苏教版高中数学选择性必修第一册第2章圆与方程2-3圆与圆的位置关系练习含答案

2.3圆与圆的位置关系基础过关练题组一圆与圆的位置关系1.(2024江苏无锡江阴四校期中)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-4)2+(y-a)2=16有3条公切线,则a=()A.-3B.3C.3或-3D.52.(教材习题改编)已知圆C1:x2+y2=r2(r>0),圆C2:(x+3)2+(y-4)2=4,若C1与C2有公共点,则r的最小值为()A.1B.3C.5D.73.(2024浙江宁波五校期中联考)在坐标平面内,与点A(1,2)的距离为3,且与点B(3,8)的距离为1的直线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条4.(2024浙江绍兴第一中学期中)已知点A(0,0),B(2,0),圆M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)上恰有两点Pi(i=1,2)满足PiA·题组二两圆的公共弦与公切线5.(教材习题改编)(多选题)圆O1:x2+y2-2x+2y-2=0与圆O2:x2+y2-2ax-2ay+2a2-9=0的公共弦的长为37A.±2B.±176.(多选题)(2024江西景德镇一中期中)已知两圆C1:x2+y2=4与C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),则下列说法不正确的是()A.若两圆相切,则r=3B.若两圆的公共弦所在直线的方程为3x-4y-2=0,则r=5C.若两圆的公共弦长为23,则r=19D.若两圆在交点处的切线互相垂直,则r=47.(2023江苏连云港海州高级中学调研)已知圆C1:x2+y2-4x-16=0与圆C2:x2+y2+2y-4=0,则圆C1与圆C2的公切线方程是.

8.(2024江苏常州高级中学期中)已知圆C:(x-2)2+y2=4,点P在直线x-y-1=0上运动,过点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,若直线AB过定点M,则点M的坐标为.

9.(2024四川雅安月考)已知圆M:x2+y2-2x-6y-1=0和圆N:x2+y2-10x-12y+m=0.(1)当m取何值时,两圆外切?(2)当m=45时,求两圆的公共弦所在的直线方程和公共弦的长.题组三圆与圆的位置关系的综合运用10.(多选题)(2024江苏连云港赣榆一中月考)已知圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0与圆C2:x2+y2-2x-2y=0交于A,B两点,则()A.线段AB的中垂线方程为x+y=0B.直线AB的方程为x+y-3=0C.公共弦AB的长为2D.所有经过A,B两点的圆中,面积最小的圆是圆C111.(2024浙江温州期中)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=4和两点A(a,0),B(-a,0)(a>0),若圆C上有且仅有一点P,使得∠APB=90°,则实数a的值是()A.2-2B.2+2C.2-2能力提升练题组一圆与圆的位置关系1.(多选题)(2024重庆南开中学期中)已知圆C1:x2+y2=1,C2:(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0),则下列说法正确的是()A.当r=1时,圆C1与圆C2有4条公切线B.当r=2时,直线y=1是圆C1与圆C2的一条公切线C.当r=3时,圆C1与圆C2相交D.当r=4时,圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为y=-x+12.(2024山东适应性联考)已知直线l:x-2y-1=0与圆C:x2+y2+2ax+2y+45a2+1=0始终有公共点,则圆C与圆M:x2+y2-ax+120aA.相交B.外离C.外切D.内切3.(2024安徽合肥第一中学期中)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=9和两点A(t,0),B(-t,0)(t>0),若圆C上至少存在一点P,使得PA·取值范围是()A.(2,8)B.(2,+∞)C.(3,+∞)D.(1,3)4.(2023江苏南京师范大学苏州实验学校月考)若直线l:mx+y-3m-2=0与圆M:(x-5)2+(y-4)2=25交于A,B两点,则当弦AB最短时,圆M与圆N:(x+2m)2+y2=9的位置关系是()A.内切B.外离C.外切D.相交5.(2023浙江湖州六校联考)在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:(x-2)2+(y-1)2=4上存在点M,且点M关于直线x+y+1=0的对称点N在圆C2:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)上,则r的取值范围是()A.[17−2,C.[13−2,6.(2024江苏苏州中学期中)已知圆C:x2+y2-2x+m=0与圆(x+3)2+(y+3)2=4外切,点P是圆C上一动点,则点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为.

