3高考2模拟 高考数学 第五章 高考数学 第一节 平面向量

第五章平面向量、解三角形

第一节平面向量第一部分三年高考荟萃

2010年高考题

一、选择题

1.(2010湖南文)6.若非零向量a,b满足|“l=lbl,(2a+6>6=0,则a与b的夹角为

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

UUIUU

2.(2010全国卷2理)(8)748。中，点。在43上，。平方/)。5.若。3=4,2=6,

UUW

同=1,网=2,则CD-

1?213443

(A)—a+—b(B)—a+—b(C)—a+—b(D)—a+—b

33335555

【答案】B

【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.

【解析】因为CQ平分乙4CB，由角平分线定理得理=2,所以D为AB的三等

|DB||CB|1

—2—2————...2—1—2-1-

分点，且AD=—AB=—(CB-CA),所以CD=CA+AD=—CB+—CA=—a+—b,

333333

故选B.

3.(2010辽宁文)(8)平面上0,48三点不共线，设a=2,方=书，则AOZ8的面积等

于

(A)桐［”而(B)洞解+0而

©引"Q而⑺WW+Q而

【答案】c

解析:

SMAB=；l£ll5lsin<£,5>=gl7RlJl-cos2<£l>=gl£ll5ljl—3片

MW

洞脚一0而

4.(2010辽宁理)(8)平面上0,A,B三点不共线，设OA=a,OB=b,则AOAB的面积等于

(A)他力|2—g份2⑻7l«l2l^l2+(«b)2

(0；而|2|92_g32(D)；而|2力|2十①分

【答案】C

【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基

本关系。

【解析】三角形的面积S=1|a|bsin〈a,b>,而

2

gjlaF.F_(丽=,JlaF|/)|2—(ab)2cos?<>

—IaII/)IJl-cos2<a,h>=—I<7IIftIsin<a,b>

22

5.(2010全国卷2文)(10)AABC中，点D在边AB上，CD平分NACB,若酝=a,CA=

b,|=1,\h|=2,贝同=

1?213443

(A)—a+—b(B)—a+—b(C)—a+—b(D)—a+—b

33335555

【答案】B

【解析】B：本题考查了平面向量的基础知识

BDBC

•：CD为角平分线，；.ADAC2,AB=CB-CA=a-b,

AD^-AB^-a--bCD^CA+AD^b+-a--b^-a+-b

333,二3333

⑶设向量a=（1,0）,6=（；,；）,则下列结论中正确的是

6.（2010安徽文）

(A)|a|=|6|(B)ab=

2

(C)a!lb(D)a-b与6垂直

【答案】D

【解析】=(a-b)b=O,所以。一)与分垂直.

【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论.

7.(2010重庆文)(3)若向量Q=(3,〃Z),h=(2,-1),[6=0,则实数的值为

33

(A)一一(B)一

22

(C)2(D)6

【答案】D

解析：ab=6-m=0,所以m二6

8.(2010重庆理)(2)已知向量a,b满足Q・6=0,同=1,同=2,,则|2"4=

A.0B.272C.4D.8

【答案】B

解析：|2a—臼=yl(2a-b)2=^4a2-4a-b+b2=次=2/

9.(2010山东文)(12)定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的。=(〃?,〃)，

b-(p,q),令ab-mq-np,下面说法错误的是

(A)若a与b共线，则ab=0

(B)ab-ba

(C)对任意的/le火，有(丸“)b=Mab)

(D)(ab)2+(a»b)2=lal2l/>l2

【答案】B

10.(2010四川理)(5)设点"是线段比的中点，点/在直线BC外，

苑2=16,|而+祀|=|乐一祝贝ijAM\^

(4)8")4(O2(〃)1解析：由前2=16,得|a1=4

刀+刀|=|海-刀|=|就|=4

而AB+AC\=2\AM\

故AM\=2

【答案】C

11.(2010天津文)(9)如图，在△ABC中，前=/丽，］而卜1,贝I」％•瓦=

(R)G

(D)V3

(A)2A/3VD?--(C)

2T

【答案】D

【解析】木题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知

识，属于难题。

AC»AD=\AC\»\AD\cosZDAC=1ACI•cosADAC=1NCIsinABAC

=5CsinB=V3

【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强

平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。

12.(2010广东文)

5.若向量;=("),5=(2.5),；=(3,x)满足条件(8>1)；=30,则工=

A.60.CJ.।

解：(8a-K)=(8.8)-(2.5)=(6.3)

(8a-2>c=6x3+3x=30=x=4,选C

13.(2010福建文)

S.若向WJ=(x.：5(xeM，则"x=4"是"|&卜5”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充嬖条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】由x=4需；=(4.力所以旧卜5】反之.由|1|=5可幻x=±4・

【命题意图】本题零查平面向量.常用逻辑用语等基础知识.

