![广东省五校(华附省实深中广雅六中)2022-2023学年高二年级上册期末联考数学试题解析期末试卷_第1页](http://file4.renrendoc.com/view14/M06/00/34/wKhkGWasbQOAXtmoAAICYGVQKW8629.jpg)
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文档简介
2022学年上学期高二期末限时训练试卷
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分,考试用时120分钟.
注意事项:
1.开考前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息
填写在答题卡指定区域内.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相
应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不
按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
第一部分选择题(共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)
1集合A={x|2sinx=L%eR},8={x,-3x«0},则人口6=(*
A.[0,3]B.{技C.印制D.{建}
答案:D
根据三角函数的性质求出集合A,再解一元二次不等式求出集合B,即可求解.
ITT57r
解:由2sin%=l得sinx=一解得x=—+2&兀或一+2E,Z:£Z,
266
7T5兀
所以A==k+2&兀或泊+2E«wZ卜
又由炉一3彳<0解得0WxV3,所以8={川0«%<3},
所以AD8=
故选:D.
2.某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6,为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天
下雪的概率,用计算机产生1~5之间的随机整数,当出现随机数1,2或3时,表示该天下雪,其概率为0.6,
每3个随机数一组,表示一次模拟的结果,共产生了如下的20组随机数:
522553135354313531423521541142
125323345131332515324132255325
则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪概率为()
答案:B
分析】
根据条件找出三天中恰有两天下雪的随机数,再按照古典概型求概率.
解:20组数据中,其中522,135,531,423,521,142,125,324,325表示三天中恰有2天下雪,共有9组随机数,
9
所以P=—.
20
故选:B
3.设复数z满足2-1|=>-目,则z在复平面上对应的图形是()
A.两条直线B.椭圆C.圆D.双曲线
答案:A
设z=x+同,根据模长相等列出方程,得到z在复平面上对应的图形是两条直线.
解:设2=》+其,则2=》一同,
|z—可得:(x-l)2+/=(2y)2,
化简得:(x—1)2=3洛
艮|J尤一1=3y或x—1=-3y,
则z在复平面上对应的图形是两条直线.
故选:A
7T
4.在“正。中,已知a=3,A=g,b=X,满足此条件的三角形只有一个,则X满足()
A.x=20B.xe(O,3)
C.xe{2V3}u(O,3)D.xe{2gu(0,3]
答案:D
结合正弦定理得x=26sinB,满足条件的三角形只有一个,即X有唯一的角与其对应,即可确定B的范
围,求得结果.
3_x则有=2氐in£8?(o,兀可
解:由正弦定理得.7isinB>
sin—
3T
•••满足条件的三角形只有一个,即X有唯一的角与其对应,则曹
,故
x=2GsinB?(2码(J(0,3〉
故选:D
5.圆内接四边形A8CD中49=2,CD=4,3。是圆的直径,则就•访=()
A.12B.-12C.20D.-20
答案:B
根据圆内接四边形的性质及数量积的定义即求.
由题知NBA£)=NBCr)=90°,AD=2,CO=4
;•ACBb^(AD+DQBD^ADBb+DCBD
=|AD||BD|COSABDA-|/5C||BD|COSNBDC=|研-匹『=4-16=-12.
故选:B.
6.已知数列{4}为等差数列,若%+3/<0,<0,且数列{《,}的前〃项和有最大值,那么S“取
得最小正值时〃为()
A.IIB.12C.7D.6
答案:A
根据已知条件,判断出4,%,&+%的符号,再根据等差数列前〃项和的计算公式,即可求得.
解:因为等差数列的前〃项和有最大值,故可得4<0,
因为4+3。8<0,故可得4q+22d<0,即
所以生—耳4<0,可得/</£/<(),
又因为4♦%<。,
故可得4>0,所以数列{4}的前6项和有最大值,
且4+%=24+1Id<0,
又因为S%=12x-^1^-=6(4z6+tz7)<0,Su=/x(4+4J=1lx%>0,
故S〃取得最小正值时〃等于11.
故选:A.
