2025届湖北省鄂州市第一中学高三第二次质量检测试题数学试题含解析

2025届湖北省鄂州市第一中学高三第二次质量检测试题数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．定义在上的奇函数满足，若，，则（）A． B．0 C．1 D．22．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的-一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的关系为（）A． B．C． D．3．设双曲线的右顶点为，右焦点为，过点作平行的一条渐近线的直线与交于点，则的面积为（）A． B． C．5 D．64．在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，，那么（）A． B． C． D．5．已知函数，若曲线上始终存在两点，，使得，且的中点在轴上，则正实数的取值范围为（）A． B． C． D．6．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（）A． B． C． D．7．点为不等式组所表示的平面区域上的动点，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．下列说法正确的是（）A．命题“，”的否定形式是“，”B．若平面，，，满足，则C．随机变量服从正态分布（），若，则D．设是实数，“”是“”的充分不必要条件9．记为等差数列的前项和.若，，则（）A．5 B．3 C．－12 D．－1310．函数y=sin2x的图象可能是A． B．C． D．11．若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．12．已知数列的前项和为，且，，则()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________14．已知函数是定义在上的奇函数，且周期为，当时，，则的值为___________________．15．“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________.16．已知复数对应的点位于第二象限，则实数的范围为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）若存在，使得成立，求实数的最小值18．（12分）已知数列满足且（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.19．（12分）已知函数().（1）讨论的单调性；（2）若对，恒成立，求的取值范围.20．（12分）已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，焦距为．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点、，设为直线上一点，且直线、的斜率的积为．证明：点在轴上．21．（12分）已知函数.（1）若，，求函数的单调区间；（2）时，若对一切恒成立，求a的取值范围.22．（10分）设函数，.（1）求函数的极值；（2）对任意，都有，求实数a的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

首先判断出是周期为的周期函数，由此求得所求表达式的值.【详解】由已知为奇函数，得，而，所以，所以，即的周期为.由于，，，所以，，，.所以，又，所以.故选：C本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.2．A【解析】

设椭圆的半长轴长为，双曲线的半长轴长为，根据椭圆和双曲线的定义得：，解得，然后在中，由余弦定理得：，化简求解.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的长半轴长为，由椭圆和双曲线的定义得：，解得，设，在中，由余弦定理得：，化简得，即.故选：A本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．A【解析】

根据双曲线的标准方程求出右顶点、右焦点的坐标，再求出过点与的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可.【详解】由双曲线的标准方程可知中：，因此右顶点的坐标为，右焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为：，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点作平行的一条渐近线的直线与交于点，所以直线的斜率为，因此直线方程为：，因此点的坐标是方程组：的解，解得方程组的解为：，即，所以的面积为：.故选：A本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.4．D【解析】

由得，分别算出和的值，从而得到的值.【详解】∵，∴，∴，当时，，∴，当时，，∴，∴，故选：D.本小题主要考查对数运算，属于基础题.5．D【解析】

根据中点在轴上，设出两点的坐标，，（）.对分成三类，利用则，列方程，化简后求得，利用导数求得的值域，由此求得的取值范围.【详解】根据条件可知，两点的横坐标互为相反数，不妨设，，（），若，则，由，所以，即，方程无解；若，显然不满足；若，则，由，即，即，因为，所以函数在上递减，在上递增，故在处取得极小值也即是最小值，所以函数在上的值域为，故.故选D.本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.6．D【解析】

由，可求出等比数列的通项公式，进而可知当时，；当时，，从而可知的最小值为，求解即可.【详解】设等比数列的公比为，则，由题意得，，得，解得，得.当时，；当时，，则的最小值为.故选：D.本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.7．B【解析】

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用的几何意义即可得到结论．【详解】不等式组作出可行域如图：，，，的几何意义是动点到的斜率，由图象可知的斜率为1，的斜率为：，则的取值范围是：，，．故选：．本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键．8．D【解析】

由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；或，利用集合间的包含关系可判断选项D.【详解】命题“，”的否定形式是“，”，故A错误；，，则可能相交，故B错误；若，则，所以，故，所以C错误；由，得或，故“”是“”的充分不必要条件，D正确.故选：D.本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.9．B【解析】

由题得，，解得，，计算可得.【详解】，，，，解得，，.故选：B本题主要考查了等差数列的通项公式，前项和公式，考查了学生运算求解能力.10．D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．11．A【解析】

设平面向量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，即为所求.【详解】设平面向量与的夹角为，，可得，在等式两边平方得，化简得.故选：A.本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.12．C【解析】

根据已知条件判断出数列是等比数列，求得其通项公式，由此求得.【详解】由于，所以数列是等比数列，其首项为，第二项为，所以公比为.所以，所以.故选：C本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．0.35【解析】