14.(2010全国卷1文)(11)已知圆。的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两

切点，那么苏•丽的最小值为

(A)-4+V2⑻—3+0(C)—4+20(D)-3+272

【答案】D

【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法一

一判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.

即力—（1+丁口2—y=0,由r是实数，所以

A=[-（l+j；）]2-4xlx（-y）>0,y2+6y+l>Q,解得yV-3-2忘或y2-3+2血.

故（苏•丽）min=-3+2JL此时X=VV2-1.

mafic.O17ADDnnnPA»PB-（PA\（PB\cOS01/tan—COS，

【解析2】设44PB=。,0<。<乃，,八）12J

2夕l-sin^Yl-2sin^1

cos

l-2sin2^2e

____2换元：x=sin'—,0<x<l,

.id2

sin-

2

向.而二（j）（-2,）=2X+,_3N2层3

XX

【解析3】建系：园的方程为/+；/=1,设44%）,8（七,一凹），尸*0,0），

尸/•尸8=（须一/，必）,（为一/，—%）=片_2石玉）十片一切2

2

AO-LPA=>（X）,•（Xj-xo,yj=0=>X]-x}xG4-=0=>x]xQ-1

—

PA•PB—Xy—2X|XQ+x；-—x；-2+x；-（1-x；）—2x；+x：-322>/23

,2

15.（2010四川文）（6）设点”是线段BC的中点，点N在直线8c外，BC=16,

同+阳=府-园，贝“西=

(1)8(0492(〃)1

【答案】C

解析：由8C=16,得18a=4

方+配|=|荔-%|=|元|=4

而方+配|=2|而

故AM\-2

16.(2010湖北文)8.已知A48c和点M满足血+砺+荻=0.若存在实加使得

AM+AC=mAM成立，则〃？二

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AV并延长交BC于D,

则万7=2①①，因为AD为中或则触+而=2力=加宿，

3

即2万=加罚②，联立①©可得比3,故B正确.

17.(2010山东理)(12)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的£=(m,n),

b=(p,q),令ab=mq-np,下面说法错误的是()

A.若a与B共线，则ab=OB.ab=ba

c.对任意的/UR,有(而)b=2(ab)D.(ab)2+(ab)2=lal2lbl2

【答案】B

【解析】若a与6共线，则有ab=mq-np=0,故A正确；因为6a=pn-qm,而

ab=mq-np,所以有abba,故选项B错误，故选B。

【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识

以及分析问题、解决问题的能力。

uuuuuu

18.(2010湖南理)4、在H/A48c中，ZC=90°AC=4,则等于

A、-16B、-8C、8D、16

【答案】A

【解析】因为NC=90",所以就•而=“

HrUAJ5*JC=(JC+C3>JC=(JC):+JC.C8=16,故选Ek

【命题意图】本题考查向量的加法的运皙，向量的数量积，层中档题"

19.(2010年安徽理)

3、设向量a=0.0),&=(；'),则下列站途中正碉的是

A、同=阳B、a・b=*■C、a-A与白垂直IXaHb

3.C

【解析】a-»=d.-3，(a-6)O>=0,驱a-▲与A垂直

【方法4确】利用向量的坐标运过.■接验证很容易先挂除掉选项A、B、D.然后验证C即可得出结论

20.(2010湖北理)5.已知AABC和点M满足M氏+M白+M(b=O.若存在实数m使得

->-->-->

AB+AC=mAM成立，则m=

A.2B.3C.4D.5

5.【答案】B

【解析】由题目条件可知，M为^ABC的重心，连接AM并延长交BC于D,

则丽二万①，因为AD为中线则在+而-2筋-m万7,

3

即2力雨②，联立①②可得JF3,故B正确.

