高中数学一轮复习课时作业梯级练十六导数与不等式课时作业理含解析新人教A版

一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业梯级练十六导数与不等式一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知函数f(x)=x2ex,当x∈〖-1,1〗时,不等式f(x)<m恒成立,则实数m的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.〖e,+∞) D.(e,+∞)〖解析〗选D.由f′(x)=xex(x+2),令f′(x)=0,得x=0或x=-2(舍去).当x∈〖-1,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(0,1〗时,f′(x)>0,f(x)单调递增,f(-1)=QUOTE,f(1)=e,所以f(x)最大=f(1)=e,由题意得m>e.2.(2021·绵阳模拟)函数f(x)在R上存在导数,若(x-1)f′(x)≤0,则必有 ()A.f(0)+f(2)≤2f(1) B.f(0)+f(2)<2f(1)C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)〖解析〗选A.QUOTEf′QUOTE≤0,则x>1时f′QUOTE≤0;x<1时f′QUOTE≥0.故f(x)在QUOTE上为增函数或常数函数,在QUOTE上为减函数或常数函数.故fQUOTE≤fQUOTE,fQUOTE≤fQUOTE,即f(0)+f(2)≤2f(1).3.若不等式xex-lnx-1≥kx对任意的x>0都成立,则实数k的取值范围是()A.(-∞,1〗 B.QUOTEC.(-∞,e〗 D.QUOTE〖解析〗选A.因为xex-lnx-1≥kx对任意的x>0都成立,运用“x∈R时,ex≥x+1恒成立”的结论可得,xex-lnx-1=ex+lnx-lnx-1≥x+lnx+1-lnx-1=x,即(k-1)x≤0对任意的x>0都成立,即k-1≤0,解得k≤1.4.已知函数f(x)=QUOTEx3-x2-QUOTEx,则f(-a2)与f(-1)的大小关系为 ()A.f(-a2)≤f(-1)B.f(-a2)<f(-1)C.f(-a2)≥f(-1)D.f(-a2)与f(-1)的大小关系不确定〖解析〗选A.由题意可得f′(x)=QUOTEx2-2x-QUOTE.由f′(x)=QUOTE(3x-7)(x+1)=0,得x=-1或x=QUOTE.当x<-1时,f(x)为增函数;当-1<x<QUOTE时,f(x)为减函数.所以f(-1)是函数f(x)在(-∞,0〗上的最大值,又因为-a2≤0,故f(-a2)≤f(-1).5.(2021·北海模拟)已知函数f(x)QUOTE满足f(1)=1,且f(x)的导数f′QUOTE>QUOTE,则不等式f(x2)<QUOTE+QUOTE的解集为 ()A.(-∞,-1) B.(1,+∞)C.QUOTE∪QUOTE D.QUOTE〖解析〗选D.设F(x)=f(x)-QUOTEx,则F′(x)=f′(x)-QUOTE,因为f′(x)>QUOTE,所以F′(x)=f′(x)-QUOTE>0,即函数F(x)在R上单调递增.f(x2)<QUOTE+QUOTE可转化为f(x2)-QUOTE<f(1)-QUOTE,即F(x2)<F(1),而函数F(x)在R上单调递增,x2<1,所以-1<x<1.6.已知a∈R,设函数f(x)=QUOTE若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为 ()A.〖0,1〗 B.〖0,2〗C.〖0,e〗 D.〖1,e〗〖解析〗选C.当x≤1时,由f(x)=x2-2ax+2a≥0恒成立,而二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=a,所以当a≥1时,f(x)min=f(1)=1>0恒成立,当a<1时,f(x)min=f(a)=2a-a2≥0,所以0≤a<1.综上,a≥0.当x>1时,由f(x)=x-alnx≥0恒成立,即a≤QUOTE恒成立.设g(x)=QUOTE,则g′(x)=QUOTE.令g′(x)=0,得x=e,且当1<x<e时,g′(x)<0,当x>e时,g′(x)>0,所以g(x)min=g(e)=e,所以a≤e.综上,a的取值范围是〖0,e〗.7.(2020·广州模拟)已知函数f(x)=e|x|-ax2,对任意x1<0,x2<0,x1≠x2,都有(x2-x1)〖f(x2)-f(x1)〗<0,则实数a的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选A.因为对任意x1<0,x2<0,x1≠x2,(x2-x1)〖f(x2)-f(x1)〗<0恒成立,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,即f(x)=e-x-ax2在(-∞,0)上单调递减,故f′(x)=-QUOTE-2ax≤0在(-∞,0)上恒成立,即-2ax≤QUOTE在(-∞,0)上恒成立.因为QUOTE>1,所以当a≤0时上述不等式恒成立.当a>0时,若a=QUOTE,如图,作出函数y=-ex对应的直线与y=QUOTE的图象,则两图象相切于点(-1,e),故当0<a≤QUOTE时,-2ax≤QUOTE在(-∞,0)上恒成立.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知函数fQUOTE=QUOTE若不等式fQUOTE≤QUOTE对任意的x∈R恒成立,则实数k的取值范围是.

