1.1.2瞬时速度与导数2总结

1.1.2瞬时速度与导数2一、复习引入函数的平均变化率函数在区间上的平均变化率为:瞬时速度一般地，对于任意时刻t0，对于s=s(t)，当⊿t→0时，所趋近的常数值就是s=s(t)在t0处的瞬时速度。例子：设一物体的运动方程是其中为初速度，为加速度，时间单位为s，求t=2时的瞬时速度。函数的瞬时变化率设函数在及其附近有定义，当自变量在x=x0附近改变量为时，函数值相应的改变量如果当时，平均变化率趋近于一个常数，那么常数称为函数在点处的瞬时变化率。导数的概念“当时，平均变化率趋近于常数”记作：极限

符号函数在处的瞬时变化率，通常称为在点处的导数。记作：或例2．已知y=ax2+bx+c，求y’|x=2解：△y=a(x+△x)2+b(x+△x)+c－(ax2+bx+c)=(2ax+b)△x+a(△x)2，=(2ax+b)+a△x，当x=2，△x→0时，y’|x=2=4a+b。三、概念形成导函数如果在开区间内每一点都是可导的，则称函数在区间可导。这样，对于开区间内每一个值，都对应一个确定的导数。于是在区间内构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。导函数通常简称导数。如果不特殊指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数。例子：求函数y=ax2+bx+c的导数。例3．火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？解：火箭的运动方程为h(t)=100t－gt2，在t附近的平均变化率为=100－gt－g△t。当△t→0时，上式趋近于100－gt。可见t时刻的瞬时速度h’(t)=100－gt。令h’(t)=100－gt=0，解得所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为0.例4．一正方形铁板在0°C时，边长为10cm，加热后铁板会膨胀，当温度为t°C时，边长变为10(1+at)cm，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率。解：设温度的增量为△t，则铁板面积S的增量△S=102[1+a(t+△t)]2－102(1+at)2

=200(a+a2t)△t+100a2(△t)2.

因此

=200(a+a2t)+100a2△t.所以铁板对温度的膨胀率为200(a+a2t).令△t→0，得S’=200(a+a2t).例5．质点M按规律s(t)=at2+1作直线运动，若质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值。解：因为△s=a(t+△t)2+1－(at2+1)=2at△t+a(△t)2，所以=2at+a△t，当△t→0时，s’=2at，由题意知t=2时，s’=8，即4a=8，解得a=2.练习题1．一物体的运动方程是s=3+t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为（）

A．0.41B．3C．4D．4.1D2．设y=f(x)函数可导，则等于（）

A．f’(1)B．不存在

C．f’(1)D．3f’(1)C3．设，则等于（）

A．B．

C．D．C4．若f(x)=x3，f’(x0)=3，则x0的值是（）

A．1B．－1C．±1D．C5．设函数f(x)=ax3+2，若f’(－1)=3，则a=__