二、填空题

1.(2010上海文)13.在平面直角坐标系中，双曲线「的中心在原点，它的一个焦点坐标为

(75,0),3=(2,1)、&=(2,—1)分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线「上的

点、P,若OP=ae\+be2(a、6£7?),则Q、b满足的一个等式是_456=1。

解析：因为Z=(2,1)、e2=(2,—1)是渐进线方向向量,所以双曲线渐近线方程为y=土gx,

又c=Q=2,6=1

双曲线方程为二--y2=1

OP=ae\+he2-(2a+2b,a-b),

4

2

：.Q"+2份_(a_/,)=1,化简得4^6=1

4

2.（2010浙江理）（16）已知平面向量a，Z?（aK0,aH〃）满足期=1,且a与£—a的夹

角为120。，则国的取值范围是.

解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向

量的四则运算及其儿何意义，突II；考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。

3.（2010陕西文）12.已知向量a=（2,­1）,b=（-1,加，c=（-1,2）若（a+6）

//c,则

【答案】-1

解析：a+b=(1,加一1),由(o+b)〃c得1x2-(加一1)x(-1)=0,所以m=T

4.（2010江西理）13.已知向量Z,1满足同=1,恸=2,1与3的夹

角为60。，则|£一可=

【答案】百

【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦

定理等知识，如图£=方1=0及£一5=丽一砺=定，由余弦定理

得邛叫=百

5.（2010浙江文）（17）在平行四边形ABCD中，0是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是

线段0A、OB、0C、OD的中点，在APMC中任取一点记为E,在B、Q、N、D中任取一点记为F,

设G为满足向量03=宿方的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边

形ABCD外（不含边界）的概率为。

J

国17

3

答案：-

4

6.(2010浙江文)(13)已知平面向量a,闵a|=l,网=2,a，(a—2Q),则|2〃+川的值是

答案：V10

7.(2010天津理)(15)如图，在/BC中，ADA.AB,BC=43BD,

回=1,则ACZ5=.'

【答案】D『一-「♦二

【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。

AC•AD=\ACcosZDAC=\AC\»cosZDAC=\AC\sinZBAC

-BCsinB=y/3

【解析】近儿年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面

向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。

8.(2010广东理)10.若向量二=(1,l,x),b=(1,2,1),：=(1,1,1),满足条件

(0一。)・(26)二-2,则x-

【答案】2

c一Q=(0,0』一x),(c-Q)•(26)=2(0,0,1-%)•(!,2,1)=2(1-x)=-2,解得x=2.

三、解答题

1.(2010江苏卷)15、(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中，点A(—"1,—2)、B(2,3)、C(—2,—1)»

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

⑵设实数t满足(获一而)•而=0,求t的值。

［解析］本小题考查平面向量的儿何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14

分。

(1)(方法一)由题设知方=(3,5),%=(—1,1),则

方+就=(2,6),海-配=(4,4).

所以I方+配1=2丽,1而一万1=472.

故所求的两条对角线的长分别为40、2厢。

(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,贝IJ:

E为B、C的中点，E(0,1)

又E(0,1)为A、D的中点，所以D(1,4)

故所求的两条对角线的长分别为BC=4>/2、AD=2jIU；

(2)由题设知：OC=(-2,-1),万一/无=(3+2/,5+力。

由(砺一/而)•而=0,得：(3+27,5+/>(—2,—1)=0,

从而57=—11,所以，=—以。

5

或者：TB-OC=tOC2,7^=(3,5),fJ空元=_U

\OCI25

2009年高考题

一、选择题

1.（2009年广东卷文）已知平面向量不（x,D，左（一Jr,》?），则向量a+方（）

A平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线

C.平行于歹轴D.平行于第二、四象限的角平分线

答案C

解析a+Z>=（0,l+x2）,由1+/工0及向量的性质可知,C正确.

2.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力大，工，招（单位：牛顿）的作用而处于

平衡状态.已知月，工成60°角，且耳，B的大小分别为2和4,则巴的大小为（）

A.6B.2C.275D.2s

答案D

解析F；=F：+可-2月F2cos（180°-60°）=28,所以居=，选D.

3.（2009浙江卷理）设向量a,力满足：1。1=3,1>1=4,ab-0.以a,b,a-）的

模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，

对于圆的位置稍•右移或其他的变化,能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能

实现.

