2022届山西省长治市名校高三下学期模拟数学（理）试题（解析版）

2022届山西省长治市名校高三下学期模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则（

）A．P B．Q C．Z D．【答案】B【分析】在集合中讨论的奇偶性，判断集合、中元素的关系，即可确定答案.【详解】对于集合，有，，对应集合，：当为偶数时，此时元素相同；当为奇数时，此时中元素不在内，中元素也不在内；综上，.故选：B2．若，则（

）A． B．10 C． D．【答案】C【分析】由四则运算得出化简，再求.【详解】，则故选：C3．命题，则为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【详解】由特称命题的否定是全称命题，命题，所以．故选：D．4．若函数满足，则可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据周期函数的定义，结合特例法进行判断求解即可.【详解】因为，所以函数的周期为.A：因为，所以，因此函数的周期不可能，本选项不符合题意；B：因为，所以，因此函数的周期不可能，本选项不符合题意；C：该函数的最小正周期为：，因此函数的周期不可能，本选项不符合题意；D：该函数的最小正周期为：，因此本选项符合题意，故选：D5．如图，某几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，E为的中点，则在原几何体中，异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将给定展开图还原成三棱锥，取BD中点F，借助几何法求出异面直线所成角的余弦值.【详解】因几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，于是得原几何体是正三棱锥，其中两两垂直，且，取BD中点F，连接EF，AF，如图，因E为的中点，则有，因此，是异面直线与所成角或其补角，令DB=2，则，中，，正中，，于是有：，即，，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A6．展开式中常数项为（

）A． B．0 C．15 D．80【答案】B【分析】由的通项得出展开式中常数项.【详解】的通项为当时，；当时，则展开式中常数项为故选：B7．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由倍角公式结合平方关系得出.【详解】由题意可得，即，由可得，故选：D8．从装有3个白球m个红球n个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若，取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知求出X的分布列，借助期望求出，再由给定概率求出m，n即可计算作答.【详解】依题意，X的可能值为0，1，2，则有，，，于是得，解得，袋中共有10个球，因此，取出一白一红的概率为，解得，则，所以取出一红一黄的概率为.故选：A9．函数的图象过点，距离y轴最近的最高点是，则下列说法正确的是（

）A．B．函数在区间内单调递增C．函数关于点对称D．若函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则是奇函数【答案】C【分析】由所过点及距离y轴最近的最高点坐标，结合正弦函数的性质得，进而写出解析式，整体法求单调区间、代入法判断对称性，根据图象平移得到的解析式，进而判断奇偶性.【详解】由题设，且，又，且是距离y轴最近的最高点，则，所以，，故，A错误；综上，.令，，可得，，则时，上递增，而不是其子区间，B错误；，故关于点对称，C正确；，显然不是奇函数，D错误.故选：C10．当时，过点均可以作曲线的两条切线，则b的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设过点的切线与相切于，把题意转化为关于m的方程有两解.令.作出与的图像，有两个交点求出.记，利用导数求出的最大值，即可求出.【详解】设过点的切线与相切于，则有，消去n得：.因为过点均可以作曲线的两条切线，所以关于m的方程有两解.即有两解.令.只需与有两个交点.对于，则.令，解得：；令，解得：.所以在上单调递减，在单调递增.作出的草图如图所示：要使与有两个交点，只需.记，.令，解得；令，解得；所以在上单调递增，在单调递增.所以的最大值为，所以.故选：C【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围；（4）利用导数研究零点.11．过点P作抛物线的切线，切点分别为，若的重心坐标为，且P在抛物线上，则D的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数求出切线方程，联立方程求出，再由重心坐标公式的得出，最后由求出D的焦点坐标.【详解】设，，由可得故，即①，同理②联立①②可得，则所以，即，解得故，则，D的焦点坐标为故选：A12．若，满足，则（