2
yy2
7.已知过椭圆=l(a>匕>0)的左焦点尸(-1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A,B,与y轴交
a瓦
于点。,点C,F是线段的三等分点,则该椭圆的标准方程是()
x2y2.222222
A.----1----=1B.二+二=1C.三+上=1D,三+二=1
65543243
答案:B
b2、
不妨设A在第一象限,由椭圆的左焦点b(—1,0),点。,口是线段A3的三等分点,易得A1,—,
a)
b2、4h2
B-2,--代入椭圆方程可得三+」=1,又/=〃一〃=1,两式相结合即可求解
Ia241
解:
不妨设A在第一象限,由椭圆的左焦点尸(-1,0),点C,/是线段AB的三等分点,
[212
则C为A4的中点,耳为BC中点,所以乙=1,所以=则以=幺
a~b~a
“h2、b2}〃b2、
即A1,一,所以C0,——5-,B—2,——
a72a7\2a7
♦2
nn4b,
将点坐标代入椭圆方程得4+”=1即F+—7=1,
a24a2
a2b2
又"―Z?2=l,所以c/=5,=4,
22
所以椭圆标准方程是土+匕=1.
54
故选:B
8.定义在(0,+8)的函数y=/(x)满足:对x,G(0,+CO),且大也n止生3〉o成
玉-x2
立,且/(3)=9,则不等式/(x)>3x的解集为()
A.(9,+oo)B.(0,9)C.(0,3)D.(3,+CO)
答案:D
构造函数g(x)=3,讨论单调性,利用单调性解不等式.
X
解:由豆㈤二空⑷
>0且\/司,G(0,+OO),
%一9
/(X)fM
则两边同时除以士工2可得3了2
X]一马
令g(x)=y,则g(x)=£^在(0,+8)单调递增,
由/(x)>3x得以6>3且8(3)=皿=3,
x3
即g(x)>g(3)解得x>3,
故选:D.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个
选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
2
9.已知双曲线与_z>0,方>0)的右焦点为F(c,o),在线段OF上存在一点使得M到渐
CT
3
近线的距离为士c,则双曲线离心率的值可以为()
4
-4
A.不B.2C.一D.叵
3
答案:AB
写出双曲线的渐近线方程,利用点到直线距离列出不等式,得到£>上互,判断出AB正确.
a7
22
解:厂y1的一条渐近线方程为法-④=0,
设M(/w,0),0<m<c,
3
=c,整理得:|同=三二,
4114b
因为0<m<c,所以£<c
,3c<4b=4\/c2-a2
4b
4a
解得:—>-----,
a7
因为9孚2W2五T
所以AB正确,CD错误.
故选:AB
10.已知正实数。,匕满足出?+a+匕=8,下列说法正确的是()
A.ab的最大值为2B.a+8的最小值为4
l11]
C.a+2)的最小值为6夜—3D..」+])+7的最小值为:
答案:BCD
8—〃
利用基本不等式和解一元二次不等式可判断人1,将5=——代入a+2》,化简,利用基本不等式求解可判
Q+1
断C,利用基本不等式“1”的妙用可判断D.
解:对于A,因为次7+〃=82,
即(疝『+2疝-840,解得—4W而《2,
又因为正实数a,b,所以0〈疯(2,
则有ah<4,当且仅当a=h=2时取得等号,故A错误;
对于B,ab+a+b=S<+(a+6),
即(a+h)2+4(a+0)—32N0,解得a+hW—8(舍)a+b>4,
当且仅当a=〃=2时取得等号,故B正确;
对于C,由题可得/a+l)=8-a所以匕=互区>0,解得0<。<8,
Q+1
〜个8-。18c118八—I、18、£大、
ci+2b=a+2---—ci------2=。+1H------322j(a+l)-----3—6>Z2—3,
Q+1Q+1a+1VQ+1
[8
当且仅当。+1=——即a=30—1时取得等号,故C正确;
a+1
111
对于D,-------1—=一------1--\a(b+\)+b\
〃(Z?+1)h8ag+I)/?JL」
b-S+l)
-ZH-------1------->1(2+2)=1
8670+1)bo2
ba(b+l)biA
当且仅当心丁t="笄T八4,a=《时取得等号’故D正确,
故选:BCD.
11.已知正方体ABC。-AAG"的边长为2,E为正方体内(包括边界)上的一点,且满足
sinZfDZ),则下列说正确的有()
15
7F
A.若足为面481GA内一点,则E点的轨迹长度为5
B.过A3作面a使得。E_L&,若Ewa,则E的轨迹为椭圆的一部分
C.若尸,G分别为AR,8cl的中点,Ee面尸G45,则E的轨迹为双曲线的一部分
V103V10
D.若尸,G分别为4A,SG的中点,DE与面FG45所成角为。,则sin。的范围为lo-510
答案:ABD
对于A项,sinZEDD,=监转化为tanNEDR=1,得到£的轨迹再求解.