根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来．【详解】解：由题意知本题是一个对立事件的概率，抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，，抽到不是一等品的概率是，故答案为：．本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题．14．【解析】

由题意可得：，周期为，可得，可求出，最后再求的值即可.【详解】解：函数是定义在上的奇函数，.由周期为，可知，，..故答案为：.本题主要考查函数的基本性质，属于基础题.15．【解析】

画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案.【详解】如图所示，设椭圆的长半轴为，半焦距为，因为地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,,可得，解得，所以椭圆的离心率为.故答案为：.本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16．【解析】

由复数对应的点，在第二象限，得，且，从而求出实数的范围．【详解】解：∵复数对应的点位于第二象限，∴，且，∴，故答案为：．本题主要考查复数与复平面内对应点之间的关系，解不等式，且是解题的关键，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）【解析】

（1）由得，两式相减可得是从第二项开始的等比数列，由此即可求出答案；（2），分类讨论，当时，，作商法可得数列为递增数列，由此可得答案，【详解】解：（1）因为，，两式相减得：，即，是从第二项开始的等比数列，∵∴，则，；（2），当时，；当时，设递增，，所以实数的最小值．本题主要考查地推数列的应用，属于中档题．18．（1）；（2）【解析】

（1）根据已知可得数列为等比数列，即可求解；（2）由（1）可得为等比数列，根据等比数列和等差数列的前项和公式，即可求解.【详解】（1）因为，所以，又所以数列为等比数列，且首项为，公比为.故（2）由（1）知，所以所以本题考查等比数列的定义及通项公式、等差数列和等比数列的前项和，属于基础题.19．（1）①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，在上单调递增；（2）.【解析】

（1）求出函数的定义域和导函数，，对讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；（2）法一:由得，分别运用导函数得出函数()，的单调性，和其函数的最值，可得，可得的范围;法二:由得，化为令()，研究函数的单调性，可得的取值范围.【详解】（1）的定义域为，，①当时，由得，得，在上单调递减，在上单调递增；②当时，恒成立,在上单调递增；（2）法一:由得，令()，则，在上单调递减，，，即，令，则，在上单调递增，，在上单调递减，所以，即，(*)当时，，(*)式恒成立，即恒成立，满足题意法二:由得，，令()，则，在上单调递减，，，即，当时，由(Ⅰ)知在上单调递增，恒成立，满足题意当时，令，则，所以在上单调递减，又，当时，，，使得，当时，，即，又，，，不满足题意，综上所述，的取值范围是本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论，不等式恒成立时，求解参数的范围，属于难度题.20．（1）；（2）见解析.【解析】

（1）由已知条件得出、的值，进而可得出的值，由此可求得椭圆的方程；（2）设点，可得，且，，求出直线的斜率，进而可求得直线与的方程，将直线直线与的方程联立，求出点的坐标，即可证得结论.【详解】（1）由题设，得，所以，即．故椭圆的方程为；（2）设，则，，．所以直线的斜率为，因为直线、的斜率的积为，所以直线的斜率为．直线的方程为，直线的方程为．联立，解得点的纵坐标为．因为点在椭圆上，所以，则，所以点在轴上．本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.21．（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）【解析】

（1）求导，根据导数与函数单调性关系即可求出.（2）解法一：分类讨论：当时，观察式子可得恒成立；当时，利用导数判断函数为单调递增，可知；当时，令，由，，根据零点存在性定理可得，进而可得在上，单调递减，即不满足题意；解法二：通过分离参数可知条件等价于恒成立，进而记，问题转化为求在上的最小值问题，通过二次求导，结合洛比达法则计算可得结论.【详解】（1）当，，，，令，解得，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增.（2）解法一：当时，函数，若时，此时对任意都有，所以恒成立；若时，对任意都有，，所以，所以在上为增函数，所以，即时满足题意；若时，令，则，所以在上单调递增，，，可知，一定存在使得，且当时，，所以在上，单调递减，从而有时，，不满足题意；综上可知，实数a的取值范围为.解法二：当时，函数，又当时，，对一切恒成立等价于恒成立，记，其中，则，令，则，在上单调递增，，恒成立，从而在上单调递增，，由洛比达法则可知，，，解得.实数a的取值范围为.本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，考查了分类与整合的解题思想，涉及分离参数法等技巧、涉及到洛比达法则等知识，注意解题方法的积累，属于难题.22．（1）当时，无极值；当时，极小值为；（2）.【解析】

（1）求导，对参数进行分类讨论，即可容易求得函数的极值；（2）构造函数，两次求导，根据函数单调性，由恒成立问题求参数范围即可