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文档简介
考研数学二(选择题)模拟试卷5(共9套)(共225题)考研数学二(选择题)模拟试卷第1套一、选择题(本题共25题,每题1.0分,共25分。)1、当x→0时,下列四个无穷小中,比其他三个高阶的无穷小是()A、x2B、1一cosxC、D、x一tanx标准答案:D知识点解析:利用常用的等价无穷小结论。由于x→0时,,所以当x→0时,选项B、C与选项A是同阶无穷小。由排除法可知,故选D。2、当x→0时,f(x)=x一sinax与g(x)=x2ln(1一bx)是等价无穷小,则()A、a=1,b=。B、a=1,b=。C、a=一1,b=。D、a=一1,b=。标准答案:A知识点解析:本题可以利用排除法解答,由于ln(1—bx)与一bx为等价无穷小,则所以a3=一6b,故排除B,C。另外是存在的,即满足1—acosax→0(x→0),故a=1,排除D。所以本题选A。3、设A=E一2ξξT,其中ξ=(x1,x2,…,xn)T,且有ξTξ=1.则(1)A是对称阵.(2)A2是单位阵.(3)A是正交阵.(4)A是可逆阵.上述结论中,正确的个数是()A、1.B、2.C、3.D、4.标准答案:D知识点解析:AT=(E一2ξξT)T=ET一(2ξξT)T=E一2ξξT=A,(1)成立.A2=(E一2ξξT)(E一2ξξT)=E一4ξξT+4ξξTξξT=E一4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E,(2)成立.由(1)、(2),得A2=AT=E,故A是正交阵,(3)成立.由(3)知正交阵是可逆阵,且A-1=AT,(4)成立.故应选D.4、把x→0+时的无穷小量α=tanx-x,β=∫0x排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小一,则正确的排列次序是A、α,β,γ.B、γ,β,α.C、β,α,γ.D、γ,α,β.标准答案:C知识点解析:因即当x→+0+时α是比β高阶的无穷小量,α与β应排列为β,α.故可排除(A)与(D).又因即当x→0+时γ是较α高阶的无穷小量,α与γ应排列为α,γ.可排除(B),即应选(C).5、已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量,则下列命题中错误的是()A、如果α4不能由α1,α2,α3线性表出,则α1,α2,α3线性相关。B、如果α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性相关,那么α1,α2,α4也线性相关。C、如果α3不能由α1,α2线性表出,α4不能由α2,α3线性表出,则α1可以由α2,α3,α4线性表出。D、如果秩R(α1,α1+α2,α2+α3)=R(α4,α1+α4,α2+α4,α3+α4),则α4可以由α1,α2,α3线性表出。标准答案:B知识点解析:设α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=(0,2,0)T,α4=(0,0,1)T,可知B项不正确,故选B。关于选项A:用其逆否命题判断。若α1,α2,α3线性无关,则α1,α2,α3,α4必线性相关(因为n+1个n维向量必线性相关),所以α4可由α1,α2,α3线性表出。关于选项C:由已知条件,有(Ⅰ)R(α1,α2)≠R(α1,α2,α3),(Ⅱ)R(α2,α3)≠R(α2,α3,α4)。若R(α2,α3)=1,则必有R(α1,α2)=R(α1,α2,α3),与条件(Ⅰ)矛盾,故必有R(α2,α3)=2。那么由(Ⅱ)知R(α2,α3,α4)=3,从而R(α1,α2,α3,α4)=3。因此α1可以由α2,α3,α4线性表出。关于选项D:经初等变换有(α1,α1+α2,α2+α3)→(α1,α2,α2+α3)→(α1,α2,α3),(α4,α1+α4,α2+α4,α3+α4)→(α4,α1,α2,α3)→(α1,α2,α3,α4),从而R(α1,α2,α3)=R(α1,α2,α3,α4),因此α4可以由α1,α2,α3线性表出。6、设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有A、A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关.B、A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关.C、A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.D、A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.标准答案:A知识点解析:暂无解析7、下列可表示由双纽线(χ2+y2)2=χ2-y2围成平面区域的面积的是A、2cos2θdθ.B、42θdθ.C、D、(cos2θ)2dθ.标准答案:A知识点解析:双纽线的极坐标方程是:r4=r2(cos2θ-sin2θ)及r2=cos2θ.当θ∈[-π,π]时,仅当,π时才有r≥0(图3.25).由于曲线关于极轴与y轴均对称,如图3.25,只需考虑θ∈[0,]由对称性及广义扇形面积计算公式得S=4.cos2θdθ.故应选A.8、函数f(χ)=χ3-3χ+k只有一个零点,则k的范围为().A、|k|<1B、|k|>1C、|k|>2D、k<2标准答案:C知识点解析:f(χ)=-∞,f(χ)=+∞,令f′(χ)=3χ2-3=0,得χ=±1,f〞(χ)=6χ,由f〞(-1)=-6<0,得χ=-1为函数的极大值点,极大值为f(-1)=2+k,由f〞(1)=6>0,得χ=1为函数的极小值点,极小值为f(1)=-2+k,因为f(χ)=χ3-3χ+k只有一个零点,所以2+k<0或-2+k>0,故|k|>2,选C.9、设矩阵那么矩阵A的三个特征值是()A、1,0,一2.B、1,1,一3.C、3,0,一2.D、2,0,一3.标准答案:D知识点解析:根据特征值的性质:∑λi=∑αii现在∑aii=1+(一3)+1=一1,故可排除选项C.显然,矩阵A中第2、3两列成比例,易知行列式|A|=0,故λ=0必是A的特征值,因此可排除选项B.对于选项A和选项D,可以用特殊值法,由于说明λ=1不是A矩阵的特征值.故可排除选项A.所以应选D.10、设f(x)连续,f(0)=1,f’(0)=2.下列曲线与曲线y=f(x)必有公共切线的是()A、y=∫0xf(t)dtB、y=1+∫0xf(t)dtC、y=∫02xf(t)dtD、y=1+∫02xf(t)dt标准答案:D知识点解析:曲线y=f(x)在横坐标x=0对应的点(0,1)处切线为y=1+2x.选项(D)中函数记为y=F(x).由F(0)=1,F’(0)=2f(0)=2,知曲线y=F(x)在横坐标x=0对应点处切线方程也为y=1+2x.故应选(D).11、下列广义积分发散的是().A、
B、
C、
D、
标准答案:A知识点解析:中,x=0为该广义积分的瑕点,且当x=0时,sinx~x2,由1≥1,得广义积分发散;12、设n阶矩阵A,B等价,则下列说法中不一定成立的是()A、若|A|>0,则|B|>0。B、如果A可逆,则存在可逆矩阵P,使得朋=E。C、如果A与E合同,则|B|≠0。D、存在可逆矩阵P与Q,使得PAQ=B。标准答案:A知识点解析:两个矩阵等价的充要条件是两个矩阵的秩相同。当A可逆时,r(A)=n,所以r(B)=n,即B是可逆的,故B-1B=E,选项B正确。矩阵的合同是一种等价关系,若A与E合同,则r(A)=r(E)=n,由选项B可知C项正确。矩阵A,B等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q,使得PAQ=B,选项D正确。事实上,当|A|>0(即A可逆)时,我们只能得到|B|≠0(即B可逆),故A项不一定成立。13、已知f(x,y)=,则()A、fx’(0,0),fy’(0,0)都存在。B、fx’(0,0)不存在,fy’(0,0)存在。C、fx’(0,0)不存在,fy’(0,0)不存在。D、fx’(0,0),fy’(0,0)都不存在。标准答案:B知识点解析:所以fy’(0,0)存在。故选B。