〖解析〗当x≥1时,fQUOTE=lnx⇒f′(x)=QUOTE⇒f′(1)=1,所以函数fQUOTE在(1,0)处的切线方程为:y=x-1,令g(x)=QUOTE,它与横轴的交点坐标为(k,0).在同一直角坐标系内画出函数fQUOTE=QUOTE和g(x)=QUOTE的图象如图所示:利用数形结合思想可知:不等式fQUOTE≤QUOTE对任意的x∈R恒成立,则实数k的取值范围是k≤1.〖答案〗:k≤19.若对任意a,b满足0<a<b<t,都有blna<alnb,则t的最大值为.

〖解析〗因为0<a<b<t,blna<alnb,所以QUOTE<QUOTE,令y=QUOTE,x∈(0,t),则函数在(0,t)上单调递增,故y′=QUOTE>0,解得0<x<e,故t的最大值是e.〖答案〗:e10.函数fQUOTE=2sinx-ax在QUOTE上单调递减,则实数a的取值范围为.

〖解析〗因为fQUOTE=2sinx-ax,x∈QUOTE,所以f′QUOTE=2cosx-a.因为函数fQUOTE=2sinx-ax在QUOTE上单调递减,所以f′QUOTE=2cosx-a≤0在QUOTE上恒成立,即a≥2cosx在QUOTE上恒成立,因为gQUOTE=2cosx在x∈QUOTE上单调递减,所以gQUOTE=g(0)=2cos0=2,所以a≥2,即a∈QUOTE.〖答案〗:〖2,+∞)1.(5分)(2021·宁波模拟)若关于x(x>0)的不等式QUOTE≤QUOTE有正整数解,则实数λ的最小值为 ()A.9B.8C.7D.6〖解析〗选A.由QUOTE≤QUOTE两边取对数,得QUOTElnx≥3ln3存在正整数解,则λ>0,故QUOTE≥QUOTE.记函数f(x)=QUOTE,则由f′(x)=QUOTE知函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,注意到2<e<3,故只需考虑f(2),f(3)的大小关系,因为f(2)=QUOTE=f(4)<f(3),故f(3)=QUOTE≥QUOTE,即λ≥9.2.(5分)(2021·汕头模拟)已知函数f(x)=ex-lnx,则下列对函数f(x)的描述正确的是 ()A.∀x∈(0,+∞),f(x)≤2B.∀x∈(0,+∞),f(x)>2C.∃x0∈(0,+∞),f(x0)=0D.f(x)min∈(0,1)〖解析〗选B.易知f(x)=ex-lnx的定义域为(0,+∞),且f′(x)=ex-QUOTE=QUOTE,令g(x)=xex-1,x≥0,则g′(x)=(x+1)ex>0,在〖0,+∞)上恒成立,则g(x)在〖0,+∞)上单调递增,又g(0)·g(1)=-(e-1)<0,所以∃x0∈(0,1),使g(x0)=0,则f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,即f(x)min=f(x0)=QUOTE-lnx0,又QUOTE=QUOTE,x0=-lnx0,所以f(x)min=QUOTE+x0>2.3.(5分)函数f(x)=x-2sinx,对任意的x1,x2∈〖0,π〗,恒有|f(x1)-f(x2)|≤M,则M的最小值为.