7.(2024广东广州第十六中学期中)在平面直角坐标系xOy中,点A(3,0),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心C在直线l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使得MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.题组二两圆的公共弦与公切线8.(2023江苏常州十校联考)已知圆C1:x2+y2-kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直线恒过点P,且点P在直线mx-ny-2=0上(m>0,n>0),则mn的最大值是()A.39.(多选题)(2023江苏南京金陵中学河西分校调研测试)如图,点A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),CD是以OD为直径的圆上的一段圆弧,CB是以BC为直径的圆上的一段圆弧,BA是以OA为直径的圆上的一段圆弧,三段弧构成曲线Ω,则下列结论正确的是()A.曲线Ω与x轴围成的图形的面积为3B.CB与BA的公切线的方程为x+y-1-C.BA所在圆与D.CD所在圆截直线y=x所得弦的长为210.(2023河南洛阳洛宁第一高级中学月考)已知圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0与圆C2:x2+y2-8x+4y+7=0.(1)证明圆C1与圆C2外切,并求过切点的两圆公切线的方程;(2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程.题组三圆与圆的位置关系的综合应用11.(2024黑龙江哈尔滨一中期中)已知M,N分别是圆C1:x2+y2-4x-4y+7=0,圆C2:x2+y2-2x=0上的两个动点,P为直线x+y+1=0上的一个动点,则PM+PN的最小值为()A.2B.12.(2023江苏南京师范大学附属中学阶段检测)设点A(1,0),B(4,0),动点P满足2PA=PB,设点P的轨迹为C1,圆C2:(x+3)2+(y-3)2=4,C1与C2交于点M,N,Q为直线OC2上一点(O为坐标原点),则MN·A.4B.2313.(2024山东德州月考)设点P为直线2x+y-2=0上的点,过点P作圆C:x2+y2+2x+2y-2=0的两条切线,切点分别为A,B,当四边形PACB的面积取得最小值时,直线AB的方程为.

14.(2024河南顶尖名校联盟期中)定义圆的反演点:若点M在圆O外,过M作圆O的两条切线,两切点的连线与OM的交点就是M的反演点;若点M在圆O内,则连接OM,过点M作OM的垂线,在该垂线与圆O的两个交点处分别作圆O的切线,切线的交点即为M的反演点.已知圆O:x2+y2=4,点M(1,3),则M的反演点的坐标为.

15.(2024北京第四中学期中)已知圆C1:x2+y2+6x-2y+6=0和圆C2:x2+y2-8x-10y+41-r2=0(r>0).(1)若圆C1与圆C2相交,求r的取值范围;(2)若直线l:y=kx+1与圆C1交于P,Q两点,且OP·(3)若r=2,设M为平面上的点,且满足:存在过点M的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点M的坐标.