14、设y=y(χ)由χ-=0确定,则f〞(0)等于().A、2e2B、2e-2C、e2-1D、e-2-1标准答案:A知识点解析:当χ=0时,由-∫1ydt=0得y=1,χ-dt=0两边对χ求导得1-=0,解得,且=e-1,由得y〞(0)==2e2应选A.15、设A,B是满足AB=O的任意两个非零阵,则必有().A、A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关B、A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关C、A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关D、A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关标准答案:A知识点解析:设A,B分别为m×n及n×s矩阵,因为AB=O,所以r(A)+r(B)≤n,因为A,B为非零矩阵,所以r(A)≥1,r(B)≥1,从而r(A)<n,r(B)<n,故A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关,选(A).16、现有四个向量组①(1,2,3)T,(3,一1,5)T,(0,4,一2)T,(1,3,0)T;②(a,1,b,0,0)T,(c,0,d,2,0)T,(e,0,f,0,3)T;③(a,1,2,3)T,(b,1,2,3)T,(c,3,4,5)T,(d,0,0,0)T;④(1,0,3,1)T,(一1,3,0,一2)T,(2,1,7,2)T,(4,2,14,5)T。则下列结论正确的是()A、线性相关的向量组为①④,线性无关的向量组为②③。B、线性相关的向量组为③④,线性无关的向量组为①②。C、线性相关的向量组为①②,线性无关的向量组为③④。D、线性相关的向量组为①③④,线性无关的向量组为②。标准答案:D知识点解析:向量组①是四个三维向量,从而线性相关,可排除B。由于(1,0,0)T,(0,2,0)T,(0,0,3)T线性无关,添上两个分量就可得向量组②,故向量组②线性无关。所以应排除C。向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例,于是α1,α2,α4线性相关,那么添加α3后,向量组③必线性相关。应排除A。由排除法,故选D。17、设λ1,λ2是n阶矩阵A的特征值,α1,α2分别是A的对应于λ1,λ2的特征向量,则()A、当λ1=λ2时,α1,α2对应分量必成比例B、当λ1=λ2时,α1,α2对应分量不成比例C、当λ1≠λ2时,α1,α2对应分量必成比例D、当λ1≠λ2时,α1,α2对应分量必不成比例标准答案:D知识点解析:当λ1=λ2时,α1与α2可以线性相关也可以线性无关,所以α1,α2可以对应分量成比例,也可以对应分量不成比例,故排除(A),(B).当λ1≠λ2时,α1,α2一定线性无关,对应分量一定不成比例,故选(D).18、设A是m×n矩阵,线性非齐次方程组为AX=b①对应的线性齐次方程组为AX=0②则()A、①有无穷多解→②仅有零解B、①有无穷多解→②有无穷多解C、②仅有零解→①有唯一解D、②有非零解→①有无穷多解标准答案:B知识点解析:(C),(D)中①均有可能无解.②有无穷多解,记为k1ξ1+…+kn-rξn-r+η,则②有解k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r,故(A)不正确,故选(B).19、已知三阶矩阵A与三维非零列向量α,若向量组α,Aα,A2α线性无关,而A3α=3Aα一2A2α,那么矩阵A属于特征值λ=一3的特征向量是()A、α。B、Aα+2α。C、A2α—Aα。D、A2α+2Aα一3α。标准答案:C知识点解析:因为A3α+2A2α一3Aα=0。故(A+3E)(A2α—Aα)=0=0(A2α一Aα)。因为α,Aα,A2α线性无关,必有A2α一Aα≠0,所以A2α—Aα是矩阵A+3E属于特征值λ=0的特征向量,即A2α一Aα是矩阵A属于特征值λ=一3的特征向量。故选C。20、设A为三阶矩阵,方程组AX=0的基础解系为α1,α2,又λ=-2为A的一个特征值,其对应的特征向量为α3,下列向量中是A的特征向量的是().A、α1+α3B、3α3-α1C、α1+2α2+3α3D、2α1-3α2标准答案:D知识点解析:因为AX=0有非零解,所以r(A)<n,故0为矩阵A的特征值,α1,α2为特征值0所对应的线性无关的特征向量,显然特征值0为二重特征值,若α1+α2为属于特征值λ0的特征向量,则有A(α1+α3)=λ0(α1+α3),注意到A(α1+α3)=0α1-2α3=-2α3,故-2α3=λ0(α1+α3)或λ0α1+(λ0+2)α3=0,因为α1,α3线性无关,所以有λ0=0,λ0+2=0,矛盾,故α1+α3不是特征向量,同理可证3α3-α1及α1+2α2+3α3也不是特征向量,显然2α1-3α2为特征值0对应的特征向量,选(D).21、设A=,则A与B().A、相似且合同B、相似不合同C、合同不相似D、不合同也不相似标准答案:C知识点解析:由|λE-A|=0得A的特征值为1,3,-5,由|λE-B|=0得B的特征值为1,1,-1,所以A与B合同但不相似,选(C).22、齐次线性方程组的系数矩阵为A,若存在3阶矩阵B≠O,使得AB=O,则()A、λ=一2且|B|=0B、λ=一2且|B|≠0C、λ=1且|B|=0D、λ=1且|B|≠0标准答案:C知识点解析:B≠O,AB=O,故AX=0有非零解,|A|=0,又A≠O,故B不可逆,故λ=1,且|B|=0.23、设f(x,y)在有界闭区域D上二阶连续可偏导,且在区域D内恒有条件,则().A、f(x,y)的最大值点和最小值点都在D内B、f(x,y)的最大值点和最小值点都在D的边界上C、f(x,y)的最小值点在D内,最大值点在D的边界上D、f(x,y)的最大值点在D内,最小值点在D的边界上标准答案:B知识点解析:若f(x,y)的最大点在D内,不妨设其为M0,则有,因为M0为最大值点,所以AC-B2非负,而在D内有,即AC-B2<0,所以最大值点不可能在D内,同理最小值点也不可能在D内,正确答案为(B).24、设A,B都是n阶矩阵,其中B是非零矩阵,且AB=O,则().A、r(B)=nB、r(B)<nC、A2-B2=(A+B)(A-B)D、|A|=0标准答案:D知识点解析:因为AB=O,所以r(A)+r(B)≤n,又因为B是非零矩阵,所以r(B)≥1,从而r(A)<n,于是|A|=0,选D.25、周期函数f(x)在(一∞,+∞)内可导,周期为4,又,则y=f(x)在点(5,f(5))处的切线斜率为()A、B、0C、一1D、一2标准答案:D知识点解析:因为f(x)在(一∞,+∞)内可导,且f(x)=f(x+4k),其中k为整数,故有f’(x)=f’(x+4k)。取x=1,k=1,可得f’(1)=f’(5)。又由可得f’(1)=一2,故选D。考研数学二(选择题)模拟试卷第2套一、选择题(本题共25题,每题1.0分,共25分。)1、设f(x)=|(x一1)(x一2)2(x一3)3|,则导数f’(x)不存在的点的个数是()A、0。B、1。C、2。D、3。标准答案:B知识点解析:考查带有绝对值的函数在xn点处是否可导,可以借助如下结论。设f(x)为可导函数,则①若f(x0)≠0,且f(x)在x0处可导,则|f(x)|在x0处可导;②若f(x0)=0,且f’(x0)=0,则|f(x)|在x0处可导;③若f(x0)=0,且f’(x0)≠0,则|f(x)|在x0处不可导。设φ(x)=(x一1)(x一2)2(x一3)3,则f(x)=|φ(x)|。f’(x)不存在的点就是f(x)不可导的点,根据上述结论可知,使φ(x)=0的点x1=1,x2=2,x3=3可能为不可导点,故只需验证φ’(xi)(i=1,2,3)是否为零即可,而φ’(x)=(x一2)2(x一3)2+2(x一1)(x一2)(x一3)3+3(x一1)(x一2)2(x一3)3,显然,φ’(1)≠0,φ’(2)=0,φ’(3)=0,所以只有一个不可导点x=1。故选B。2、设数列{xn}与{yn}满足xnyn=0,则下列结论正确的是()A、若{xn}发散,则{yn}必发散。B、若{xn}无界,则{yn}必无界。C、若{xn}有界,则{yn}必为无穷小。D、若{)为无穷小,则{yn}必为无穷小。标准答案:D知识点解析:取xn=n,yn=0,显然满足题设条件,由此可排除A、B。若取xn=0,yn=n,也满足xnyn=,排除C项。故选D。3、下列关于向量组线性相关性的说法正确的个数为()①若α1,α2,…,αn线性相关,则存在全不为零的常数k1,k2,…,kn,使得k1α1+k2α2+…+knαn=0。