考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷4（共225题）

考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷4（共9套）（共225题）考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷第1套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设函数f(x)对任意的x均满足等式f(1+x)=af(x)，且有f’(0)=b，其中a，b为非零常数，则()A、f(x)在x=1处不可导。B、f(x)在x=1处可导，且f’(1)=a。C、f(x)在x=1处可导，且f’(1)=b。D、f(x)在x=1处可导，且f’(1)=ab。标准答案：D知识点解析：根据题意，令x=0，则f(1)=af(0)。由导数的定义可知，且由f’(0)=b可知，故。故选D。2、设当x→x0时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是()A、设当x→x0时，g(x)是无穷小，则f(x)g(x)必是无穷小B、设当x→x0时，g(x)不是无穷小，则f(x)g(x)必不是无穷小C、设在x=x0的某邻域g(x)无界，则当x→x0时，f(x)g(x)必是无穷大D、设在x=x0的某邻域g(x)有界，则当x→x0时，f(x)g(x)必不是无穷大标准答案：D知识点解析：设f(x)=，当x→0时为无界变量，不是无穷大．令g(x)=x，当x→0时为无穷小，可排除(A)．设x→0时，令f(x)=x2，g(x)=可排除(B)，(C)．3、=()A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：结合二重积分的定义可得4、若f(x)在点x0处可导，则|f(x)|在点x0处()A、必可导B、连续，但不一定可导C、一定不可导D、不连续标准答案：B知识点解析：若取f(x)=x在x=0处可导，但|f(x)|=|x|在x=0处不可导，排除(A)．若取f(x)=x2在x=0处可导，则|f(x)|=|x2|在x=0处也可导，排除(C)，(D)．故选(B)．5、设函数f(x)与g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：(1)若f(x)＞g(x)，则f’(x)＞g’(x)；(2)若f’(x)＞g’(x)，则f(x)＞g(x)．则()A、(1)，(2)都正确B、(1)，(2)都不正确C、(1)正确，但(2)不正确D、(2)正确，但(1)不正确标准答案：B知识点解析：考虑f(x)=e一x与g(x)=一e一x，显然f(x)＞g(x)，但f’(x)=一e一x，g’(x)=e一x，f’(x)＜g’(x)，(1)不正确．将f(x)与g(x)交换可说明(2)不正确．6、设区域D={(x，y)|x2+y2≤4，x≥0,y≥0}f(x)为D上的正值连续函数，a，b为常数，则=()A、abπ。B、C、(a+b)π。D、标准答案：D知识点解析：由根据轮换对称性可得因此正确选项为D。7、曲线r=aebθ(a＞0，b＞0)从θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧长为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：利用极坐标表示曲线的弧长公式，有故选A。8、设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是()A、若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B、若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解．C、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．标准答案：D知识点解析：因为不论齐次线性方程组Ax=0的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(A；b)所以选项A、B均不正确．而由Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A；b)＜n．根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Ax=0必有非零解．所以应选D．9、设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则y(x)=()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：原方程可化为，其通解为曲线y=x+Cx2与直线x=1及x轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为10、下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是()A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：选项A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化．选项B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化．选项C是秩为1的矩阵，因为｜λE—A｜=λ3一4λ2，可知矩阵的特征值是4，0，0．对于二重根λ=0，由秩r(0E—A)=r(A)=1可知齐次方程组(OE—A)x=0的基础解系有3一1=2个线性无关的解向量，即λ=0有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化．选项D是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，一1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ=1，由秩可知齐次方程组(E—A)x=0只有3—2=1个线性无关的解，亦即λ=1，只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选D．11、设B是4×2的非零矩阵，且AB=O，则()A、a=1时，B的秩必为2。B、a=1时，B的秩必为1。C、a≠1时，B的秩必为1。D、a≠1时，B的秩必为2。标准答案：C知识点解析：当a=1时，易见r(A)=1；当a≠1时，则即r(A)=3。由于AB=0，A是3×4矩阵，所以r(A)+r(B)≤4。当a=1时，r(A)=1，1≤r(B)≤3。而B是4×2矩阵，所以B的秩可能为1也可能为2，因此选项A、B均不正确。当a≠1时，r(A)=3，必有r(B)=1，选项D不正确。所以应选C。12、已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为()A、y=C1x+C2x2+ex。B、y=C1x2+C2ex+x。C、y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x。D、y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)。标准答案：C知识点解析：方程y’’+P(x)y’+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x，故选C。13、微分方程y’’一λ2y=eλx+e－λx(λ＞0)的特解形式为()A、a(eλx+e－λx)。B、ax(eλx+e－λx)。C、x(axλx+be－λx)。D、x2(aeλx+be－λx)。标准答案：C知识点解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一λ2=0，其特征根为r1，2=±λ，所以y’’一λ2y=eλx的特解为y1*=axeλx，y’’一λ2y=eλ2x的特解为y2*=bxe－λx，根据叠加原理可知原方程的特解形式为y*=y1*+y2*=x(aeλx＋be－λx)，因此选C。14、设A=E一2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)T，且有ξξT=1，则①A是对称矩阵；②是单位矩阵；③是正交矩阵；④是可逆矩阵。上述结论中，正确的个数是()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：D知识点解析：AT=(E一2ξξT)T=ET一(2ξξT)T=E—2ξξT=A，①成立。A2=(E一2ξξT)(E一2ξξT)=E一4ξξT+4ξξTξξT=E一4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E，②成立。