天津市和平区高三二模数学（理）试题

天津市和平区2018届高三二模试题数学（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，则集合等于（）A．B．C.D．2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A．1B．2C.3D．43.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输出的，则判断框内可填入（）A．B．C.D．4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知抛物线的准线与双曲线的左、右支分别交于两点，为双曲线的右顶点，为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C.D．6.已知是定义在上的函数，它的图象上任意一点处的切线方程为，那么函数的单调递减区间为（）A．B．C.D．7.如图，在平行四边形中，已知，为线段上的点，且，则的值为（）A．B．C.D．8.已知定义在上的奇函数，当时，则关于的方程的实根的个数为（）A．6B．7C.8D．9第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.设是虚数单位，则复数的虚部为．10.在中，，的面积，则边长为．11.在极坐标系中，直线，为圆上的任意一点，设点到直线的距离为，则的最大值为．12.如图，已知正四面体的梭长为6，则它的内切球的体积为．13.已知，则的最小值为．14.从0,1,2,3,4，5,6,7这八个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数,则可组成的四位数中奇数的个数为(用数字作答).三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）将函数的图象向左平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若，且，求的值.16.甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的概率依次为.甲若第一次成绩不低于130分,则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于]30分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为.（1）设为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，为事件“乙的英语高最终成绩不低于130分”，为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，分别求出事件、事件、事件发生的概率；（2）设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为，求的分布列与数学期望.17.如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，为的中点，平面，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的正弦值；（3）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.18.已知数列满足条件，且.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求证：.19.已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为，过椭圆的右焦点的动直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）若线段的垂直平分线与轴相交于点，与直线交于，当时，求直线的斜率的取值范围；（3）在椭圆上是否存在定点，使得对任意斜率等于且与椭圆交于两点的直线(两点均不在轴上)，都满足(其中为直线的斜率，为直线的斜率)？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.20.已知函数，其中且.（1）求的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围；（3）若存在，使得，求证：.试卷答案一、选择题15:BABCD68:CBD二、填空题9.10.511.12.13.14.7三、解答题15.解：∵，且，∴.∴.（2）解：在中，由正弦定理，得，即.∴.在中，，由余弦定理，得.∴.的面积.16.依题意，10件产品中有7件优质品，3件非优质品.设抽取的3件产品均为优质品的概率为，则.（2）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.，，，.所以，随机变量的分布列为数学期望.17.（1）证明：取的中点,连接,则,平面.如图，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得：,.\o"CurrentDocument"∵,∴，即.∵， ∴平面.（2）解：由（1）可知平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，∵，∴.（3）解:设平面的法向量为，∵，∴即令，则，即.由（1）可知平面的一个法向量，设二面角的平面角为，易知，∴.18.解：在中，当时，，即解得或（舍去）.当时，① ②由①②可得，即.∵，∴所以.∴是首项为3，公差为2的等差数列.故.设数列的首项为，公差为，依题意解得∴.（2）由（1）可知，则.∴.19.解：（1）∵，∴.由，得.故，.若，则，若，则.∴在上单调递增，在上单调递减.∴的最大值为.（2）解：假设存在实数,使有最大值，.①时，在上单调递増，，（舍去）.所以，此时无最大值. ②当时，在上单调递増，在上单调递减，，则，满足条件.综上所述，存在实数，使得当时，有最大值.（3）证明：∵的极大值为，即在上最大值为.∴.由，得，∵当时，，∴在区间上单调递增.∴.∵，∴在（1）的条件下，.20.（1）解：设半焦距为，由题意，可得，则，即.