苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程专题强化练4含答案

专题强化练4圆锥曲线的离心率1.(2024江苏连云港调研)已知双曲线E:x2A.2B.2C.2.(2024四川成都第七中学期中)已知椭圆C:x2a2+y2bA.33.(2024湖南名校联合体期中)已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,FA.44.(2023江苏南通如东月考)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1,F2,若C1,C2在第一象限内的交点为P,且满足∠POF2=2∠PF1F2,设e1,e2分别是C1,C2的离心率,则e1,e2的关系是()A.e1e2=2B.e1C.e5.(2024湖南长沙雅礼中学期中)已知椭圆方程为x2a2的范围是()A.29C.336.(多选题)(2024广东广州天河中学月考)已知F1,F2是椭圆x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和双曲线x2a2A.a12C.e12+e7.(2023北京清华附中朝阳校区期中)如图所示,椭圆E的中心为坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,左、右焦点分别是F1,F2,延长B1F2交A2B2于点P,若∠B1PA2是钝角,则椭圆E的离心率e的取值范围是.

8.(2024江苏徐州期中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上,且PF2⊥x轴,过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线,与直线PF1交于点A,若点A在圆O:x2答案与分层梯度式解析专题强化练4圆锥曲线的离心率1.B不妨设左焦点为F1,由题意可知∠MOF=∠NOF1,又因为M是FN的中点,OM⊥FN,所以∠MOF=∠MON,所以3∠MOF=π,所以∠MOF=π3又双曲线的渐近线方程为y=±ba所以ba=tan∠MOF=3,因为a2+b2=c2,所以e=ca=1+2.B不妨设A1(-a,0),A2(a,0),M(x0,y0),则x02a则A1P=|x0+a|,A2P=|x0-a|,MP=|y0|,所以MP易知x02<a2,所以y02a代入椭圆方程可得a2-3y02则离心率e=ca故选B.3.A由已知得F1(0,c),F2(0,-c),渐近线方程为y=±abx.过点F2作F2E⊥则EF2=bca由双曲线的定义可得MF1-MF2=2a,故MF1=MF2+2a,所以MD+MF1=MD+MF2+2a≥EF2+2a=b+2a,即MD+MF1的最小值为2a+b,当且仅当F2,M,D三点共线时取等号,因为MD>F1F2-MF1恒成立,所以MD+MF1>F1F2恒成立,即2a+b>2c恒成立,所以b>2c-2a,即b2>4c2+4a2-8ac,即c2-a2>4c2+4a2-8ac,所以3c2+5a2-8ac<0,即3e2-8e+5<0,解得1<e<53.故选A4.D因为∠POF2=∠PF1F2+∠F1PO,∠POF2=2∠PF1F2,所以∠PF1F2=∠F1PO,所以OF1=OP=OF2=c,所以PF1⊥PF2,记椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,PF1=m,PF2=n,则由椭圆和双曲线的定义可得m+n=2a1①,m-n=2a2②,①2+②2可得2(m2+n2)=4(a1由勾股定理知m2+n2=4c2,代入上式可得2c2=a1整理得a12c2+故选D.5.C不妨设矩形为ABCD,对角线AC所在直线的方程为y=kx(k>0),联立x2a2+y所以矩形ABCD的面积S=4|xy|=4a2b所以72b2≤2ab≤92b2,则74b≤a≤94b,即4916b2≤a2所以4916(a2-c2)≤a2≤8116(a2-c即a故e∈337故选C.6.AC不妨设P在第一象限.对于A,由椭圆和双曲线的定义得P由余弦定理得PF12+PF22-2·PF1·所以(a1+a2)2+(a1-a2)2-2×(a1+a2)×(a1-a2)×12=4c2,化简可得a12+3a2对于B,因为a又因为a12+3a22=4c2,所以b12+c对于D,因为a12+3a22=4c对于C,由D可知14e12+34e22=1,所以e12+e7.答案5解析结合题图易知∠B1PA2是向量B2则B2A2=(a,−b),F2B1=(-c,-b),∵∠B1PA2为钝角,∴-ac+b2<0,又b2=a2-c2,∴a2-ac-c2<0,∴e2+e-1>0,解得e<-1-528.答案3解析由题意知F2(c,0),将x=c代入x2得c2a2−y2b由PF2⊥x轴可知P在双曲线右支上,则PF1-PF2=2a,故PF1=2a+b2设PQ为∠F1PF2的平分线,由题意知F2A⊥PQ,则PA=PF2,即PA=b2a,而PF1=PA+AF1=2a+故AF1=2a,由点A在圆O:x2+y2=a2上,得OA=a.又OF1=c,所以cos∠PF1F2=F1在△AOF1中,OA2=OF12+AF12-2OF1·AF1cos即a2=c2+4a2-2c·2a·2c2a+b2a即得3a4-4a2c2+c4=0,即e4-4e2+3=0,解得e2=3或e2=1(舍),故e=3(负值舍去),即C的离心率为3.解题技法求椭圆或双曲线的离心率的方法(1)定义法:由已知条件列出关于a、c的式子或找出a,b,c之间的关系,求得a、c的值,再代入e=ca求解(2)齐次式法:由