新高考数学一轮复习知识总结 平面向量及其应用（含解析）

第六章平面向量及其应用知识点一：向量的有关概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法：(1)字母表示法：如SKIPIF1<0等.(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等.(3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量SKIPIF1<0的起点SKIPIF1<0为在坐标原点，终点A坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0称为SKIPIF1<0的坐标，记为SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.3.相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相等，记为SKIPIF1<0.4.零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的.5.单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：SKIPIF1<0与任一向量共线.注：共线向量又称为平行向量.7.相反向量：长度相等且方向相反的向量.知识点二、向量的运算1.运算定义运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0记SKIPIF1<0=(x1，y1)，SKIPIF1<0=(x2，y2)则SKIPIF1<0=(x1+x2，y1+y2)SKIPIF1<0=(x2-x1，y2-y1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0实数与向量的乘积SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0记SKIPIF1<0=(x，y)则SKIPIF1<0两个向量的数量积SKIPIF1<0SKIPIF1<0记SKIPIF1<0则SKIPIF1<0=x1x2+y1y22.运算律加法：①SKIPIF1<0(交换律)；②SKIPIF1<0(结合律)实数与向量的乘积：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0两个向量的数量积：①SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0·SKIPIF1<0；②(SKIPIF1<0)·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0·(SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0(SKIPIF1<0·SKIPIF1<0)；③(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)·SKIPIF1<0=SKIPIF1<0·SKIPIF1<0+SKIPIF1<0·SKIPIF1<03.运算性质及重要结论(1)平面向量基本定理：如果SKIPIF1<0是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量SKIPIF1<0，有且只有一对实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的线性组合.①其中SKIPIF1<0叫做表示这一平面内所有向量的基底；②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量SKIPIF1<0的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.③当基底SKIPIF1<0是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则SKIPIF1<0=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量SKIPIF1<0坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则SKIPIF1<0=(x2-x1，y2-y1)(2)两个向量平行的充要条件符号语言：SKIPIF1<0坐标语言为：设非零向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0SKIPIF1<0(x1，y1)=SKIPIF1<0(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0.(3)两个向量垂直的充要条件符号语言：坐标语言：设非零向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0(4)两个向量数量积的重要性质：①SKIPIF1<0即SKIPIF1<0(求线段的长度)；②(垂直的判断)；③SKIPIF1<0(求角度).要点诠释：1.向量的线性运算(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.2.共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.(1)用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明.(2)向量在几何中的应用：①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件SKIPIF1<0SKIPIF1<0(x1，y1)=SKIPIF1<0(x2，y2)②证明垂直问题，常用垂直的充要条件SKIPIF1<0SKIPIF1<0③求夹角问题，利用SKIPIF1<0④求线段的长度，可以利用SKIPIF1<0或SKIPIF1<0知识点三：向量的应用1：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：SKIPIF1<0要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外接圆半径）；（2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．（3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.2：余弦定理在△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0变形为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0要点诠释：（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它=3\*GB3③已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用.3：三角形的面积公式(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的高(2)SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<04：三角形形状的判定方法设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C，解斜三角形的主要依据是：（1）角与角关系：由于A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；SKIPIF1<0；（2）边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b；（3）边与角关系：正弦定理、余弦定理常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边.要点诠释：=1\*GB3①化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.=2\*GB3②在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列.5：解三角形应用的分类（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；（3）角度问题；（4）面积问题.类型一：平面向量的概念例1.给出下列命题：①若|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；②若A，B，C，D是不共线的四点，则SKIPIF1<0是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0=SKIPIF1<0的充要条件是|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|且SKIPIF1<0//SKIPIF1<0；⑤若SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0//SKIPIF1<0；其中正确的序号是.(2)设为单位向量，(1)若为平面内的某个向量，则SKIPIF1<0；(2)若与平行，则；(3)若与平行且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.上述命题中，假命题个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【思路点拨】利用平面向量的相关基本概念和基本知识进行判断。【解析】(1)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；②正确；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.③正确；∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长度相等且方向相同；又SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长度相等且方向相同，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长度相等且方向相同，故SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.④不正确；当SKIPIF1<0//SKIPIF1<0且方向相反时，即使|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|，也不能得到SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|且SKIPIF1<0//SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0=SKIPIF1<0的充要条件，而是必要不充分条件；⑤不正确；考虑SKIPIF1<0=SKIPIF1<0这种特殊情况；综上所述，正确命题的序号是②③.