②如果α1,α2,…,αn线性无关,则对任意不全为零的常数k1,k2,…,kn,都有k1α1+k2α2+…+knαn≠0。③如果α1,α2,…,αn线性无关,则由k1α1+k2α2+…+knαn=0可以推出k1=k2=…kn=0。④如果α1,α2,…,αn线性相关,则对任意不全为零的常数k1,k2,…,kn,都有k1α1+k2α2+…+knαn=0。A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案:B知识点解析:对于①,线性相关的定义是:存在不全为零的常数k1,k2,…,kn,使得k1α1+k2α2+…+knαn=0。不全为零与全不为零不等价,故①错。②和③都是向量组线性无关的等价描述,正确。对于④,线性相关性只是强调不全为零的常数k1,k2,…,kn的存在性,并不一定要对任意不全为零的k1,k2,…,kn都满足k1α1+k2α2+…+knαn=0,故④错误。事实上,当且仅当α1,α2,…,αn全为零向量时,才能满足对任意不全为零的常数k1,k2,…,kn,都有k1α1+k2α2+…+knαn=0。综上所述,正确的只有两个,故选B。4、设齐次线性方程组的系数矩阵为A.且存在3阶方阵B≠O,使AB=O,则A、λ=-2且|B|=0.B、λ=-2且|B|≠0.C、λ=1且|B|=0.D、λ=1且|B|≠0.标准答案:C知识点解析:暂无解析5、设f(x)=|x(1一x)|,则()A、x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点。B、x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。C、x=0是f(x)的极值点,(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。D、x=0不是f(x)的极值点,(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点。标准答案:C知识点解析:一般情况下,讨论分段函数的极值点和拐点,主要考虑分段点处。因此,本题只需讨论x=0两边f’(x),f’’(x)的符号。可以选择区间(一1,1)来讨论。可见f’(x)在x=0两边异号,因此(0,0)是极值点;f’’(x)在x=0两边异号,所以(0,0)也是曲线的拐点。故选C。6、设三阶矩阵A=,若A的伴随矩阵的秩等于1,则必有A、n=b或a+2b=0.B、a=b或a+2b≠0.C、a≠b且a+2b=0.D、a≠b且a+26≠0.标准答案:C知识点解析:暂无解析7、设函数,f(x)在[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内可导,则A、当f(a)f(b)<0时,存在ξ∈(a,b),使f(ξ)=0.B、对任何ξ∈(a,6),有.C、当f(a)=f(b)时,存在ξ∈(a,b),使f’(ξ)=0.D、存在ξ∈(a,b),使f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a).标准答案:B知识点解析:暂无解析8、函数y=f(x)满足条件f(0)=1,f’(0)=0,当x≠0时,f’(x)>0,则它的图形是()A、
B、
C、
D、
标准答案:B知识点解析:因函数单调增加,且在x=0处有水平切线,选(B).9、设A为n阶可逆矩阵,λ是A的一个特征值,则A的伴随矩阵A*的特征值之一是()A、λ-1|A|n。B、λ-1|A|。C、λ|A|。D、λ|A|n。标准答案:B知识点解析:设向量x(x≠0)是与λ对应的特征向量,则Ax=λx。两边左乘A*,结合A*A=|A|E得A*Ax=A*(λx),即|A|x=λA*x,从而A*x=x,可见A*有特征值=λ-1|A|。所以应选B。10、对于齐次线性方程组而言,它的解的情况是()A、有两组解.B、无解.C、只有零解.D、无穷多解.标准答案:C知识点解析:这是一个齐次线性方程组,只需求出系数矩阵的秩就可以判断解的情况.对系数矩阵A=因此r(A)=3,系数矩阵的秩等于未知数个数,因此方程组只有零解,故选C.11、设f(x),g(x)是连续函数,当x→0时,f(x)与g(x)是等价无穷小,令F(x)=∫0x(x-t)dt,G(x)=∫01xg(xt)dt,则当x→0时,F(x)是G(x)的().A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价无穷小D、等价无穷小标准答案:D知识点解析:F(x)=∫0xf(x-t)dt=-∫0xf(x-t)d(x-t)=∫0xf(u)du,G(x)=∫01xg(xt)dt=∫0xg(u)du,则,选(D).12、若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数为()A、1+sinx。B、1一sinx。C、1+cosx。D、1一cosx。标准答案:B知识点解析:由F’(x)=sinx,得F(x)=∫f’(x)dx=∫sinxdx=一cosx+C1,所以f(x)的原函数是F(x)=∫f(x)dx=∫(一cosx+C1)dx=一sinx+C1x+C2,其中C1,C2为任意常数。令C1=0,C2=1得F(x)=1一sinx。故选B。13、积分()A、
B、
C、
D、
标准答案:D知识点解析:14、下列矩阵中,不能相似对角化的是().A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:的特征值为7,0,0,因为r(0E—A)=r(A)=2,所以λ=0对应的线性无关的特征向量只有一个,该矩阵不可相似对角化,应选(C).15、二元函数f(x,y)=其中m,n为正整数,函数在(0,0)处不连续,但偏导数存在,则m,n需满足()A、m≥2,n<2B、m≥2,n≥2C、m<2,n≥2D、m<2,,n<2标准答案:B知识点解析:当(x,y)沿y=kx(k≠0)趋向点(0,0)时,当m≥2,n≥2时,k取不同值,上式结果不唯一,所以函数在(0,0)处极限不存在,故函数不连续.又因为同理可得fy’(0,0)=0,故偏导数存在.当n<2时,有n=1,因而,函数f(x,y)在(0,0)处连续.同理,当m<2时,函数f(x,y)在(0,0)处连续.综上,应选(B).16、设线性无关的函数y1(x),y2(x),y3(x)均是方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解,C1,C2是任意常数,则该方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3B、C1y1+C2y一(C1+C2)y3C、C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3D、C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3标准答案:D知识点解析:由于C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3,其中y1一y3和y2一y3是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解,又y3是原方程的一个特解,所以(D)是原方程的通解.17、设A=(α1,α2,α3)是三阶矩阵,则|A|=()A、|α1一α2,α2一α3,α3一α1|。B、|α1+α2,α2+α3,α3+α1|。C、|α1+2α2,α3,α1+α2|。D、|α1,α2+α3,α1+α2|。标准答案:C知识点解析:|α1+2α2,α3,α1+α2|=|α1,α2,α3|=|A|。故选C。18、微分方程的一个特解应具有形式(其中a,b为常数)()A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:特征方程r2+r+1=0,特征根为而是特征根,所以特解的形式为19、设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则()A、当m>n时,必有|AB|≠0B、当m>n时,必有|AB|=0C、当n>m时,必有lABI≠0D、当n>m时,必有|AB|=0标准答案:B知识点解析:Am×nBn×m是m阶方阵,当m>n时,r(AB)≤r(A)≤n<m,故|AB|=0.(B)成立.