〖解析〗因为f(x)=x-2sinx,所以f′(x)=1-2cosx,所以当0<x<QUOTE时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当QUOTE<x<π时,f′(x)>0,f(x)单调递增;所以当x=QUOTE时,f(x)有极小值,也是最小值,即f(x)min=fQUOTE=QUOTE-2sinQUOTE=QUOTE-QUOTE.又f(0)=0,f(π)=π,所以在x∈〖0,π〗上,f(x)max=π.由题意得|f(x1)-f(x2)|≤M等价于M≥|f(x)max-f(x)min|=π-QUOTE=QUOTE+QUOTE.所以M的最小值为QUOTE+QUOTE.〖答案〗:QUOTE+QUOTE4.(10分)设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一个极值点.(1)求a与b之间的关系式,并求当a=2时,函数f(x)的单调区间;(2)设a>0,g(x)=QUOTEex.若存在x1,x2∈〖0,4〗使得|f(x1)-g(x2)|<1成立,求实数a的取值范围.〖解析〗(1)f′(x)=-〖x2+(a-2)x+b-a〗QUOTE,由题意知f′(3)=0,即-〖9+3(a-2)+b-a〗=0,解得b=-2a-3.当a=2时,b=-7,故由f′(x)=-(x2-9)QUOTE>0得-3<x<3,于是f(x)在(-3,3)上单调递增,在(-∞,-3)和(3,+∞)上单调递减.(2)由(1)得f′(x)=-〖x2+(a-2)x-3a-3〗e3-x,由f′(x)>0得-a-1<x<3,又x∈〖0,4〗,所以f(x)在〖0,3)上单调递增,在(3,4〗上单调递减,于是f(x)max=f(3)=a+6,f(x)min=min{f(0),f(4)}=-(2a+3)e3.g(x)在〖0,4〗上单调递增,g(x)∈〖a2+QUOTE,QUOTEe4〗.根据题意,QUOTE-(a+6)≥0恒成立,所以只要QUOTE-(a+6)<1,解得-QUOTE<a<QUOTE,又因为a>0,所以a∈QUOTE.5.(10分)设函数f(x)=QUOTEx2+ax-lnx(a∈R).(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)若对任意a∈(4,5)及任意x1,x2∈〖1,2〗,恒有QUOTEm+ln2>|f(x1)-f(x2)|成立,求实数m的取值范围.〖解析〗(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞).当a=1时,f(x)=x-lnx,f′(x)=1-QUOTE=QUOTE,当0<x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以函数f(x)的极小值为f(1)=1,无极大值.(2)由题意知f′(x)=(1-a)x+a-QUOTE=QUOTE,当a∈(4,5)时,1-a<-3,0<QUOTE<QUOTE,所以在区间〖1,2〗上,f′(x)≤0,则f(x)单调递减,f(1)是f(x)的最大值,f(2)是f(x)的最小值.所以|f(x1)-f(x2)|≤f(1)-f(2)=QUOTE-QUOTE+ln2.因为对任意a∈(4,5)及任意x1,x2∈〖1,2〗,恒有QUOTEm+ln2>|f(x1)-f(x2)|成立,所以QUOTEm+ln2>QUOTE-QUOTE+ln2,得m>QUOTE.因为a∈(4,5),所以QUOTE=1-QUOTE<1-QUOTE=QUOTE,所以m≥QUOTE,故实数m的取值范围是QUOTE.课时作业梯级练十六导数与不等式一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知函数f(x)=x2ex,当x∈〖-1,1〗时,不等式f(x)<m恒成立,则实数m的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.〖e,+∞) D.(e,+∞)〖解析〗选D.由f′(x)=xex(x+2),令f′(x)=0,得x=0或x=-2(舍去).当x∈〖-1,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(0,1〗时,f′(x)>0,f(x)单调递增,f(-1)=QUOTE,f(1)=e,所以f(x)最大=f(1)=e,由题意得m>e.2.