2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−4x+3<0}，B={x|1<x<a}，且A⊆B，则实数a的取值范围为A.{a|1<a<3} B.{a|1<a≤3} C.{a|a≥3} D.{a|a>3}2.已知向量a=(3,x)，b=(2x,6)，则“x=3”是“a//bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知等差数列{an}的前15项之和为60，则aA.4 B.6 C.8 D.104.统计学中通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ−3σ,μ+3σ]中的值，简称为3σ原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N(500,σ2)(单位：g)，某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于488g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.A.2 B.4 C.6 D.85.故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中.中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9的整数倍称为“吉数”.若从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数”的概率是(

)A.15 B.920 C.3106.若斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2A.−1 B.1 C.3 D.−1或37.在三棱锥P−ABC中，AC=BC=PC=2，且AC⊥BC，PC⊥平面ABC，过点P作截面分别交AC，BC于点E，F，且二面角P−EF−C的平面角为60°，则所得截面PEF的面积最小值为(

)A.43 B.83 C.238.已知A，B分别是双曲线C：x24−y2=1的左右顶点，P是双曲线C上的一动点，直线PA，PB与x=1交于M，N两点，△PMN，△PAB的外接圆面积分别为S1，A.316 B.34 C.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.数据x1，x2，…，xn的平均数为x−，方差为sx2，数据y1，y2，…，yn的平均数为y−，方差为sA.y−=ax−+b

B.若数据sx2=0，则x1=x2=…=xn

C.数据x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn的平均数为(a+1)x10.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且对A.ω=2

B.φ=π6

C.函数y=f(x)的极大值点的集合是{x|x=kπ−π6,k∈Z}

D.函数y=f(x)11.已知函数f(x)，g(x)在R上可导，若f(4−x)+g(x−2)=2，且f(x)关于x=2对称，g(x)关于(1,2)对称，则下列结论正确的是(

)A.f′(2026)=0 B.g(2025)=0

C.f(x)是R上的偶函数 D.g′(x)是R上的偶函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z0满足i3z0=13.已知(1−2x)5=a0+14.已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点(A点位于B点右方).若BF为∠AFC的角平分线，则|AF|=______；直线l的斜率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表(单位：只)：药物疾病合计未患病患病未服用5040服用合计75200(1)请将上面的列联表补充完整；

(2)依据α=0.1的独立性检验，能否认为药物有效呢？从概率的角度解释得到的结论；

(3)为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只，设其中未服用药物的动物数为X，求X的分布列及期望．

附表及公式：χ2=α0.150.100.050.025x2.0722.7063.8415.02416.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1，CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A117.(本小题15分)

已知函数f(x)=x(a−lnxx)(a>0)．

(1)讨论f(x)的最值；

(2)若a=1，且f(x)≤ke18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为63．

(1)求C的方程；

(2)直线l：y=kx+m(k>0,m>0)与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B，且AM=λBM,AN=μBN．19.(本小题17分)

对于数列{an}，把a1作为新数列{bn}的第一项，把ai或−ai(i=2,3,4,…,n)作为新数列{bn}的第i项，数列{bn}称为数列{an}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，−2，−3，4，5.已知数列{bn}为数列{12n}(n∈N∗)的生成数列，Sn为数列{bn}答案解析1.C

