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文档简介
1.1.2瞬时速度与导数2一、复习引入函数的平均变化率函数在区间上的平均变化率为:瞬时速度一般地,对于任意时刻t0,对于s=s(t),当⊿t→0时,所趋近的常数值就是s=s(t)在t0处的瞬时速度。例子:设一物体的运动方程是其中为初速度,为加速度,时间单位为s,求t=2时的瞬时速度。函数的瞬时变化率设函数在及其附近有定义,当自变量在x=x0附近改变量为时,函数值相应的改变量如果当时,平均变化率趋近于一个常数,那么常数称为函数在点处的瞬时变化率。导数的概念“当时,平均变化率趋近于常数”记作:极限
符号函数在处的瞬时变化率,通常称为在点处的导数。记作:或例2.已知y=ax2+bx+c,求y’|x=2解:△y=a(x+△x)2+b(x+△x)+c-(ax2+bx+c)=(2ax+b)△x+a(△x)2,=(2ax+b)+a△x,当x=2,△x→0时,y’|x=2=4a+b。三、概念形成导函数如果在开区间内每一点都是可导的,则称函数在区间可导。这样,对于开区间内每一个值,都对应一个确定的导数。于是在区间内构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数的导函数。导函数通常简称导数。如果不特殊指明求某一点的导数,那么求导数指的就是求导函数。例子:求函数y=ax2+bx+c的导数。例3.火箭竖直向上发射,熄火时向上的速度达到100m/s,试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0?解:火箭的运动方程为h(t)=100t-gt2,在t附近的平均变化率为=100-gt-g△t。当△t→0时,上式趋近于100-gt。可见t时刻的瞬时速度h’(t)=100-gt。令h’(t)=100-gt=0,解得所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为0.例4.一正方形铁板在0°C时,边长为10cm,加热后铁板会膨胀,当温度为t°C时,边长变为10(1+at)cm,a为常数,试求铁板面积对温度的膨胀率。解:设温度的增量为△t,则铁板面积S的增量△S=102[1+a(t+△t)]2-102(1+at)2
=200(a+a2t)△t+100a2(△t)2.
因此
=200(a+a2t)+100a2△t.所以铁板对温度的膨胀率为200(a+a2t).令△t→0,得S’=200(a+a2t).例5.质点M按规律s(t)=at2+1作直线运动,若质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值。解:因为△s=a(t+△t)2+1-(at2+1)=2at△t+a(△t)2,所以=2at+a△t,当△t→0时,s’=2at,由题意知t=2时,s’=8,即4a=8,解得a=2.练习题1.一物体的运动方程是s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为()
A.0.41B.3C.4D.4.1D2.设y=f(x)函数可导,则等于()
A.f’(1)B.不存在
C.f’(1)D.3f’(1)C3.设,则等于()
A.B.
C.D.C4.若f(x)=x3,f’(x0)=3,则x0的值是()
A.1B.-1C.±1D.C5.设函数f(x)=ax3+2,若f’(-1)=3,则a=__
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