新高考数学一轮复习讲义 第51讲 二项式定理（含解析）

第51讲二项式定理（精讲）题型目录一览①二项展开式中的特定项问题②二项式系数问题③二项展开式中各项系数的和问题④三项展开式的问题⑤两个二项式乘积展开式的系数⑥赋值法一、知识点梳理一、知识点梳理一、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题1.二项式定理一般地，对于任意正整数，都有：SKIPIF1<0，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的SKIPIF1<0做二项展开式的通项，用SKIPIF1<0表示，即通项为展开式的第SKIPIF1<0项：SKIPIF1<0，其中的系数SKIPIF1<0（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，2.二项式SKIPIF1<0的展开式的特点：①项数：共有SKIPIF1<0项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第SKIPIF1<0项的二项式系数为SKIPIF1<0，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数SKIPIF1<0．字母SKIPIF1<0降幂排列，次数由SKIPIF1<0到SKIPIF1<0；字母SKIPIF1<0升幂排列，次数从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，每一项中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0次数和均为SKIPIF1<0；④项的系数：二项式系数依次是SKIPIF1<0，项的系数是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的系数（包括二项式系数）．3.两个常用的二项展开式：①（）②4.二项展开式的通项公式二项展开式的通项：SKIPIF1<0SKIPIF1<0公式特点：①它表示二项展开式的第SKIPIF1<0项，该项的二项式系数是；②字母SKIPIF1<0的次数和组合数的上标相同；③SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的次数之和为SKIPIF1<0．注意：①二项式SKIPIF1<0的二项展开式的第r+1项和SKIPIF1<0的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是不能随便交换位置的．②通项是针对在SKIPIF1<0这个标准形式下而言的，如SKIPIF1<0的二项展开式的通项是（只需把SKIPIF1<0看成SKIPIF1<0代入二项式定理）．二、二项式展开式中的最值问题1.二项式系数的性质=1\*GB3①每一行两端都是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即SKIPIF1<0．=2\*GB3②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即SKIPIF1<0．=3\*GB3③二项式系数和令SKIPIF1<0，则二项式系数的和为SKIPIF1<0，变形式SKIPIF1<0．=4\*GB3④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，从而得到：SKIPIF1<0．=5\*GB3⑤最大值：如果二项式的幂指数SKIPIF1<0是偶数，则中间一项SKIPIF1<0的二项式系数SKIPIF1<0最大；如果二项式的幂指数SKIPIF1<0是奇数，则中间两项SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的二项式系数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相等且最大．2.系数的最大项求SKIPIF1<0展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为SKIPIF1<0，设第SKIPIF1<0项系数最大，应有SKIPIF1<0，从而解出SKIPIF1<0来．三、二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值．①令，可得：②令SKIPIF1<0，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．（2）若SKIPIF1<0，则①常数项：令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．②各项系数和：令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．注意：常见的赋值为令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，然后通过加减运算即可得到相应的结果．【常用结论】奇数项的系数和与偶数项的系数和①5当SKIPIF1<0为偶数时，奇数项的系数和为SKIPIF1<0；偶数项的系数和为SKIPIF1<0．（可简记为：SKIPIF1<0为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）②当SKIPIF1<0为奇数时，奇数项的系数和为SKIPIF1<0；偶数项的系数和为SKIPIF1<0．（可简记为：SKIPIF1<0为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若SKIPIF1<0，同理可得．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一二项展开式中的特定项问题策略方法形如(a＋b)n的展开式问题二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．【典例1】（单选题）已知SKIPIF1<0的展开式中的常数项为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．2 B．-2 C．8 D．-8【答案】B【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】SKIPIF1<0展开式的通项为：SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0得到常数项为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B【典例2】（单选题）二项式SKIPIF1<0展开式中含x项的系数是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据二项式定理写出通项公式进而求解.【详解】二项式SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.则二项式SKIPIF1<0展开式中含x项的系数是SKIPIF1<0.故选：C【题型训练】一、单选题1．在SKIPIF1<0的展开式中，第四项为（

）A．160 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】直接根据二项展开式的通项求第四项即可.【详解】在SKIPIF1<0的展开式中，第四项为SKIPIF1<0.故选：D.2．SKIPIF1<0展开式中的常数项为－160，则a＝（

）A．－1 B．1 C．±1 D．2【答案】B【分析】写出该二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于-160求得实数a的值.【详解】SKIPIF1<0的展开式通项为SKIPIF1<0，∴令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的展开式的常数项为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故选：B.3．SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为（