由①②，得A2=AAT=E，故A是正交矩阵，③成立。由③知正交矩阵是可逆矩阵，且A—1=AT，④成立。故选D。15、设线性无关的函数y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3B、C1y1+C2y2一(C1+C2)y3C、C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3D、C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3标准答案：D知识点解析：由于C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3，其中y1一y3和y2一y3是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又y3是原方程的一个特解，所以(D)是原方程的通解．16、若A、30m．B、-15m．C、6m．D、-6m．标准答案：D知识点解析：故应选(D)．17、线性方程组则有()A、若方程组无解，则必有系数行列式|A|=0B、若方程组有解，则必有系数行列式|A|≠0C、系数行列式|A|=0，则方程组必无解D、系数行列式|A|≠0是方程组有唯一解的充分非必要条件标准答案：A知识点解析：方程组无解|A|=0．(反证，若|A|≠0，用克拉默法则，方程组必有解)；(B)方程组有解，|A|可能为零，也可能不为零；(C)|A|=0，方程组也可能有解；(D)|A|≠0方程组解唯一，反过来，若方程组有唯一解|A|一定不为零．18、设则必有()A、AP1P2=BB、AP2P2=BC、P1P2A=BD、P2P1A=B标准答案：C知识点解析：B由A第一行加到第3行(P2左乘A)再将第一，二行对换(再P1左乘P2A)得到，故(C)成立．19、设A是m×n阶矩阵，则下列命题正确的是()．A、若m＜n，则方程组AX＝b一定有无穷多个解B、若m＞n，则方程组AX＝b一定有唯一解C、若r(A)＝n，则方程组AX＝b一定有唯一解D、若r(A)＝m，则方程组AX＝b一定有解标准答案：D知识点解析：因为若r(A)＝m(即A为行满秩矩阵)，则r()＝m，于是r(A)＝r()，即方程组AX—b一定有解，选D．20、设矩阵Am×n，r(A)＝m＜n，Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是()．A、A通过初等行变换必可化为[Em，O]的形式B、A的任意m阶子式不等于零C、A的任意m个列向量必线性无关D、非齐次线性方程组AX＝b一定有无穷多解标准答案：D知识点解析：显然r()≥r(A)＝m，因为为m×(n＋1)矩阵，所以r()≤m，于是r()＝r(A)＝m＜n，故AX＝b一定有无数个解，应选D．21、设．其中D={(x,y)|x2+y2≤1}，则()A、I3＞I2＞I1．B、I1＞I2＞I3．C、I2＞I1＞I3D、I3＞I1＞I2．标准答案：A知识点解析：在积分区域D={(x，y)|x2+y2≤1}上，有(x2+y2)2≤x2+y2≤从而有且等号仅在区域D的边界上成立。故由二重积分的性质，即I3＞I2＞I1，故应选(A)．22、设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且则()A、存在且等于零。B、存在但不一定为零。C、一定不存在。D、不一定存在。标准答案：D知识点解析：取φ(x)=f(x)=g(x)=x，显然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且，但不存在，故A、B排除。再取φ(x)=f(x)=g(x)=1，同样有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且，但可见C不正确。故选D。23、A、1B、2C、1／2D、0标准答案：B知识点解析：暂无解析24、在球x2＋y2＋z2－2z＝0内部的点是[]．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：暂无解析25、设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX|Y(x|y)为()．A、fX(x)B、fY(y)C、fX(x)fY(y)D、fX(x)/fY(y)标准答案：A知识点解析：X与Y不相关，即ρX，Y=0，而(X，Y)服从二维正态分布，因此X与Y独立．于是有fX|Y(x|y)=fX(x)，故选(A)．考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷第2套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、下列各式中正确的是()A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：由重要极限结论可立即排除B、D．对于A、C选项，只要验算其中之一即可．对于C选项，因，故C不正确，选A．2、4阶行列式的值等于()A、a1a2a3a4一b1b2b3b4．B、a1a2a3a4+b1b2b3b4．C、(a1a2一b1b2)(a3a4一b3b4)．D、(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)．标准答案：D知识点解析：根据行列式的按k行(列)展开法则，将此行列式第2、3行(列)展开，得所以应选D．3、设，其中a，b为常数，则()．A、a=1，b=1B、a=1，b=1C、a=-1，b=1D、a=-1，b=-1标准答案：B知识点解析：因为，所以，即a=1，又，选(B)4、设函数f(x)在点x＝a处可导，则函数｜f(x)｜在点x＝a处不可导的允分条件是A、f(a)＝0且f’(a)＝0．B、f(a)＝0且f’(a)≠0．C、f(a)＞0且f’(a)＞0．D、f(a)＜0且f’(a)＜0．标准答案：B知识点解析：暂无解析5、下列广义积分中发散的是【】A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：暂无解析6、设n维列向量组α1…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1…，βm线性无关的充分必要条件是()A、向量组α1…，αm可由向量组β1…，βm线性表示．B、向量组β1…，βm可由向量组α1…，αm线性表示．C、向量组β1…，βm与向量组α1…，αm等价．D、矩阵A=(α1…，αm)与矩阵B=(β1…，βm)等价．标准答案：D知识点解析：本题考查向量线性表示与等价向量组的概念以及对充分必要条件的理解．要求考生掌握两个向量组等价充分必要条件是这两个向量组能互相线性表示；两个同型矩阵等价充分必要条件是它们的秩相等．选项A、B、C都不是向量组β1β2……βm线性无关的必要条件．例如这两个向量组都线性无关，秩都为2，但这两组向量不能互相线性表示，从而不等价．所以选项A、B、C均不正确．但是“矩阵A、B等价的充要条件是r(A)=r(B)”，而所以β1β2……βm也线性无关的充分必要条件r(A)=r(B)，即矩阵A与B等价，故选D．7、设f(x)=2x+3x一2，则当x→0时A、f(x)与x是等价无穷小．B、f(x)与x是同阶但非等价无穷小．C、f(x)是比x较高阶的无穷小．D、f(x)是比x较低阶的无穷小．标准答案：B知识点解析：暂无解析8、设f(x+1)=af(x)总成立，f’(0)=b，a≠1，b≠1为非零常数，则f(x)在点x=1处A、不可导．B、可导且f’(1)=a．C、可导且f’(1)=b．D、可导且f’(1)=ab．标准答案：D知识点解析：按定义考察f’(1)==af’(0)=ab，ab≠a，ab≠b．因此，应选D．9、若f(x)在x0点至少二阶可导，且=一1，则函数f(x)在x=x0处()A、取得极大值B、取得极小值C、无极值D、不一定有极值标准答案：A知识点解析：由于δ＞0，当0＜｜x一x0｜＜δ时，＜0，由于(x一x0)2＞0，于是f(x)一f(x0)＜0，所以f(x0)＞f(x)，x0为极大值点．故选(A)．10、设则三条直线a1x+b1y+c1=0，a2x+b2y+c2=0，a3x+b3y+c3=0(其中ai2+bi2≠0，i=l，2，3)交于一点的充分必要条件是()A、α1,α2,α3线性相关．B、α1,α2,α3线性无关．C、r(α1,α2,α3)=r(α1,α2)．D、α1,α2,α3线性相关，α1,α2线性无关．标准答案：D知识点解析：三直线交于一点的充分必要条件是以下线性方程组或xα1+yα2+α3=0(2)有唯一解．由(2)式可得α3=一xα1一yα2．而方程组(2)(或(1))有唯一解→α3，可由α1，α2线性表示，且表示式唯一．→α1,α2,α3线性相关，α1，α2线性无关．所以应选D．11、曲线y=()A、没有渐近线B、仅有水平渐近线C、仅有铅直渐近线D、既有水平渐近线，也有铅直渐近线标准答案：D知识点解析：=+∞，由渐近线的求法可得正确选项．