4.（2009浙江卷文）已知向量a=（1,2）,》=（2,—3）.若向量c满足（c+a）//》，c，（“+》），

则。=（）

答案D

解析不妨设C=(»7,〃)，则。+。=(1+机,2+〃),。+3=(3,-1),对于(c+a)〃5,

则有一3(1+/«)=2(2+〃)；又cJ_(a+B),贝!J有3加一〃=0,则有加=-",〃=-(

【命题意图】此题主要考查了平血向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的

考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用.

5.（2009北京卷文）已知向量a==（0,l）,c=ka+b（左eR）,d=a-b,如果。〃d

那么（）

A.左=1且C与d同向B.左=1且c与d反向

C.4=-1且C与d同向D.4=-1且C与“反向

答案D

解析本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法.属于基础知识、基本运算考查.

".'a=（l,0）,b—（0,1）,若一=1,则c=a+6=（1,1）,d=a—b=（1,—1）>

显然，a与6不平行，排除A、B.

若左=-1,贝IIc=-a+6=（—1,1）,d=-a+b=—1,1）,

即c〃"且c与d反向，排除C,故选D.

6.（2009北京卷文）设D是正生鸟鸟及其内部的点构成的集合，点片是ME鸟的中心,

若集合S={PIPG"IPK国理1"=1,2,3},则集合S表示的平面区域是（）

A.三角形区域B.四边形区域

C.五边形区域D.六边形区域

答案D

解析本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要

考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生

分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.如图，A、B、

C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF,

其中，P0A=P2A<PiA{i=\,S）即点P可以是点A.

7.（2009北京卷理）已知向量3、6不共线，6=人+%左€心，公4一6,如果。〃",那么（）

A.左=1且c与d同向B.人=1且（?与"反向

C.左=—1且c与"同向D.左=—1且c与"反向

答案D

解析本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考

查.

取a=(l,O),6=(0,1),若左=1,则c=a+6=(1,1),d-a-b-(h_l)>

显然，a与6不平行，排除A、B.

若4=—1,贝ijc=—a+Z>=(—1,1),d=—a+Z>=—1,1),

即c〃"且c与d反向，排除C,故选D.

8.(2009山东卷理)设P是4ABC所在平面内的一点，BC+BA=2BP,则()

A.PA+PB=OB.PC+PA=OC.PB+PC=QD.PA+PB+PC=（）

答案B

解析：因为册+方=2而，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。

【命题立意】：本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答.

9.（2009全国卷n文）已知向量a=（2,1）,a•b-10,\a+bI=5&，则I6I=

A.y/5B.V10C.5D.25

答案C

解析本题考查平面向量数量积运算和性质，由。+6=5&知（a+b）2=a，b2+2ab=50,

得|b|=5选C.

10.（2009全国卷I理）设a、b、c是单位向量，且a•6=0,则（a—c）•9一c）的最

小值为()

A.—2B.^2—2C.-1D.1-^2

答案D

解析,.•£,3,1是单位向量二（4一。）・伍一。）=。h-（a+b）c+c

=I-1a+B11c1=1-夜cos<a+b,c>>1-V2.

11.（2009湖北卷理）已知

P={a\a=(1,0)+加(0,1),加e火},。={61b=(1,1)+n(-l,l),weR}是两个向量集合,

则PIQ=

()

A.Hl,1)}B.{(-1,1)}C.{(1,0)}D.{(0,1)}

答案A

解析因为£=(1,相)5=(1-〃/+〃)代入选项可得PC0={(1,1)}故选A.

12.(2009全国卷^理)已知向量a=(2,l),。北=lO,la+加=5JL则lbl=()

A.#)B.V10C.5D.25

答案C

解析•/50=1o+612=1aI2+2a6+1612=5+20+1bI2/.161=5故选C.

13.(2009辽宁卷理)平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),\b\=l则|a+24=()

A.6B.273C.4D.2

答案B

解析由已知|a|=2,|a+2b|2=a?+4a•b+4b2=4+4X2X1XCOS60°+4=12

.,.p+2Z)|=2V3

14.(2009宁夏海南卷理)已知0,N,P在A48c所在平面内，且

|万卜|砺|=|四|,丽+丽+近=0,且两.而=丽.定=元・两，则点0,

N,P依次是AA5C的()

A.重心外心垂心B.重心外心内心

C.外心重心垂心D.外心重心内心

答案C

(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心)

解析

由网=函=|5c|知,O为入43耶外心；由州4+赤+近=0知，O为入48皿重心

■.■PA»~PB^PB»PC,：.(7A-PCyPB^0,：.CA»PB^0,：.CALPB,

同理，45_18。,;.尸为凶8(：的垂心，选C.