）A．40 B．SKIPIF1<0 C．80 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】首先写出展开式的通项，再代入计算可得；【详解】SKIPIF1<0的展开式的通项SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0，故选：A4．已知SKIPIF1<0的展开式中的常数项是672，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．1【答案】C【分析】写出二项式通项SKIPIF1<0，整理后让SKIPIF1<0的次数为SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0的值，再根据题意常数项的系数列出等式方程即可得出SKIPIF1<0的值.【详解】展开式的通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴常数项是SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故选：C5．二项式SKIPIF1<0的展开式中的常数项为（

）A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120【答案】C【分析】根据二项式定理展开式求解即可.【详解】因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以二项式展开式中的常数项为SKIPIF1<0．故选：C.6．若SKIPIF1<0展开式中含有常数项，则n的最小值是（

）A．2 B．3 C．12 D．10【答案】A【分析】根据通项公式可求出结果.【详解】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0.故选：A7．SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数是126，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．4 C．1 D．3【答案】C【分析】求出展开式通项，令SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0，即可得出答案.【详解】展开式通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的系数是126，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：C.二、填空题8．二项式SKIPIF1<0的展开式中的常数项为.【答案】240【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即得.【详解】二项式SKIPIF1<0的展开式通项为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以所求常数项为SKIPIF1<0.故答案为：2409．SKIPIF1<0的展开式的第8项的系数为（结果用数值表示）.【答案】960【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解．【详解】因为，SKIPIF1<0展开式的第8项为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0的展开式的第8项的系数为960.故答案为：96010．二项式SKIPIF1<0的展开式中的常数项是.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用二项式SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0，即可求出结果.【详解】二项式SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，所以二项式SKIPIF1<0的展开式中的常数项是SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.11．若在SKIPIF1<0的展开式中，第4项是常数项，则SKIPIF1<0．【答案】12【分析】写出二项展开式的通项公式，再根据题意可得到SKIPIF1<0，即可求得答案【详解】设展开式中第SKIPIF1<0项为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又展开式中第4项是常数项，∴SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0故答案为：1212．设常数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的二项展开式中SKIPIF1<0的系数为144，则SKIPIF1<0．【答案】2【分析】利用公式SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0即可求值．【详解】解：SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：2．【点睛】本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．已知SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】结合二项展开式通项，根据SKIPIF1<0的系数可构造方程求得结果.【详解】因为SKIPIF1<0展开式通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型二二项式系数问题策略方法二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n．【典例1】（单选题）SKIPIF1<0展开式中的各二项式系数之和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用二项式的系数和可得出关于SKIPIF1<0的等式，解之即可.【详解】SKIPIF1<0展开式中的各二项式系数之和为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.【典例2】（单选题）．若SKIPIF1<0二项展开式中的各项的二项式系数只有第SKIPIF1<0项最大，则展开式的常数项的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据二项式系数的性质得到SKIPIF1<0，再写出展开式的通项，即可求出常数项.【详解】因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第SKIPIF1<0项最大，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0展开式的通项为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即展开式中常数项为SKIPIF1<0.故选：D【题型训练】一、单选题1．SKIPIF1<0的展开式中二项式系数最大的项是（

）A．160 B．240 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据二项式系数的性质求解即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展开式中二项式系数最大为SKIPIF1<0，即展开式的第4项，即SKIPIF1<0.故选：C．2．已知二项式SKIPIF1<0的展开式中仅有第SKIPIF1<0项的二项式系数最大，则SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】分析可知，二项式SKIPIF1<0的展开式共SKIPIF1<0项，即可求出SKIPIF1<0的值.【详解】因为二项式SKIPIF1<0的展开式中仅有第SKIPIF1<0项的二项式系数最大，则二项式SKIPIF1<0的展开式共SKIPIF1<0项，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.3．已知SKIPIF1<0的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的SKIPIF1<0项的系数为（

）A．―4 B．84 C．―280 D．560【答案】B【分析】根据二项式系数的性质求得SKIPIF1<0，再根据二项式展开的通项即可求得指定项的系数.【详解】因为SKIPIF1<0的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0的展开式的通项公式为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以展开式中的SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0．故选：B.4．若SKIPIF1<0的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则SKIPIF1<0的展开式中的常数项为（

）A．6 B．8 C．28 D．56【答案】C【分析】根据SKIPIF1<0的展开式中所有项的二项式系数之和求出n的值，从而写出SKIPIF1<0的展开式的通项公式，再令x的指数为0，即可求解常数项．【详解】由SKIPIF1<0的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则二项式SKIPIF1<0的展开式的通项公式为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的展开式中的常数项为28，故选：C．5．若SKIPIF1<0的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（