12、定积分()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：这是无界函数的反常积分，x=±1为瑕点，与求定积分一样，作变量替换x=sint，则故选B。13、设则成立【】A、AP1P2＝BB、AP2P1＝BC、P1P2A＝BD、P2P1A＝B标准答案：C知识点解析：暂无解析14、非齐次线性方程组Ax＝b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则A、r＝m时，方程组Ax＝b有解．B、r＝n时，方程组Ax＝b有唯一解．C、m＝n时，方程组Ax＝b有唯一解．D、r＜n时，方程组Ax＝b有无穷多解．标准答案：A知识点解析：暂无解析15、设u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则=()．A、f’2+xf"11+(x+z)f"12+xzf"22B、xf"12+xzf"22C、f’2+xf"12+xzf"22D、xzf"22标准答案：C知识点解析：=f’1+zf’2，=xf"12+f’2+xzf"22，选(C)16、已知四阶方阵A=(α1,α2,α3,α4)，α1,α2,α3,α4均为四维列向量，冥中α1,α2线性无关，若α1+2α2一α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为()A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：由α1+2α2一α3=β知即，γ1=(1，2，一1，0)T是Ax=β的解。同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T均是Ax=β的解，则η1=γ1一γ2=(0，1，一2，一1)T，η2=γ3一γ2=(1，2，0，1)T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关。于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，则n一r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1,α2线性无关，故r(A)=r(α1,α2,α3,α4)≥2。所以必有r(A)=2，从而n一r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系。所以应选B。17、设平面区域D由x=0，y=0，x+y=[sin(x+y)]3dxdy，则I1，I2，I3的大小顺序为()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2标准答案：C知识点解析：在D内，≤x+y≤1，所以ln(x+y)＜0＜sin(x+y)＜x+y，于是18、设A是m×n矩阵，AT是A的转置，若η1，η2，…，ηt为方程组ATx=0的基础解系，则r(A)=()A、t。B、n—t。C、m—t。D、n一m。标准答案：C知识点解析：r(AT)+t等于AT的列数，即r(AT)+t=m，所以r(AT)=m一t=r(A)。故选C。19、设α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A=αβT，则A的线性无关特征向量个数为()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：因为α，β为非零向量，所以A=αβT≠O，则r(A)≥1，又因为r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1．令AX=λX，由A2X=．αβT．αβTX=O=2X得λ=0，因为r(OE-A)=r(A)=1，所以A的线性无关的特征向量个数为3，应选(C)20、下列说法正确的是()．A、任一个二次型的标准形是唯一的B、若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C、若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D、二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的标准答案：D知识点解析：(A)不对，如f=x1x2，令(B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；(C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一．21、设f(x)二阶连续可导，且，则()．A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、x=0是f(x)的驻点但不是极值点标准答案：C知识点解析：因为f(x)二阶连续可导，且=0，即f’’(0)=0．又=-1＜0，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，有＜0，即当x∈(-δ，0)时，f’’(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f’’(x)＜0．所以(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，选(C)．22、二阶常系数非齐次线性微分方程y"-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式为()．A、(ax+b)e-xB、x2e-xC、x2(ax+b)e-xD、x(ax+b)e-x标准答案：D知识点解析：方程y"-2y’-3y=(2x+1)e-x的特征方程为λ2-2λ-3=0，特征值为λ1=-1，λ2=3，故方程y"-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式为x(ax+b)e-x，选(D)．23、设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为()．A、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B、C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)C、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]D、C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1标准答案：D知识点解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)为方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，选(D)．24、设有直线则L1与L2的夹角为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由已知条件，L1的方向向量为s1=(1，一2，1)．25、若则在点x＝0处[]．A、f(x)可导，g(x)不可导B、f(x)不可导，g(x)可导C、f(x)和g(x)都可导D、f(x)和g(x)都不可导标准答案：B知识点解析：暂无解析考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷第3套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设当x→0时，f(x)=ln(1+x∫)一ln(1+sin∫x)是x的n阶无穷小，则正整数n等于A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：因为因此n=4．2、设f(x)可导f(x)=0,f’(0)=2，，则当x→0时，F(x)是g(x)的()A、低阶无穷小．B、高阶无穷小．C、等价无穷小．D、同阶但非等价无穷小．标准答案：D知识点解析：先改写3、设函数在(一∞，+∞)内连续，且，则常数a，b满足()A、a＜0，b＜0B、a＞0，b＞0C、a≤0，b＞0D、a≥0，b＜0标准答案：D知识点解析：因f(x)连续，所以a+ebx≠0，因此只要a≥0即可。再由可知x→—∞时，a+ebx如必为无穷大(否则极限必不存在)，此时需b<0。故选D。4、若f(x)在开区间(a，b)内可导，且x1，x2是(a，b)内任意两点，则至少存在一点ξ，使下列诸式中成立的是()A、f(x2)一f(x1)=(x1一x2)f’(ξ)，ξ∈(a，b)B、f(x1)一f(x2)=(x1一x2)f’(ξ)，ξ在1x，x2之间C、f(x1)一f(x2)=(x2一x1)f’(ξ)，x1＜ξ＜x2D、f(x1)一f(x1)=(x2一x1)f’(ξ)，x1＜ξ＜x2标准答案：B知识点解析：由拉格朗日中值定理易知(A)，(C)错，(B)正确，又由未知x1与x2的大小关系，知(D)不正确．