显然(A)错误.20、设A是4×5矩阵,且A的行向量组线性无关,则下列说法错误的是()A、ATX=0只有零解B、ATAX=0必有无穷多解C、对任意的b,ATX=b有唯一解D、对任意的b,AX=b有无穷多解标准答案:C知识点解析:r(A)=4,AT是5×4矩阵,方程组ATX=b,对任意的b,方程组若有解,则必有唯一解,但可能无解,即可能r(AT)=r(A)=4≠r(EAT|b])=5,而使方程组无解.其余(A),(B),(D)正确.21、设,其中D:x2+y2≤a2,则a为().A、1B、2C、D、标准答案:B知识点解析:令(0≤θ≤2π,0≤r≤a)解得a=2,选(B).22、设α1,α2,α3,α4为四维非零列向量组,令A=(α1,α2,α3,α4),AX=0的通解为X=k(0,-1,3,0)T,则A*X=0的基础解系为().A、α1,α3B、α2,α3,α4C、α1,α2,α4D、α3,α4标准答案:C知识点解析:因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量,所以r(A)=3,于是r(A*)=1.因为A*A=|A|E=O,所以α1,α2,α3,α4为A*X=0的一组解,又因为-α2+3α3=0,所以α2,α3线性相关,从而α1,α2,α3线性无关,即为A*X=0的一个基础解系,应选C.23、设A是n阶矩阵,下列结论正确的是().A、A,B都不可逆的充分必要条件是AB不可逆B、r(A)<n,r(B)<n的充分必要条件是r(AB)<nC、AX=0与BX=0同解的充分必要条件是r(A)=r(B)D、A~B的充分必要条件是λE-A~λE-B标准答案:D知识点解析:若A~B,则存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B,于是P-1(λE-A)P=λE-P-1AP=λE-B,即λE-A~λE-B;反之,若λE-A~λE-B,即存在可逆矩阵P,使得P-1(λE-A)P=λE-B,整理得λE-P-1AP=λE-B,即P-1AP=B,即A~B,应选D.24、设数列{xn}与{yn}满足则下列结论正确的是()A、若{xn}发散,则{yn}必发散。B、若{xn}无界,则{yn}必无界。C、若{xn}有界,则{yn}必为无穷小。D、若为无穷小,则{yn}必为无穷小。标准答案:D知识点解析:取xn=n,yn=0,显然满足题设条件,由此可排除A、B。若取xn=0,yn=n,也满足xnyn=0,排除C项。故选D。25、已知函数f(x+y,x-y)=x2-y2,则=[]A、2x-2yB、x+yC、2x+2yD、x-y标准答案:B知识点解析:暂无解析考研数学二(选择题)模拟试卷第3套一、选择题(本题共25题,每题1.0分,共25分。)1、曲线()A、没有渐近线.B、仅有水平渐近线.C、仅有垂直渐近线.D、既有水平渐近线也有垂直渐近线.标准答案:D知识点解析:显然x=0是函数的间断点.因为,故x=0是该函数的无穷型间断点,即x=0是该曲线的垂直渐近线.又因故原曲线有水平渐近线y=1,因此选D.2、若f(1+x)=af(x)总成立,且f’(0)=b.(a,b为非零常数)则f(x)在x=1处A、不可导.B、可导且f’(1)=a.C、可导且f’(1)=b.D、可导且f’(1)=ab.标准答案:D知识点解析:暂无解析3、设n阶矩阵A,B,A+B,A一1+B一1均为可逆矩阵,则(A一1+B一1)一1=()A、A+B.B、A(A+B)一1B.C、A一1+B一1.D、(A+B)一1.标准答案:B知识点解析:本题考查逆矩阵的概念及性质.注意到AB=E,则A可逆,B就是A的逆;也可用(A一1)一1=A.【解法l】由于(A一1+B一1)A(A+B)一1B=(A一1+B一1)[B一1(A+B)A一1]一1=(A一1+B一1)(B一1+A一1)一1=(A一1+B一1)(A一1+B一1)一1=E,故选B.【解法2】由于[A(A+B)一1B]一1=B一1(A+B)A一1=B一1+A一1=A一1+B一1.故选B.4、设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=1,f(1)=0,则在(0,1)内至少存在一点ξ,使()A、
B、
C、
D、
标准答案:A知识点解析:设F(x)=xf(x),则F(x)在[0,1]上满足罗尔定理的条件,故存在ξ∈(0,1),使得[xf(x)]’|x=ξ=0,即ξf’(ξ)+f(ξ)=0,有f’(ξ=一,所以选(A).选项(B),(C),(D)可用反例y=1一x排除.5、函数在x=π处的()A、右导数B、导数C、左导数D、右导数标准答案:D知识点解析:f(x)在x=π处的左、右导数为:因此f(x)在x=π处不可导,但有6、若f(x)在x0点至少二阶可导,且则函数f(x)在x=x0处()A、取得极大值B、取得极小值C、无极值D、不一定有极值标准答案:A知识点解析:由于则存在δ>0,当0<1|x-x0|<δ时,由于(x—x0)2>0,于是f(x)一f(x0)<0,所以f(x0)>f(x),x0为极大值点,故选(A).7、某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换,化为.则自由变量可取为(1)x4,x5.(2)x3,x5.(3)x1,x5.(4)x2,x3.那么正确的共有()A、1个.B、2个.C、3个.D、4个.标准答案:B知识点解析:因为系数矩阵的秩r(A)=3,有n—r(A)=5—3=2,故应当有2个自由变量.由于去掉x4,x5两列之后,所剩三阶矩阵为因为其秩与r(A)不相等,故x4,x5不是自由变量.同理,x3,x5不能是自由变量.而x1,x2与x2,x3均可以是自由变量,因为行列式都不为0.所以应选B.8、三元一次方程组329,所代表的三个平面的位置关系为()A、B、C、D、标准答案:C知识点解析:设方程组的系数矩阵为A,对增广矩阵A作初等行变换,有因为r(A)=2,而r(A)=3,方程组无解,即三个平面没有公共交点.又因平面的法向量,n1=(1,2,1),n2=(2,3,1),n3=(1,一1,一2)互不平行.所以三个平面两两相交,围成一个三棱柱.所以应选C.9、设M=sin(sinχ)dχ,N=cos(cosχ)dχ,则有A、M<1<N.B、M<N<1.C、N<M<1.D、1<M<N.标准答案:A知识点解析:sin(sinχ),cos(cosχ)均在[0,]上连续,由sinχ≤χsin(sinχ)sinχ(χ∈[0,),即N>1.因此选A.10、设f(x,y)为连续函数,则=()A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:由题设可知,积分区域D如图所示所示,则原式=。故选C。11、设函数f(t)连续,则二重积分=()A、
B、
C、
D、
标准答案:B知识点解析:因为曲线r=2在直角坐标系中的方程为x2+y2=4,而r=2cosθ在直角坐标系中的方程为x2+y2=2x,即(x一1)2+y2=1,因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得原式=∫02dxf(x2+y2)dy。故选B。12、设f(x)为连续函数,F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx,则F’’(2)等于()A、2f(2)。B、f(2)。C、一f(2)。D、0。标准答案:B知识点解析:交换累次积分的积分次序,得F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1xf(x)dy=∫1t(x-1)f(x)dx。于是F’(t)=(t一1)f(t),从而F’(2)=f(2)。故选B。13、已知,y1=x,y2=x2,y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解,则该方程的通解为()A、y=C1x+C2x2+ex。B、y=C1x2+C2ex+x。C、y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x。D、y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)。标准答案:C知识点解析:方程y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程,则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解,则原方程通解为y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x。