苏教版高中数学选择性必修第一册第1章直线与方程检测卷含答案

第1章直线与方程全卷满分150分考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若直线x=-2的倾斜角为α,直线x+y=0的倾斜角为β,则β-α=()A.0B.πC.π2.“a=-13A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.如图,在同一平面直角坐标系中作出直线y=ax与y=x+a,正确的是()ABCD4.王老师在课堂上与学生探究直线l时,有四位同学分别给出了一个结论,甲:直线l经过点(1,2);乙:直线l经过点(3,9);丙:直线l经过点(0,-1);丁:直线l的斜率为整数.如果只有一位同学的结论是错误的,那么这位同学是()A.甲B.乙C.丙D.丁5.已知点M(1,-2),N(4,4),H是直线l:2x-y+1=0上的动点,则HM+NH的最小值为()A.13C.656.过定点A的直线(a+1)x-y+2=0与过定点B的直线x+(a+1)y-5a-2=0交于点P(P不与A、B重合),则△PAB面积的最大值为()A.4B.9C.2D.37.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,a≠b,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤18A.1,3C.28.在平面直角坐标系中,已知点P(a,b)满足|a|+|b|=1,记d为点P到直线l:x-my-2=0的距离.当a,b,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.4二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知直线l1:ax-(a+3)y+a=0,l2:x-2ay+a-1=0,则下列说法正确的是()A.若l1⊥l2,则a=-7B.若l1∥l2,则a=32C.若l1与l2相交于点(-1,0),则a=2D.若a=12,则l210.已知直线l:(a+1)x-ay-3a-4=0,O为坐标原点,下列说法正确的是()A.若a≠0,则a越大,直线l的倾斜角越小B.若直线l关于直线x=4对称的直线方程是2x+y-9=0,则a=1C.若直线l过定点P,直线m经过点P和点O,则m绕点P旋转45°后得到的直线方程是5x-3y-17=0或3x+5y-13=0D.若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,则当OA+OB的值最小时,a=-211.已知O为坐标原点,A(3,1),P为x轴上一动点,Q为直线l:y=x上一动点,则()A.PQ+QA+PA的最小值为42B.AP+AQ的最小值为1+2C.AP+PQ的最小值为22D.2AP+OP的最小值为4三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.已知直线l与直线x+3y-5=0垂直,且点P(-1,0)到直线l的距离为3105,则直线l的方程为13.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则y+1x-2的取值范围是,(x+1)2+y14.已知两点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,A(-3,-3),B32,1四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)如图,平行四边形ABCD的面积为8,A为原点,点B(2,-1),点C,D在第一象限.(1)求直线CD的方程;(2)若BC=13,求点D的横坐标.16.(本小题满分15分)已知直线l:kx-y+1+2k=0.(1)当k=1时,求直线l与直线2x+y-1=0的交点坐标;(2)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B.①求△AOB的面积的最小值和此时直线l的方程;②已知点P(-2,1),当PA+1217.(本小题满分15分)一束光从光源C(1,2)射出,经x轴反射后(反射点为M),射到线段y=-x+b,x∈[3,5]上的点N处.(1)若M(3,0),b=7,求光从C出发,到达点N时所走过的路程;(2)若b=8,求反射光线所在直线的斜率的取值范围;(3)若b≥6,求光从C出发,到达点N时所走过的最短路程s.18.(本小题满分17分)已知点P和非零实数λ,若两条不同的直线l1,l2均过点P,且斜率之积为λ,则称直线l1,l2是一组“Pλ共轭线对”,如直线l1:y=2x,l2:y=-12x是一组“O-1(1)已知l1,l2是一组“O-3共轭线对”,求l1,l2的夹角的最小值;(2)已知点A(0,1),B(-1,0),C(1,0)分别是三条直线PQ,QR,RP上的点(A,B,C与P,Q,R均不重合),且直线PR,PQ是“P1共轭线对”,直线QP,QR是“Q4共轭线对”,直线RP,RQ是“R9共轭线对”,求点P的坐标;(3)已知点Q(-1,-2),直线a,b是“Q-2共轭线对”,当直线a的斜率变化时,求原点O到直线a,b的距离之积的取值范围.19.(本小题满分17分)已知矩形ABCD中,AB=2,AD=1,以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,将矩形折叠,使A点落在线段DC上(包括端点),设折痕所在直线的斜率为k.(1)求折痕所在直线的方程;(2)当-2+3≤k≤0时,求折痕长度的最大值;(3)当-2≤k≤-1时,折痕为线段PQ,设t=k(2PQ2-1),试求t的最大值.