对于BC项,根据平面截圆锥所得的曲线的四种情况解决.
对于D项,建立空间直角坐标系解决.
解:对于A项,正方体ABC。一AAGR中,。2_1平面4耳62,若E为面44GA内一点,所以
DD、_L*.
又因为sinZEDD.=—,所以tanNEDD、=
'52
在RIAEDD]中tanNEDD1=金=号=;,所以£>卢=1
11兀
故点E的轨迹是以A为圆心1为半径的一个圆弧,所以E点的轨迹长度为一—
442
故A正确.
对于B项,因为sinNEZ)2=半,即乙口4为定值,线段。口也为定值,取4A的中点。一故点E的
轨迹是以。2为轴线,。旦为母线的圆锥的侧面上的点.设平面a即为下图的圆。面,过点H作。4的平
行线交圆锥底面于点”i,交。。于点M,从图形可得NDMH=NRDA=NEDR,易得
ZDOH>ZHMO=ZEDD],故E的轨迹为椭圆的一部分,所以B正确.
对于C项,平面a与轴线所成的角即为平面a与A4所成的角,Z^AF是平面a与轴线DD,所成的
AF1
角,在RtAdAF中tanN4AF=^-=j,而母线。尸与轴线。鼻所成的角为NEDq,在RtAED。中
FD1
tanZFDD,=-^-=-,即母线与轴线所成的角与截面a与轴线所成的角,所以点E的轨迹应为抛物线,
故C不正确.
对于D项,以。为原点,方,方&力瓦分别为%y,z轴的非负半轴建立如图所示的坐标系,
Tt
连接DE并延长交上底面4gG。于点g,设NA。&0,-,则
£)(0,0,0)Ex(cosy,siny,l)A(2,0,0)B(2,2,0)F(l,0,2),DEX=(cosy,sin/,1)
则AB=(0,2,0)砺=(-1,0,2),设面ABGF的法向量为7=(x,y,z)
n-AB=02y=0/.
所以《n元=(2,0,1)
iiAF=0—x+2z=0')
收・0司|2COS/+1||2COS/+1|
所以与面/GAB所成角的正弦值为sin(9=
同|西「75x72-Vio
71
又因为ye0,-2cos/+le[l,3]
b,2cosy+IVio3M,丁
LH
所以---T=~~e—z-,——-,故D正确.
V10[1010
故选:ABD
【点睛】用平面去截圆锥所得的曲线可能为,圆、椭圆、抛物线、双曲线.
截面与圆锥轴线成角等于轴线与母线所成的角,截面曲线为抛物线;
截面与圆锥轴线成角大于轴线与母线所成的角,截面曲线为椭圆;
截面与圆锥轴线成角小于轴线与母线所成的角,截面曲线为双曲线;
截面与轴线垂直得到截面曲线为圆.
12.已知函数y(x)=ln(T),g(x)=ln(4+x),则()
A.函数y=/(2-x)+g(x-2)为偶函数
B.函数y=f(x)-g(x)为奇函数
C.函数y=/(x-2)—g(x-2)为奇函数
D.%=-2为函数函数y=/(x)+g(x)图像的对称轴
答案:CD
根据函数的的奇偶性定义可判断A,B,C,根据对称轴的性质判断D.
解:对于A,y=/(2-x)+g(x-2)=ln(x-2)+ln(x+2),
定义域为(2,+8),所以函数为非奇非偶函数,故A错误;
对于B,y=/(x)-g(x)=ln(-x)-ln(x+4)定义域为(T,0),
所以函数为非奇非偶函数,故B错误;
对于C,y=/(》-2)-g(x-2)=ln(2-x)-ln(2+x),
定义域为(一2,2),设〃(x)=ln(2-x)+ln(2+x),
h(-x)=ln(2+x)-ln(2-x)=-h(x),所以函数为奇函数,故C正确;
对于D,设«x)=/(x)+g(x)=ln(-%2-4%)定义域为(一4,0),
——]n[-(T-x)?-4(T-x)]=ln(-X?_4X)=?(%),
所以x=-2为函数函数y=/(x)+g(x)图像的对称轴,故D正确,
故选:CD.