5、设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，已知r(A)=2，并且A满足A2－2A=0．则下列各标准二次型(1)2y12+2y22．(2)2y12．(3)2y12+2y32．(4)2y22+2y32．中可用正交变换化为f的是()．A、(1)．B、(3)，(4)．C、(1)，(3)，(4)．D、(2)．标准答案：C知识点解析：两个二次型可以用正交变换互相转化的充要条件是它们的矩阵相似，也就是特征值一样．从条件可知，A的特征值0，2，2．(1)，(3)，(4)这3个标准二次型的矩阵的特征值都是0，2，2．(2)中标准二次型的矩阵的特征值是0，0，2．6、若函数f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，且f(0)＜0，f’(x)≥k＞0，则在(0，+∞)内f(x)A、没有零点．B、至少有一个零点．C、只有一个零点．D、有无零点不能确定．标准答案：C知识点解析：讨论函数的零点，一般要用连续函数在闭区间上的介值定理．根据拉格朗日中值定理，f(x)=f(0)+f’(ξ)x(0＜ξ＜x)，得f(x)≥f(0)+kx．显然当x足够大时f(x)＞0，又f(0)＜0，这就表明在(0，x)内存在f(x)的零点，又f’(x)＞0，即有f(x)单调增加，从而零点唯一，故选(C)．7、设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则()．A、当m＞n时，必有｜AB｜≠0B、当m＞n时，必有｜AB｜=0C、当n＞m时，必有｜AB｜≠0D、当n＞m时，必有｜AB｜=0标准答案：B知识点解析：AB为m阶矩阵，因为r(A)≤min{m，n)，r(B)≤min{m，n}，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故当m＞n时，r(AB)≤n＜m，于是｜AB｜=0，选(B)．8、已知α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么向量中，是对应齐次线性方程组Ax=0解向量的共有()A、4。B、3。C、2。D、1。标准答案：A知识点解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1一α2)=Aα1—Aα2=b一b=0，A(α1+α2一2α3)=Aα1+Aα2一2Aα3=b+b一2b=0，A(α1一3α2+2α3)=Aα1一3Aα2+2Aα3=b一3b+2b=0，即α1一α2，α1+α2—2α3，(α2一α1)，α1—3α2+2α3均是齐次方程组Ax=0的解。所以应选A。9、设f(χ)可导，且F(χ)＝f(χ)(1＋｜sinχ｜)在χ＝0处可导，则()．A、f(0)＝0B、f′(0)＝0C、f(0)＝f′(0)D、f(0)＝－f′(0)标准答案：A知识点解析：F(0)＝f(0)，因为F(χ)在χ＝0处可导，所以F′－(0)＝F′＋(0)，于是f(0)＝0，故应选A．10、设A为n阶可逆矩阵，则下列等式中不一定成立的是()A、(A+A—1)2=A2+2AA—1+(A—1)2。B、(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)T。C、(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2。D、(A+E)2=A2+2AE+E2。标准答案：B知识点解析：由矩阵乘法的分配律可知(A+B)2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，当且仅当矩阵A，B可交换(即AB=BA)时，(A+B)2=A2+2AB+B2成立。由于A与A—1，A*，E都是可交换的，而A与AT不一定可交换。故选B。11、微分方程y"一4y’+4y=x2+8e2x的一个特解应具有形式(其中a，b，c，d为常数)()A、ax2+bx+ce2xB、ax2+bx+c+dx2e2xC、ax2+bx+cxe2xD、ax2+(bx2+cx)e2x标准答案：B知识点解析：对应特征方程为r2一4r+4=0，特征根是r1,2=2．而f1=x2，λ1=0非特征根，故y1*=ax2+bx+c．又f2=8e2x，λ2=2是二重特征根，所以y2*=dx2e2x．y1*与y2*合起来就是特解，选(B)．12、设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是()A、α1+α2，α2+α3，α3+α1。B、α1，α1+α2，α1+α2+α3。C、α1—α2，α2—α3，α3—α1。D、α1+α2，2α2+α3，3α3+α1。标准答案：C知识点解析：设存在常数k1，k2，k3使得k1(α1一α2)+k2(α2一α3)+k3(α3一α1)=0，即(k1—k3)α1+(k2一k1)α2+(k3一k2)α3=0。因为向量组α1，α2，α3线性无关，所以该齐次线性方程组系数矩阵的行列式=0，因此方程组有非零解，所以α1—α2，α2一α3，α3一α1线性相关。故选C。13、设区域D由χ＝0，y＝0，χ＋y＝，χ＋y＝1围成，若I1＝[ln(χ＋y)]3dχdy，I2＝(χ＋y)3dχdy，I3＝sin3(χ＋y)dχdy，则()．A、I1＞I2＞I3B、I2＞I3＞I1C、I1＜I2＜I3D、I2＜32＜I1标准答案：B知识点解析：由≤χ＋y≤1得[ln(χ＋y)]5≤0，于是I1＝[ln(χ＋y)]3*dχdy≤0；当≤χ＋y≤1时，由(χ＋y)2≥sin2(χ＋y)≥0得I2≥I3≥0，故I2≥I3≥I1，应选B．14、设A为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是()A、AT。B、A2。C、A*。D、2A。标准答案：D知识点解析：因A为正交矩阵，所以AAT=ATA=E，且｜A｜2=1。而(2A)(2A)T=4AAT=4E，故2A不为正交矩阵。所以选D。事实上，由AT(AT)T=ATA=E，(AT)TAT=AAT=E，可知AT为正交矩阵。由A2(A2)T=A(AAT)AT=AAT=E，(A2)TA2=AT(ATA)A=ATA=E，可知A2为正交矩阵。由A*=｜A｜A－1=｜A｜AT，可得A*(A*)T=｜A｜AT(｜A｜A)=｜A｜2ATA=｜A｜2E=E，(A*)TA*=(｜A｜A)｜A｜AT=｜A｜2AAT=｜A｜2E=E，故A*为正交矩阵。15、若α1，α2，α3线性无关，那么下列线性相关的向量组是A、α1，α1＋α2，α1＋α2＋α3．B、α1＋α2，α1－α2，－α3．C、－α1＋α2，α2＋α3，α3－α1．D、α1－α2，α2－α3，α3－α1．标准答案：D知识点解析：由(α1－α2)＋(α2－α3)＋(α3－α1)＝0，可知α1－α2，α2－α3，α3－α1线性相关．故应选选项D．至于选项A、B、C线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为0来判断．例如，选项A中r(α1，α1＋α2，α1＋α2＋α3)＝r(α1，α1＋α2，α3)＝r(α1，α2，α3)＝3．或(α1，α1＋α2，α1＋α2＋α3)＝(α1，α2，α3)由行列式≠0而知α1，α1＋α2，α1＋α2＋α3线性无关．16、设A是m×n矩阵，AT是A的转置，若η1，η2，…，ηt为方程组ATx=0的基础解系，则r(A)=()A、t。B、n—t。C、m—t。D、n一m。标准答案：C知识点解析：r(AT)+t等于AT的列数，即r(AT)+t=m，所以r(AT)=m一t=r(A)。故选C。17、n阶矩阵A＝的秩为n－1，则a＝()．A、1．B、1／(1－n)．C、－1．D、1／(n－1)．标准答案：B知识点解析：用初等变换化A为阶梯形矩阵来求秩．(这里第一步变换是把第2～n列都加到第1列上；第二步变换是把第2～n行都减去第1行．)如果1＋(n－1)a≠0并且1－a≠0，则r(A)＝n．如果1－a＝0，则r(A)＝1．当1＋(n－1)a＝0时r(A)＝n－1，即a＝1／(1－n)．18、设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组AX＝β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则AX＝β的通解为()A、(η2＋η3)／2＋k1(η2－η1)．B、(η2－η3)／2＋k2(η2－η1)．C、(η2＋η3)／2＋k1(η3－η1)＋k2(η2－η1)．D、(η2－η3)／2＋k1(η3－η1)＋k2(η2－η1)．标准答案：C知识点解析：选项B和D都用(η2－η3)／2为特解，但是(η2－η3)／2不是原方程组解，因此选项B和D都排除．