故选C。14、函数f(χ)在χ=1处可导的充分必要条件是().A、存在B、存在C、存在D、存在标准答案:D知识点解析:暂无解析15、设φ1(χ),φ2(χ)为一阶非齐次线性微分方程.y′+P(χ)y=Q(χ)的两个线性无关的特解,则该方程的通解为().A、C[φ1(χ)+φ2(χ)]B、C[φ1(χ)-φ2(χ)]C、C[φ1(χ)-φ2(χ)]+φ2(χ)D、[φ1(χ)-φ2(χ)]+Cφ2(χ)标准答案:C知识点解析:因为φ1(χ),φ2(χ)为方程y′+P(χ)y=Q(χ)的两个线性无关解,所以φ1(χ)-φ2(χ)为方程y′+P(χ)y=0的一个解,于是方程y′+P(χ)y=Q(χ)的通解为C[φ1(χ)-φ2(χ)]+φ2(χ),选C.16、设A为n阶方阵,齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的解向量,A*是A的伴随矩阵,则()A、A*x=0的解均是Ax=0的解。B、Ax=0的解均是A*x=0的解。C、Ax=0与A*x=0没有非零公共解。D、Ax=0与A*x=0恰好有一个非零公共解。标准答案:B知识点解析:由题设知n一r(A)≥2,从而有r(A)≤n一2,故A*=0,任意n维向量均是A*x=0的解。故选B。17、已知向量组(I)α1,α2,α3,α4线性无关,则与(I)等价的向量组是()A、α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4一α1B、α1一α2,α2一α3,α3一α4,α4一α1C、α1+α2,α2一α3,α3+α4,α4一α1D、α1+α2,α2一α3,α3一α4,α4一α1标准答案:D知识点解析:因(A)α1+α2一(α2+α3)+(α3+α4)一(α4一α1)=0;(B)(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α4)+(α4一α1)=0;(C)(α1+α2)一(α2一α3)一(α3+α4)+(α4一α1)=0,故均线性相关,而故α1+α2,α2一α3,α3一α4,α4一α1线性无关,两向量组等价.故α1+α2,α2一α3,α3一α4,α4一α1线性无关,两向量组等价.18、设则下列向量中是A的特征向量的是()A、ξ1=[1,2,1]TB、ξ2=[1,一2,1]TC、ξ3=[2,1,2]TD、ξ4=[2,1,一2]T标准答案:B知识点解析:因Aξ2=,故ξ2是A的对应于λ=一2的特征向量.其余的ξ1,ξ3,ξ4均不与Aξ1,Aξ3,Aξ4对应成比例,故都不是A的特征向量.19、设向量组α1,α2,…,αm线性无关,β1可由α1,α2,…,αm线性表示,但β2不可由α1,α2,…,αm线性表示,则().A、α1,α2,…,αm-1,β1线性相关B、α1,α2,…,αm-1,β1,β2线性相关C、α1,α2,…,αm,β1+β2线性相关D、α1,α2,…,αm,β1+β2线性无关标准答案:D知识点解析:选项A不对,因为β1可由向量组α1,α2,…,α3线性表示,但不一定能被α1,α2,…,αm-1线性表示,所以α1,α2,…,αm-1,β1不一定线性相关;选项B不对,因为α1,α2,…,αm-1,β1不一定线性相关,β2不一定可由α1,α2,…,αm-1,β1线性表示,所以α1,α2,…,αm-1,β1,β2不一定线性相关;选项C不对,因为β2不可由α1,α2,…,αm线性表示,而β1可由α1,α2,…,αm线性表示,所以β1+β2不可由α1,α2,…,αm线性表示,于是α1,α2,…,αm,β1+β2线性无关,选D.20、设A,B为三阶矩阵,且特征值均为-2,1,1,以下命题:(1)A~B;(2)A,B合同;(3)A,B等价;(4)|A|=|B|中正确的命题个数为().A、1个B、2个C、3个D、4个标准答案:B知识点解析:因为A,B的特征值为-2,1,1,所以|A|=|B|=-2,又因为r(A)=r(B)=3,所以A,B等价,但A,B不一定相似或合同,选(B)21、与矩阵D=相似的矩阵是A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:A与对角矩阵D相似A的特征值为λ1=λ2=1,λ3=2,且A的对应于2重特征值1的线性无关特征向量的个数为2.后一条件即方程组(E一A)x=0的基础解系含2个向量,即3一r(E一A)=2,或r(E一A)=1,经验证,只有备选项(C)中的矩阵满足上述要求.22、向量组α1,α2,…,αm线性无关的充分必要条件是().A、α1,α2,…,αm中任意两个向量不成比例B、α1,α2,…,αm是两两正交的非零向量组C、设A=(α1,α2,…,αm),方程组AX=0只有零解D、α1,α2,…,αm中向量的个数小于向量的维数标准答案:C知识点解析:向量组α1,α2,…,αm线性无关,则α1,α2,…,αm中任意两个向量不成比例,反之不对,故A不对;若α1,α2,…,αm是两两正交的非零向量组,则α1,α2,…,αm一定线性无关,但α1,α2,…,αm线性无关不一定两两正交,选项B不对;α1,α2,…α,m中向量个数小于向量的维数不一定线性无关,D不对,选C.23、设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E,则成立A、ACB=EB、CBA=EC、BAC=ED、BCA=E标准答案:D知识点解析:当同阶方阵P、Q满足PQ=E时,有QP=E.故E=ABC=A(BC)=(BC)A=BCA.24、设曲线y=f(x)在[a,b]上连续,则曲线y=f(x),x=a,x=b及x轴所围成的图形的面积S=[].A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:暂无解析25、标准答案:知识点解析:暂无解析考研数学二(选择题)模拟试卷第4套一、选择题(本题共25题,每题1.0分,共25分。)1、设f(χ)=则f{f[f(χ)]}等于().A、0B、1C、D、标准答案:B知识点解析:f[f(χ)]=因为|f(χ)|≤1,所以f[f(χ)]=1,于是f{f[f(χ)]}=1,选B.2、当x→0时,f(x)=为x的三阶无穷小,则a,b分别为()A、1,0B、C、D、以上都不对标准答案:C知识点解析:3、向量组α1=(1,3,5,一1)T,α2=(2,一1,一3,4)T,α2=(6,4,4,6)T,α4=(7,7,9,1)T,α5=(3,2,2,3)T的极大线性无关组是()A、α1,α2,α5。B、α1,α3,α5。C、α2,α3,α4。D、α3,α4,α5。标准答案:C知识点解析:对向量组构成的矩阵作初等行变换,有(α1,α2,α3,α4,α5)=可见秩r(α1,α2,α3,α4,α5)=3。又因为三阶子式≠0,所以α2,α3,α4是极大线性无关组,所以应选C。4、设f(x)和φ(x)在(一∞,+∞)上有定义,f(x)为连续函数,且f(x)≠0,φ(x)有间断点,则()A、φ[f(x)]必有间断点B、[φ(x)]2必有间断点C、f[φ(x)]必有间断点D、必有间断点标准答案:D知识点解析:取f(x)=1,x∈(一∞,+∞),则f(x),φ(x)满足题设条件。由于φ[f(x)]=1,[φ(x)]2=1,f[φ(x)]=1都是连续函数,故可排除选项A、B、C。故选D。5、设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的α∈(0,1),数uα满足P(X>uα)=α,若使等式P(|X|<x)=0.95成立,则x=()A、u0.475.B、u0.975.C、u0.025.D、u0.05.标准答案:C知识点解析:本题考查标准正态分布上侧分位点的概念,可以利用概率密度图形分析.如图2—1所示.由P(|X|<x)=0.95,得P(|X|>x)=1一P(|X|<x)=0.05,故x==u0.025,从而应选C.6、函数f(x)=|xsinx|ecosx,-∞<x<+∞是().A、有界函数B、单调函数C、周期函数D、偶函数标准答案:D知识点解析:显然函数为偶函数,选(D).7、设y=f(x)是方程y"-2y’+4y=0的一个解,且f(x0)>0,f’(x0)=0,则函数f(x)在点x0处A、取得极大值.B、取得极小值.C、某邻域内单凋增加.D、某邻域内单调减少.