）A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项【答案】C【分析】根据二项展开式可知SKIPIF1<0，计算出SKIPIF1<0，即可知二项式系数最大为SKIPIF1<0，即为第6项.【详解】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由二项式系数性质可得SKIPIF1<0；因此展开式中二项式系数最大的项为SKIPIF1<0，是第6项.故选：C6．二项式SKIPIF1<0的展开式中，含SKIPIF1<0项的二项式系数为（

）A．84 B．56 C．35 D．21【答案】B【分析】易知展开式中，含SKIPIF1<0项的二项式系数为SKIPIF1<0，再利用组合数的性质求解.【详解】解：因为二项式为SKIPIF1<0，所以其展开式中，含SKIPIF1<0项的二项式系数为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B二、填空题7．若SKIPIF1<0展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据二项式系数和得到SKIPIF1<0，再计算第三项的二项式系数即可.【详解】SKIPIF1<0展开式的二项式系数和为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，展开式中第三项的二项式系数为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.8．若SKIPIF1<0的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中SKIPIF1<0的系数为.【答案】SKIPIF1<0【分析】由展开式的奇数项的二项式系数和为16可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0展开式中第SKIPIF1<0项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得答案.【详解】因SKIPIF1<0的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0展开式中第SKIPIF1<0项为SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<09．SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0项的二项式系数为.【答案】SKIPIF1<0【分析】写出二项式展开式的通项公式，确定第五项中k的值，再求二项式系数．【详解】由题意知：通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0项为第六项，第六项的二项式系数为：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．10．SKIPIF1<0的展开式中二项式系数最大的项是.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据二项式系数的性质即可知SKIPIF1<0最大，由二项式展开式的通项特征即可求解.【详解】SKIPIF1<0的二项展开式有7项，其二项式系数为SKIPIF1<0，由组合数的性质可知SKIPIF1<0最大，故由二项式定理得二项式系数最大的一项是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<011．已知SKIPIF1<0的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含SKIPIF1<0的系数为.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意求得SKIPIF1<0，得到二项式为SKIPIF1<0，结合展开式的通项，即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即二项式为SKIPIF1<0，其展开式的通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.12．已知SKIPIF1<0的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则SKIPIF1<0.【答案】14或23【分析】根据二项式系数的定义列出等式，解方程即可求得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【详解】由题意可得SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：14或23题型三二项展开式中各项系数的和问题策略方法常用赋值法，参考题型六【典例1】（单选题）已知SKIPIF1<0的展开式中所有项的系数之和为256，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可求解.【详解】由二项式SKIPIF1<0的展开式中所有项的系数之和为256，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B.【题型训练】一、单选题1．若SKIPIF1<0的展开式中常数项等于SKIPIF1<0，则其展开式各项系数之和为（

）A．1 B．32 C．0 D．64【答案】C【分析】写出二项式的通项，根据展开式中常数项等于SKIPIF1<0，则就出参数SKIPIF1<0，则赋值给SKIPIF1<0即可求出展开式各项系数之和.【详解】因为SKIPIF1<0的展开式中常数项等于SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，此时常数项为：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，其展开式各项系数之和为0，故选：C.2．已知SKIPIF1<0的展开式中所有项的系数和为512，则展开式中的常数项为（

）A．－756 B．756 C．－2268 D．2268【答案】D【分析】利用赋值法结合条件可得SKIPIF1<0，然后利用展开式的通项根据结合条件即得.【详解】令SKIPIF1<0可得展开式中所有项的系数和为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以展开式中的常数项为：SKIPIF1<0．故选：D．3．已知SKIPIF1<0的展开式中各项系数之和为0，则展开式中SKIPIF1<0的系数为（