【解析】解：集合A={x|x2−4x+3<0}={x|1<x<3}，B={x|1<x<a}，且A⊆B，

则a≥3，

故实数a的取值范围为{a|a≥3}．

故选：C．

2.A

【解析】解：根据题意，向量a=(3,x)，b=(2x,6)，

当x=3时，a=(3,3)，b=(6,6)，必有a//b，

反之，若a//b，则有2x2=18，解可得x=±3，

故“x=3”是“a//b3.C

【解析】解：因为等差数列{an}的前15项之和为60，

所以15(a1+a15)2=60，

故a1+4.B

【解析】解：由3σ原则可知，500−3σ≥488，

解得σ≤4，

即σ的最大值为4．

故选：B．

根据3σ原则可得500−3σ≥488，进而求出σ的最大值．

本题主要考查了3σ原则的应用，属于基础题．5.A

【解析】解：中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9的整数倍称为“吉数”，

从1，3，5，7，9这五个阳数，2，4，6，8这四个阴数中各取一个数组成两位数，

则取到的两位数为“吉数”的概率为P=2×42C41C51=6.D

【解析】解：设切点为(m,n)，

由y=ln(x+a)，可得y′=1x+a，

则1m+a=1，即m+a=1，

可得n=ln(m+a)=0，

则切线方程为y=x−m，即x−y−m=0，

又圆心坐标为(0,0)，半径为2，

则|−m|1+1=2，

解得m=±2，

若m=2，则a=−1，

若m=−2，则a=3．

故选：D．7.B

【解析】解：过P做PG⊥EF，垂足为G，连接CG，

则由三垂线定理可得：EF⊥CG，

所以∠PGC即为二面角角P−EF−C的平面角，即∠PGC=60°，

因为PC=2，

所以在三角形PEF中，斜边EF边上的高为PG=433，CG=233，

设CE=x，CF=y，则EF=x2+y2，

在三角形CEF中，x⋅y=233x2+y2≥263xy，可得到xy≥83，8.A

【解析】解：由已知得A(−2,0)，B(2,0)，设双曲线C：x24−y2=1上动点P(x,y)，

则利用两点连线的斜率公式可知kPA=y−0x+2，kPB=y−0x−2，

∴kPA⋅kPB=y−0x+2⋅y−0x−2=y2x2−4=x24−1x2−4=14，

设直线PA方程为：y=k(x+2)，则直线PB方程为：y=14k(x−2)，

根据对称性不妨设k>0，令x=1，得yM=3k，yN=−14k，

即M(1,3k)，N(1,−14k)，则|MN|=3k+14k，

设△PMN与△PAB的外接圆的半径分别为r1，r2，

由正弦定理得：29.ABD

【解析】解：对于A中，由平均数的线性公式，y−=ax−+b，所以A正确；

对于B中，由sx2=1ni=1n(xi−x−)2=0，因为(xi−x−)2≥0，故x1=x2=⋅⋅⋅=xn=x−，所以B正确；

对于C中，由x1+x2+⋯+x10.ACD

【解析】解：对于A，由函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π，得2πω=π，解得ω=2，A正确；

对于B，由∀x∈R,f(x)≥f(π3)恒成立，得f(π3)是f(x)的最小值，

则2×π3+φ=π+2nπ,n∈Z，而|φ|<π2，于是n=0,φ=π3，B错误；

对于C，f(x)=cos(2x+π3)，由2x+π3=2kπ,k∈Z，得x=kπ−π6,k∈Z，

所以f(x)的极大值点的集合是{x|x=kπ−π6,k∈Z}，C正确；

对于D11.AC

【解析】解：∵f(4−x)+g(x−2)=2，

∴f(x)+g(2−x)=2①，g(x)+f(2−x)=2④，

又f(x)关于x=2对称，g(x)关于(1,2)对称，

∴f(x)=f(4−x)②，g(x)+g(2−x)=4③，

由①②可得2−g(2−x)=2−g(x−2)，

∴g(2−x)=g(x−2)，∴g(−x)=g(x)，∴g(x)为偶函数，

∴由③可得g(−x)+g(2−x)=4，

∴g(x)+g(x+2)=4，∴g(x+2)+g(x+4)=4，两式相减可得：

g(x)=g(x+4)，∴g(x)的周期为4，

又g(−1)+g(1)=4，∴2g(1)=4，∴g(1)=2，

∴g(2025)=g(4×506+1)=g(1)=2，∴B选项错误；

由④③可得2−f(2−x)+2−f(x)=4，∴f(2−x)+f(x)=0，

又由②知f(x)=f(4−x)，∴f(2−x)+f(4−x)=0，

∴f(x)+f(x+2)=0，∴f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，∴f(x)的周期为4，