标准答案:A知识点解析:暂无解析8、设f(χ)连续且F(χ)=f(t)dt,则F(χ)为().A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在标准答案:B知识点解析:=a2f(a),选B.9、设向量组I:α1,α2,...,αr)可由向量组Ⅱ:β1,β2,...,βs线性表示.下列命题正确的是A、若向量组I线性无关,则r≤s.B、若向量组I线性相关,则r>s.C、若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s.D、若向量组Ⅱ线性相关,则r>s.标准答案:D知识点解析:暂无解析10、设f(x)在(0,+∞)二阶可导,且满足f(0)=0,f’’(x)<0(x>0),又设b>a>0,则a<x<b时恒有()A、af(x)>xf(a)。B、bf(x)>xf(b)。C、xf(x)>bf(b)。D、xf(x)>af(a)。标准答案:B知识点解析:将选项A、B分别改写成于是,若能证明或xf(x)的单调性即可。令g(x)=xf’(x)一f(x),则g(0)=0,g’(x)=xf’’(x)<0(x>0),因此g(x)<0(x>0),所以有<0(x>0),故在(0,+∞)内单调减小。因此当a<x<b时,,故选B。11、设函数f(x)可导,且曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线y=2一x垂直,则当△x→0时,该函数在x=x0处的微分dy是()A、与△x同阶但非等价的无穷小B、与△x等价的无穷小C、比△x高阶的无穷小D、比△x低阶的无穷小标准答案:B知识点解析:由题设可知f’(x0)=1,即dy与△x是等价无穷小,故选(B).12、曲线当x→一∞时,它有斜渐近线()A、y=x+1B、y=一x+1C、y=一x一1D、y=x一1标准答案:C知识点解析:因此有斜渐近线y=一x—1,应选(C).13、已知A是四阶矩阵,A*是A的伴随矩阵,若A*的特征值是1,一1,2,4,那么不可逆矩阵是()A、A—E。B、2A—E。C、A+2E。D、A一4E。标准答案:C知识点解析:因为A*的特征值是1,一1,2,4,所以|A*|=一8,又|A*|=|A|4-1,因此|A|3=一8,于是|A|=一2。那么,矩阵A的特征值是:一2,2,一1,一。因此,A一E的特征值是一3,1,一2,一。因为特征值非零,故矩阵A—E可逆。同理可知,矩阵A+2E的特征值中含有0,所以矩阵A+2E不可逆。所以应选C。14、下列反常积分中发散的是A、∫e+∞(k>1).B、∫e+∞xe-x2dx.C、∫-11D、∫-11标准答案:D知识点解析:对于(A):由于当k>1时故∫e+∞收敛.对于(B):∫0+∞xe-x2dx=e-x2|0+∞=是收敛的.对于(C):∫-11=arcsinx|-11=π也是收敛的.由排除法可知,应选(D).15、设F(x)=∫xx+2πesintsintdt,则F(x)()A、为正常数.B、为负常数.C、恒为零.D、不为常数.标准答案:A知识点解析:由分析可知,F(x)=F(0),而故选A.16、对于n元二次型xTAx,下述命题中正确的是()A、化xTAx为标准形的坐标变换是唯一的。B、化xTAx为规范形的坐标变换是唯一的。C、xTAx的标准形是唯一的。D、xTAx的规范形是唯一的。标准答案:D知识点解析:化二次型为标准形既可用正交变换法也可用配方法,化成标准形和所用坐标变换都是不唯一的。因此A、C两项均不正确。规范形由二次型的正、负惯性指数所确定,而正、负惯性指数在坐标变换下是不变的。因此D项正确,故选D。17、设A,B都是n阶可逆矩阵,则().A、(A+B)*=A*+B*B、(AB)*=B*A*C、(A-B)*=A*-B*D、(A+B)*一定可逆标准答案:B知识点解析:因为(AB)*=|AB|(AB)-1=|A||B|B-1A-1=|B|B-1.|A|A-1=B*A*,所以选(B).18、曲线y=的渐近线的条数为().A、0条B、1条C、2条D、3条标准答案:D知识点解析:因为=∞,所以曲线y=无水平渐近线;由,得曲线y=有两条铅直渐近线;由=0,得曲线y=有一条斜渐近线y=χ,选D.19、设常数a>0,积分则()A、I1>I2B、I1<I2C、I1=I2D、I1与I2的大小与α有关标准答案:A知识点解析:当时,cosx>sinx,所以I1一I2>0.故应选(A).20、设α1,α2,α3,α4是四维非零列向量组,A=(α1,α2,α3,α4),A*为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1,0,2,0)T,则A*x=0的基础解系为()A、α1,α2,α3。B、α1+α2,α2+α3,α1+α3。C、α2,α3,α4。D、α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1。标准答案:C知识点解析:方程组Ax=0的基础解系只含一个解向量,所以四阶方阵A的秩,r(A)=4—1=3,则其伴随矩阵A*的秩r(A*)=1,于是方程组A*x=0的基础解系含有三个线性无关的解向量。又A*(α1,α2,α3,α4)=A*A=|A|E=D,所以向量α1,α2,α3,α4都是方程组A*x=0的解。将(1,0,2,0)T。代入方程组AX=0可得α1+2α3=0,这说明α1可由向量组α2,α3,α4线性表出,而向量组α1,α2,α3,α4的秩等于3,所以向量组α2,α3,α4必线性无关。所以选c。事实上,由α1+2α3=0可知向量组α1,α2,α3线性相关,选项A不正确;显然,选项B中的向量都能被α1,α2,α3线性表出,说明向量组α1+α2,α2+α3,α1+α3线性相关,选项B不正确;而选项D中的向量组含有四个向量,不是基础解系,所以选型D也不正确。21、函数(其中C时任意常数)对微分方程而言,()A、是通解B、是特解C、是解,但既非通解也非特解D、不是解标准答案:C知识点解析:①因原方程阶数为二,所以通解中应包含两个任意常数(可求出通解为②特解中不含有任意常数③满足原方程,故选项(A),(B),(D)都不对,应选(C).22、α1,α2,…,αs,β线性无关,而α1,α2,…,αs,γ线性相关,则A、α1,α2,α3,β+γ线性相关.B、α1,α2,α3,cβ+γ线性无关.C、α1,α2,α3,β+cγ线性相关.D、α1,α2,α3,β+cγ线性无关.标准答案:D知识点解析:由于α1,α2,α3,β线性无关,α1,α2,α3是线性无关的.于是根据定理3.2,α1,α2,α3,cβ+γ(或β+cγ)线性相关与否取决于xβ+γ(或β+cγ)可否用α1,α2,α3线性表示.条件说明β不能由α1,α2,α3线性表示,而γ可用α1,α2,α3线性表示.cβ+γ可否用α1,α2,α3线性表示取决于c,当c=0时cβ+γ=γ可用α1,α2,α3线性表示;c≠0时cβ+γ不可用α1,α2,α3线性表示.c不确定,(A),(B)都不能选.而β+cγ总是不可用α1,α2,α3线性表示的,因此(C)不对,(D)对.23、A是n×n矩阵,则A相似于对角矩阵的充分必要条件是()A、A有n个不同的特征值B、A有n个不同的特征向量C、A的每个ri重特征值λi,均有r(λiE-A)=n-riD、A是实对称矩阵标准答案:C知识点解析:A相似于对角矩阵[*]A有n个线性无关特征向量[*]㈢对每个ri重特征值λi,有r(λiE一A)=n一ri,即对应ri重特征值λi有ri个线性无关特征向量(共n个线性无关特征向量).(A),(D)是充分条件,但非必要,(B)是必要条件,但不充分,n个不同的特征向量,并不一定线性无关.24、设常数k>0,函数在(0,+∞)内零点个数为()A、3B、2C、1D、0标准答案:B知识点解析:因令f’(x)=0,得唯一驻点x=e,且在f(x)的定义域内无f’(x)不存在的点,故f(x)在区间(0,e)与(e,+∞)内都具有单调性。又f(e)=k>0,而因此f(x)在(0,e)与(e,+∞)内分别有唯一零点,故选B。25、A、8aB、-8aC、24aD、-24a标准答案:B知识点解析:暂无解析考研数学二(选择题)模拟试卷第5套一、选择题(本题共25题,每题1.0分,共25分。)1、设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是()A、不相容.B、相容.C、P(AB)=P(A)P(B).D、P(A一B)=P(A).标准答案:D知识点解析:由图1—1,显然(A)不成立,由图1一2,选项(B)不成立.又AB=,故P(AB)=0,而P(A)P(B)>0,选项(C)不正确.2、下列各式中正确的是()A、B、C、D、标准答案:A知识点解析:由重要极限结论可立即排除B、D.对于A、C选项,只要验算其中之一即可.对于C选项,因,故C不正确,选A.3、设A,B,C是三个相互独立的随机事件,且P(A)≠0,0<P(C)<1.则在下列给定的四对事件中不一定相互独立的是()A、