第二部分非选择题(共90分)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知首项为2的数列{4}对满足。,用=3%+4,则数列{4}的通项公式。“=.
答案:4x3"-'-2
构造用+2=3(4+2),得至1」{。,,+2}是等比数列,求出通项公式,进而得到%=4X3"T—2.
解:设4m+;1=3(%+;1),即可M=3《,+2/1,故24=4,解得:2=2,
故4+1=34+4变形为+2=3(%+2),q+2=2+2=4,
故{4+2}是首项为4的等比数列,公比为3,
则a“+2=4x3"T,
所以a,,=4X3"T-2,
故答案为:4x3"-'-2
14.已知直线/的方向向量为1=(1,0,2),点4(0,1,1)在直线/上,则点P(l,2,2)到直线/的距离为
答案:叵
5
求出而与直线/的方向向量的夹角的余弦,转化为正弦后可得点到直线的距离.
解:而=(1,1,1),
/--*\n,AP1+0+2
5
所以sin(〃,AP)=
点P(l,2,2)到/的距离为d=网sin值型=6x乎=等.
故答案为:叵.
5
15.函数/(x)=J5cosWx+0)(<y>(),]<网<兀)的部分图象如图所示,直线丁=加(加<0)与
这部分图象相交于三个点,横坐标从左到右分别为毛,巧,七,则sin(2玉+&一毛)=.
由图象求得参数,由交点及余弦函数的对称性结合sin(2X1+w-毛)=sin(2(4+X2)-(々+&))即可求值
5兀(5兀即COS^-co+(p也
解:由图可知,fV2c<:OSI—69+^9
5兀兀…
—&+0=—+2E
82
5兀7兀八,
—co+(P=---F2攵兀3兀故〃x)=0cos(2x—弓)
则《44,解得8=2,(p———
。〉04
恭时<兀
27r
-1,/(X)最小正周期为;-=兀.
直线y=m(m<0)与这部分图象相交于三个点,横坐标从左到右分别为为,巧,不,则由图可知
%1+w_5兀兀_3兀x2_5兀+兀_7兀
22~~8~4~~8~
/.sin(2xj+赴-A3)=sin(2(x1+&)一(马+X3))=sin["^^_^^)=sin1_:)=_sin:=--
故答案为:一受
2
16.已知实数x、y满足3^—y|y|=l,则上-2y+石]的取值范围是.
答案:(后,2发+石].
讨论入,了得到其图象是椭圆,双曲线的一部分组成图形,根据图象可得z=x-2y+逐的取值范围,进而
可得卜-2y+两的取值范围.
rIrI
解:因为实数苍V满足"-yl),l=l,
4
2
当x〉0,y>0时,方程为三一>2=1的图象为双曲线在第一象限的部分;
4
2
当x>0,y<0时,方程为r上+;/=1的图象为椭圆在第四象限的部分;
4
2
当x<0,y>0时,方程为—二r—:/=]的图象不存在;
4
2
当x<0,y<0时,方程为-三r+丁=1的图象为双曲线在第三象限的部分;
4-
在同一坐标系中作出函数的图象如图所示,
卜-2),+逐|表示点(x,y)到直线x_2y+百=()的距离的加倍
根据双曲线的方程可得,两条双曲线的渐近线均为y=±gx,
令z=x-2y+J?,即y-2+@,与双曲线渐近线平行,
-222
观察图象可得,当过点(%y)且斜率为g的直线与椭圆相切时,点(x,y)到直线x-2y+V?=0的距离最大,
即当直线z=*-2y+逐与椭圆相切时,z最大,
7
-
——X+V2=11
联立方程组《4-得2x2-(2z-26)x+z2-2括z+l=O,
1zV5
y=-x——+——
-222
△=(2z-2南-4x2x卜2一2底+1)=0,
解得z=\[5±2-72,
又因为椭圆的图象只有第四象限的部分,
所以z=^+20.
又直线x-2y+石=()与%-2丁=0的距离为1,故曲线上的点到直线的距离大于1,
所以z〉
综上所述,石<zK行+2&,
所以6<|z|<右+2及,
即|x+2_y-4|G^\/5,V5+2V2J,
故答案为:(6,2夜+6j.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知函数/(x)=2sin卜-;卜n[+聿)+2V§cos,卜-gJ+G.
