河南省南阳市高三上学期期末数学（文）试题

2021届河南省南阳市高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数不等式的解法，化成同底，利用单调性即可求出集合，然后利用对数不等式的解法求出集合，注意定义域，最后根据并集的定义求出所求．【详解】解：，，所以，故选：．2．，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用复数的除法化简复数z，再利用复数的模的公式求解.【详解】因为，所以，故选：B3．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值是，大约为，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割.在直角三角形中，为斜边，如果一直角边是将斜边进行黄金分割成两部分中的较长部分，则成等比数列.现有一直角三角形恰好满足上面的特性，其斜边长为，则它的两直角边平方差的绝对值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设直角三角形的三边分别为a，b，c，则，利用等比中项的定义得到，从而得到关于a的方程，利用求根公式求出a的值，即可得到b的值，求解两直角边平方差的绝对值即可．【详解】设直角三角形的三边分别为a，b，c，则，所以①，

又因为a，b，c成等比数列，则有，代入①中，可得，

即，所以，

则有(负值舍去)，

所以，则，

，所以．

故选：A．4．（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，利用两角和的余弦公式求解.【详解】，，故选：C5．如图的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入，，的值分别为，，，则输出和的值分别为A．， B．， C．， D．，【答案】A【详解】模拟执行程序框图，可得：，，不满足，不满足，，满足，，满足，，

不满足，满足，输出的值为2，的值为4，故选A.6．若函数不存在极值点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导函数没有变号零点，结合指数函数的性质，即可得解.【详解】,由于函数f(x)不存在极值点，所以不存在变号零点，所以恒成立，即，故选：D.7．已知圆为直线上任一点，过点作圆的切线（为切点），则最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据切线满足的关系知，，求最小值等价于求点C到直线l的距离，根据点到直线的距离公式求得此时的，即可求得.【详解】由题知，圆C是以为圆心，1为半径的圆，如图所示，根据切线满足的关系知，，求最小值等价于求点C到直线l的距离，此时，故选：A8．已知数列是等差数列，是其前项和，且，则数列最大项与最小项的和是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由①，②，作差求出数列的通项公式，再结合单调性确定最大值最小值，进而可得答案．【详解】解：因为，①，②，①②得，所以，，所以，所以，满足，所以数列的通项公式为，所以，令，且所以在上单调递减，在，上单调递减，为渐近线，所以（3），（4），所以，故选：C．9．年月日党的十八届五中全会决定:坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策﹐积极开展应对人口老龄化行动.某夫妇已经有一个小孩.夫妇俩决定再要一个小孩，假定生男、生女是等可能的.若这个家庭现在的小孩是个女孩，则第二胎还是女孩的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用列举法求出基本事件总数有2种，第二胎还是女孩的情况只有1种，由此能求出第二胎还是女孩的概率．【详解】解：某夫妇已经有一个小孩．夫妇俩决定再要一个小孩，假定生男、生女是等可能的．若这个家庭现在的小孩是个女孩，则基本事件有：（女男），（女女），其两种情况，第二胎还是女孩的情况只有一种：（女女），第二胎还是女孩的概率是．故选：A．10．设分别是双曲线左、右焦点，是双曲线右支上一点，且，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线定义结合条件，求得，是双曲线右支上一点，则其应满足，从而求得离心率取值范围.【详解】由双曲线定义知，，又，故，是双曲线右支上一点，则其应满足，即，故离心率的取值范围是故选：B11．已知，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，得到，代入，求得t，然后得到a，b代入，利用换底公式和对数运算求解.【详解】设，则，所以，解得，所以，，，，，故选：D12．已知函数，若方程有三个不等根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出函数的图象，将方程有三个不等根转化为的交点问题得到的范围，设，由，得到，由求解.【详解】当时，，，所以是减函数，作出函数的图象，如图所示：因为方程有三个不等根，所以，设，则，所以，即，即，所以，又因为，所以的取值范围是，故选：C【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．二、填空题13．设满足约束条件，则的最大值是__________【答案】【分析】作出约束条件表示的可行域，把目标函数转化为斜截式，通过平行移动求最大值.【详解】作出约束条件表示的可行域，如图，目标函数转化为，平行移动直线，可知，当直线过点时，在轴上的截距最大，此时.故答案为：2.14．已知:，其中，则在上的投影的最小值是__________．【答案】【分析】利用投影的定义得到在上的投影是，再利用基本不等式求解.【详解】因为:，所以在上的投影是，当且仅当，即时，等号成立，所以在上的投影的最小值是2.故答案为：15．已知圆锥的底面周长是，母线长是，则该圆锥内切球的表面积是__________．【答案】【分析】先求得圆锥底面半径，再利用轴截面的面积建立关于内切球半径的等式，进而得解．【详解】解：设圆锥底面半径为r，则，解得，