B、
C、
D、
标准答案:B知识点解析:事实上,,因此应选B.注:由已知条件,只能得到是不一定相互独立的,而不能确定一定不独立,事实上如果P()=0或1,则二者就是相互独立的.4、下列各式中正确的是A、B、C、D、标准答案:A知识点解析:暂无解析5、设数列则当n→∞时,xn是A、无穷大量.B、无穷小量.C、有界变量.D、无界变量.标准答案:D知识点解析:暂无解析6、设A,B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵.若|A|=2,|B|=3,则分块矩阵的伴随矩阵为A、
B、
C、
D、
标准答案:B知识点解析:暂无解析7、A是m×n矩阵,B都n×m矩阵.AB可逆,则A、r(A)=m,r(B)=m.B、r(A)=m,r(B)=n.C、r(A)=n,r(B)=m.D、r(A)=n,r(B)=n.标准答案:A知识点解析:AB是m阶矩阵,AB可逆,则m=r(AB)≤r(A)≤m,得r(A)=m.同理得r(B)=m。8、设函数则f(x)在点x=0处()A、极限不存在B、极限存在,但不连续C、连续,但不可导D、可导标准答案:C知识点解析:不存在,故f’(0)不存在.9、设函数f(x)=若反常积分∫1+∞f(x)dx收敛,则()A、α<一2。B、α>2。C、一2<α<0。D、0<α<2。标准答案:D知识点解析:根据反常积分的收敛性判断,将已知积分分解为∫1+∞f(x)dx=,其中当且仅当α一1<1时才收敛;,当且仅当α>0才收敛。从而仅当0<α<2时,反常积分∫1+∞f(x)dx才收敛,故应选D。10、3阶矩阵A的特征值全为零,则必有()A、秩r(A)=0.B、秩r(A)=1.C、秩r(A)=2.D、条件不足,不能确定.标准答案:D知识点解析:本题考查下列矩阵由于它们的特征值全是零,而秩分别为0,1,2.所以仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的.所以应选D.11、曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形的面积是()A、
B、
C、
D、
标准答案:B知识点解析:当时,lnx≤0;当x∈[1,e]时,lnx≥0.所以面积12、曲线y=f(χ)=-(χ-1)ln|χ-1|的拐点有A、1个.B、2个.C、3个.D、4个.标准答案:B知识点解析:暂无解析13、在下列微分方程中,以y=C1ex+C2cos2x+C2sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是()A、y’’’+y’’一4y’一4y=0。B、y’’’+y’’+4y’+4y=0。C、y’’’一y’’一4y’+4y=0。D、y’’’一y’’+4y’一4y=0。标准答案:D知识点解析:已知题设的微分方程的通解中含有ex、cos2x、sin2x,可知齐次线性方程所对应的特征方程的特征根为λ=1,λ=±2i,所以特征方程为(λ一1)(λ一2i)(λ+2i)=0,即λ3一λ2+4λ一4=0。因此根据微分方程和对应特征方程的关系,可知所求微分方程为y’’’一y’’+4y’一4y=0。故选D。14、微分方程y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为()A、y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。B、y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)。C、y*=ax2+bx+c+Asinx。D、y*=ax2+bx+c+Acosx。标准答案:A知识点解析:对应齐次方程y’’+y=0的特征方程为λ2+1=0,特征根为λ=±i,对于方程y’’+y=x2+1=e0(x2+1),0不是特征根,从而其特解形式可设为y1*=ax2+bx+c,对于方程y’’+y=sinx,i为特征根,从而其特解形式可设为y2*=x(Asinx+Bcosx),因此y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Beosx)。15、设f(χ,y)=sin,则f(χ,y)在(0,0)处().A、对χ可偏导,对y不可偏导B、对χ不可偏导,对y可偏导C、对χ可偏导,对y也可偏导D、对χ不可偏导,对y也不可偏导标准答案:B知识点解析:因为不存在,所以f(χ,y)在(0,0)处对χ不可偏导;因为=0,所以f′t(0,0)=0,即f(χ,y)在(0,0)处对y可偏导,应选B.16、设A为三阶矩阵,将A的第二行加到第一行得到矩阵B,再将B的第一列的一1倍加到第二列得到矩阵C。记P=,则()A、C=P—1AP。B、C=PAP—1。C、C=PTAP。D、C=PAPT。标准答案:B知识点解析:令,则Q=P—1。P是将单位矩阵的第二行加到第一行所得的初等矩阵,则B=PA;Q是将单位矩阵第一列的一1倍加到第二列所得的初等矩阵,则C=BQ;所以C=PAQ=PAP—1。故选B。17、设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是()A、λ1≠0。B、λ2≠0。C、λ1=0。D、λ2=0。标准答案:B知识点解析:令k1α1+k2A(α1+α1)=0,则(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。因为α1,α2线性无关,所以k1+k2λ1=0,且k2λ1=0。当λ2≠0时,显然有k1=0,k2=0,此时α1,A(α1+α2)线性无关;反过来,若α1,A(α1+α2)线性无关,则必然有λ2≠0(否则,α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关)。故选B。18、设则A、A与B既合同又相似.B、A与B合同但不相似.C、A与B不合同但相似.D、A与B既不合同又不相似.标准答案:A知识点解析:暂无解析19、二次型xTAx正定的充要条件是A、负惯性指数为零.B、存在可逆矩阵P,使P-1AP=E.C、A的特征值全大于零.D、存在厅阶矩阵C,使A=CTC.标准答案:C知识点解析:(A)是正定的必要条件.若f(x1,x2,x3)=x1+5x3,虽q=0,但f不正定.(B)是充分条件.正定并不要求特征值全为1.虽A=不和单位矩阵层相似,但二次型xTAx正定.(D)中没有矩阵C可逆的条件,也就推导不出A与E合同,例如C=,A=CTC=,则xTAx不正定.故应选(C).20、设A为m×b矩阵,则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是A的A、列向量组线性无关.B、列向量组线性相关.C、行向量组线性无关.D、行向量组线性相关.标准答案:A知识点解析:设A按列分块为A=[α1α2…αn],则方程组Ax=0的向量形式是x1α1+x2α2+…+xnαn=0,由此可知Ax=0仅有零解x1α1+x2α2+…+xnαn=0,仅在x1=x2=…=xn=0时成立向量组α1,α2,…,αn线性无关.21、设P=,Q为三阶非零矩阵,且PQ=O,则().A、当t=6时,r(Q)=1B、当t=6时,r(Q)=2C、当t≠6时,r(Q)=1D、当t≠6时,r(Q)=2标准答案:C知识点解析:因为Q≠O,所以r(Q)≥1,又由PQ=O得r(P)+r(Q)≤3,当t≠6时,r(P)≥2,则r(Q)≤1,于是r(Q)=1,选(C).22、设A为四阶非零矩阵,且r(A*)=1,则().A、r(A)=1B、r(A)=2C、r(A)=3D、r(A)=4标准答案:C知识点解析:因为r(A*)=1,所以r(A)=4-1=3,选C.23、设,则()A、f(x)在x=x0处必可导,且f’(x0)=aB、f(x)在x=x0处连续,但未必可导C、f(x)在x=x0处有极限,但未必连续D、以上结论都不对标准答案:D知识点解析:本题需将f(x)在x=x0处的左、右导数f+’(x0)和f+’(x0)与在x=x0处的左、右极限区分开。但不能保证f(x)在x0处可导,以及在x0处连续和极限存在。