苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4-2-3等差数列的前n项和 第2课时 练习含答案

第2课时等差数列前n项和的性质及综合应用基础过关练题组一等差数列前n项和的性质1.(2024甘肃武威四校联考)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若SnTnA.2B.52.(2023四川雅安中学月考)一个等差数列共有2n项,奇数项的和与偶数项的和分别为24和30,且末项比首项大10.5,则该数列的项数是()A.4B.8C.12D.203.(2024江苏淮安五校联盟学情调查)已知{an}和{bn}均为等差数列,前n项和分别为Sn和Tn,且SnTnA.6B.7C.8D.94.(2024江苏盐城伍佑中学期末)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前4m项和为.

5.(2024福建宁德第一中学开学检测)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且满足SnTn=n题组二等差数列前n项和的函数特性6.(2024江苏苏州张家港沙洲中学开学检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,S20>0,S21<0,则当Sn最大时,n=()A.20B.19C.10D.117.(多选题)(2023江苏宿迁实验学校期中)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0,公差d<0,则()A.{an}是递减数列B.{an}是递增数列C.Sn有最大值D.Sn有最小值8.(多选题)(2024河北师大附中月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+2a8=a6,则下列结论正确的是()A.a7=0B.S7最大C.S5=S9D.S13=09.(多选题)(2023江苏南京建邺高级中学开学考试)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,公差d≠0,则下列说法正确的是()A.若S5>S9,则S14>0B.若S5=S9,则S7是{Sn}中最大的项C.若S6>S7,则S7>S8D.若S6>S7,则S5>S610.(2024江苏南通如皋调研)已知数列{an}的前n项和为Sn,∀n∈N*,点(n,an)都在直线2x-y-22=0上.(1)求Sn;(2)求Sn的最小值及此时n的值.题组三等差数列前n项和的实际应用11.(2024江苏盐城响水中学期中)《算法统宗》中有一道“八子分棉”的题:“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言.”题意是把996斤棉分给8个子女做盘缠.按照年龄从大到小的顺序依次分棉,年龄小的比年龄大的多分17斤棉,则年龄最小的孩子分到的棉有()A.65斤B.82斤C.184斤D.201斤12.(2023江苏连云港期末)风雨桥是侗族最具特色的民间建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成,其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形.下图是某风雨桥亭的大致俯视图,其中正六边形的边长的计算方法如下:A1B1=A0B0-B0B1,A2B2=A1B1-B1B2,……,AnBn=An-1Bn-1-Bn-1Bn,其中B3B4=B2B3=B1B2=B0B1,n∈N*.已知该风雨桥亭共5层,若A0B0=8m,B0B1=0.5m,则图中的五个正六边形的周长总和为()A.120mB.210mC.130mD.310m题组四与等差数列有关的数列求和13.(2023河南驻马店高级中学模拟)已知函数f(x)=x+3sinx-12+12,数列{an}满足an=n2023A.2022B.2023C.4044D.404614.(2024天津河东期中)设等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,已知a5=11,S10=120,bn=1anan+1A.9B.8C.7D.615.(2023陕西榆林期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=3,Sn+1+Sn=(n+1)an+1.(1)求{an}的通项公式;(2)若bn=1anan+1能力提升练题组一等差数列前n项和的性质1.(2022山东聊城期末)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S4S8A.52.(多选题)(2024江苏泰州靖江高级中学期中)记Sn为等差数列{an}的前n项和,则()A.S3,S6-S3,S9-S6成等差数列B.S3C.S9=2S6-S3D.S9=3(S6-S3)3.已知等差数列{an}的前m(m为奇数)项的和为135,其中偶数项之和为63,且am-a1=14,则a100=.