）A．28 B．-28 C．45 D．-45【答案】A【分析】根据展开式各项系数之和可得SKIPIF1<0的值，从而可得展开式的通项，进而可得SKIPIF1<0的系数.【详解】SKIPIF1<0的展开式中各项系数之和为0所以令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的通项为SKIPIF1<0所以展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0.故选：A.4．已知SKIPIF1<0的二项展开式中，第SKIPIF1<0项与第SKIPIF1<0项的系数相等，则所有项的系数之和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用二项式定理求得SKIPIF1<0的展开通项，从而利用SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的系数相等得到关于SKIPIF1<0的方程，进而求得SKIPIF1<0的值，由此得解.【详解】因为SKIPIF1<0的展开通项为SKIPIF1<0又因为第SKIPIF1<0项与第SKIPIF1<0项的系数相等，所以SKIPIF1<0，由二项式系数的性质知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的二项展开式中所有项的系数之和为SKIPIF1<0.故选：C.二、填空题5．已知SKIPIF1<0的展开式中，各项系数之和为SKIPIF1<0，则二项式系数之和为.【答案】SKIPIF1<0【分析】令SKIPIF1<0，结合二项式SKIPIF1<0各项系数和可求得SKIPIF1<0的值，进而可求得该二项式系数之和.【详解】因为SKIPIF1<0的展开式中，各项系数之和为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，二项式系数之和为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.6．在SKIPIF1<0的展开式中，二项式系数和是16，则展开式中各项系数的和为．【答案】16【分析】由二项式系数的性质可求SKIPIF1<0，再利用赋值法求各项系数和.【详解】因为二项式SKIPIF1<0的展开式中，所有二项式系数的和是16，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0可得二项式SKIPIF1<0的展开式中各项系数和为SKIPIF1<0，即16.故答案为：16.7．已知SKIPIF1<0的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为．【答案】80【分析】根据题意，由各项系数之和可得SKIPIF1<0，再由二项式展开式的通项公式即可得到结果.【详解】由题意，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的展开式第SKIPIF1<0项SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<08．已知SKIPIF1<0的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中SKIPIF1<0的系数为．【答案】10【分析】由二项展开式的各项系数和为32，求出SKIPIF1<0，用通项公式求解即可.【详解】因为SKIPIF1<0的二项展开式的各项系数和为32，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.通项公式为：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的系数为：SKIPIF1<0.故答案为：109．在SKIPIF1<0的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为SKIPIF1<0，则二项展开式中的常数项为.【答案】240【分析】由已知求得SKIPIF1<0，再根据二项式通项公式的展开式求出常数项即可.【详解】SKIPIF1<0的展开式中，二项式系数和为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0的展开式中，各项系数和为SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故展开式的常数项为SKIPIF1<0，故答案为：24010．在SKIPIF1<0的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为．【答案】729【分析】根据二项式系数之和求出n的值，进而设出各项的系数，然后采用赋值法即可求得答案.【详解】由题意SKIPIF1<0的二项式中，所有的二项式系数之和为64，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的各项的系数为SKIPIF1<0，则各项的系数的绝对值之和为SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0中各项的系数的和，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即各项的系数的绝对值之和为SKIPIF1<0，故答案为：729题型四三项展开式的问题策略方法求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．【典例1】（单选题）SKIPIF1<0的展开式中，SKIPIF1<0的系数为（

）A．80 B．60 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由题得SKIPIF1<0，再利用二项式的通项即可得到答案.【详解】SKIPIF1<0，则其展开式通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，故选：D．【题型训练】一、单选题1．SKIPIF1<0的展开式共（

）A．10项 B．15项 C．20项 D．21项【答案】B【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论.【详解】∵SKIPIF1<0，由二项式定理可知，SKIPIF1<0展示式中共有SKIPIF1<0项，∴SKIPIF1<0的展开式共有SKIPIF1<0项.故选：B．2．在SKIPIF1<0的展开式中，SKIPIF1<0的系数是（

）A．24 B．32 C．36 D．40【答案】D【分析】根据题意，SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0，化简后即可求解.【详解】根据题意，SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的系数是SKIPIF1<0.故选：D．3．SKIPIF1<0的展开式中的常数项为（

）A．588 B．589 C．798 D．799【答案】B【分析】因为SKIPIF1<0展开式中的项可以看作8个含有三个单项式SKIPIF1<0各取一个相乘而得，分析组合可能，结合组合数运算求解.【详解】因为SKIPIF1<0展开式中的项可以看作8个含有三个单项式SKIPIF1<0中各取一个相乘而得，若得到常数项，则有：①8个1；②2个SKIPIF1<0，1个SKIPIF1<0，5个1；③4个SKIPIF1<0，2个SKIPIF1<0，2个1；所以展开式中的常数项为SKIPIF1<0.故选：B.4．SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项的系数为（

）A．SKIPIF1<0 B．60 C．SKIPIF1<0 D．30【答案】A【分析】将SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，根据二项式定理求出含SKIPIF1<0的项，即可得出答案.【详解】因为SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项的系数为SKIPIF1<0.故选：A.5．已知SKIPIF1<0展开式的各项系数之和为SKIPIF1<0，则展开式中SKIPIF1<0的系数为（