(1)求函数/(x)的单调增区间;
⑵求,图+,阂+情卜借卜唱”闺+,益的作
7T
答案:(1)——+^71,——+Z:7T(kGZ)
(2)14>/3
(1)由三角恒等变换化简,由整体法结合三角函数的单调增区间列不等式求解即可;
(2)令g(x)=2sin(2x-■!),分析得g(x)关于j器,0对称,根据对称性化简求值.
【小问1详解】
V32cos之
兀
x——+273
3
=sin2(x-1)+Gcos2(x-1)+26
=2sin(2x一与+^)+26
=2sin(2x-yj+2百
令2x一工e-—+2kTt,—+2kTt(kwZ),ijiiJxG--+kn,—+kit(ZeZ).
22V'11221122V7
故函数/(x)的单调增区间为+.+E(^eZ).
【小问2详解】
/(JC)=2sin(2x-1J+26,令g(x)=2sin(2x-]J,
由2x-(=Eg?Z)得兀=(+当=4(3;;1)兀(女?Z),故g(x)关于;沪U,0(/Z)对称,
故当左=0时,g(x)关于篇,°对称・
=0+0+0+0+1473
=14"
Q
18.已知等比数列{。“}对任意的“eN+满足an+an+l=—.
(1)求数列{%}的通项公式;
(2)若数列{%}的前〃项和为S,,定义min{a,可为“,力中较小的数,2=min,S,,log|,,求
数列{2}的前〃项和T..
…2
答案:(1)R
一〃<4
+3〃-吗〃“
18
Q
(1)由递推公式得为T+4=R,结合等比数列性质与条件等式两式相处,即可求得q,再令〃=i由
等式求得%,即可根据公式法得通项公式:
(2)化简对数式得log1〃-1,分析S“与n-1的大小,即可根据min{。,可定义得么的分段函数,
即可分段求和.
【小问1详解】
%+4+1=4(i+q)=三
1-+--4-」——.!
设等比数列{4}公比为g,则有,(8两式相除化简得1+,3,解得4=§,
q一
8
又q+4=4(1+4)=§,可得q=2.
(A、〃-1
数列{为}的通项公式q=2x上2
13,
【小问2详解】
3
(2]]
〃,=min<3一击Jogj号,=min<3一击Jogj],=min’一击,〃—11.
^vZ
令3一击>〃-1,即4一击>巩,•.•4一击€(3,4),.•.当“<4时,4一击>〃,即3一击>“-1;
当〃24时,4——r<n,即3——r<n—1;
3“T3”T
(-]]n-1,n<4
.・心=叫3-F'l'
,,,Q+(n-H»n2-n
故当〃<4,T=—^——J-=---
"22
…3(*3)+|/
当“24时,
n2-n
〃<4
2
故(=«
1(1y-1r109.
—•—+3n------,»>4
2⑶18
19.已知平面内一动点P到定点F(O,1)的距离比它到x轴的距离多1.
(1)求P点的轨迹方程C;
(2)过点。(0,5)作直线/与曲线C交于A5(A点在8点左侧),求SOBF+SA.的最小值.
答案:(1)x?=4y或.x=0(y<0)
(2)20
(1)设P(x,y),得Jf+(y_i)2=3+]即可解决;⑵设直线/为旷=丘+5,4%,乂),3(工2,)2),联
-20
立方程,结合韦达定理得玉=——,由基本不等式解决即可.
【小问1详解】
由题知,动点P到定点尸(0,1)的距离比它到X轴的距离多I,
设尸(羽田,
所以|尸目=3+1,
当》20时,&+。_1)2=.+1,化简得f=4y,
当y<。时,Jf+(y_l)2=]_y,化简得x=0,
所以P点的轨迹方程为C:x2=4y,或.x=0(),<0).
【小问2详解】
由题得,过点。(0,5)作直线/与曲线C交于A,3(A点在8点左侧),
所以由(1)得C:/=4y,
设直线/为y=Ax+5,A(xl,yl),B(x2,yt),
将丁="+5代入。:炉=4y中得f一4"—20=0,
所以△=16^+80>0,即攵eR,
-20
玉+工2=4k,xtx2=-20,即玉=----,
工2
所以^^ABF+^AFO=SMQF+^BQF+SCFO
=g|。印后一/1+I=2(/-%)一;西
=2%+竺+3=2%+丝22展
—=20
%x2%
c50
当且仅当2%2=一,即赴=5时,取等号,
X2
所以(SjBF+S扒FOL=2。
所以s》"+s△人尸O的最小值为20.
