苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5-3-3最大值与最小值课件

5.3.3

最大值与最小值知识点

求函数的最大值与最小值的步骤求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值可以分为两步:第一步:求f(x)在区间(a,b)上的极值;第二步:将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较,得到f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值.注意:函数的最大(小)值是相对于函数定义域整体而言的,如果存在最大(小)值,那么最大(小)

值唯一.知识辨析1.函数的最值一定是函数的极值吗?2.开区间上的单调连续函数有最值吗?3.若连续函数在区间内存在唯一的极值,则这个极值也一定是函数在区间内的最值,对吗?一语破的1.不一定.函数的最值是通过比较函数的端点值和极值得到的,若最值不是端点值,则一定是

极值.2.没有.因为函数是单调函数,所以在区间端点取得最大、最小值,而开区间的区间端点无法

取到,所以无最值.3.对.若是唯一的极大值,极值点左侧是单调递增区间,极值点右侧是单调递减区间,则极大值

一定是区间内的最大值;若是唯一的极小值,极值点左侧是单调递减区间,极值点右侧是单调

递增区间,极小值一定是区间内的最小值,开闭区间都一样.有关含参函数的最大(小)值问题,一般有两类:一类是求含参函数的最大(小)值,对于此类问题,由于参数的取值范围不同可能会导致函数的

单调性变化,从而导致最大(小)值变化,所以解决此类问题常常需要分类讨论,在分类讨论得

到函数的单调性和极值之后,讨论极值与区间端点值的大小得到最值.另一类是由最大(小)值求参数的值或取值范围,此类问题是根据导数求函数最值问题的逆向

运用,求解此类问题的步骤:(1)求导数f'(x),并求极值;(2)利用单调性,将极值与端点处的函数值进行比较,确定函数的最值,若参数的变化影响着函

数的单调性,则要对参数进行分类讨论;(3)利用最值列出关于参数的方程(组),求解即可.定点1利用导数解决含参函数的最值问题关键能力定点破典例1已知函数f(x)=ax-lnx(a∈R),求函数y=f(x)在区间[e,e2]上的最小值.解析

f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a-

=

.当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在[e,e2]上单调递减,∴f(x)在[e,e2]上的最小值为f(e2)=ae2-2.当a>0时,令f'(x)=0,得x=

,则f(x)在

上单调递减,在

上单调递增.①当

≤e,即a≥

时,f(x)在[e,e2]上单调递增,∴f(x)在[e,e2]上的最小值为f(e)=ae-1;②当e<

<e2,即

<a<

时,f(x)在

上单调递减,在

上单调递增,∴f(x)在[e,e2]上的最小值为f

=1+lna;③当

≥e2,即0<a≤

时,f(x)在[e,e2]上单调递减,∴f(x)在[e,e2]上的最小值为f(e2)=ae2-2.综上所述,当a≤

时,f(x)在[e,e2]上的最小值为f(e2)=ae2-2;当

<a<

时,f(x)在[e,e2]上的最小值为f

=1+lna;当a≥

时,f(x)在[e,e2]上的最小值为f(e)=ae-1.典例2已知f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在实数a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29?若存在,

求出a,b的值;若不存在,请说明理由.解析

由题设知a≠0.易得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f'(x)=0,得x=0或x=4(舍去).①当a>0时,x,f'(x),f(x)的变化情况如表:x-1(-1,0)0(0,2)2f'(x)

+0-

f(x)-7a+b↗b↘-16a+b由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值,也就是函数f(x)在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=3,即b=3.又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1),∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2.②当a<0时,同理可得,当x=0时,f(x)取得极小值,也就是函数f(x)在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=-29,即b=-29.又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),∴f(2)=-16a-29=3,∴a=-2.综上可得,存在实数a=2,b=3或a=-2,b=-29满足题意.1.利用函数的导数求函数的最大(小)值,可以处理有关函数图象、不等式等综合问题,特别是

有关不等式的恒成立问题.2.处理不等式恒成立问题的方法(1)取主元(给定范围内任意取值的变量),结合参数分类,利用最大(小)值或数形结合解决有关

不等式的恒成立问题.(2)将主元与参数分离,将不等式恒成立问题转化为最大(小)值问题来解决.在定义域内,对于任意的x,都有f(x)≥a成立,可转化为f(x)min≥a;对于任意的x,都有f(x)≤a成立,

可转化为f(x)max≤a.3.证明不等式问题,可以将不等式问题转化为最大(小)值问题,利用函数的最大(小)值加以证明.定点2利用导数解决与函数最值有关的不等式恒成立问题典例已知函数f(x)=ex-ax-a(其中e为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若∀x∈(0,2],不等式f(x)>x-a恒成立,求实数a的取值范围;(3)设n∈N*,证明:

+

+

+…+

<

.思路点拨

(1)易得f'(x)=ex-a,再分a≤0和a>0两种情况研究f(x)的单调性.(2)参变分离,转化为a<

-1,x∈(0,2]恒成立,构造函数g(x)=

-1,x∈(0,2],进而转化为求g(x)的最小值.(3)由(1)知x+1≤ex,通过换元得

<

,即

<ek-n=

,利用放缩法证明不等式.解析

(1)易得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-a.①当a≤0时,f'(x)>0恒成立,函数f(x)在R上单调递增;②当a>0时,令f'(x)>0,得x>lna,令f'(x)<0,得x<lna,所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.(2)∀x∈(0,2],不等式f(x)>x-a恒成立,即不等式(a+1)x<ex在x∈(0,2]上恒成立,即当x∈(0,2]时,a<

-1恒成立.令g(x)=

-1(x∈(0,2]),则g'(x)=

.令g'(x)>0,得1<x≤2,令g'(x)<0,得0<x<1,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增.所以当x=1时,g(x)取得极小值,也是最小值,为e-1.所以实数a的取值范围是(-∞,e-1).(3)证明:当a=1时,由(1)可知对任意实数x都有ex-x-1≥f(0)=0,即x+1≤ex(当且仅当x=0时,等号成立).令x+1=

(k=1,2,3,…,n),则

<

,即

<ek-n=

,故

+

+

+…+

<

(e1+e2+e3+…+en)=

<

.规律总结

应用导数进行证明时常用的不等式:①lnx≤x-1(x>0);②

≤ln(x+1)≤x(x>-1);③ex≥1+x;④e-x≥1-x;⑤

<

(x>1);⑥

<

-

(x>0).1.实际生活中经常遇到利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.

导数是解决生活中优化问题的有力工具.利用导数解决生活中的优化问题的步骤如下:

定点3利用导数解决生活中的优化问题2.解决优化问题时应注意的问题(1)列函数关系式时,要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域.(2)一般地,可通过求函数的极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值

点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f'(x)=0,则只需根据实际意义判断该值是最大值还是

最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较.典例某企业研发出一款新产品,计划生产投入市场.已知该产品的固定研发成本为180万元,

此外,每生产一台该产品需另投入450元.设该企业一年内生产该产品x(0<x≤50)万台,每万台

产品的销售收入为I(x)万元,且I(x)=

(1)写出年利润P(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万台)的函数关系式;(利润=销售收入-固定

研发成本-产品生产成本)(2)当年产量为多少万台时,该企业的获利最大?并求出此时的最大利润.解析

(1)当0<x≤2时,P(x)=x[2(x-1)·ex-2+2]-(180+450x)=2x(x-1)ex-2-448x-180,当2<x≤50时,P(x)=x

-(180+450x)=440x+3050-

-180-450x=-10x-

+2870,所以P(x)=

(2)当0<x≤2时,I(x)=2(x-1)ex-2+2,令t=x-2,则t∈(-2,0],I(x)=2(x-1)ex-2+2转化为φ(t)=2(t+1)et+2,则φ'(t)=2(t+2)et,当t∈(-2,0]时,φ'(t)>0,φ(t)在(-2,0]上单调递增,所以φ(t)的最大值为φ(0)=4,即当x=2时,I(x)取得最大值4万元,此时销售收入远小于投入,企业亏损,所以最大获利一定在2<x≤50时取得,此时P(x)=-10x-

+2870=-

+2870≤-2

+2870=-600+2870=2270,当且仅当10x=

,即x=30(负值舍去)时等号成立,此时P(x)取得最大值,且最大值为2270万元,所以当年产量为30万台时,该企业获利最大,最大利润为2270万元.素养解读高考对导数的综合应用的考查通常难度较大,常考题型一般有三种:不等式恒成立问

题、不等式证明问题、函数的零点问题.这些问题虽然形式不同,但实质是一样的,主要考查

函数的单调性、极值、最值等,利用导数解决此类问题,可以把函数、导函数或者二阶导函

数的图象大致描述出来,利用图象描述和分析数学问题,建立数和形的联系,培养直观想象的

核心素养,这类问题的计算量比较大,在计算时要注意运算技巧的应用,在运算过程中培养学

生数学运算的核心素养,同学们在课下要注意题型归纳、方法总结以及易错、易混淆问题的

梳理等.素养

在导数的综合应用问题中培养学生直观想象和数学运算的核心素养在导数的综合应用问题中培养学生直观想象和数学运算的核心素养学科素养情境破例题已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.典例呈现主编点评

本题考查的是函数的零点问题,可转化为相应方程有两个不同的实数根,利用数

形结合思想进一步转化为两函数图象的交点个数问题,画函数图象时需要利用导数研究函数

的单调性,判断图象的大致趋势,此外,一些常见函数的求导公式要牢固掌握,这是解题的基础,

计算要认真、准确.解题思路

(1)当a=1时,f(x)=ex-(x+2),则f'(x)=ex-1,