）A．270 B．SKIPIF1<0 C．330 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.再根据二项展开式的通项公式即可求解.【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因为只有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0展开式中有含SKIPIF1<0的项，所以SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0.故选：D6．已知SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用二项式定理可分别得到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0展开式的通项，令SKIPIF1<0即可讨论得到SKIPIF1<0的取值，结合展开式通项，利用SKIPIF1<0的系数构造方程即可求得SKIPIF1<0的值.【详解】SKIPIF1<0展开式的通项为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；SKIPIF1<0展开式的通项为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：A.7．SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为12，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据乘法的运算法则，结合组合数的性质、二倍角的余弦公式进行求解即可.【详解】SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数可以看成：6个因式SKIPIF1<0中选取5个因式提供SKIPIF1<0，余下一个因式中提供SKIPIF1<0或者6个因式SKIPIF1<0中选取4个因式提供SKIPIF1<0，余下两个因式中均提供SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：C二、填空题8．SKIPIF1<0展开式中，SKIPIF1<0项的系数为.【答案】SKIPIF1<0【分析】由二项式定理求解．【详解】SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的指数是3，∴得到SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的指数是2，得到SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<09．在SKIPIF1<0的展开式中，SKIPIF1<0的系数为．【答案】SKIPIF1<0【分析】原多项式中写出含SKIPIF1<0的项，然后再从SKIPIF1<0中写出含SKIPIF1<0的项，即可得含SKIPIF1<0的系数.【详解】由含SKIPIF1<0的项中对应SKIPIF1<0的指数分别为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0中含SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0，所以含SKIPIF1<0的系数是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.10．SKIPIF1<0的展开式中，含SKIPIF1<0的项的系数为．【答案】SKIPIF1<0【分析】SKIPIF1<0的展开式中，含SKIPIF1<0的项有以下两类，第一类：4个因式中有1个取到SKIPIF1<0，其余3个都取到2；第二类：4个因式中有2个取到SKIPIF1<0，其余2个都取到2，结合组合数即可求解.【详解】SKIPIF1<0的展开式中，含SKIPIF1<0的项有以下两类：第一类：4个因式中有1个取到SKIPIF1<0，其余3个都取到2，即SKIPIF1<0第二类：4个因式中有2个取到SKIPIF1<0，其余2个都取到2，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0，故含SKIPIF1<0的项的系数为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<011．SKIPIF1<0展开式中常数项是.（答案用数字作答）【答案】SKIPIF1<0【分析】根据二项式展开式的通项化简得常数项满足SKIPIF1<0，即可代入求解.【详解】SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，所以常数项为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<012．已知二项式SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0的项的系数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】2【分析】SKIPIF1<0表示有5个SKIPIF1<0因式相乘，根据SKIPIF1<0的来源分析即可求出答案.【详解】SKIPIF1<0表示有5个SKIPIF1<0因式相乘，SKIPIF1<0来源如下：有1个SKIPIF1<0提供SKIPIF1<0，有3个SKIPIF1<0提供SKIPIF1<0，有1个SKIPIF1<0提供常数，此时SKIPIF1<0系数是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.13．在SKIPIF1<0的展开式中，SKIPIF1<0项的系数为.【答案】220【分析】根据给定条件，分析展开式中SKIPIF1<0项出现的情况，再列式计算作答.【详解】SKIPIF1<0的展开式通项SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的最高指数小于12，而SKIPIF1<0的指数小于等于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0中SKIPIF1<0的指数是负整数，要得到SKIPIF1<0项，当且仅当SKIPIF1<0，所以展开式中SKIPIF1<0项的系数是SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0项的系数SKIPIF1<0.故答案为：220题型五两个二项式乘积展开式的系数策略方法求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2．(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．【典例1】（单选题）SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0项的系数为（

）A．10 B．12 C．4 D．5【答案】A【分析】利用二项式定理的通项公式进行分类讨论即可求解.【详解】SKIPIF1<0的二项展开式的通项为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0项为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0项为SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0.故选：A.【题型训练】一、单选题1．SKIPIF1<0的展开式中，SKIPIF1<0的系数为（

）A．200 B．40 C．120 D．80【答案】B【分析】根据二项式定理先求通项，再根据项进行分别求系数，最后求和.【详解】SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0展开式的通项为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，故选：B2．SKIPIF1<0的展开式中各项系数之和为SKIPIF1<0，则该展开式中常数项为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】取SKIPIF1<0代入计算得到SKIPIF1<0，确定SKIPIF1<0展开式的通项，分别取SKIPIF1<0和SKIPIF1<0计算得到答案.【详解】SKIPIF1<0的展开式中各项系数之和为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0展开式的通项为SKIPIF1<0，分别取SKIPIF1<0和SKIPIF1<0得到常数项为：SKIPIF1<0，故选：C3．已知SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数为48，则实数SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式SKIPIF1<0的通项公式为：SKIPIF1<0SKI