(2021·绵阳模拟)函数f(x)在R上存在导数,若(x-1)f′(x)≤0,则必有 ()A.f(0)+f(2)≤2f(1) B.f(0)+f(2)<2f(1)C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)〖解析〗选A.QUOTEf′QUOTE≤0,则x>1时f′QUOTE≤0;x<1时f′QUOTE≥0.故f(x)在QUOTE上为增函数或常数函数,在QUOTE上为减函数或常数函数.故fQUOTE≤fQUOTE,fQUOTE≤fQUOTE,即f(0)+f(2)≤2f(1).3.若不等式xex-lnx-1≥kx对任意的x>0都成立,则实数k的取值范围是()A.(-∞,1〗 B.QUOTEC.(-∞,e〗 D.QUOTE〖解析〗选A.因为xex-lnx-1≥kx对任意的x>0都成立,运用“x∈R时,ex≥x+1恒成立”的结论可得,xex-lnx-1=ex+lnx-lnx-1≥x+lnx+1-lnx-1=x,即(k-1)x≤0对任意的x>0都成立,即k-1≤0,解得k≤1.4.已知函数f(x)=QUOTEx3-x2-QUOTEx,则f(-a2)与f(-1)的大小关系为 ()A.f(-a2)≤f(-1)B.f(-a2)<f(-1)C.f(-a2)≥f(-1)D.f(-a2)与f(-1)的大小关系不确定〖解析〗选A.由题意可得f′(x)=QUOTEx2-2x-QUOTE.由f′(x)=QUOTE(3x-7)(x+1)=0,得x=-1或x=QUOTE.当x<-1时,f(x)为增函数;当-1<x<QUOTE时,f(x)为减函数.所以f(-1)是函数f(x)在(-∞,0〗上的最大值,又因为-a2≤0,故f(-a2)≤f(-1).5.(2021·北海模拟)已知函数f(x)QUOTE满足f(1)=1,且f(x)的导数f′QUOTE>QUOTE,则不等式f(x2)<QUOTE+QUOTE的解集为 ()A.(-∞,-1) B.(1,+∞)C.QUOTE∪QUOTE D.QUOTE〖解析〗选D.设F(x)=f(x)-QUOTEx,则F′(x)=f′(x)-QUOTE,因为f′(x)>QUOTE,所以F′(x)=f′(x)-QUOTE>0,即函数F(x)在R上单调递增.f(x2)<QUOTE+QUOTE可转化为f(x2)-QUOTE<f(1)-QUOTE,即F(x2)<F(1),而函数F(x)在R上单调递增,x2<1,所以-1<x<1.6.已知a∈R,设函数f(x)=QUOTE若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为 ()A.〖0,1〗 B.〖0,2〗C.〖0,e〗 D.〖1,e〗〖解析〗选C.当x≤1时,由f(x)=x2-2ax+2a≥0恒成立,而二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=a,所以当a≥1时,f(x)min=f(1)=1>0恒成立,当a<1时,f(x)min=f(a)=2a-a2≥0,所以0≤a<1.综上,a≥0.当x>1时,由f(x)=x-alnx≥0恒成立,即a≤QUOTE恒成立.设g(x)=QUOTE,则g′(x)=QUOTE.令g′(x)=0,得x=e,且当1<x<e时,g′(x)<0,当x>e时,g′(x)>0,所以g(x)min=g(e)=e,所以a≤e.综上,a的取值范围是〖0,e〗.7.(2020·广州模拟)已知函数f(x)=e|x|-ax2,对任意x1<0,x2<0,x1≠x2,都有(x2-x1)〖f(x2)-f(x1)〗<0,则实数a的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选A.因为对任意x1<0,x2<0,x1≠x2,(x2-x1)〖f(x2)-f(x1)〗<0恒成立,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,即f(x)=e-x-ax2在(-∞,0)上单调递减,故f′(x)=-QUOTE-2ax≤0在(-∞,0)上恒成立,即-2ax≤QUOTE在(-∞,0)上恒成立.因为QUOTE>1,所以当a≤0时上述不等式恒成立.当a>0时,若a=QUOTE,如图,作出函数y=-ex对应的直线与y=QUOTE的图象,则两图象相切于点(-1,e),故当0<a≤QUOTE时,-2ax≤QUOTE在(-∞,0)上恒成立.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知函数fQUOTE=QUOTE若不等式fQUOTE≤QUOTE对任意的x∈R恒成立,则实数k的取值范围是.