20.已知正项数列{风}满足一"”+14=2”,用,且4=4=1,设“=
(1)求证:数列{5}为等比数列并求{%}的通项公式;
(2)设数列{〃}的前〃项和为S“,求数列,丁的前〃项和《,•
Is〃,S”+],
l,n=1
答案:⑴4i12x32x72*…X(2"T-1)2,“22
⑵…含
(1)利用sjan+2an=2a向+向高化简导可得数列抄,}是以3为公比3为首项的等比数列,求出4可
得牛=(2”一1丫,再利用累乘法求通项公式可得答案;
(2)求出‘一利用裂项相消求和可得答案.
【小问1详解】
因为勿=/a/,所以2+i=-i,
因为M+24-也+4=2a“M,所以”,+2%=2%M+>
+河4+i7W+i
4,+i+€,M"+I_1且人=V^i'=1
2a“+i+2ja“a“+|2,'疯+向2
所以数列{d}是以g为公比,g为首项的等比数列,即4=(,、
\2>
所以〃22时,-^x二x—…x—=1-x3-x71x…x(2””一1),
4a24an-\
即a,,=『x32x72X…*(2"T-1了,
而此时〃=1时,4=01—1)2=0,
1,71=1
所以=<
Z,2
12X32X72X...X(2-'-1),H>2
【小问2详解】
由⑴八出二所以s.=3i早
~2
21.已知四棱锥E—43CD中,AB=4Cr>=4,AE=2,CD//AB,AD=2五,ZQ48=45°,面
ABC。工面ME,C£=V17
(1)求证:AE1CB;
(2)求面ADE与面BOE所成的二面角的余弦值.
答案:(1)见解析(2)0
(1)根据勾股定理得AE_LAC,面面垂直性质定理得OO_L面4组,得。OJ.AE,可得平面
ABCD,即可解决;(2)建立以A为原点,分别以荏,福,正的方向为x轴,>轴,z轴正方向得空间直
角坐标系A-型,空间向量法解决二面角的余弦值即可.
【小问1详解】
DC
E
由题知,AB-4CD=4,AE=2>CD//AB,AO=20,
ZZMB=45°,而ABCDI面ABE,CE=V17.
过。作OO_LAB,过C作CFIAB,^DOUCF,连接AC交。。于G,
因为CD//AB,
所以四边形OFC。平行四边形,
所以OF=CD,OD=FC,
因为在AA。。中,AD=2^,ZDAO=45°,DOVAO,
所以。O=AO=2,
所以CF=2,
因为AB=4C£)=4,CD//AB,OF=CD,
所以。9=CO=1
所以A尸=3,
因为CVIAB,
所以AC=JX西元R=54=屈,
因为CE=JI7,AE=2,
所以在△ACE中,以2=4£2+4。2,即4£,4。,
又因为OOJLAB,平面ABC。_£平面ABE且交于AB,
所以。0_1_面ABE,
因为AEu面4?E,
所以。OJ.AE,
因为£>onAC=G,。。ACu平面ABCO,
所以AEJ_平面ABC。,
因为C8u平面ABC。,
所以AE_LCB.
【小问2详解】
由(1)得,面ABE,AEJ_平面ABCQ,DO//CF,
作&//OO.
所以42_1_面他£,AE±AB>
所以Az_LAE,Az_LAB,
所以建立以A为原点,
分别以荏,而,否的方向为X轴,y轴,z轴正方向得空间直角坐标系A-Jtyz,
因为£>O=AO=2,AB=4,AE=2,
所以A(0,0,0),0(0,2,2),EQ,0,0),5(0,4,0),
所以通=(2,0,0),尻=(2,—2,-2),BD=(0,-2,2),
设面ADE与面8DE的法向量分别为加=(x,x,Z]),〃=(w,y2,Z2)>
所以
m-AE=O2x=0
}令y=i,得而=(o,i,—i),
m-DE=O2x]-2y-2Z]=0
n-BD=Q即厂2%+24=0
令%=1,得葭=(2,1,1),
n-DE=02%—2y—2Z1=0
设面ADE与面8DE所成的二面角为。,
m*n
所以面ADE与面8DE所成的二面角的余弦值为cos0
所以面A£>E与面8OE所成的二面角的余弦值为0.
22.换元法在数学中应用较为广泛,其目的在于把不容易解决的问题转化
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