2024秋高中数学第四章数列综合测评新人教A版选择性必修第二册

PAGEPAGE2第四章综合测评一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在等差数列{an}中,若2a8=6+a11,则a1+a9=()A.54 B.12 C.10 D.62.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1≠0,Sn=an2+bn,且a7=3a2,S8=λa2,则λ的值为()A.15 B.16 C.17 D.183.在数列{an}中,a1=2,an=1+1an-1(n≥2),则a3=A.32 B.23 C.53 4.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5=3,则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a9=()A.5 B.7 C.9 D.115.在等差数列{an}中,a1=-5,a3是4与49的等比中项,且a3<0,则a5=()A.-18 B.-23C.-24 D.-326.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2≥3,S5≤30,则a1的最小值是()A.-1 B.0 C.1 D.27.已知在数列{an}中,a1=1,(n+1)an=2nan+1,则数列{an}的通项公式是()A.an=n2n-1 B.C.an=n D.an=n8.给出数阵:01…912…10︙︙︙︙910…18其中每行、每列均为等差数列,则此数阵全部数的和为()A.495 B.900 C.1000 D.1100二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知等比数列{an}的公比q=-23,等差数列{bn}的首项b1=12,若a9>b9且a10>b10,则下列结论正确的有(A.a9a10<0 B.a9>a10C.b10>0 D.b9>b1010.已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),公差d≠0,S6=90,a7是a3与a9的等比中项,则下列结论正确的是()A.a1=22B.d=-2C.当n=10或n=11时,Sn取得最大值D.当Sn>0时,n的最大值为2011.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,则下列结论正确的是()A.a10=0B.S10最小C.S7=S12D.S19=012.在数列{an}中,n∈N*,若an+2-an+1an+1-an=k(k为常数),则称{an}为A.k不行能为0B.等差数列肯定是“等差比数列”C.等比数列肯定是“等差比数列”D.“等差比数列”中可以有多数项为0三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.在等差数列{an}中,前m(m为奇数)项和为135,其中偶数项之和为63,且am-a1=14,则a100的值为.

14.已知两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且SnTn=7n+14n+27(15.设f(x)=4x4x+2,可求得f12015+f22015+f32015+…+f20142015的值为.