题组二等差数列前n项和的函数特性4.(2023广东五校期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+3a8<0,a6·a7<0,且Sn有最大值,则当Sn取得最小正值时,n=()A.11B.12C.7D.65.(2023江苏镇江第一中学质检)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足4Sn=an2+2an-3,则A.1B.546.(2024江苏南通如皋月考)已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n-1an=n·2n,记数列{an-tn}的前n项和为Sn,若Sn≤S10对任意的n∈N*恒成立,则实数t的取值范围是()A.127.(多选题)(2024江苏苏州张家港开学检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且当n=7时,Sn取得最大值.记数列Snn的前k项和为TA.若S6=S8,则当且仅当k=13时,Tk取得最大值B.若S6<S8,则当且仅当k=14时,Tk取得最大值C.若S6>S8,则当且仅当k=15时,Tk取得最大值D.若∃m∈N*,Sm=0,则当k=13或k=14时,Tk取得最大值8.(多选题)(2024山东德州联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,a1>0,a6+a7>0,a6·a7<0,则下列结论正确的是()A.d<0B.当Sn>0时,n的最大值为13C.数列Snn为等差数列,且和数列{aD.当n=12时,数列Sn题组三等差数列前n项和的综合应用9.(多选题)(2024江苏南通期中)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.则()A.驽马第七日行九十四里B.第七日良马先至齐C.第八日两马相逢D.两马相逢时良马行一千三百九十五里10.(2024江苏盐城阜宁中学期中)设数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,且(n+1)·Sn+1=(n+1)Sn+(n+2)an,若存在n∈N*,使得2Sn+22≤kan成立,则实数k的最小值为()A.45+1B.8C.11.(2023广东茂名一模)已知Sn为数列{an}的前n项和,an>0,an2+2an=4S(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=1anan+1,Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn,并证明:1812.(2023福建三明一中月考)已知函数f(x)=12x2+12x,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,S(1)求数列{an}的通项公式;(2)若函数g(x)=4x4x+2,令bn=gan2025(n∈N13.(2024江苏启东期中)已知数列{an}中,a1=1,an+1n+1−(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=(-1)n-14nanan答案与分层梯度式解析第2课时等差数列前n项和的性质及综合应用基础过关练1.D因为{an},{bn}为等差数列,所以a2b1+2.B设该等差数列为{an},其前n项和为Sn,公差为d,由题意得S偶-S奇=nd=6,a2n-a1=(2n-1)d=10.5,解得n=4,∴该数列的项数是2n=8.故选B.3.B由于S2n-1=(a1+a2要使anbn为整数,则n+1为24的因数,由于n+1≥2,故n+1可以为2,3,4,6,8,12,24,故满足条件的正整数n的个数为7,4.答案360解析设{an}的前n项和为Sn.由等差数列前n项和的性质得30,100-30,S3m-100,S4m-S3m成等差数列,∴30+5.答案4解析由等差数列前n项和的性质可得S9=9a5,即a5=19S9,所以a6.C因为S20>0,所以20(a1+a20)2>0,即a1因为S21<0,所以21(a1+a21)2<0,即a1因此a10>0,而a11<0,因此{an}是递减数列,当n=10时,Sn最大,故选C.7.AC因为d<0,所以an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)是关于n的单调递减函数,故数列{an}是递减数列,A正确,B错误;Sn=na1+n(n-1)2d=d2n28.AD设{an}的公差为d.