选项A和C的区别在于导出组AX＝0的基础解系上，选项A只用一个向量，而选项C用了两个：(η3－η1)，(η2－η1)．由于η1，η2，η3线性无关，可推出(η3－η1)，(η2－η1)无关，并且它们都是AX＝0的解．则AX＝0的解集合的秩不小于2，从而排除选项A．19、记P＝∫-11ln｜χ＋｜dχ，Q＝∫-11(χ3cosχ－e－χ)dχ，R＝，则()．A、P＜Q＜RB、Q＜R＜PC、Q＜P＜RD、R＜P＜Q标准答案：C知识点解析：暂无解析20、设f(x)二阶连续可导，，则()．A、f(2)是f(x)的极小值B、f(2)是f(x)的极大值C、(2，f(2))是曲线y=f(x)的拐点D、f(2)不是函数f(x)的极值，(2，f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：由，则存在δ>0，当0<｜x-2｜<δ时，有，即当x∈(2-δ，2)时，f’(x)<0；当x∈(2，2+δ)时，f’(x)>0，于是x=2为f(x)的极小点，选(A)．21、函数f(x)=xsinx()A、当x→∞时为无穷大。B、在(一∞，+∞)内有界。C、在(一∞，+∞)内无界。D、当x→∞时有有限极限。标准答案：C知识点解析：所以f(x)在(一∞，+∞)内无界，故选C。22、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析23、A、0B、+∞C、∞D、不存在标准答案：D知识点解析：暂无解析24、设函数z＝f(x，y)在点(x。，y。)处存在对x，y的偏导数，则fˊx(x。，y。)＝[]．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：暂无解析25、设A是n(n>1)阶矩阵，满足Ak=2E(k>2，k∈Z+)，则(A+)k=()．A、(1/2)EB、2EC、2k-1ED、2n-1E标准答案：D知识点解析：暂无解析考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷第4套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x2ln(1一bx)是等价无穷小，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：2、若=()A、30mB、—15mC、6mD、—6m标准答案：D知识点解析：故选D。3、设A是n阶矩阵，则｜(2A)*｜=A、2n｜A*｜．B、2n－1｜A*｜．C、D、标准答案：C知识点解析：｜(2A)*｜=｜2A｜n－1=(2n｜A｜)n－1=2n(n－1)｜A｜n－1=2n(n－1)｜A*｜．或利用(kA)*=kn－1A*，那么｜(2A)*｜=｜2n－1A*｜=(2n－1)｜A*｜=．故应选C．4、设f(0)＝0，则f(χ)在点χ＝0可导的充要条件为【】A、f(1－cosh)存在．B、f(1－eh)存在．C、f(h－sinh)存在．D、[f(2h)－f(h)]存在．标准答案：B知识点解析：暂无解析5、设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是()A、A的列向量线性无关。B、A的列向量线性相关。C、A的行向量线性无关。D、A的行向量线性相关。标准答案：A知识点解析：Ax=0仅有零解的列向量线性无关。故选A。6、若极限＝A，则函数f(χ)在χ＝a处A、不一定可导．B、不一定可导，但f′+(a)＝A．C、不一定可导，但f′-(a)＝A．D、可导，且f′(a)＝A．标准答案：A知识点解析：只有极限存在并不能保证极限都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选A．7、设f(x)在x=a处的左右导数都存在，则f(x)在x=a处()．A、一定可导B、一定不可导C、不一定连续D、连续标准答案：D知识点解析：因为f(x)在x=a处右可导，所以存在，于是f(x)=f(a)，即f(x)在x=a处右连续，同理由f(x)在x=a处左可导，得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，由于左右导数不一定相等，选(D)．8、设函数f(x)满足关系式f’’(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则()A、f(0)是f(x)的极大值．B、f(0)是f(x)的极小值．C、(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D、f(0)不是f(x)的极值，(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点．标准答案：C知识点解析：在题设等式两端对x求导，得f’’(x)+2f’(x)f’’(x)=1．令x=0，可得f’’’(0)=1(因由上式可推得f’’’(x)连续)．又f’’(0)=0，由拐点的充分条件可知，(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点．故选C．9、具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y2=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()A、y’’’一y’’一y’+y=0。B、y’’’+y’’一y’一y=0。C、y’’’一6y’’+11y’一6y=0。D、y’’’一2y’’一y’+2y=0。标准答案：B知识点解析：由y1=e，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，λ=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(λ一1)(λ+1)2=0，即λ3+λ2一λ一1=0，对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0，故选B。10、设f(x)=下述命题成立的是()A、f(x)在[一1，1]上存在原函数。B、令F(x)=∫－1xf(t)dt，则f’(0)存在。C、g(x)在[一1，1]上存在原函数。D、g’(0)存在。标准答案：C知识点解析：由=0=g(0)可知，g(x)在x=0处连续，所以g(x)在[一1，1]上存在原函数。故选C。以下说明选项A、B、D均不正确的原因：A项，=0可知，x=0是f(x)的跳跃间断点，所以在包含x=0的区间上f(x)不存在原函数。B项，由F－’(0)==1，可知F’(0)不存在。D项，由不存在，可知g’(0)不存在。11、=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：此题若立刻作变换tanx=t或tan=t，则在0≤x≤2π上不能确定出单值连续的反函数x=φ(t)．可先利用周期性和奇偶性将积分区间缩小，在此小区间上作变换tanx=t．12、抛物线y2=2x与直线y=x一4所围成的图形的面积为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：选积分变量为y(如图1．3—2)，两条曲线的交点13、下列反常积分收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：选项(A)中，14、z’x(x0，y0)=0和z’y(x0，y0)=0是函数z=z(x，y)在点(x0，y0)处取得极值的()A、必要条件但非充分条件B、充分条件但非必要条件C、充要条件D、既非必要也非充分条件标准答案：D知识点解析：若z=z(x，y)=，则(0，0)为其极小值点，但z’x(0，0)，z’y(0，0)均不存在．15、设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为()．A、C[φ1(x)+φ2(x)]B、C[φ1(x)-φ2(x)]C、C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)D、[φ1(x)-φ2(x)]+Cφ2(x)标准答案：C知识点解析：因为φ1(x)，φ2(x)为方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1(x)-φ2(x)为方程y’+P(x)y=0的一个解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)，选(C)．16、设矩阵Am×n的秩r(A)=r([A|b])=m＜n，则下列说法错误的是()A、AX=0必有无穷多解B、AX=b必无解C、AX=b必有无穷多解D、存在可逆矩阵P，使AP=[EmO]标准答案：B知识点解析：因r(A)=r(|A|b])=m＜n．AX=b必有无穷多解．17、设A是n阶非零矩阵，E是n阶单位矩阵，若A3＝0，则()．A、E－A不可逆，E＋A不可逆．B、E－A不可逆，E＋A可逆．