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伊春市重点中学2024-2025学年高三(54级)下学期第一周周测数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数满足(是虚数单位),则=()A. B. C. D.2.已知等差数列中,则()A.10 B.16 C.20 D.243.由曲线围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.4.某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则()A.B.C.D.5.已知函数(,)的一个零点是,函数图象的一条对称轴是直线,则当取得最小值时,函数的单调递增区间是()A.() B.()C.() D.()6.用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n4A.k2+1C.k2+17.设不等式组表示的平面区域为,若从圆:的内部随机选取一点,则取自的概率为()A. B. C. D.8.函数的定义域为,集合,则()A. B. C. D.9.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,,已知函数(),则函数的值域为()A. B. C. D.10.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为()A. B.C. D.11.已知点是抛物线:的焦点,点为抛物线的对称轴与其准线的交点,过作抛物线的切线,切点为,若点恰好在以,为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.12.已知集合,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是____________.14.根据记载,最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”,其中“股”,为“弦”上一点(不含端点),且满足勾股定理,则______.15.某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况,随机抽取了这两个景点20天的游客人数,得到如下茎叶图:由此可估计,全年(按360天计算)中,游客人数在内时,甲景点比乙景点多______天.16.若的展开式中所有项的系数之和为,则______,含项的系数是______(用数字作答).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在最新公布的湖南新高考方案中,“”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外,在历史和物理2门科目中必选且只选1门,再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门,后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地,高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人,现从中随机抽取40人进行选科情况调查,用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科,得到如下的统计表:序号选科情况序号选科情况序号选科情况序号选科情况11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245(1)双超中学规定:每个选修班最多编排50人且尽量满额编班,每位老师执教2个选修班(当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时,允许这门科目的1位老师只教1个班).已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人,用样本估计总体,则化学、生物两科的教师人数是否需要调整?如果需要调整,各需增加或减少多少人?(2)请创建列联表,运用独立性检验的知识进行分析,探究是否有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(3)某高校在其热门人文专业的招生简章中明确要求,仅允许选修了历史科目,且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人,设具备高校专业报名资格的人数为,用样本的频率估计概率,求的分布列与期望.18.(12分)已知抛物线与直线.(1)求抛物线C上的点到直线l距离的最小值;(2)设点是直线l上的动点,是定点,过点P作抛物线C的两条切线,切点为A,B,求证A,Q,B共线;并在时求点P坐标.19.(12分)设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn,且,其中p为常数.(1)求p的值;(2)求证:数列{an}为等比数列;(3)证明:“数列an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y均为整数”的充要条件是“x=1,且y=2”.20.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)已知数列是公比为正数的等比数列,其前项和为,满足,且成等差数列.(1)求的通项公式;(2)若数列满足,求的值.22.(10分)已知函数(1)求f(x)的单调递增区间;(2)△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若且A为锐角,a=3,sinC=2sinB,求△ABC的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解:由,得,.故选.本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.2.C【解析】
根据等差数列性质得到,再计算得到答案.【详解】已知等差数列中,故答案选C本题考查了等差数列的性质,是数列的常考题型.3.A【解析】
先计算出两个图像的交点分别为,再利用定积分算两个图形围成的面积.【详解】封闭图形的面积为.选A.本题考察定积分的应用,属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.4.D【解析】
如图所示:在边长为的正方体中,四棱锥满足条件,故,得到答案.【详解】如图所示:在边长为的正方体中,四棱锥满足条件.故,,.故,故,.故选:.本题考查了三视图,元素和集合的关系,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.5.B【解析】
根据函数的一个零点是,得出,再根据是对称轴,得出,求出的最小值与对应的,写出即可求出其单调增区间.【详解】依题意得,,即,解得或(其中,).①又,即(其中).②由①②得或,即或(其中,,),因此的最小值为.因为,所以().又,所以,所以,令(),则().因此,当取得最小值时,的单调递增区间是().故选:B此题考查三角函数的对称轴和对称点,在对称轴处取得最值,对称点处函数值为零,属于较易题目.6.C【解析】
首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=n4【详解】当n=k时,等式左端=1+1+…+k1,当n=k+1时,等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+(k+1)1,增加了项(k1+1)+(k1+1)+(k1+3)+…+(k+1)1.故选:C.本题主要考查数学归纳法,属于中档题./7.B【解析】
画出不等式组表示的可行域,求得阴影部分扇形对应的圆心角,根据几何概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】作出中在圆内部的区域,如图所示,因为直线,的倾斜角分别为,,所以由图可得取自的概率为.故选:B本小题主要考查几何概型的计算,考查线性可行域的画法,属于基础题.8.A【解析】
根据函数定义域得集合,解对数不等式得到集合,然后直接利用交集运算求解.【详解】解:由函数得,解得,即;又,解得,即,则.故选:A.本题考查了交集及其运算,考查了函数定义域的求法,是基础题.9.B【解析】