例如显然,x≠0时f’(x)=1,因此但是不存在,所以f(x)在x=0处不连续,不可导。故选D。24、设f(x)为可导函数,且满足条件,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为()A、2B、一1C、D、一2标准答案:D知识点解析:将题中等式两端同乘2,得由导数定义可知f’(1)=一2,故选D。25、函数在(-1,1)内[].A、单调增加B、单调减少C、有极大值D、有极小值标准答案:A知识点解析:暂无解析考研数学二(选择题)模拟试卷第6套一、选择题(本题共25题,每题1.0分,共25分。)1、设f(x)可导,F(x)=f(x)(1+|sinx|),则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的()A、充分必要条件。B、充分条件但非必要条件。C、必要条件但非充分条件。D、既非充分条件也非必要条件。标准答案:A知识点解析:令φ(x)=f(x)|sinx|,显然φ(0)=0。由于而由φ(x)在x=0处可导的充分必要条件是φ’+(0)与φ’—(0)都存在且相等可知,若f(0)=0,则必有φ’+(0)=φ’—(0);若φ’+(0)=φ’—(0),即有f(0)=一f(0),从而f(0)=0。因此f(0)=0是φ(x)在x=0处可导的充分必要条件,也是F(x)在x=0处可导的充分必要条件。故选A。2、设f(x)和φ(x)在(一∞,+∞)上有定义,f(x)为连续函数,且f(x)≠0,φ(x)有间断点,则()A、φ[f(x)]必有间断点。B、[φ(x)]2必有间断点。C、f(φ(x)]必有间断点。D、必有间断点。标准答案:D知识点解析:借助极限的四则运算性质可知,连续×间断=由题意知,函数f(x)连续,且f(x)≠0,则必定间断,故选D。3、设A,B是n阶矩阵,则下列结论正确的是()A、.B、.C、.D、.标准答案:C知识点解析:由|AB|=|A||B|=0,且行列式是数值,故有|A|=0或|B|=0,反之亦成立,故应选C.取,但A≠O,B≠O,选项A不成立.所以应选C.4、“f(x)在点a连续”是|f(x)|在点a处连续的()条件.A、必要非充分.B、充分非必要.C、充分必要.D、既非充分又非必要.标准答案:B知识点解析:f(x)在x=a连续|f(x)|在x=a连续(||f(x)|-|f(a)||≤|f(x)-f(a)|).|f(x)|在x=a连续f(x)在x=a连续.如f(x)=|f(x)|=1,|f(x)|在x=a连续,但f(x)在x=a间断.因此,选(B).5、设f(x)=,则下列结论(1)x=1为可去间断点.(2)x=0为跳跃间断点.(3)x=-1为无穷间断点.中正确的个数是A、0.B、1.C、2.D、3.标准答案:D知识点解析:f(x)=,x=0,±1是f(x)的间断点,按题意,要逐一判断这些间断点的类型.计算可得由于f(0+0)与f(0-0)存在但不相等,故x=0是f(x)的跳跃间断点.x=1是f(x)的可去间断点,又x=-1是f(x)的无穷间断点,因此选D.6、设,则在x=a处A、f(x)的导数存在,且f’(a)≠0.B、f(x)取得极大值.C、f(x)取得极小值.D、f(x)的导数不存在.标准答案:B知识点解析:暂无解析7、设f(χ)连续且F(χ)=f(t)dt,则F(χ)为().A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在标准答案:B知识点解析:=a2f(a),选B.8、若向量α,β,γ线性无关,向量组α,β,δ线性相关,则()A、α必可由β,γ,δ线性表出.B、β必不可由α,γ,δ线性表出.C、δ必可由α,β,γ线性表出.D、δ必不可由α,β,γ线性表出.标准答案:C知识点解析:本题考查向量组的线性相关性和线性表示的概念.要求考生掌握线性无关的向量组的任何部分组都线性无关;若向量组α1,α2……αm线性无关,而α1,α2……αm,β线性相关,则β能由α1,α2……αm线性表示,而且表示法是唯一的.由于向量组α,β,γ线性无关,所以α,β线性无关,又α,β,δ线性相关,知向量δ可由α,β线性表示,所以δ也可由α,β,γ线性表示,故选项C正确,D不正确.选项A、B均不正确,例如,令α=(1,0,0)T,α=(0,1,0)T,β=(0,0,1)T,δ=(0,2,0)T,显然,α,β,γ线性无关,α,β,δ线性相关,但α不能由β,γ,δ线性表示.而β可由α,γ,δ线性表示.9、设函数f’’(x)满足关系式f’’(x)+[f’(x)]2=x,且f’(0)=0,则()A、f(0)是f(x)的极大值。B、f(0)是f(x)的极小值。C、(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点。D、f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点。标准答案:C知识点解析:由于f’’(x)=x一[f’(x)]2,该等式右边可导,故f’’(x)可导。在题设等式两端对x求导,得f’’’(x)+2f’(x)f’’(x)=1。令x=0,可得f’’’(0)=1。又f’’(0)=0,由拐点的充分条件可知,(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点。故选C。10、设函数f(x)在区间(一δ,δ)内有定义,若当x∈(一δ,δ)时,恒有|f(x)|≤x2,则x=0必是f(x)的()A、间断点B、连续,但不可导的点C、可导的点,且f’(0)=0D、可导的点,且f’(0)≠0标准答案:C知识点解析:由题意可知f(0)=0,故f’(0)=0.11、设f(x)具有二阶连续导数,且f’(1)=0,,则()A、f(1)是f(x)的极大值。B、f(1)是f(x)的极小值。C、(1,f(1))是曲线f(x)的拐点。D、f(1)不是f(x)的极值,(1,f(1))也不是曲线f(x)的拐点。标准答案:B知识点解析:选取特殊函数f(x)满足:f’’(x)=(x一1)2,取f(x)=(x一1)4,则f(x)满足题中条件,且f(x)在x=1处取极小值,而其余均不正确。故选B。12、关于函数y=f(x)在点x0的以下结论正确的是()A、若f’(x0)=0,则f(x0)必是一极值B、若f"(x0)=0,则点(x0,f(x0))必是曲线y=f(x)的拐点C、若极限存在(n为正整数),则f(x)在x0点可导,且有D、若f(x)在x0处可微,则f(x)在x0的某邻域内有界标准答案:D知识点解析:(A)不一定,反例:f(x)=x3,f’(0)=0,但x=0非极值点;(B)不一定,需加条件:f"(x)在x0点两侧异号;(C)项所给的只是必要条件,即仅在子列上收敛,这是不够的.13、齐次线性方程组的系数矩阵记为A.若存在3阶矩阵B≠O,使得AB=O,则()A、λ=一2且|B|=0.B、λ=一2且|B|≠0.C、λ=1且|B|=0.D、λ=1且|B|≠0.标准答案:C知识点解析:将矩阵B按列分块,则由题设条件有AB=A(β1,β2,β3)=(Aβ1,Aβ2,Aβ3)=O,即Aβi=0(i=1,2,3),这说明矩阵B的列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解.又由B≠O,知齐次线性方程组Ax=0存在非零解,从而r(A)<3,且A为3阶方阵,故有即λ=1,排除选项A、B.若|B|≠0,则矩阵B可逆.以B一1右乘AB=O,得ABB一1=OB一1,即A=O.这与A为非零矩阵矛盾,选项D不正确,故选C.14、关于次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3,下列说法正确的是()A、是正定的。B、其矩阵可逆。C、其秩为1。D、其秩为2。标准答案:C知识点解析:二次型的矩阵所以r(A)=1,故选项C正确,而选项A,B,D都不正确。15、考虑二元函数f(x,y)的四条性质:①f(x,y)在点(x0,y0)处连续,②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续,③f(x,y)在点(x0,y0)处可微,④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在.则有()A、②→③→①.B、③→②→①.C、③→④→①.D、③→①→④.标准答案:A知识点解析:本题主要考查二元函数f(x,
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