答案与分层梯度式解析2.3圆与圆的位置关系基础过关练1.C由题意得,圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-4)2+(y-a)2=16的圆心为C2(4,a),半径r2=4,因为两圆有3条公切线,所以两圆外切,则C1C2=r1+r2,即(4-0)2+(a规律总结圆与圆的位置关系与公切线条数位置关系内含内切相交外切外离公切线条数012342.B由题意得圆C1的圆心为C1(0,0),半径为r,圆C2的圆心为C2(-3,4),半径为2,则C1C2=(-3)∵C1与C2有公共点,∴|r-2|≤C1C2≤r+2,又r>0,∴3≤r≤7,故r的最小值为3.故选B.3.D与点A(1,2)距离为3的点的轨迹是以A(1,2)为圆心,3为半径的圆,与点B(3,8)距离为1的点的轨迹是以B(3,8)为圆心,1为半径的圆,则所求直线即为两圆的公切线,因为AB=(3-1)所以两圆外离,有4条公切线,所以符合题意的直线有4条.故选D.4.答案(3,7)解析设P(x,y),则PA·PB=(-x,-y)·(2-x,-y)=x2-2x+y2=3,变形得(x-1)2+y故点P在以点(1,0)为圆心,2为半径的圆上,要使圆M上恰有两点Pi(i=1,2)满足Pi则圆(x-1)2+y2=4与圆M有两个交点,故|r-2|<(4-1)5.CD两圆方程相减,得两圆公共弦所在直线的方程为(2a-2)x+(2a+2)y+7-2a2=0,易得圆O1的圆心为O1(1,-1),半径为2,因为点O1到直线(2a-2)x+(2a+2)y+7-2a2=0的距离d=22所以d=|2a解得a=±1或a=±344.故选CD6.ACD由题意得圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(3,-4),半径为r,则C1C2=5,对于A,当两圆外切时,C1C2=r1+r,即5=2+r,解得r=3;当两圆内切时,C1C2=r-r1,即5=r-2,解得r=7,故两圆相切时,r=3或r=7,故A中说法错误;对于B,两圆方程相减,得公共弦所在直线的方程为6x-8y+r2-29=0,又因为公共弦所在直线的方程为3x-4y-2=0,所以r2-29=-4,所以r=5,故B中说法正确;对于C,圆心C1(0,0)到直线6x-8y+r2-29=0的距离d=|r因为两圆的公共弦长为23,所以23=2所以|r2-29|10=1,解得r2=19或r2=39,即r=19或r=39对于D,若两圆在交点处的切线互相垂直,则满足r2+r12=C1C22,即r2+4=25,所以r=21易错警示本题A选项容易出错,当已知两圆相切时,要分内切和外切两种情况讨论.7.答案2x+y+6=0解析圆C1:x2+y2-4x-16=0,即(x-2)2+y2=20,圆心为C1(2,0),半径r1=25,圆C2:x2+y2+2y-4=0,即x2+(y+1)2=5,圆心为C2(0,-1),半径r2=5.因为圆心距C1C2=5=r1-r2,所以两圆内切.联立x2又kC所以公切线的方程为y-(-2)=-2(x+2),即2x+y+6=0.解题模板当两圆外切时,有一条内公切线,且垂直于两圆的连心线;当两圆内切时,有一条外公切线,且垂直于两圆的连心线.求切线方程时,可先联立两圆方程求出切点坐标,再利用垂直关系求出公切线的斜率,进而得到方程.8.答案(-2,4)解析由题意得圆C的圆心为C(2,0),半径r=2,设P(t,t-1),由题意知A,B在以PC为直径的圆上,该圆的方程为x-化简得x2+y2-(t+2)x-(t-1)y+2t=0,与圆C的方程(x-2)2+y2=4相减,得直线AB的方程为(2-t)x-(t-1)y+2t=0,即t(-x-y+2)+2x+y=0,由-所以直线AB过定点M(-2,4).9.解析设圆M的半径为r1,圆N的半径为r2.将两圆的方程化为标准形式,分别为M:(x-1)2+(y-3)2=11,N:(x-5)2+(y-6)2=61-m(m<61),则圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为r1=11,r(1)当两圆外切时,满足MN=r1+r2,即(5-1)2+(6-3(2)当m=45时,61-m=4,则4-11则两圆的公共弦所在直线的方程为x2+y2-2x-6y-1-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,圆心M(1,3)到直线4x+3y-23=0的距离d=|4+9-23|42+10.BD设圆C1的半径为r1,圆C2的半径为r2.将两圆方程化为标准形式为C1:x-322+y-圆心分别为C132,32,C2(1,1),半径分别为r由圆的性质可知,线段AB的中垂线过圆心C1,C2,则线段AB的中垂线的斜率为32将两圆方程相减得直线AB的方程为x+y-3=0,B正确;圆心C2到直线AB的距离d=|1+1-3|1所以AB=2r2易知经过A,B两点的圆中,以AB为直径的圆的面积最小,因为AB=2r1,所以圆C1即是以AB为直径的圆,故D正确.11.C圆C的圆心为C(1,1),半径r=2,由点A(a,0),B(-a,0)(a>0)可得以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,设该圆为圆O,则圆心为O(0,0),半径R=a,若点P满足∠APB=90°,则P在圆O上,由圆C上有且仅有一点P使得∠APB=90°,得圆C与圆O相切,则两圆内切或两圆外切易错点,即OC2=(0-1)2+(0-1)2=(2-a)2或OC2=(0-1)2+(0-1)2=(2+a)2,又a>0,所以a=2-2或a=2+2.故选C.能力提升练1.ABD由题意得圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,圆C2的圆心为C2(3,3),半径为r,故C1C2=32.