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文档简介
天津市和平区2018届高三二模试题数学(理科)第Ⅰ卷(共40分)一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,则集合等于()A.B.C.D.2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为()A.1B.2C.3D.43.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输出的,则判断框内可填入()A.B.C.D.4.设,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知抛物线的准线与双曲线的左、右支分别交于两点,为双曲线的右顶点,为坐标原点,若,则双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.6.已知是定义在上的函数,它的图象上任意一点处的切线方程为,那么函数的单调递减区间为()A.B.C.D.7.如图,在平行四边形中,已知,为线段上的点,且,则的值为()A.B.C.D.8.已知定义在上的奇函数,当时,则关于的方程的实根的个数为()A.6B.7C.8D.9第Ⅱ卷(共110分)二、填空题(每题5分,满分30分,将答案填在答题纸上)9.设是虚数单位,则复数的虚部为.10.在中,,的面积,则边长为.11.在极坐标系中,直线,为圆上的任意一点,设点到直线的距离为,则的最大值为.12.如图,已知正四面体的梭长为6,则它的内切球的体积为.13.已知,则的最小值为.14.从0,1,2,3,4,5,6,7这八个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,则可组成的四位数中奇数的个数为(用数字作答).三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.已知函数.(1)求函数的最小正周期及单调递减区间;(2)将函数的图象向左平移个单位后,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,若,且,求的值.16.甲、乙、丙均两次参加英语高考,取两次成绩中较高的为最终成绩,三人第一次成绩不低于130分的概率依次为.甲若第一次成绩不低于130分,则第二次成绩不低于130分的概率为,若第一次成绩在130分以下,则第二次成绩不低于130分的概率为;乙若第一次成绩不低于130分,则第二次成绩不低于]30分的概率为,若第一次成绩在130分以下,则第二次成绩不低于130分的概率为;丙第二次成绩不受第一次成绩的影响,不低于130分的概率为.(1)设为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”,为事件“乙的英语高最终成绩不低于130分”,为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”,分别求出事件、事件、事件发生的概率;(2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为,求的分布列与数学期望.17.如图,在四棱柱中,底面是等腰梯形,,为的中点,平面,且.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成角的正弦值;(3)若为的中点,求直线与平面所成角的正弦值.18.已知数列满足条件,且.(1)求数列的通项公式;(2)设为数列的前项和,求证:.19.已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为,过椭圆的右焦点的动直线与椭圆交于两点.(1)求椭圆的方程;(2)若线段的垂直平分线与轴相交于点,与直线交于,当时,求直线的斜率的取值范围;(3)在椭圆上是否存在定点,使得对任意斜率等于且与椭圆交于两点的直线(两点均不在轴上),都满足(其中为直线的斜率,为直线的斜率)?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.20.已知函数,其中且.(1)求的单调区间;(2)若恒成立,求的取值范围;(3)若存在,使得,求证:.试卷答案一、选择题15:BABCD68:CBD二、填空题9.10.511.12.13.14.7三、解答题15.解:∵,且,∴.∴.(2)解:在中,由正弦定理,得,即.∴.在中,,由余弦定理,得.∴.的面积.16.依题意,10件产品中有7件优质品,3件非优质品.设抽取的3件产品均为优质品的概率为,则.(2)解:随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.,,,.所以,随机变量的分布列为数学期望.17.(1)证明:取的中点,连接,则,平面.如图,以为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得:,.\o"CurrentDocument"∵,∴,即.∵, ∴平面.(2)解:由(1)可知平面的一个法向量,设直线与平面所成角为,∵,∴.(3)解:设平面的法向量为,∵,∴即令,则,即.由(1)可知平面的一个法向量,设二面角的平面角为,易知,∴.18.解:在中,当时,,即解得或(舍去).当时,① ②由①②可得,即.∵,∴所以.∴是首项为3,公差为2的等差数列.故.设数列的首项为,公差为,依题意解得∴.(2)由(1)可知,则.∴.19.解:(1)∵,∴.由,得.故,.若,则,若,则.∴在上单调递增,在上单调递减.∴的最大值为.(2)解:假设存在实数,使有最大值,.①时,在上单调递増,,(舍去).所以,此时无最大值. ②当时,在上单调递増,在上单调递减,,则,满足条件.综上所述,存在实数,使得当时,有最大值.(3)证明:∵的极大值为,即在上最大值为.∴.由,得,∵当时,,∴在区间上单调递增.∴.∵,∴在(1)的条件下,.20.(1)解:设半焦距为,由题意,可得,则,即.
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