15.(2009湖北卷文)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=()

A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b

答案B

解析由计算可得£=(4,2)=3之一］故选13

16.(2009湖南卷文)如图1,D,E,F分别是AABC的边AB,BC,CA的中点，贝U()

A.AD+BE+CF^O

B.BD-CF+DF^()

C.AD+CE-CF=0

D.BD-BE-FC^O

答案A

图1

解析•.•亚=丽,；.亚+炉=丽+屁=诙=定,得而+而+酝=0

或诟+而+而=而+万斤+方=万+丽=0.

17.（2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为60°,a=（2,0）,|b|=1,贝I||a+2b|

等于（）

A.百B.26C.4D.12

答案B

解析由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+442X1+cos60°+4=12

\a+2a=2-\/3

18.（2009全国卷I文）设非零向量。,b、。满足1。1=1b\=\c\,a+b=c，则＞=（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

答案B

解析本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。

解由向量加法的平行四边形法则，知£、1可构成菱形的两条相邻边，且£、了为起

点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。

19.（2009陕西卷文）在\ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学方=2PM,

则科网⑸•（而+正）等于（）

4444

C

9-3--3-D.9-

A.答

案1

解析由力尸=2尸"知，p为A48c的重心，根据向量的加法，？8+尸。=20〃则

O[A

JP(PB+定产浜^2|司网cos。=2x：xgxl=1

20.（2009宁夏海南卷文）已知。=（—3,2）/=（一1,0）,向量6与"26垂直，则实

数/I的值为（）

1111

A.一一B.-C.——D.-

7766

答案A

解析向量丸。+6=（-3A-1,22）,a—2b=（—1,2）,因为两个向量垂直，故

有（一3几一1,2/1）X（-1,2）=0,即3/1+1+4丸=0,解得：2=--,故选.A.

7

21.（2009湖南卷理）对于非0向时a,b,“a〃b”的正确是（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由a+6=0,可得。=一6,即得a〃b，但,a〃b,不一定有。=一6,所以

“。+6=0”是的充分不必要条件。

22.（2009福建卷文）设W,b,1为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满

足。与b不共线，aleIaI=IcI,则I6・c|的值一定等于（）

A.以二，%为邻边的平行四边形的面积

B.以1,I为两边的三角形面积

C.a,，为两边的三角形面积

D.以1为邻边的平行四边形的面积

答案A

—>—>—>—>—>->->->

解析假设。与b的夹角为。，Ib•cI=II,IcI,Icos<b,c>I

=I?I•IaI-Icos（90°±6）|=|J|-|a|”储6,即为以1Z为邻边的平

行四边形的面积.

23.（2009重庆卷理）已知同=1,例=6,a（A—a）=2,则向量a与向量》的夹角是（）

答案c

解析因为由条件得“/-a?=2,所以。力=2+a?=3=a-bcosa=1x6xcosa,

所以cosa=—,所以《=工

23

24.(2009重庆卷文)已知向量a=(1,1)1=(2,x),若a+1与劭一2a平行,则实数x的值

是()

A.-2B.0C.1D.2

答案D

解法1因为a==(2,x),所以a+6=(3,x+1),46-2。=(6,4x-2),

由于a+b与46-2。平行，得6(x+l)—3(4x—2)=0,解得x=2。

解法2因为a+b与46—2a平行，则存在常数4,使a+6=2(46-2〃)，即

(2/1+1)。=(44-1)6,根据向量共线的条件知，向量a与6共线，故x=2

25.(2009湖北卷理)函数y=cos(2x+工)-2的图象/按向量a平移到L,广的函数解析

6

式为歹=/(幻,当》=/(x)为奇函数时，向量。可以等于()

4(一二,一2)5.(--,2)C.(—,-2)

6666

答案B

解析直接用代入法检验比较简单.或者设；二(£,，)，根据定义

y-yf=cos[2(x-xz)+-]-2,根据y是奇函数，对应求出x',

6

26.(2009湖北卷文)函数”cos(2x+*-2的图像F按向量a平移至I」F,F的解析式y=f(x),

当尸f(x)为奇函数时，向量a可以等于()

A.(9,一2)B.(£⑵C.(--,-2)D.(一9,2)

6666

答案D

解析由平面向量平行规律可知，仅当£=(-9,2)时，

6

7TTT

F'：f(x)=cos[2(x+—)+—]-2=-sin2x为奇函数,故选D.