C、E－A可逆，E＋A可逆．D、E－A可逆，E＋A不可逆．标准答案：C知识点解析：暂无解析18、设A=(α1，α2，…，αm)，其中α1，α2，…，αm是n维列向量．若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，则()．A、m＞nB、m=nC、存在m阶可逆阵P，使得AP=D、若AB=O，则B=O标准答案：D知识点解析：因为对任意不全为零的常数k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组AX=0只有零解，故若AB=O，则B=O，选(D)．19、设F(x)=∫xx+2πesintsintdt，则F(x)()A、为正常数．B、为负常数．C、恒为零．D、不为常数．标准答案：A知识点解析：由于esintsint是以2π为周期的函数，且F(x)为esintsint在一个周期长的区间[x，x+2π]上积分，故F(x)为常数，而F(x)=∫xx+2πesintsintdt=∫02πesintsintdt=一∫02πesintdcost=0+∫02πcos2tesintdt＞0．故应选(A)．20、下列矩阵中，不能相似对角化的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：的特征值为7，0，0，因为r(0E-A)=r(A)=2，所以λ=9对应的线性无关的特征向量只有一个，该矩阵不可相似对角化，应选(C)．21、如图3—5，横截面积为S，深为h的水池装满水，其中S，h为常数，水密度ρ=1，g为重力加速度，若将池中的水全部抽到距原水面高为H的水塔上，则所做的功为()A、∫0hS(H+h一y)gdyB、∫0HS(H+h一y)gdyC、∫0hS(H+y)gdyD、∫0HS(H+y)gdy标准答案：A知识点解析：建立坐标系如图3—5．选取y为积分变量，在[0，h]内任取一子区间[y，y+dy]，功的微元(将[y，y+dy]这层水抽至高度为H+h处，克服重力所做的功)dW=S(H+h一y)gdy，于是W=∫0hS(H+h一y)gdy，应选(A)．22、设，则级数()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由于n→∞时发散，故应选C23、设．则()A、f(x)在[1，+∞)单调增加B、f(x)在[1，+∞)单调减少C、f(x)在[1，+∞)为常数D、f(x)在[1，+∞)为常数0标准答案：C知识点解析：按选项要求，先求f’(x)。又f(x)在[1，+∞)连续，则。故选C。24、咒维向量组α1，α2，…，αm(3≤m≤n)线性无关的充要条件是A、存在一组不全为零的数是k1，k2，…，kn，使k1α1+k2α2+…+kmαn=0．B、α1，α2，…，αm中的任意两个向量都线性无关．C、α1，α2，…，αm中存在一个向量不能由其余向量线性表示．D、α1，α2，…，αm中任意一个向量都不能由其余向量线性表示．标准答案：D知识点解析：利用：α1，…，αm线性相关其中存在一个向量可由其余m-1个向量线性表示．25、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷第5套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设f(χ)＝则f(f[(χ)])等于()．A、0B、1C、D、标准答案：B知识点解析：f[f(χ)]＝因为｜f(χ)｜≤1，所以f[f(χ)]＝1，于是f{f[f(χ)]}＝1，选B．2、若f(1+x)=af(x)总成立，且f’(0)=b．(a，b为非零常数)则f(x)在x=1处A、不可导．B、可导且f’(1)=a．C、可导且f’(1)=b．D、可导且f’(1)=ab．标准答案：D知识点解析：暂无解析3、设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得()A、f(x)在(0，δ)内单调增加。B、f(x)在(一δ，0)内单调减少。C、对任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)。D、对任意的x∈(一δ，0)，有f(x)＞f(0)。标准答案：C知识点解析：由导数定义，知。根据极限的保号性，存在δ＞0，使对任意x∈Uδ(0)，有。于是当x∈(一δ，0)时，有f(x)＜f(0)；当x∈(0，8)时，有f(x)＞f(0)。故选C。4、设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于A、A-1+B-1．B、A+B．C、A(A+B)-1B．D、(A+B)-1．标准答案：C知识点解析：暂无解析5、f(x)=则f(x)在x=0处()A、极限不存在。B、极限存在，但不连续。C、连续但不可导。D、可导。标准答案：C知识点解析：由f＋’(0)，f－’(0)都存在可得，f(x)在x=0右连续和左连续，所以f(x)在x=0连续；但f＋’(0)≠f－’(0)，所以f(x)在x=0处不可导。所以选C。6、函数f(χ)＝(χ2－χ－2)｜χ3－χ｜的不可导点有A、3个．B、2个．C、1个．D、0个．标准答案：B知识点解析：函数｜χ｜，｜χ－1｜，｜χ＋1｜分别仅在χ＝0，χ＝1，χ＝－1不可导且它们处处连续．因此只需在这些点考察f(χ)是否可导．f(χ)＝(χ2－χ－2)｜χ｜｜χ－1｜｜χ＋1｜，只需考察χ＝0，1，－1是否可导．考察χ＝0，令g(χ)＝(χ2－χ－2)｜χ2－1｜，则f(χ)＝g(χ)｜χ｜，g′(0)存在，g(0)≠0，φ(χ)＝｜χ｜在χ＝0连续但不可导，故f(χ)在χ＝0不可导．考察χ＝1，令g(χ)＝(χ2－χ－2)｜χ2＋χ｜，φ(χ)：｜χ－1｜，则g′(1)存在，g(1)≠0，φ(χ)在χ＝1连续但不可导，故f(χ)＝g(χ)φ(χ)在χ＝1不可导．考察χ＝－1，令g(χ)＝(χ2－χ－2)｜χ2－χ｜，φ(χ)＝｜χ＋1｜，则g′(－1)存在，g(－1)＝0，φ(χ)在χ＝－1连续但不可导，故f(χ)＝g(χ)φ(χ)在χ＝－1可导．因此选B．7、曲线，当x→-∞时，它有斜渐近线()A、y=x+1B、y=一x+1C、y=一x一1D、y=x—1标准答案：C知识点解析：因此有斜渐近线y=一x一1，应选(C)．8、设g(x)在x=0处二阶可导，且g(0)=g’(0)=0，设则f(x)在x=0处()A、不连续B、连续，但不可导C、可导，但导函数不连续D、可导且导函数连续标准答案：D知识点解析：因所以f(x)在x=0处连续．又根据导数定义当x≠0时，则所以f(x)的导函数在x=0处连续．9、已知f’x(x0，y0)存在，则=()A、f’x(x0，y0)。B、0。C、2f’x(x0，y0)。D、f’x(x0，y0)。标准答案：C知识点解析：由题意=f’x(x0，y0)+f’x(x0，y0)=2f’x(x0，y0)，故选C。10、设f(x)是以l为周期的周期函数，则∫a+kla+(k+l)lf(x)dx之值()A、仅与a有关B、仅与a无关C、与a及k都无关D、与a及k都有关标准答案：C知识点解析：因为f(x)是以l为周期的周期函数，所以∫a+kla+(k+1)lf(x)dx=∫kl(k+1)lf(x)dx=∫0lf(x)dx，故此积分与a及k都无关．11、函数z=f(x，y)在点(x0，y0)可偏导是函数z=f(x，y)在点(x0，y0)连续的()．A、充分条件B、必要条件C、充分必要条件D、非充分非必要条件标准答案：D知识点解析：如f(x，y)=在点(0，0)处可偏导，但不连续；又如f(x，y)=在(0，0)处连续，但对x不可偏导．选(D)．12、设u(x，y)在M0取极大值，并，则A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：偏导数实质是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值．由一元函数的极大值的必要条件可得相应结论．令f(x)=u(x，y0)=>x=x0是f(x)的极大值点=>(若＞0，则x=x0是f(x)的极小值点，于是得矛盾)．同理，令g(y)=u(x0，y)=>y=y0是g(y)的极大值点=>13、设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且则u(x，y)的()A、最大值点和最小值点必定都在D的内部B、最大值点和最小值点必定都在D的边界上C、最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D、最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上标准答案：B知识点解析：令由于B2一AC＞0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以D的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D的内部出现．