因为a4+2a8=a6,所以a1+3d+2(a1+7d)=a1+5d,得a1+6d=0,即a7=0,A正确;当a1<0时,d>0,则S6或S7最小,B错误;因为a1+6d=0,所以a1=-6d,所以Sn=-6nd+n(其图象的对称轴方程为n=132,所以S5=S8S13=13a7=0,D正确.故选AD.9.BC对于A,因为S5>S9,所以a6+a7+a8+a9<0,即2(a7+a8)=2(a1+a14)<0,所以a1+a14<0,又S14=14(a1+对于B,由S5=S9,得5a1+10d=9a1+36d,得d=-213a1因为a1>0,a7=a1+6d=a1所以S7是{Sn}中最大的项,故B正确;对于C,因为S6>S7,所以S7-S6=a7<0,又a1>0,所以d<0,所以a8<a7<0,所以S7>S8,故C正确;对于D,因为S6>S7,所以S7-S6=a7<0,但不能确定a6是不是负值,因此不一定有S5>S6,故D错误.故选BC.10.解析(1)由点(n,an)在直线2x-y-22=0上,可得2n-an-22=0,所以an=2n-22,所以an+1=2n-20,则an+1-an=2,所以数列{an}是等差数列,所以Sn=(a1+(2)由(1)知an=2n-22.令an≥0,解得n≥11且n∈N*,当n≤10时,an<0,当n=11时,an=0,当n≥12时,an>0,所以当n=10或n=11时,Sn有最小值,为S10=S11=102-21×10=-110.11.C设8个子女按年龄从小到大依次分棉a1斤,a2斤,a3斤,…,a8斤,则数列{an}是公差为-17的等差数列.因为棉的总数为996斤,所以8a1+8×72×(-17)=996,解得a1=184.故选C12.B由已知得AnBn=An-1Bn-1-Bn-1Bn(n≤4且n∈N*),B3B4=B2B3=B1B2=B0B1=0.5m,易知题图中五个正六边形的边长(单位:m)构成等差数列,设为{ak},且a1=8,公差d=-0.5,1≤k≤5,k∈N*.则数列{ak}(k∈N*,1≤k≤5)的前5项和S5=5a1+12所以题图中的五个正六边形的周长总和为6S5=6×35=210m.故选B.13.A∵f(1-x)=1-x+3sin12∴f(x)+f(1-x)=2.∵an+a2023-n=n2023+2023-n2023=1,∴f(an)+f(a2023-n)=2.令S=f(a1则S=f(a2022)+f(a2021)+…+f(a1),两式相加得2S=2×2022,∴S=2022.故选A.14.B设{an}的公差为d,则a1+4d故bn=1a则Tn=b1+b2+…+bn=1213−15因为Tk=857,所以121315.解析(1)当n≥2时,由Sn+1+Sn=(n+1)an+1,得Sn+Sn-1=nan,两式相减得an+1+an=(n+1)an+1-nan,即an利用累乘法可得a1·a2a1·a当n=1时,a1=3满足上式,所以{an}的通项公式为an=3n.(2)由(1)可知an=3n,所以bn=13则Tn=19能力提升练1.A由题意得S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,因为S4S8=25,所以S4S8则数列S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12是以S4为首项,12S4则S12-S8=2S4,S16-S12=52S4,所以S8=52S4,S16=7S4,所以S8S2.ABD设等差数列{an}的公差为d,则S9=9a1+36d,S6=6a1+15d,S3=3a1+3d.对于A,由于S3=3a1+3d,S6-S3=3a1+12d,S9-S6=3a1+21d,所以2(3a1+12d)=3a1+3d+3a1+21d,所以S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,A正确;对于B,由于S33=a1+d,S66=a所以S33,S对于C,易得2S6-S3=2(6a1+15d)-(3a1+3d)=9a1+27d,只有当d=0时,才有S9=2S6-S3,C错误;对于D,3(S6-S3)=3[(6a1+15d)-(3a1+3d)]=9a1+36d=S9,D正确.故选ABD.3.