不定积分定积分练习题

不等积分与定积分练习题一、基本概念题1.判断下列函数是否可积，并说明理由：(1)$f(x)=|x|$在区间$[1,1]$上；(2)$f(x)=\frac{1}{x}$在区间$[1,+\infty)$上；(3)$f(x)=\sinx$在区间$[0,2\pi]$上。2.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，求$f(x)$在$[a,b]$上的不定积分。3.若$\int(3x^25)dx=ax^35x+C$，求常数$a$。二、不定积分计算题(1)$\int(2x^33x^2+4)dx$；(2)$\int\frac{1}{x^2}dx$；(3)$\inte^x\sinxdx$。(1)$\int\sqrt{1x^2}dx$；(2)$\int\lnxdx$；(3)$\int\frac{\cosx}{\sin^2x}dx$。三、定积分计算题(1)$\int_{0}^{1}(x^2+2x)dx$；(2)$\int_{1}^{1}|x|dx$；(3)$\int_{0}^{\pi}\sinxdx$。(1)$\int_{2}^{2}(x^3x)dx$；(2)$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cosxdx$；(3)$\int_{0}^{2\pi}\sin^2xdx$。四、定积分应用题1.计算由曲线$y=x^2$，直线$x=1$和$x=3$所围成的图形的面积。2.计算由曲线$y=e^x$，直线$x=0$和$x=1$所围成的图形的面积。3.求曲线$y=\sinx$在区间$[0,\frac{\pi}{2}]$上的弧长。4.求曲线$y=\lnx$在区间$[1,e]$上的弧长。五、定积分的比较题1.比较下列定积分的大小，并说明理由：(1)$\int_{0}^{1}e^xdx$与$\int_{1}^{2}e^xdx$；(2)$\int_{0}^{\pi}\sinxdx$与$\int_{0}^{\pi}\cosxdx$；(3)$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx$与$\int_{2}^{3}\frac{1}{x}dx$。六、定积分的极限题1.计算下列极限：(1)$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}n(x^nx^{n+1})dx$；(2)$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n}\frac{1}{1+x^2}dx$；(3)$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n}\frac{\sinx}{n}dx$。七、定积分的变限积分题1.设$F(x)=\int_{0}^{x}\sqrt{1+t^2}dt$，求$F'(x)$。2.设$G(x)=\int_{x}^{x^2}e^tdt$，求$G'(x)$。3.设$H(x)=\int_{\lnx}^{e^x}\sintdt$，求$H'(x)$。八、综合应用题1.已知函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且满足$\int_{0}^{1}f(x)dx=1$，求$\int_{0}^{1}x^2f(x)dx$。2.设$f(x)$是区间$[0,+\infty)$上的可积函数，且$\int_{0}^{+\infty}f(x)dx$收敛，证明：$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n}(f(x)f(2nx))dx=0$。3.计算由曲线$y=e^{x}$，直线$x=0$，$x=1$和$y=0$所围成的图形的面积，并求该图形绕$x$轴旋转一周所形成的旋转体的体积。4.已知$f(x)$是周期为$2\pi$的可积函数，证明：$\int_{0}^{2\pi}f(x+\frac{\pi}{4})dx=\int_{0}^{2\pi}f(x)dx$。答案一、基本概念题1.(1)可积，因为绝对值函数在闭区间上连续；(2)不可积，因为函数在$x=0$处无界；(3)可积，因为三角函数在闭区间上连续。2.$\intf(x)dx=F(x)+C$，其中$F'(x)=f(x)$。3.$a=3$。二、不定积分计算题1.(1)$\int(2x^33x^2+4)dx=\frac{1}{2}x^4x^3+4x+C$；(2)$\int\frac{1}{x^2}dx=\frac{1}{x}+C$；(3)$\inte^x\sinxdx=\frac{1}{2}e^x(\sinx\cosx)+C$。2.(1)$\int\sqrt{1x^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{1x^2}+\frac{1}{2}\arcsinx+C$；(2)$\int\lnxdx=x\lnxx+C$；(3)$\int\frac{\cosx}{\sin^2x}dx=\frac{1}{\sinx}+C$。三、定积分计算题1.(1)$\int_{0}^{1}(x^2+2x)dx=\frac{5}{3}$；(2)$\int_{1}^{1}|x|dx=2$；(3)$\int_{0}^{\pi}\sinxdx=2$。2.(1)$\int_{2}^{2}(x^3x)dx=0$，因为被积函数是奇函数；(2)$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cosxdx=2$，因为被积函数是偶函数；(3)$\int_{0}^{2\pi}\sin^2xdx=\pi$。四、定积分应用题1.面积$S=\frac{26}{3}$。2.面积$S=e1$。3.弧长$L=1$。4.弧长$L=e1$。五、定积分的比较题1.(1)$\int_{0}^{1}e^xdx<\int_{1}^{2}e^xdx$，因为$e^x$是增函数；(2)$\int_{0}^{\pi}\sinxdx=\int_{0}^{\pi}\cosxdx$，因为正弦和余弦函数在一个周期内的积分相等；(3)$\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx>\int_{2}^{3}\frac{1}{x}dx$，因为函数$\frac{1}{x}$在区间$[1,+\infty)$上递减。六、定积分的极限题1.(1)$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}n(x^nx^{n+1})dx=\frac{1}{2}$；(2)$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n}\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{2}$；(3)$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n}\frac{\sinx}{n}dx=