〖解析〗当x≥1时,fQUOTE=lnx⇒f′(x)=QUOTE⇒f′(1)=1,所以函数fQUOTE在(1,0)处的切线方程为:y=x-1,令g(x)=QUOTE,它与横轴的交点坐标为(k,0).在同一直角坐标系内画出函数fQUOTE=QUOTE和g(x)=QUOTE的图象如图所示:利用数形结合思想可知:不等式fQUOTE≤QUOTE对任意的x∈R恒成立,则实数k的取值范围是k≤1.〖答案〗:k≤19.若对任意a,b满足0<a<b<t,都有blna<alnb,则t的最大值为.

〖解析〗因为0<a<b<t,blna<alnb,所以QUOTE<QUOTE,令y=QUOTE,x∈(0,t),则函数在(0,t)上单调递增,故y′=QUOTE>0,解得0<x<e,故t的最大值是e.〖答案〗:e10.函数fQUOTE=2sinx-ax在QUOTE上单调递减,则实数a的取值范围为.

〖解析〗因为fQUOTE=2sinx-ax,x∈QUOTE,所以f′QUOTE=2cosx-a.因为函数fQUOTE=2sinx-ax在QUOTE上单调递减,所以f′QUOTE=2cosx-a≤0在QUOTE上恒成立,即a≥2cosx在QUOTE上恒成立,因为gQUOTE=2cosx在x∈QUOTE上单调递减,所以gQUOTE=g(0)=2cos0=2,所以a≥2,即a∈QUOTE.〖答案〗:〖2,+∞)1.(5分)(2021·宁波模拟)若关于x(x>0)的不等式QUOTE≤QUOTE有正整数解,则实数λ的最小值为 ()A.9B.8C.7D.6〖解析〗选A.由QUOTE≤QUOTE两边取对数,得QUOTElnx≥3ln3存在正整数解,则λ>0,故QUOTE≥QUOTE.记函数f(x)=QUOTE,则由f′(x)=QUOTE知函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,注意到2<e<3,故只需考虑f(2),f(3)的大小关系,因为f(2)=QUOTE=f(4)<f(3),故f(3)=QUOTE≥QUOTE,即λ≥9.2.(5分)(2021·汕头模拟)已知函数f(x)=ex-lnx,则下列对函数f(x)的描述正确的是 ()A.∀x∈(0,+∞),f(x)≤2B.∀x∈(0,+∞),f(x)>2C.∃x0∈(0,+∞),f(x0)=0D.f(x)min∈(0,1)〖解析〗选B.易知f(x)=ex-lnx的定义域为(0,+∞),且f′(x)=ex-QUOTE=QUOTE,令g(x)=xex-1,x≥0,则g′(x)=(x+1)ex>0,在〖0,+∞)上恒成立,则g(x)在〖0,+∞)上单调递增,又g(0)·g(1)=-(e-1)<0,所以∃x0∈(0,1),使g(x0)=0,则f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,即f(x)min=f(x0)=QUOTE-lnx0,又QUOTE=QUOTE,x0=-lnx0,所以f(x)min=QUOTE+x0>2.3.(5分)函数f(x)=x-2sinx,对任意的x1,x2∈〖0,π〗,恒有|f(x1)-f(x2)|≤M,则M的最小值为.

〖解析〗因为f(x)=x-2sinx,所以f′(x)=1-2cosx,所以当0<x<QUOTE时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当QUOTE<x<π时,f′(x)>0,f(x)单调递增;所以当x=QUOTE时,f(x)有极小值,也是最小值,即f(x)min=fQUOTE=QUOTE-2sinQUOTE=QUOTE-QUOTE.又f(0)=0,f(π)=π,所以在x∈〖0,π〗上,f(x)max=π.由题意得|f(x1)-f(x2)|≤M等价于M≥|f(x)max-f(x)min|=π-QUOTE=QUOTE+QUOTE.所以M的最小值为QUOTE+QUOTE.〖答案〗:QUOTE+QUOTE4.(10分)设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一个极值点.(1)求a与b之间的关系式,并求当a=2时,函数f(x)的单调区间;(2)设a>0,g(x)=QUOTEex.若存在x1,x2∈〖0,4〗使得|f(x1)-g(x2)|<1成立,求实数a的取值范围.〖解