26.（2009广东卷理）若平面向量3,3满足）+3=1,）+3平行于x轴，b=（2,-1）,

贝力=__________.TfC

答案(-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)//\

解析"+g=(1,0)或(—1,0),则Z=(1,0)-(2,—1)=(—1,1)//\

ApC

或)=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).

27.(2009江苏卷)已知向量Z和向量3的夹角为30°,I箱Z屉后,则向量力和向量否的

数量积)3=.

答案3

解析考查数量积的运算。a-b=2-43--=3

2

28.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量04和08，它们的夹角为120°.

如图所示，点C在以0为圆心的圆弧而上变动.

若OC=xOA+yOB,其中x,歹eR,则x+y

的最大值是.

答案2

解析设乙4OC=a

OC.OA=xOA.OA+ydB.OA,cosa=x-ly

OC»OB^xOA»OB+yOB»OB,'Cos(120°-a)=--x+y

；・x+y=2[cosa+cos(1200-a)]=cosa+Gsina=2sin(a+—)<2

6

29.(2009安徽卷文)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或

AC=1AB+lAP，其中2,LER,则：+L二

答案4/3

.—•.—»■.I—♦—•.—*I—•.—•—•

解析设BC=b、=a则/尸=一6一。,AE=b——a,AC=h-a

22

24

代入条件得4=〃=—・,.丸+〃=—

33

30.（2009江西卷文）已知向量£=（3,1）,坂=（1,3）,"=（左,2）,若（£一"），坂则

k=.

答案0

解析因为Z—"=（3—左1）,所以左=0.

31.（2009江西卷理）已知向量£=（3,1）,否=（1,3）,3=（k,7）,若（£一"）〃九则

k=.

答案5

解析土上=_2=左=5

13

32.（2009湖南卷文）如图2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一一起，若AD=xAB+yAC,

解析作。设N8=ZC=ln8C=OE=0,

NDEB=60°,

2

由ZDBF=45°解得DF=BF=西乌故E+乌尸亘

2222-2

33.(2009辽宁卷文)在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB〃DC,AD〃BC,已知点

A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为.

答案(0,-2)

解析平行四边形ABCD中，砺+历=宓+反

：.OD=OA+OC-OB^(~2,0)+(8,6)-(6,8)-(0,-2)

即D点坐标为(0,-2)

7T

34.(2009年广东卷文)(已知向量〃=(sina-2)与1=(1,cos。)互相垂直,其中6w(0,一)

2

(1)求sin。和cos。的值

(2)若5cos(夕一夕)=3j^cos0,0<°<5,求cos°的值

解(1),.二)的=sin。-2cos8=0,即sine=2cos。

又・.・sin2e+cose=l,4cos2^+cos23=1,即cos?=gsin?。1

又0€(0,­)sin0=,cos0--

255

(2)5cos(。一(p)=5(cos^cos°+sin6sin(p)=亚cos(p+275sin(p=3亚cos3

••・cose=sin°,/.cos2=sin2=1-cos2cp,BPcos2^=~

T[ypl

又a<(P<3,/.cos(P=

35.(2009江苏卷)设向量a=(4cosa,sina),1=(sin/?,4cos/?),c=(cos/?,-4sinp)

(1)若。与B-2c垂直，求tan(a+〃)的值；

(2)求iB+Jl的最大值；

(3)若tanatan/?=16,求证：a//b.

解析本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角

的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。

(1)由〃与。一2c垂直，a(b-1c)=ab-lac=0,

即4siii(a+/?)-8cos(a+1)=0,tan(a+/?)=2?

(2)b+c=(sinp+cospAcos/7一4sinp)\

|Z>+r|2=siD2/?4-2汹11?cos/?+cos2P+16cos2夕-32cos/>sin/7+16sill2/7

=1"-30sii)y(>cos/>=17-15sin2/),最大值为3