）A．98 B．99 C．100 D．101【答案】B【分析】通过构造函数，利用放缩法，结合已知进行求解即可.【详解】构造函数，所以此函数是单调递增函数，因此当时，，于是有，因为当时，成立，所以一定有，当时，，满足，故选：B【点睛】关键点睛：构造函数是解题的关键.二、填空题13．已知向量，若，则______.【答案】【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的坐标表示公式和运算性质进行求解即可【详解】因为，所以，解得，故答案为：14．在中，，点D在线段上，且，则______.【答案】或.【分析】根据锐角三角函数定义，结合余弦定理进行求解即可.【详解】因为，所以，在中，由余弦定理可知：，或，故答案为：或15．如图，在三棱锥中，平面平行于对棱，截面面积的最大值是______.【答案】【分析】由线面平行的性质可得、且、，易得为平行四边形，结合有为矩形，进而设，由已知求、关于的表达式，即可得面积关于的函数，利用二次函数性质求最值即可.【详解】由题设，面，又面，面面，所以，同理可证，故，又面，又面，面面，所以，同理可证，故，故为平行四边形，又，即，则为矩形，若，则，又，所以，，又面积为，所以，故当时.故答案为：.16．已知分别为双曲线的两个焦点，曲线上的点P到原点的距离为b，且，则该双曲线的离心率为______.【答案】【分析】由等面积法结合定义得出，由结合余弦定理得出该双曲线的离心率.【详解】设焦距为，因为，，所以，又，所以因为，所以，结合整理得，即故答案为：三、解答题17．已知数列的前n项和为.(1)证明为等差数列，并求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）先由结合定义证明为等差数列，并求的通项公式；（2）由与的关系得出，再由错位相减法求和即可.【详解】(1)因为，所以整理得，所以首项为，公差为的等差数列.故，则(2)由（1）可得，则又也符合等式，所以，①②由①②得则18．三棱锥中，△为等腰直角三角形，，平面平面.(1)求证：；(2)求和平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由勾股定理及等腰三角形的性质可得、，再由线面垂直的判定及性质即可证结论.（2）若是的中点，过作，由等腰三角形、面面垂直的性质证明，，，进而构建空间直角坐标系并求的方向向量和平面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.【详解】(1)由题设，，即，又△为等腰直角三角形且，即，因为，则面，面，所以.(2)由题设，若是的中点，则，面面，面面，面，所以面，又面，即，，且在面的射影为，由（1）知：，故，过作，即可构建如下图示的空间直角坐标系，所以，，，，则，，，若是面的一个法向量，则，令，则，所以，则和平面所成角的正弦值为.19．山西运城王过酥梨是国家农产品地理标志保护产品，王过酥梨含有多种对人体有益的钙、铁、磷等微量营养元素，食后清火润肺，止咳化痰，能起到祛病养生之效，一致被人们作为逢年过节走亲访友，馈赠待客及日常生活的必备佳品.某水果批发商小李从事酥梨批发多年，他把去年年底客户采购酥梨在内的数量x（单位：箱）绘制成下表：采购数x（单位：箱）客户数51015155(1)根据表中的数据，补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168箱）的客户数；(2)若去年年底采购在内的酥梨数量约占小李去年年底酥梨总销售量的，估算小李去年年底总销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)在（2）的条件下，由于酥梨受到人们的青睐，小李做了一份市场调查以决定今年年底是否在网上出售酥梨，若没有在网上出售酥梨，则按去年的价格出售，每箱利润为14元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售酥梨，则需把每箱售价下调1至5元（网上、网下均下调），且每下调m元销售量可增加箱，试预计小李在今年年底销售酥梨总利润Y（单位：元）的最大值.【答案】(1)见解析(2)（箱）(3)（元）【分析】（1）由表中数据计算相应的频率/组距，再绘制频率分布直方图，并由数据估计采购数在168箱以上（含168箱）的客户数；（2）先计算去年年底客户采购酥梨在内的数量，再求小李去年年底总销售量；（3）由题设条件得出，再由二次函数的性质得出最值.【详解】(1)对应的频率分别为，则对应的频率/组距为，故这些数据的频率分布直方图如下图所示：由直方图可知，采购数在168箱以上（含168箱）的客户数为（人）(2)由题意可知，去年年底客户采购酥梨在内的数量为（箱）则小李去年年底总销售量为（箱）(3)由题意可得当时，（元）20．已知函数.(1)证明：；(2)若有两个不相等的实数根，求证：.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）令，利用导数证明不等式即可；（2）先由的单调性得出，再由等价于，构造函数，由导数得出，即可证明.【详解】(1)令，当时，；当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，故(2)，当时，；当时，即函数在上单调递减，在上单调递增当时，，且又有两个不相等的实数根，不妨设，所以，即等价于，即令，，则函数在上单调递增当时，，则存在，使得，即；即在上单调递减，在上单调递增当时，，，即成立，故.【点睛】关键点睛：解决问题二时，对于双变量，关键是由单调性得出等价于，从而将双变量变为单变量问题.21．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为为坐标原点，点Q在椭圆C上，且满足.(1)求椭圆C的标准方程；(2)P为椭圆C的右顶点，设直线与椭圆C交于异于点P的两点，且，求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据题意求出a、b、c即可；(2)根据题意设l：(t≠2)，联立l与椭圆C的方程，由求出t为定值，再求出弦长MN，求出点P到直线l的距离d，即可求出，根据m的范围求出的最大值，又根据即可求出的最大值.【详解】(1)；(2)，设，，则，∵PM⊥PN，∴，且.由题可知直线l斜率不为0，设l方程为(t≠2)，，()，则，，则，，，∴，即或t＝2(舍).时，l过定点(，0)，则()恒成立.P(2，0)到直线l：x－my－t＝0的距离，令，则，则，则，∵在s≥8时单调递增，∴当s＝8时，取最大值，∴，∴.即的最大值是.【点睛】本题关键是利用△PMN的面积的最大值来求的最大值，将问题转化为常规的椭圆内部三角形面积的问题.22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为.(1)写出直线和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点，若直线与画线C交于两点，求的值.【答案】(1)直线的直角坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为(2)【分析】（1）由三角恒等变换结合得出直线和曲线C的直角坐标方程；（2）由直线参数方程与曲线C的直角坐标方程联立，由其几何意义以及韦达定理进行求解.【详解】(1)可化为，即即直线的直角坐标方程为可化为，，即曲线C的直角坐标方程为(2)因为在直线上，所以直线的参数方程为（为