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文档简介
第3讲导数的实际应用★知识梳理★利用导数解决生活、生产优化问题,其解题思路是:优化问题函数模型优化问题函数模型解决数学问题优化问题的解★重难点突破★1.重点:利用于数学知识建立函数模型,借助于导数解决最优化问题。2.难点:建模的过程3.重难点:认真审题,建立数学模型,解决与函数有关的最优化问题.(1)关注由导数的定义和物理意义处理实际应用问题问题1:路灯距地平面为,一个身高为的人以的速率在地面上行走,从路灯在地平面上射影点C,沿某直线离开路灯,求人影长度的变化速率v.点拨:利用导数的物理意义解决设路灯距地平面的距离为,人的身高为.设人从点运动到处路程为米,时间为(单位:秒),AB为人影长度,设为,则∵,∴∴,又,∴∵,∴人影长度的变化速率为.(2)利用导数处理最大(小)值问题是高考常见题型.问题2.(2006·江苏)请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大?OO1[剖析]设为,则由题设可得正六棱锥底面边长为OO1(单位:)于是底面正六边形的面积为(单位:)帐篷的体积为(单位:)求导数,得令解得(不合题意,舍去),.当时,,为增函数;当时,,为减函数。所以当时,最大.答当为时,帐篷的体积最大.★热点考点题型探析★考点:最优化问题题型1.函数模型中的最优化问题例1.设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?【解题思路】由勾股定理建模.解析:设BD之间的距离为km,则|AD|=,|CD|=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得25=9(),解之得=15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.【名师指引】这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.例2.某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?思路分析:在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.解法一:设相同的时间内,生产第x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润y最大. 2分依题意,得y=[8+2(x-1)][60-3(x-1)] 4分=-6x2+108x+378=-6(x-9)2+864(1≤x≤10), 8分显然,当x=9时,ymax=864(元),即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元. 10分解法二:由上面解法得到y=-6x2+108x+378.求导数,得y′=-12x+108,令y′=-12x+108=0,解得x=9.因x=9∈[1,10],y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.【名师指引】一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.题型2:几何模型的最优化问题【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解.例3.(07上海春季高考)某人定制了一批地砖.每块地砖(如图1所示)是边长为米的正方形,点E、F分别在边BC和CD上,△、△和四边形均由单一材料制成,制成△、△和四边形的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分成四边形.图1(1)求证:四边形是正方形;图1(2)在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省?图2图2【解题思路】图2是由四块图1所示地砖绕点按顺时针旋转后得到,△为等腰直角三角形,四边形是正方形.[解析](2)设,则,每块地砖的费用为,制成△、△和四边形三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元),.由,当时,有最小值,即总费用为最省.答:当米时,总费用最省.【名师指引】处理较复杂的应用题审题时要逐字逐句地去啄磨.题型3:三角模型的最优化问题例4.若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动,桌面上有与点O距离为的另一点A,问电灯与点0的距离怎样,可使点A处有最大的照度?(照度与成正比,与成反比)【解题思路】如图,由光学知识,照度与成正比,与成反比,即(是与灯光强度有关的常数)要想点处有最大的照度,只需求的极值就可以了.解析:设到的距离为,则,于是,.当时,即方程的根为(舍)与,在我们讨论的半闭区间内,所以函数在点取极大值,也是最大值。即当电灯与点距离为时,点的照度为最大.(0,)+-↗↘点评:在有关极值应用的问题中,绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得=0且在该点两侧,的符号各异,一般称为单峰问题,此时,该点就是极值点,也是最大(小)值点.【名师指引】多参数的数学应用题要注意分清哪些是主元,哪些是参数;函数最值有关的问题通常利用导数求解比较方便.【新题导练】.1.在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?解析:设箱底边长为,则无盖的方底箱子的高为,其体积为,则,令,得,解得(已舍去)且仅当时,;当时,.所以函数在时取得极大值,结合实际情况,这个极大值就是函数的最大值.,故当箱底边长为时,箱子容积最大,最大容积是.2..一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问此轮船以何种速度航行时,能使行驶每公里的费用总和最小?设船速度为时,燃料费用为元,则,由可得,∴,∴总费用,,令得,当时,,此时函数单调递减,当时,,此时函数单调递增,∴当时,取得最小值,∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小.★抢分频道★基础巩固训练1.我国儿童4岁前身高增长的速度最快的是在哪一个年龄段?答:据有关统计资料,我国儿童4岁前身高情况有一组统计数据年龄/岁0.511.522.533.54…身高/米0.520.630.730.850.931.011.061.12…思路分析::要判断这一个问题.必须要计算每半年这个群体长高的平均增长率,再加以比较即可,通过计算每半年长高的平均增长率分别是2.2,2,2.4,1.6,1.6,1,1.2可知我国儿童在1.5岁至2岁这一时段身高增长的速度最快2.(2008·深圳6校)某日中午时整,甲船自处以的速度向正东行驶,乙船自的正北处以的速度向正南行驶,则当日时分时两船之间距离对时间的变化率是_____________.解析:距离对时间的变化率即瞬时速度。即此时距离函数对时间变量的导数。将物理学概念与数学中的导数概念迁移到实际应用题中来。易求得从点开始,小时时甲乙两船的距离,当时,3.要建造一个长方体形状的仓库,其内部的高为3m,长和宽的和为20m,则仓库容积的最大值为1800m3解:设长为,则宽为,仓库的容积为V则,令得当时,;当时,EMBEDEquation.DSMT4时,4.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使体积为最大,则其高应为____________.kh20解:设圆锥底面半径为r,高为,则,,圆锥体积一天,令得,当时,;时,kh20EMBEDEquation.DSMT4时,V最大,当应填5.质量为5kg的物体运动的速度为v=(18t-3t2)m/s,在时间t=2s时所受外力为______N.分析:本题主要考查导数的物理意义即速度v(t)对时间的导数是该时刻的加速度.解:∵v′=18-6t,∴v′|t=2=18-6×2=6.∴t=2时物体所受外力F为6×5=30.综合拔高训练6.在长为100千米的铁路线AB旁的C处有一个工厂,工厂与铁路的距离CA为20千米.由铁路上的B处向工厂提供原料,公路与铁路每吨千米的货物运价比为5∶3,为节约运费,在铁路的D处修一货物转运站,设AD距离为x千米,沿CD直线修一条公路(如图).(1)将每吨货物运费y(元)表示成x的函数.(2)当x为何值时运费最省?解:(1)设公路与铁路每吨千米的货物运价分别为5k、3k(元)(k为常数)AD=x,则DB=100-x.∴每吨货物运费y=(100-x)·3k+·5k(元)(2)令y′=-3k+5k··k=0∴5x-3=0∵x>0,∴解得x=15当0<x<15时,y′<0;当x>15时,y′>0∴当x=15时,y有最小值.答:当x为15千米时运费最省.7.(广东省2008届六校第二次联考)设某物体一天中的温度T是时间t的函数,已知,其中温度的单位是℃,时间的单位是小时.中午12:00相应的t=0,中午12:00以后相应的t取正数,中午12:00以前相应的t取负数(如早上8:00相应的t=-4,下午16:00相应的t=4).若测得该物体在早上8:00的温度为8℃,中午12:00的温度为60℃,下午13:00的温度为58(1)求该物体的温度T关于时间t的函数关系式;(2)该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高?最高温度是多少?解:(1)因为,………2分而,故,………3分.…6分∴.…………………7分(2),由……9分当在上变化时,的变化情况如下表:-2(-2,-1)-1(-1,1)1(1,2)2+0-0+58增函数极大值62减函数极小值58增函数62………
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