设内切球半径为R，则利用轴截面等面积法可得，解得，

该圆锥内切球的表面积为．

故答案为：．16．已知函数对任意都有，若在上的取值范围是，则实数的取值范围是__________．【答案】【分析】由辅助角公式可得，由题意可知的最大值为，可求得，然后结合已知函数的值域及正弦函数的图象的性质可求实数的取值范围．【详解】解：，其中，因为函数对任意，都有，所以的最大值为，所以，即，，所以，所以，因为，所以，若在，上的值域为，所以结合正弦函数的性质可知，，解得，即实数的取值范围是，．故答案为：，．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数对任意，都有求得函数的最大值，从而求得的值，才能解决函数的解析式，利用三角函数性质解决问题.三、解答题17．已知，在中，角所对的边分别为（1）求的值（2）若，求边上的高的长【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求的值，由，可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值．（2）由正弦定理可求的值，利用两角和的正弦公式可求的值，解三角形可求的值．【详解】解析：，而由正弦定理可知：故由，得又.18．已知，在三棱锥中，，且（1）求证:平面平面（2）若是三棱锥外接球上任一点，求三棱锥体积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接，只需证明平面即可；（2）首先得出点为三棱锥外接球的球心，所以为球的直径，则过三角形的截面圆为球的大圆因此当且仅当点是垂直于平面的球的直径端点时，三棱锥体积最大，进而可求得结果.【详解】（1）取的中点，连接，由题意，易得，在中，由得因为，所以，即，又为中点，所以，而平面平面，所以平面，又平面，故平面平面.（2）由（1）知：，所以点为三棱锥外接球的球心.同时，为球的直径，则过三角形的截面圆为球的大圆,因此，当且仅当点是垂直于平面的球的直径端点时，三棱锥体积最大.即三棱锥体积的最大值为.19．高三年级计划从甲、乙两个班中选择一个班参加学校的知识竞赛，设甲班的成绩为，乙班的成绩为，两个班以往次竞赛的成绩(满分分)统计如下:（1）请计算甲、乙两班的平均成绩和方差，从求得数据出发确定派哪个班参加竞赛更合适(方差保留一位小数)（2）若，则称甲、乙属于“同一阶层”.若从上述次考试中任取三次，求至少有两次甲、乙属于“同一阶层”的概率.附：方差【答案】（1）130，130，69.3，75.3，派甲班参加比赛更合适；（2）.【分析】（1）分别计算出甲、乙两班的均值和方差，进行比较即可确定排哪个班级参赛；（2）上述次考试中有的成绩为甲、乙属于“同一阶层”，然后枚举出所有的次考试中任选三次的情况，找出其中至少有两次甲、乙属于“同一阶段”的情况即可求得概率.【详解】解析：由于，，所以派甲班参加比赛更合适上述次考试中有的成绩为甲、乙属于“同一阶层”，从次考试中任选三次，总共有共种结果其中至少有两次甲、乙属于“同一阶段”的有次，则至少有两次甲、乙属于“同一阶段”的概率为20．已知:椭圆的左、右焦点分别为为其上顶点，长轴长为.（1）求椭圆的方程;（2）在椭圆上是否存在一点(位于第一象限)，使得，若存在，求出点的坐标，并求的面积.若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，，.【分析】（1）根据已知条件，求得a,b的值，得到标准方程；（2）由已知得，由此并结合椭圆的方程求得B的坐标，进而利用三角形面积公式计算即得.【详解】解析：由题意可得：,因为,解得所以椭圆的方程为：;设,,∴直线和的斜率存在，且,即,,又点是椭圆上位于第一象限的一点，因此有,解之得,即,故.21．已知函数（1）当时，求函数在处的切线方程;（2）若的最小值为，求函数的解析式.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题知，进而求导，根据导数几何意义求解即可；（2）分,两类情况讨论求解，其中当时得，进而构造函数结合函数单调性和求函数零点即可.【详解】解：（1）当时，，而在处的切线方程为：即当时，在上为增函数，无最小值;当时，由，得时，为减函数，时，为增函数，令由，得易知在上递增，在上递减，且只有一解函数的解析式为【点睛】时得，进而构造函数结合函数单调性和求函数零点.22．在平面直角坐标系中，已知直线经过点，倾斜角，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的极坐标方程为.（1）写出直线的参数方程，并把圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设与圆相交于、两点，求的值.【答案】（1）：（为参数），C：；（2）【分析】（1）根据直线经过的点及直线的倾斜角，求出直线的参数方程，利用极坐标与直角坐标的互化方法，求出圆的直角坐标方程；（2）设、两点对应的参数为和，以直线的参数方程代入圆的方程，整理可得，由根与系数的关系可得与，根据直线的参数方程中参数的几何意义，计算即可.【详解】解：（1）直线的参数方程为（为参数），即（为参数），由，得，，圆C的直角坐标方程为（2）设、两点对应的参数为和，把（为参数），代入，化简整理得，，则，，.【点睛】本题考查了直线的参数方程及参数的几何意义，考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了转化能力与计算能力，属于中