利用换元法化简解析式为二次函数的形式,根据二次函数的性质求得的取值范围,由此求得的值域.【详解】因为(),所以,令(),则(),函数的对称轴方程为,所以,,所以,所以的值域为.故选:B本小题考查函数的定义域与值域等基础知识,考查学生分析问题,解决问题的能力,运算求解能力,转化与化归思想,换元思想,分类讨论和应用意识.10.A【解析】
由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,结合直观图判断外接球球心的位置,求出半径,代入求得表面积公式计算.【详解】由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,高为2,底面为等腰直角三角形,斜边长为,如图:的外接圆的圆心为斜边的中点,,且平面,,的中点为外接球的球心,半径,外接球表面积.故选:A本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积,根据三视图判断几何体的结构特征,利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键.11.D【解析】
根据抛物线的性质,设出直线方程,代入抛物线方程,求得k的值,设出双曲线方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用双曲线的离心率公式求得e.【详解】直线F2A的直线方程为:y=kx,F1(0,),F2(0,),代入抛物线C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),设双曲线方程为:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴离心率e1,故选:D.本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质,考查转化思想,考查计算能力,属于中档题.12.D【解析】
先求出集合B,再与集合A求交集即可.【详解】由已知,,故,所以.故选:D.本题考查集合的交集运算,考查学生的基本运算能力,是一道容易题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.②③【解析】
根据局部频率和整体频率的关系,依次判断每个选项得到答案.【详解】不能确定甲乙两校的男女比例,故①不正确;因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率,故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率,故②正确;因为不能确定甲乙两校的男女比例,故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系,故③正确.故答案为:②③.本题考查局部频率和整体频率的关系,意在考查学生的理解能力和应用能力.14.【解析】
先由等面积法求得,利用向量几何意义求解即可.【详解】由等面积法可得,依题意可得,,所以.故答案为:本题考查向量的数量积,重点考查向量数量积的几何意义,属于基础题.15.72【解析】
根据给定的茎叶图,得到游客人数在内时,甲景点共有7天,乙景点共有3天,进而求得全年中,甲景点比乙景点多的天数,得到答案.【详解】由题意,根据给定的茎叶图可得,在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中,游客人数在内时,甲景点共有7天,乙景点共有3天,所以在全年)中,游客人数在内时,甲景点比乙景点多天.故答案为:.本题主要考查了茎叶图的应用,其中解答中熟记茎叶图的基本知识,合理推算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.16.【解析】的展开式中所有项的系数之和为,,,项的系数是,故答案为(1),(2).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)不需调整(2)列联表见解析;有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关(3)详见解析【解析】
(1)可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120,2,推理得对应开设选修班的数目分别为15,1.推理知生物科目需要减少4名教师,化学科目不需要调整.(2)根据列联表计算观测值,根据临界值表可得结论.(3)经统计,样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12,频率为.用频率估计概率,则,根据二项分布概率公式可得分布列和数学期望.【详解】(1)经统计可知,样本40人中,选修化学、生物的人数分别为24,11,则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120,2.根据每个选修班最多编排50人,且尽量满额编班,得对应开设选修班的数目分别为15,1.现有化学、生物科目教师每科各8人,根据每位教师执教2个选修班,当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时,允许这门科目的一位教师执教一个班的条件,知生物科目需要减少4名教师,化学科目不需要调整.(2)根据表格中的数据进行统计后,制作列联表如下:选物理不选物理合计选化学19524不选化学61016合计251540则,有的把握判断学生”选择化学科目”与“选择物理科目”有关.(3)经统计,样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12,频率为.用频率估计概率,则,分布列如下:01230.3430.4410.1890.021数学期望为.本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差,考查独立性检验,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.(1);(2)证明见解析,或【解析】
(1)根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出;(2)设,,,,表示出直线,的方程,利用表示出,,即可求定点的坐标.【详解】(1)设抛物线上点的坐标为,则,时取等号),则抛物线上的点到直线距离的最小值;(2)设,,,,,,直线,的方程为分别为,,由两条直线都经过点点得,为方程的两根,,直线的方程为,,,,,共线.又,,,解,,点,是直线上的动点,时,,时,,,或.本题考查抛物线的方程的求法,考查直线方程的求法,考查直线过定点的解法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.(1)p=2;(2)见解析(3)见解析【解析】
(1)取n=1时,由得p=0或2,计算排除p=0的情况得到答案.(2),则,相减得到3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn,再化简得到,得到证明.(3)分别证明充分性和必要性,假设an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y均为整数,计算化简得2x﹣2y﹣2=1,设k=x﹣(y﹣2),计算得到k=1,得到答案.【详解】(1)n=1时,由得p=0或2,若p=0时,,当n=2时,,解得a2=0或,而an>0,所以p=0不符合题意,故p=2;(2)当p=2时,①,则②,②﹣①并化简得3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn③,则3an+2=4﹣Sn+2﹣Sn+1④,④﹣③得(n∈N*),又因为,所以数列{an}是等比数列,且;(3)充分性:若x=1,y=2,由知an,2xan+1,2yan+2依次为,,,满足,即an,2xan+1,2yan+2成等差数列;必要性:假设an,2xan+1,2yan+2成等差数列,其中x、y均为整数,又,所以,化简得2x﹣2y﹣2=1,显然x>y﹣2,设k=x﹣(y﹣2),因为x、y均为整数,所
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