答案101解析设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,由题意可知Sm=135,前m项中偶数项之和S偶=63,∴奇数项之和S奇=135-63=72,∴S奇-S偶=a1+(m又∵am-a1=14,∴a1=2,am=16,∵Sm=m(a1∴d=am∴a100=a1+99d=101.4.A设等差数列{an}的公差为d,则a2+3a8=4a1+22d=2(a6+a7)<0,∵a6·a7<0,且{an}的前n项和有最大值,∴{an}是递减数列,∴a6>0,a7<0,∴S11=11(a1+S12=12(a1+a12故Sn取得最小正值时,n的值为11.故选A.5.B因为4Sn=an2+2an-3,所以当n≥2时,4Sn-1=an-12+2an-1-3,两式相减得4an=an2−an-12+2an-2an-1,整理得2(a因为数列{an}为正项数列,所以an+an-1>0,则an-an-1=2,故数列{an}为等差数列,公差为2.当n=1时,4S1=4a1=a12+2a1-3,解得a1=3或a1=-1(舍去),所以an=2n+1,Sn=3n+n(则Sn令t=n+1,t≥2,则n+12+所以当t=2,即n=1时,Sn+2an+1取得最小值,最小值为6.Aa1+2a2+…+2n-1an=n·2n①,当n=1时,a1=2,当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n-1②,①-②,化简得an=n+1(n≥2),a1=2也符合上式,所以an=n+1,令bn=an-tn=n+1-tn=(1-t)n+1,则bn+1-bn=(1-t)(n+1)+1-[(1-t)n+1]=1-t,为常数,所以数列{bn}是等差数列,首项b1=2-t,所以Sn=2-t+(1-t)n+12×n=1-由于Sn≤S10对任意的n∈N*恒成立,所以1-t2<0,9.5≤-3-t2-2t7.BD因为当n=7时,Sn有最大值,所以{an}为递减数列,且当n≤7时,an>0,当n≥8时,an<0.对于A,设Sn=an2+bn(a<0),因为S6=S8,所以b=-14a,所以Sn=an2-14an(a<0),则Snn=an-14a=a(n-14),当n≤13时,Snn>0;当n=14时,Sn所以当k=13或k=14时,Tk取得最大值,A错误.对于B,由S6<S8,得S8-S6=a7+a8>0,则S14=14(a1+a14)2=7(a对于C,若S6>S8,则S8-S6=a7+a8<0,所以S14=14(a1+a14对于D,易得Sm=m(a1+am)2=0,所以a1+am=a7+a8=0,S13=13(a1+a138.AD对于A,若d>0,则{an}为递增数列,所以a7>a6>a1>0,与a6·a7<0矛盾,若d=0,则{an}为常数列,a7=a6=a1>0,与a6·a7<0矛盾,若d<0,则{an}为递减数列,则a1>a6>a7,由a6+a7>0,a对于B,由A可知a6>0,a7<0,则S12=12(a1+所以当Sn>0时,n的最大值为12,B错误;对于C,Sn=na1+n(n-1)d2所以数列Snn为等差数列,且其首项为a1,公差为对于D,由a6>0得a1+5d>0,由a7<0得a1+6d<0,由a6+a7>0得2a1+11d>0,即a1+112令bn=Snn,b且b11=a1+5d>0,b12=a1+11d2>0,b13=a所以当n=12时,Snn的前n项和最大,D正确.故选9.AD由题意可知,两马日行里数都成等差数列,记数列{an}为良马的日行里数,其前n项和为Sn,a1=103,公差d1=13,所以an=13n+90,n∈N*.记数列{bn}为驽马的日行里数,b1=97,公差d2=-0.5,所以bn=-0.5n+97.5,n∈N*.驽马第七日所行里数为b7=-0.5×7+97.5=94,A正确;前七日良马所行总里数为S7=72(a1+a7设第m日两马相逢,由题意可知两马所行的总里数是齐和长安之间距离的两倍,即103m+m(由C可知,第九日两马相逢,此时良马所行总里数为S9=92(a1+a9)=1395,D正确.故选AD10.D由(n+1)Sn+1=(n+1)Sn+(n+2)an,得(n+1)Sn+1-(n+1)Sn=(n+1)an+1=(n+2)an,则an+1n+2=又a2=3,∴ann+1又a1=2,an+1-an=n+2-(n+1)=1,∴数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,∴Sn=n(2+∵2Sn+22≤kan,∴n(n+3)+22≤k(n+1),即k≥n(令n+1=t(t≥2,t∈N*),则k≥(t-1)(t+2)+22t=t2+可知当t∈[2,25)且t∈N*时,g(t)单调递减;当t∈(25,+∞