(2)向量是既有大小又有方向的量，与SKIPIF1<0模相同，但方向不一定相同，故(1)是假命题；若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时SKIPIF1<0，故(2)、(3)也是假命题.综上所述，答案选D.【总结升华】本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多，因而容易遗忘.为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想.向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念.类型二：平面向量的运算法则例2.如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，试用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0将向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示出来.【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可.【解析】因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，同样在平行四边形BCDO中，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0＋2SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0-SKIPIF1<0.【总结升华】其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示，且可用规定其中任两个向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，另外任取两点为起点和终点，也可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示.类型三：平面向量的坐标及运算例3.已知点SKIPIF1<0，试用向量方法求直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为坐标原点)交点SKIPIF1<0的坐标.【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，所以SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，也在直线SKIPIF1<0上.即得SKIPIF1<0，由点SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0.得方程组SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0.故直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0.例4.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，按下列条件求实数SKIPIF1<0的值.(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【总结升华】此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算.例5.已知SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0为何实数时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，平行时它们是同向还是反向？【解析】(1)因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0即得SKIPIF1<0.此时SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即此时向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0方向相反.【总结升华】上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法.类型四：平面向量的夹角问题例6.（2015重庆）已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【思路点拨】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．【答案】C【解析】由已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，设两个非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，θ∈[0，π]，所以SKIPIF1<0；故选C．例7.设向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=_____.【思路点拨】本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积，以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.【解析】设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故填SKIPIF1<0.例8.已知两单位向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，试求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角.【解析】由题意，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0.而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角，则SKIPIF1<0.例9.已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是非零向量，且SKIPIF1<0+3SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角θ。【思路点拨】把向量垂直转化为数量积为0SKIPIF1<0联立求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系SKIPIF1<0应用夹角公式求结果。【解析】SKIPIF1<0例10.已知向量SKIPIF1<0，（1）求证：SKIPIF1<0;（2）若存在不等于0的实数k和t，使SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0试求此时SKIPIF1<0的最小值。【思路点拨】（1）可通过求SKIPIF1<0证明SKIPIF1<0;（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即求出关于k，t的一个方程，从而求出SKIPIF1<0的代数表达式，消去一个量k，得出关于t的函数，从而求出最小值。【解析】（1）SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0类型五：平面向量综合问题例11.已知向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的对应关系用表示.(1)证明：对于任意向量SKIPIF1<0及常数m，n恒有成立；(2)设SKIPIF1<0，求向量SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的坐标；(3)求使SKIPIF1<0，(p，q为常数)的向量SKIPIF1<0的坐标.【解析】(1)设，则，故，∴(2)由已知得SKIPIF1<0=(1，1)，=(0，-1)(3)设SKIPIF1<0=(x，y)，则SKIPIF1<0，∴y=p，x=2p-q，即SKIPIF1<0=(2p-q，p).例12.求证：起点相同的三个非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3SKIPIF1<0-2SKIPIF1<0的终点在同一条直线上.证明：设起点为O，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=3SKIPIF1<0-2SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=2(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0-SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，即向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，3SKIPIF1<0-2SKIPIF1<0的终点在同一直线上.【总结升华】(1)利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：①证明向量平行；②说明两个向量有公共点；(2)用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：①证明向量平行；②说明两向量无公共点.例13.已知SKIPIF1<0.【思路点拨】SKIPIF1<0，可以看作向量SKIPIF1<0的模的平方，而SKIPIF1<0则是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式.【证明】设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0.【总结升华】在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如SKIPIF1<0等.类型六：正、余弦定理的基本应用例14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C＝2B．(1)求cosB的值；(2)若b2＝ac，求sinAsinC的值．【思路点拨】由题设“A+C＝2B”易知B＝60°，又由边之间的关系“b2＝ac”，如何求“sinAsinC”的值？正、余弦定理的运用都可以求出值.【解析】(1)由已知2B＝A+C，A+B+C＝180°，解得B＝60°，所以SKIPIF1<0．(2)解法一：由已知SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0，根据正弦定理得SKIPIF1