函数模型的应用同步训练 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

.5.3函数模型的应用（同步训练）一、选择题1.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示．x123…y125…下面的函数关系式中，能表达这种关系的是()A.y＝log2(x＋1)B.y＝2x－1C.y＝2x－1D.y＝(x－1)2＋12.某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足()A.y＝a(1＋5%x)B.y＝a＋5%C.y＝a(1＋5%)x－1D.y＝a(1＋5%)x3．sigmoid函数f(t)＝eq\f(K,1＋eg(t))是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型．某研究所根据试验数据建立了一种病毒的sigmoid函数模型f(t)＝eq\f(K,1＋e－0.2(t－63))，当f(t*)＝0.9K时，病毒增长达到最大，则t*约为(ln9≈2.2)()A.90B.83C.74D.634.“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么红豆生长时间与枝数的关系用下列函数模型拟合最好的是()A.指数函数：y＝2tB.对数函数：y＝log2tC.幂函数：y＝t3D.二次函数：y＝2t25.已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t(单位：min)的变化规律是θ＝2t＋1＋21－t(t≥0)，则当物体的温度为5℃时，经过的时间t＝()A.eq\f(1,2)B.1C.eq\f(3,2)D.26.如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是()A.eq\f(7,11)B.eq\f(7,12)C.－1D.－17.某市的房价(均价)经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是()A.600元B.50%C.－1D.＋18.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt．已知新丸经过50天后，体积变为eq\f(4,9)a．若一个新丸体积变为eq\f(8,27)a，则需经过的天数为()A.125B.100C.75D.509.(多选)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如图所示，横轴为投资时间，纵轴为回报．根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是()A.投资3天以内(含第3天)，采用方案一B.投资4天，不采用方案三C.投资6天，采用方案二D.投资10天，采用方案二 二、填空题10.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg2≈0.3010)．11.某种动物的繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．12.某商品价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y＝k·ax(a＞0且a≠1)，x∈N*．当商品上架第1天的价格为96元，而上架第3天的价格为54元，则该商品上架第4天的价格为________元．13.已知某个病毒经30min可繁殖为原来的2倍，且病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：h，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5h，1个病毒能繁殖________个．三、解答题14.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到35℃，需要多长时间(结果精确到0.1)?15.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq\f(1,3)，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)16.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝eq\f(1,2)log3eq\f(θ,100)，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？(2)某条鲑鱼想把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？参考答案及解析：一、选择题1.D解析：代入数值检验，把x＝2代入可排除A，B，C，把x＝1，2，3代入D选项，符合题意．2.D解析：经过1年，y＝a(1＋5%)；经过2年，y＝a(1＋5%)2；…；经过x年，y＝a(1＋5%)x．3.C解析：由题意得f(t*)＝eq\f(K,1＋e－0.2(t*－63))＝0.9K，整理得eq\f(1,1＋e－0.2(t*－63))＝0.9，即e－0.2(t*－63)＝eq\f(1,9)，可得－0.2(t*－63)＝－ln9≈－2.2，解得t*＝74．4.A解析：由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长速度很快，符合指数型函数模型，且图象过点(1，2)，所以图象由指数函数来模拟比较好．5.B解析：θ＝2t＋1＋21－t＝2．当θ＝5时，2t＋eq\f(1,2t)＝eq\f(5,2)．令2t＝x(x≥1)，则x＋eq\f(1,x)＝eq\f(5,2)，即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝eq\f(1,2)(舍去)，此时t＝1．6.D解析：设月平均增长率为x，1月份的产量为a，则有a(1＋x)11＝7a，则1＋x＝，故x＝－1．故选D．7.C解析：设6年间平均年增长率为x，则有1200(1＋x)6＝4800，解得x＝－1．故选C．8.C解析：由已知，得eq\f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝．设经过t1天后，一个新丸体积变为eq\f(8,27)a，则eq\f(8,27)a＝a·，∴eq\f(8,27)＝＝，∴eq\f(t1,50)＝eq\f(3,2)，t1＝75．故选C．9.ABC解析：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，故A正确；在第四天，方案一、二一样多，方案三最少，故B正确；在第五天到第八天，方案二最多，故C正确；第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，故D不正确．故选ABC． 二、填空题10.答案：4解析：设至少要洗x次，则≤eq\f(1,100)，所以x≥eq\f(1,lg2)≈3.322，所以至少需清洗4次．11.答案：300解析：由题意，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以y＝100log2(x＋1)，当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．12.答案：40.5解析：由题意得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k×a1＝96，,k×a3＝54，))结合a＞0且a≠1，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,4)，,k＝128，))即y＝128×，则该商品上架第4天的价格为128×＝eq\f(81,2)＝40.5，即该商品上架第4天的价格为40.5元．13.答案：2ln2，1024解析：当t＝0.5时，y＝2，∴2＝，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2．当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024．三、解答题14.解：由题意知40－24＝(88－24)，即eq\f(1,4)＝．解得h＝10，故T－24＝(88－24)·．当T＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·，即＝eq\f(11,64)．两边取对数，解得t≈25.4．因此约需要25.4min咖啡可降温到35℃．15.解：依题意，设过滤n次，得eq\f(2,100)×≤eq\f(1,1000)，即≤eq\f(1,20)，则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈7.4．又因为n∈N，所以至少要过滤8次才能达到市场要求．16.解：(1)由v＝eq\f(1,2)log3eq\f(θ,100)可知，当θ＝900时，v＝