16.已知数列{an}满意an+an+2=2an+1,a2=8,a5=20,bn=2n+1+1,设数列{bn-an}的前n项和为Sn,则a1=,Sn=四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满意an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=12(1)求证:1S(2)求数列{an}的通项公式.18.(本小题满分12分)已知数列{an}的通项公式为an=3n(1)求a10.(2)推断710是否为该数列中的项.若是,它为第几项?若不是,请说明理由(3)求证:0<an<1.19.(本小题满分12分)甲、乙两物体分别从相距70米的两处同时相向运动.甲第1分钟走2米,以后每分钟比前1分钟多走1米,乙每分钟走5米.(1)甲、乙起先运动后几分钟相遇?(2)假如甲、乙到达对方起点后马上折返,甲接着每分钟比前1分钟多走1米,乙接着每分钟走5米,那么甲、乙起先运动后几分钟其次次相遇?20.(本小题满分12分)(2024云南玉溪月考)已知数列{an+3}为等比数列,且a2=6,a3=24.(1)求an;(2)若3(bn+1-bn)=an,且b1=12,求bn21.(本小题满分12分)已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满意2Sn=an2+n-4(n∈N*(1)求证:数列{an}为等差数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.22.(本小题满分12分)若数列{an}是公差为2的等差数列,数列{bn}满意b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}满意cn=an+1bn+1,数列{cn}的前n项和为Tn,若不等式(-1)nλ<Tn+n2n-1参考答案第四章综合测评1.B设等差数列{an}的公差为d,∵在等差数列{an}中,2a8=6+a11,∴2(a1+7d)=6+a1+10d,解得a1+4d=6.∴a1+a9=a1+a1+8d=2×6=12.故选B.2.B∵数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an2+bn,∴数列{an}是等差数列.∵a7=3a2,∴a1+6d=3(a1+d),解得a1=32d∵S8=λa2,∴8a1+8×72d=λ(a1+d∴40d=λ×52d,又d≠0,解得λ=163.C∵an=1+1an-1(n≥2),a1=2,∴a2=1+1a1=1+12=32,∴a3=14.C∵在各项均为正数的等比数列{an}中,a5=3,∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a9=log3(a1a2…a9)=log3a59=9log3a5=9log33=9.故选5.B依据题意,a3是4与49的等比中项,则(a3)2=4×49,解得a3=±14.又因为a3<0,所以a3=-14.又a1=-5,则a5=2a3-a1=-23.故选B.6.B设等差数列{an}的公差为d,由a可得a1+d≥3,则a1的最小值是0.故选B.7.B在数列{an}中,a1=1,(n+1)an=2nan+1,整理得an+1an=n+12全部的式子相乘得到anan-1·an-1an所以an=n2n-1(a1也符合该式).故an=n8.B设b1=0+1+2+…+9,b2=1+2+3+…+10,…,b10=9+10+…+18,则{bn}是首项b1=45,公差d=10的等差数列,所以S10=45×10+10×92×10=9009.AD∵等比数列{an}的公比q=-23∴a9和a10异号,即a9a10<0,但不能确定a9和a10的大小关系,故A正确,B不正确;∵a9和a10异号,a9>b9且a10>b10,∴b9和b10中至少有一个数是负数,又b1=12>0,∴d<0,∴b9>b10,b10肯定是负数,即b10<0,故C不正确,D正确.故选AD.10.BCD因为S6=90,所以6a1+6×52d=90,即2a1+5d=30,①又因为a7是a3与a9的等比中项,所以a72=a3a所以(a1+6d)2=(a1+2d)(a1+8d),整理得a1=-10d,②由①②解得a1=20,d=-2,故A错误,B正确;所以Sn=20n+n(n-1)2×(-2)=-n2+21n=-n-2122+4414,又n∈N*,所以当n=10或n=11时,Sn令Sn=-n2+21n>0,解得0<n<21,又n∈N*,所以n的最大值为20,故D正确.故选BCD.11.ACD因为数列{an}为等差数列,2a1+3a3=S6,即5a1+6d=6a1+15d,即a1+9d=a10=0,故A正确;因为a10=0,所以S9=S10,但是无法确定数列{an}的公差d的大小,故无法确定S10是最大值还是最小值,故B错误;因为a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,所以S12=S7+a8+a9+a10+a11+a12=S7+0=S7,故C正确;S19=a1+a192×19=19a10=0,故D12.AD由题意,an+1≠an,则an不为常数列,故A正确,B,C错误;数列0,1,0,1,0,1,…,0,1是等差比数列,且有多数项为0,故D正确.故选AD.13.101∵在前m项中偶数项之和为S偶=63,∴奇数项之和为S奇=135-63=72,设等差数列{an}的公差为d,则S奇-S偶=2a1+(m-1又am=a1+d(m-1),∴a1+a∵am-a1=14,∴a1=2,am=16.∵m(a∴m=15,∴d=14m-1=1,∴a100=a1+9914.148111因为在等差数列{an},{bn}中,SnTn=7n+1415.1007∵f(x)=4x∴f(x)+f(1-x)=4x4x故可得f12015+f22015+f32015+…+f20142015=f12015+f20142015+f22015+f20132015+…+f10072015+f10082015=1007×1=1007.16.42n+2-2n2-n-4∵数列{an}满意an+an+2=2an+1,∴{an}为等差数列.设{an}的公差为d,则a5=故an=4n.∴bn-an=2n+1+1-4∴Sn=4(1-2n)1-2+n-4·n(n17.(1)证明当n≥2时,由an+2SnSn-1=0得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以1Sn−又1S1所以1Sn是首项为2,公差为2(2)解由(1)可得1Sn=2n,所以Sn=当n≥2时,an=Sn-Sn-1=12n−当n=1时,a1=12,不符合an=-1故an=118.(1)解依据题意可得a10=3×10-(2)解是.令an=710,即3n-2故710为数列{an}中的项,为第3项(3)证明由题意可得an=3n-23n∵n∈N*,∴3n+1>3,∴0<33n+1<1,∴0<1-33n+1<1,即19.解(1)设起先运动n分钟后相遇,依题意,有2n+n(n-1)2+5n=70,整理,得n2解得n=7,n=-20(舍去).故甲、乙两物体起先运动后7分钟相遇.(2)设起先运动m分钟后第2次相遇,依题意,有2m+m(m-1)2+5m=3×70,整理,得m2+13m-420=0,解得m=故甲、乙两物体起先运动后15分钟其次次相遇.20.解(1)因为a3+3所以数列{an+3}的公比为3,所以an+3=(a2+3)·3n-2=9·3n-2=3n,故an=3n-3.(2)因为3(bn+1-bn)=an,所以bn+1-bn=13(3n-3)=3n-1-所以b2-b1=30-1,b3-b2=31-1,…,bn-bn-1=3n-2-1,所以bn-b1=(30+31+…+3n-2)-(n-1)=1-3n-11-3-(n-1)=3n-121.(1)证明当n=1时,有2a1=a12+1-4,即a12-2a1-3=0,解得a1=3(a1=-当n≥2时,有2Sn-1=an-又2Sn=an2+n-4,两式相减得2an=a即an2-2an+1=an-12,即(an因此an-1=an-1或an-1=-an-1.若an-1=-an-1,即an+an-1=1.则有当a1=3时,a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相冲突,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此数列{an}为等差数列.(2)解由(1)知a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式为an=3+(n-1)×1=n+2,故Sn=n222.解(1)∵数列{bn}满意b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1,∴a1+1=2,解得a1=1.又∵数列{an}是公差为