∴由②知f(x)=f(4−x)=f(−x)，∴f(x)为偶函数，∴C选项正确；

对①②③分别关于x求导可得：

f′(x)−g′(2−x)=0⑤，f′(x)=−f′(4−x)⑥，g′(x)−g′(2−x)=0⑦，

∴由⑤可得g′(x)=f′(−x+2)，结合⑦可得：

f′(−x+2)−f′(x)=0，结合⑥可得f′(−x+2)=−f′(4−x)，

∴f′(x+2)=−f′(x)，∴f′(x+4)=−f′(x+2)=f′(x)，∴f′(x)的周期为4，

又由⑥可知f′(2)=−f′(2)，∴f′(2)=0，

∴f′(2026)=f′(4×506+2)=f′(2)=0，∴A选项正确；

由⑤可得f′(x)=g′(−x+2)，结合⑥可得g′(−x+2)=−g(x−2)，

∴g′(−x)=−g(x)，∴g′(x)为奇函数，∴D选项错误．

故选：AC．

根据原函数的对称性及周期性，再利用求导法则可得导函数的对称性及周期性，从而针对各个选项分别求解即可．

本题考查抽象函数的性质，原函数的对称性及周期性，导函数的对称性及周期性，化归转化思想，属难题．12.−4【解析】解：因为i3z0=−2+i1−2i，即−iz0=−2+i1−2i，

可得z0=−2+i−i(1−2i)=2−i13.242

【解析】解：令x=0，得a0=1，

令x=−1，得a0−a1+a2−a3+14.4

±【解析】解：由题意知，F(1,0)，C(−1,0)，直线l的斜率一定存在，且不为0，

设直线l的方程为y=k(x+1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，0<x2<x1，

联立y=k(x+1)y2=4x，得k2x2+(2k2−4)x+k2=0，

则x1+x2=4−2k2k2，x1x2=1，Δ=(2k2−4)2−4k4=16(1−k2)>0，即k2<1，

所以x1−x2=(x1+x2)2−415.解：(1)由题可得如下列联表：药物疾病合计未患病患病未服用504090服用7535110合计12575200(2)零假设H0：药物与患病独立，即药物对疾病没有效果，根据列联表中的数据，

则χ2=200×(50×35−40×75)2125×75×90×110≈3.367>2.706=x0.1，

所以依据α=0.1的独立性检验，我们可以推断H0不成立，

即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过0.1；

结论解释：未服用药物中未患病和患病的频率分别为59和49，服用药物中未患病和患病的频率分别为1522和722，根据频率稳定于概率的原理，可以推断服用药物不患病的概率更大；

(3)按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只，则未服用药物的动物有4只，

服用药物的动物有6只，所以X的可能取值为0，1，2，3，4，

则X01234P158090241则E(X)=0×15210【解析】(1)直接根据列联表的特征即可完成表格；

(2)零假设H0：药物与患病独立，先计算出χ2，然后根据小概率值α=0.1的独立性检验即可得出结论；再从概率的角度解释结论即可；

(3)按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只，则未服用药物的动物有4只，服用药物的动物有6只，所以X的可能取值为0，1，2，3，4，然后根据所给数据求出每个取值对于的概率即可求解．16.解：(Ⅰ)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，

建立以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系C−xyz，如图所示：

AC=BC=2，CC1=3，AD=1，CE=2，

则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,3)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，M(1,1,3)，

∴C1M=(1,1,0)，B1D=(2,−2,−2)，

∴C1M⋅B1D=2−2+0=0，

∴C1M⊥B1D，即C1M⊥B1D；

(Ⅱ)∵CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，

∴CC1⊥AC，

又CC1∩BC=C，CC1⊂【解析】(Ⅰ)由题意建立以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系C−xyz，利用向量法，即可证明结论；

(Ⅱ)由(Ⅰ)得ED=(2,0,−1)，EB1=(0,2,1)，平面BB1E17.解：(1)因为f(x)=x(a−lnxx)的定义域为(0,+∞)，

可得f′(x)=a−1x=ax−1x，

当a>0时，令f′(x)=0，可得x=1a，

当x∈(0,1a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(1a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

故当x=1a时，f(x)取得极小值，也是最小值，且最小值为f(1a)=1+lna，无最大值；

(2)当a=1时，由f(x)≤kex−xx，可得x−lnx≤kex−xx，

整理得kex≥x2+x−xlnx，即k≥x2+x−xlnxex，

令ℎ(x)=x2+x−xlnxex，

则ℎ′(x)=(2x+1−lnx−1)【解析】(1)求得f′(x)=ax−1x，结合导数的符号，求得函数f(x)的单调区间，进而求得其最值；

(2)把不等式转化为k≥x2+x−xlnxex18.解：(1)因为椭圆C的短轴长为2，离心率为63，

所以2b=2ca=a2−b2a2=63，

解得a=3，b=1，

则C的方程为x23+y2=1；

(