但是u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域D上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D的边界上．14、设A为三阶矩阵，将A的第二行加到第一行得到矩阵B，再将B的第一列的一1倍加到第二列得到矩阵C。记P=，则()A、C=P—1AP。B、C=PAP—1。C、C=PTAP。D、C=PAPT。标准答案：B知识点解析：令，则Q=P—1。P是将单位矩阵的第二行加到第一行所得的初等矩阵，则B=PA；Q是将单位矩阵第一列的一1倍加到第二列所得的初等矩阵，则C=BQ；所以C=PAQ=PAP—1。故选B。15、比较下列积分值的大小：(Ⅰ)l1=ln3(x+y)dxdy，I0=(x+y)3dxdy，I3=[sin(x+y)]3dxdy，其中D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，则I1，I2，I3之间的大小顺序为A、I1＜I2＜I3．B、I3＜I2＜I1．C、I1＜I3＜I2．D、I3＜I1＜I2．标准答案：C知识点解析：在区域D上，≤x+y≤1．当≤t≤1时，lnt≤sint≤t，从而有(x，y)∈D时，ln3(x+y)sin3(x+y)(x+y)3，则ln3(x+y)dσ＜sin3(x+y)dσ＜(x+y)3dσ．因此选C．16、已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A2α线性无关，而A3α=3Aα一2A2α，那么矩阵A属于特征值λ=一3的特征向量是()A、α。B、Aα+2α。C、A2α一Aα。D、A2α+2Aα一3α。标准答案：C知识点解析：因为A3α+2A2α一3Aα=0。故(A+3E)(A2α一Aα)=0=0(A2α一Aα)。因为α，Aα，A2α线性无关，必有A2α一Aα≠0，所以A2α一Aα是矩阵A+3E属于特征值λ=0的特征向量，即矩阵A属于特征值λ=一3的特征向量。所以应选C。17、设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(αn，α1，…，αn－1)，若｜A｜=1，则｜A—B｜=()A、0。B、2。C、1+(一1)n＋1。D、1+(一1)n。标准答案：A知识点解析：对于行列式｜A一B｜，将第2～n列都加到第一列上，即｜A一B｜=｜α1一αn，α2一α1，…，αn一αn－1｜=｜0，α2一α1，…，αn一αn－1｜=0。18、设线性无关的函数y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3B、C1y1+C2y2一(C1+C2)y3C、C1y1+C2y2一(1一C1一C2)y3D、C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3标准答案：D知识点解析：由于C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3，其中y1一y3和y2一y3是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又y3是原方程的一个特解，所以(D)是原方程的通解．19、设则下列向量中是A的特征向量的是()A、ξ1=[1，2，1]TB、ξ2=[1，一2，1]TC、ξ3=[2，1，2]TD、ξ4=[2，1，一2]T标准答案：B知识点解析：因Aξ2=，故ξ2是A的对应于λ=一2的特征向量．其余的ξ1，ξ3，ξ4均不与Aξ1，Aξ3，Aξ4对应成比例，故都不是A的特征向量．20、设xOy平面上n个不同的点为Mi(xi，yi)，i=1，2，…，n(n≥3)，记则M1，M2，…，Mn共线的充要条件是r(A)=()A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：．其中Mi(xi，yi)，i=1，2，…，n(n≥3)是n个不同的点，至少A中有一个2阶子式不为零．r(A)≥2，又n个点共线，A中任一3阶子式为零，故r(A)＜3．故而r(A)=2．21、设A，P都是n阶可逆阵，λ，ξ分别是A的特征值和对应的特征向量，则P-1A*P的特征值和对应的特征向量分别是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由题设条件Aξ=λξ．(*)其中A可逆，故λ≠0，(*)式两端左边乘A*，得A*Aξ=|A|ξ=λA*ξ，即(**)式两端左边乘P-1，得故知P-1A*P有特征值对应的特征向量为P-1ξ．故应选(A)．22、设当x→0时，ex-(ax2+bx+1)是x2的高阶无穷小，则()．A、B、a=1，b=1C、D、a=-1，b=1标准答案：A知识点解析：由由已知条件得a=，b=1，应选(A)．23、如果函数y1(x)与y2(x)都是以下四个选项给出方程的解，设C1与C2是任意常数，则y=C1y1(x)+C2y2(x)必是()的解．A、)y”+y’+y2=0．B、y”+y’+2y=1．C、D、x+y+∫0xy(t)dt=1．标准答案：C知识点解析：显然将y代入四个方程逐一验证虽可行，但效率低．选项(A)、(D)都不是线性方程，可排除．对于(B)选项，y”+y’+2y=1，则y=C1y1+C2y2应是y”+y’+2y=C1+C2的解，而C1，C2为任意常数，故(B)不正确，根据线性微分方程解的结构定理只有(C)是正确的．24、设f(x)=｜x(1一x)｜，则()A、x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点B、x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点C、x=0是f(x)的极值点，R(0，0)是曲线y=f(x)的拐点D、x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：一般情况下，讨论分段函数的极值点和拐点，主要考虑分段点处。因此，本题只需讨论x=0两边f’(x)f’’(x)的符号。可以选择区间(一1，1)来讨论。可见f’(x)在x=0两边异号，因此(0，0)是极值点;f’’(x)在x=0两边异号，所以(0，0)也是曲线的拐点。故选C。25、设fˊ(lnx)＝1＋x，则f(x)＝[]．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析考研数学二（选择题）高频考点模拟试卷第6套一、选择题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)1、设f(x)=，则f(x)有()A、1个可去间断点，1个跳跃间断点B、1个跳跃间断点，1个无穷间断点C、2个可去间断点D、2个无穷间断点标准答案：A知识点解析：x=0和x=1为f(x)的间断点，其余点连续．因x→1时，lnx=ln(1+x一1)～x一1，则x=1为跳跃间断点．选(A)．2、设函数则f(x)有()A、1个可去间断点，1个跳跃间断点．B、1个可去间断点，1个无穷间断点．C、2个跳跃间断点．D、2个无穷间断点．标准答案：A知识点解析：x=0，x=1时f(x)均无定义，所以x=0，x=1是函数的间断点．并且根据可去间断点和跳跃间断点的定义可知，x=0是可去间断点，x=1是跳跃间断点．因此选A．3、f(x)=xsinxA、在(－∞，+∞)内有界．B、当x→+∞时为无穷大．C、在(－∞，+∞)内无界．D、当→∞时有极限．标准答案：C知识点解析：取xn=2nπ+∈(－∞，+∞)(n=1，2，3，…)，则f(xn)=→+∞(n→∞)．因此f(x)在(－∞，+∞)无界．选C．4、设f(x)=｜(x一1)(x一2)2(x一3)3｜，则导数f’(x)不存在的点个数是()A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：B知识点解析：设φ(x)=(x一1)(x一2)3(x一3)3，则f(x)=｜φ(x)｜．使φ(x)=0的点x=1，x=2，x=3可能是f(x)的不可导点，还需考虑φ’(x)在这些点的值．φ’(x)=(x一2)2(x一3)3+2(x一1)(x一2)(x一3)3+3(x—1)(x一2)2(x一3)3，显然，φ’(1)≠0，φ’(2)=0，φ’(3)=0，所以只有一个不可导点x=1．故选B．5、设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是()A、B、C、一8ln2+3．D、8ln2+3．标准答案：A知识点解析：当x=3时，根据等式t2+2t=3，得t=1，t=一3(舍去)，因此有所以过点x=3(y=ln2)的法线方程为：y—ln2=一8(x一3)，令y=0，可得法线与x轴交点的横坐标为，故应选A．6、设f(x)为二阶可导的奇函数，且x＜0时有f’’(x)＞0，f’(x)＜0，则当x＞0时有()．