·金山区二模·第6题)下列命题中,真命题是()A．两个无理数相加的和一定是无理数B．三角形的三条中线一定交于一点C．菱形的对角线一定相等D．同圆中相等的弦所对的弧一定相等【难度】★【答案】B【解析】互为相反数的两个无理数的和为0,而0是有理数,所以A是假命题;三角形的三条中线一定交于一点,这一点叫做三角形的重心,所以B是真命题;菱形的对角线互相垂直,矩形的对角线相等,所以C是假命题;同圆中,相等的弦所对的弧不一定相等,因为有优弧和劣弧,所以D是假命题;故答案选B．【总结】本题主要考查对真假命题概念的掌握,同时需熟知有理数、三角形、特殊的平行四边形及圆的相关性质．(2014学年·奉贤区二模·第5题)相交两圆的圆心距是5,