当r=1时,C1C2>2=r1+r,所以两圆外离,故有4条公切线,A正确;直线y=1是圆C1的切线,当r=2时,圆心C2到直线y=1的距离d=2=r,即直线y=1是圆C2的切线,B正确;当r=3时,C1C2>4=r1+r,即两圆外离,C错误;当r=4时,r-r1=3<C1C2<r1+r=5,即两圆相交,故两圆有公共弦,将两圆方程作差得(x-3)2+(y-3)2-(x2+y2)=15,整理得2x+2y-1=0,即y=-x+12,D正确2.B由题意得圆C的圆心为C(-a,-1),半径r1=55|a|(a≠0),圆M的圆心为M12a,0,半径r因为直线l与圆C始终有公共点,所以|-a+1|12因此CM=94所以圆C与圆M外离.故选B.3.B由题得圆C的圆心为C(3,4),半径r=3,因为圆C上至少存在一点P,使得PA·所以∠APB>90°,所以圆C与圆O:x2+y2=t2(t>0,O为坐标原点)相交、内切或内含,则OC<3+t,又因为OC=32所以实数t的取值范围是(2,+∞).故选B.4.B直线l的方程可变形为m(x-3)+y-2=0,所以直线l过定点(3,2),记为P,圆M的圆心M(5,4),半径为5.因为(3-5)2+(2-4)2<25,所以P(3,2)在圆M内.当弦AB最短时,l⊥PM,又kPM=4-25-3此时圆N的方程是(x+2)2+y2=9,圆心为N(-2,0),半径为3.则MN=(5+2)因为65>5+3=8,所以圆M与圆N外离.故选B.5.D设圆C1:(x-2)2+(y-1)2=4关于直线x+y+1=0对称的圆为C0:(x-a)2+(y-b)2=4,则a故C0:(x+2)2+(y+3)2=4.由题意可知,圆C0:(x+2)2+(y+3)2=4与圆C2:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)有交点,圆C0与圆C2的圆心分别为C0(-2,-3),C2(-1,-1),半径分别为2,r,则C0C2=(-2+1)则满足|r-2|≤5≤r+2,解得5-2≤r≤5+2.∴r的取值范围是[5−2,5+2].故选6.答案4解析将圆C的方程化为标准方程为(x-1)2+y2=1-m,圆心为C(1,0),半径为1-m圆(x+3)2+(y+3)2=4的圆心为(-3,-3),半径为2,因为两圆外切,所以1-m所以圆C的半径为3,因为圆心C(1,0)到直线5x+12y+8=0的距离为|5+0+8|5所以点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为3+1=4.7.解析(1)联立y=2则圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1,当过点A的直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,不是圆C的切线;当过点A的直线的斜率存在时,设其方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,要想该直线为圆C的切线,则2k2+1所以切线方程为3x−y−33=0或(2)由题可得点C(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1,设点M(x,y),因为MA=2MO,所以(x-3)2+y2=2x所以点M在以点(-1,0)为圆心,2为半径的圆上,设D(-1,0).因为点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,所以|2-1|≤CD≤2+1,即1≤(a+1)2+(2a-4所以圆心C的横坐标a的取值范围为458.D将两圆方程相减,得公共弦所在直线的方程为kx+(k-2)y-4=0,整理得k(x+y)-2y-4=0,令x+y=0,-2y-4=0,解得x=2,y=-2,9.BCCD,CB,BA所在圆的方程分别为(x+1)2+y2=1,x2+(y-1)2=1,(x-1)由题意得曲线Ω与x轴围成的图形的面积为π2设CB与BA的公切线的方程为y=kx+b(k<0,b>0),则|-1+b所以CB与BA的公切线的方程为y=-x+1+2,即x+y-1-2=0,故B由x2+(y-1)2=1与(x-1)2+y2=1作差得x-y=0,即公共弦所在直线的方程为x-y=0,故C中结论正确;CD所在圆的方程为(x+1)2+y2=1,圆心为(-1,0),圆心(-1,0)到直线y=x的距离d=|-1|2则所求弦长为2×1-2故选BC.10.解析(1)由圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0可得(x+2)2+(y-2)2=13,由圆C2:x2+y2-8x+4y+7=0可得(x-4)2+(y+2)2=13,因此两圆的圆心分别为C1(-2,2),C2(4,-2),两圆的半径r1=r2=13,因为C1C2=(-2-4)2+(2+2)2由x2(2)易知直线C1C2经过切点,且直线C1C2的方程为y-2由3x与两圆相切于点M(1,0)的圆的圆心必在已知两圆的圆心连线C1C2:2x+3y-2=0上,设圆心为P(a,b),半径为r,则2所以r2=PM2=3259故所求圆的方程为(x+4)2+y-11.D将两圆的方程化为标准形式,分别为C1:(x-2)2+(y-2)2=1,C2:(x-1)2+y2=1.设圆C2关于直线x+y+1=0对称的圆为C'2,其圆心为C'2(a,b).依题意得a+12因此,圆C'2:(x+1)2+(y+2)2=1.如图所示.∵C1C'2=(-1-2)2∴(PM+PN)min=C1C'2-2=3,故选D.12.C设点P(x,y),则2(x化简得动点P的轨迹C1的方程为x2+y2=4,联立x解得x=-3,如图所示,由平面几何知