A、f’’(x)＜0，f’(x)＜0B、f’’(x)＞0，f’(x)＞0C、f’’(x)＞0，f’(x)＜0D、f’’(x)＜0，f’(x)＞0标准答案：A知识点解析：因为f(x)为二阶可导的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，f’(-x)=f’(x)，f’’(-x)=-f’’(x)，即f’(x)为偶函数，f’’(x)为奇函数，故由x＜0时有f’’(x)＞0，f’(x)＜0，得当x＞0时有f’’(x)＜0，f’(x)＜0，选(A)．7、设F(x)=g(x)φ(x)，φ(x)在x=a连续但不可导，又g’(a)存在，则g(a)=0是F(x)在x=a可导的()条件．A、充分必要.B、充分非必要.C、必要非充分.D、既非充分也非必要.标准答案：A知识点解析：①因为φ’(a)不存在，所以不能对g(x)φ(x)用乘积的求导法则；②当g(a)≠0时，若F(x)在x=a可导，可对用商的求导法则．(Ⅰ)若g(a)=0，按定义考察即F’(a)=g’(a)φ(a)．(Ⅱ)再用反证法证明：若F’(a)存在，则必有g(a)=0．若g(a)≠0，由商的求导法则即知φ(x)在x=a可导，与假设条件φ(a)=在x=a处不可导矛盾．因此应选(A)．8、设α1,α2……αs均为n维向量，下列结论中不正确的是()A、若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有ksα1+ksα2+…+ksαs≠0，则α1,α2……αs线性无关．B、若α1,α2……αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有ksα1+ksα2+…+ksαs≠0C、α1,α2……αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s．D、α1,α2……αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．标准答案：B知识点解析：选项A的条件即齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xsαs=0只有零解，故α1,α2……αs线性无关，选项A正确．对于选项B，由α1,α2……αs线性相关知，齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xsαs=0存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项B是错误的．选项C是教材中的定理．由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项D也是正确的．综上可知，应选B．9、设周期函数f(x)在(一∞，+∞)内可导，周期为4，又=一1，则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为()A、B、0C、一1D、一2标准答案：D知识点解析：因为函数f(x)周期为4，曲线在点(5，f(5))处的切线斜率与曲线在点(1，f(1))处的切线斜率相等，根据导数的几何意义，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率即为函数f(x)在点x=1处的导数．即f’(1)=一2．10、设f(x)=在x=0处可导，则a，b满足A、a=0，b=0．B、a=1，b=1．C、a为常数，b=0．D、a为常数，b=1．标准答案：A知识点解析：首先，f(x)在x=0连续<=>=f(0)，即b=0．然后，f(x)在x=0可导<=>f’+(0)=f’－(0)．当b=0时，f(x)=按定义求出f’－(0)==0．由求导法则知f’－(0)=(ax)’｜x=0=a．由f’+(0)=f’－(0)得a=0．因此选A．11、设区域D由曲线围成，则=()A、π。B、2。C、一2。D、一π。标准答案：D知识点解析：区域D如图1一4—9中阴影部分所示，引入曲线y=一sinx将区域分为D1，D2，D3，D4四部分。由于D1，D2关于y轴对称，可知在D1∪D2上关于x的奇函数积分为零，故；又由于D3，D4关于戈轴对称，可知在D3∪D4上关于y的奇函数为零，故。因此故选D。12、设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是()．A、∫0xt[f(t)-f(-t)]dtB、∫0xt[f(t)+f(-t)]dtC、∫0xf(t2)dtD、∫0xf2(t)dt标准答案：B知识点解析：因为t[f(t)-f(-t)]为偶函数，所以∫0xt[f(t)-f(-t)]dt为奇函数，(A)不对；因为f(t2)为偶函数，所以∫0xf(t2)dt为奇函数，(C)不对；因为不确定f2(t)的奇偶性，所以(D)不对；令F(x)=∫0xt[f(t)+f(-t)]dt，F(-x)=∫0-xt[f(t)+f(-t)]dt=∫0x(-u)[f(u)+f(-u)](-du)=F(x)，选(B)．13、设A为n阶方阵，且A+E与A—E均可逆，则下列等式中不成立的是()A、(A+E)2(A—E)=(A—E)(A+E)2。B、(A+E)-1(A—E)=(A—E)(A+E)-1。C、(A+E)T(A—E)=(A—E)(A+E)T。D、(A+E)(A—E)*=(A—E)*(A+E)。标准答案：C知识点解析：由A与E可交换可得，A+E与A—E可交换，进而(A+E)2与A—E也可交换，故选项A正确。显然，(A一E)(A+E)=(A+E)(A—E)。若在等式两边同时左、右乘(A+E)一1，可得(A+E)一1(A—E)=(A—E)(A+E)一1；若先在等式两边同时左、右乘(A—E)一1，可得(A+E)(A—E)一1=(A—E)一1(A+E)，再在所得的等式两边同时乘以｜A—E｜，即得(A+E)(A—E)*=(A—E)*(A+E)。故选项B，D正确。事实上，只有当ATA=AAT时，(A+E)T(A一E)=(A—E)(A+E)T才成立。而ATA=AAT不一定成立。例如：取可见ATA≠AAT。所以选C。14、设f(χ)为可导函数，F(χ)为其原函数，则()．A、若f(χ)是周期函数，则F(χ)也是周期函数B、若f(χ)是单调函数，则F(χ)也是单调函数C、若f(χ)是偶函数，则F(χ)是奇函数D、若f(χ)是奇函数，则F(χ)是偶函数标准答案：D知识点解析：令f(χ)＝cosχ－2，F(χ)＝sinχ－2χ＋C，显然f(χ)为周期函数，但F(χ)为非周期函数，A不对；令f(χ)＝2χ，F(χ)＝χ2＋C，显然f(χ)为单调增函数，但F(χ)为非单调函数，B不对；令f(χ)＝χ2，F(χ)＝χ3＋2，显然f(χ)为偶函数，但F(χ)为非奇非偶函数，C不对；若f(χ)为奇函数，F(χ)＝∫aχf(t)dt，因为F(－χ)＝∫a－χf(t)dt∫-aχf(u)(－du)＝∫-aχf(u)du＝∫-aaf(u)du＋∫aχf(u)du＝∫aχf(u)du＝F(χ)，所以F(χ)为偶函数，选D．15、设A是任一n阶矩阵，下列交换错误的是A、A*A＝AA*．B、AmAp＝ApAm．C、ATA＝AAT．D、(A＋E)(A－E)＝(A－E)(A＋E)．标准答案：C知识点解析：因为AA*＝A*A＝｜A｜E，AmAp＝ApAm＝Am+p，(A＋E)(A－E)＝(A－E)(A＋E)＝A2－E，所以选项A、B、D均正确．而故C不正确．16、设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是()．A、若A，B可逆，则A+B可逆B、若A，B可逆，则AB可逆C、若A+B可逆，则A-B可逆D、若A+B可逆，则A，B都可逆标准答案：B知识点解析：若A，B可逆，则｜A｜≠0，｜B｜≠0，又｜AB｜=｜A｜｜B｜，所以｜AB｜≠0，于是AB可逆，选(B)．17、设A是任一n阶矩阵，下列交换错误的是A、A*A=AA*．B、AmAP=ApAm．C、ATA=AAT．D、(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)．标准答案：C知识点解析：因为AA*=A*A=｜A｜E，AmAp=ApAm=Am+p，(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)=A2-E，所以(A)、(B)、(D)均正确．而AAT=，ATA=，故(C)不正确．18、设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是()．A、向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表示B、向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表示C、向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价D、矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