答案与解析1.C由题意得α=π2,直线x+y=0的斜率为-1,故β=3π42.A若A(-3,-4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则|-3a-4+1|故为充分不必要条件,故选A.3.D直线y=ax过坐标原点,直线y=x+a的倾斜角为45°,A,B均不符合题意;对于C,由图知a>0,则直线y=x+a在y轴上的截距应大于零,不符合题意;对于D,由图知a<0,则直线y=x+a在y轴上的截距应小于零,符合题意.故选D.4.B设A(1,2),B(3,9),C(0,-1),易知A,B,C三点不共线,kAB=72,kBC5.C设点M(1,-2)关于直线l的对称点为M'(x0,y0),则2×x所以HM+NH=HM'+NH≥NM'=(4+36.B将(a+1)x-y+2=0化为y=(a+1)x+2,可知定点A(0,2),将x+(a+1)y-5a-2=0化为a(y-5)+x+y-2=0,令y-又(a+1)×1-1×(a+1)=0,∴两直线垂直,且P为垂足,∴PA⊥PB,则PA2+PB2=AB2=(0+3)2+(2-5)2=18.则S△PAB=12PA·PB≤12·PA7.C因为a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,所以a+b=-1,ab=c,所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=1-4c.又0≤c≤18,所以12≤1-4c≤1,所以22≤由于直线x+y+a=0与x+y+b=0(a≠b)平行,所以它们之间的距离d=|a-b|2,所以12≤8.C如图所示,易知点P的运动轨迹为正方形,直线l:x-my-2=0过定点(2,0),设A(2,0),对于任意确定的点P,连接PA,当PA⊥l时,d=PA,当PA不垂直于l时,过点P作PB⊥l,此时d=PB,因为PB⊥AB,所以PA>PB,所以dmax=PA,因为P在正方形上运动,所以dmax=(PA)max,易知当点P与点(-1,0)重合时,PA取最大值,为2-(-1)=3,所以dmax=3,故选C.9.BC若l1⊥l2,则a+2a(a+3)=0,解得a=0或a=-72若l1∥l2,则a·(-2a)-1×[-(a+3)]=0,且a(a-1)-a≠0,解得a=-1或a=32若l1与l2相交于点(-1,0),则a×若a=12,则l2:x-y-12=0,在x轴和y轴上的截距分别为12显然不相等,故D错误.故选BC.10.BD当a≠0时,直线l的斜率为a+1易知l的斜率与直线2x+y-9=0的斜率互为相反数,所以a+1由(a+1)x-ay-3a-4=0得a(x-y-3)+x-4=0,令x-y-3=0,x-4=0,得x=4,设直线l:xs+yt=1(s>0,t>0),因为直线l过点(4,1),所以4s+1t=1,则OA+OB=s+t=(s+t)4s+111.BCD易知点A(3,1)关于直线l的对称点为(1,3),关于x轴的对称点为(3,-1),设A1(1,3),A2(3,-1),可知QA=QA1,PA=PA2.对于A,PQ+QA+PA=PQ+QA1+PA2≥A1A2=(3-1)2+(-对于B,设点A(3,1)到x轴和到直线l的距离分别为d1,d2,则d1=1,d2=|3-1|12+(-1)2对于C,易得A2(3,-1)到l的距离d3=|3则AP+PQ=A2P+PQ≥d3=22,当且仅当A2,P,Q三点共线时等号成立,所以AP+PQ的最小值为22,故C正确;对于D,过点P作PC⊥l,垂足为C,可得CP=22则2AP+OP=2AP+22OP=所以2AP+OP的最小值为4,故D正确.故选BCD.12.答案3x-y+9=0或3x-y-3=0解析因为直线l与直线x+3y-5=0垂直,所以设l的方程为3x-y+m=0,由点到直线的距离公式得|3×故直线l的方程为3x-y+9=0或3x-y-3=0.13.答案-∞,-52∪解析如图.易得直线AB的方程为4x+3y-12=0,设C(2,-1),则y+1x-2的几何意义为直线PC的斜率,易得k所以y+1x设D(-1,0),则(x+1)2+y2的几何意义为点P与D之间距离的平方,过D作DF⊥AB,交AB于点F.则DF=|-4-12|42+3214.答案3解析如图,易知l1∥l2,由平行线间的距离公式得PQ=|2过点A作垂直于l1的直线,并截取AA'=PQ.设A'(x0,y0),则x所以A'-3连接A'B,A'Q,则四边形AA'QP是平行四边形,A'B=32+322+12故AP+PQ+QB的最小值为3215.解析(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,则kAB=kCD=-12设直线CD的方程为y=-12易得AB=22+(-易得直线AB的方程为x+2y=0,于是|2(2)设D(a,b),由BC=13,得AD=13.(11分)所以a+2b-16.解析(1)当k=1时,直线l为x-y+3=0,由x-(2)①设A(-a,0),B(0,b),a>0,b>0,则直线l的方程为x-由kx-y+1+2k=0,得k(x+2)-(y-1)=0,令x+2=0将(-2,1)代入方程x-a+yb=1,可得2a+1b=1,所以1=2a+1b≥2所以△AOB的面积的最小值是4,此时直线l的方程为x-②设直线l的倾斜角为α0<α<所以PA+12PB=1sin令t=sinα+cosα=2sinα+π4则sinα·cosα=t2-1设f(t)=t-1t,t∈(1,2],易知f(t)在(1,2]上单调递增,所以当t=2时,f(t)取得最大值,即PA+1当t=2时,有sinα+π4=1,α∈0所以直线l的倾斜角为π4,则斜率为tanπ故直线l的方程为y-1=x+2,即x-y+3=0.(15分)17.解析(1)设C(1,2)关于x轴的对称点为C',则C'(1,-2),直线C'M的方程为y=x-3,由y=x-所以光所走过的路程为C'N=(5(2)对于线段y=-x+8,x∈[3,5],其端点坐标分别为(3,5),(5,3),(6分)设A(3,5),B(5,3),由(1)知C'(1,-2),则kC'A=72,kC'B(3)当反射光线所在直线与直线y=-x+b垂直时,光所走过的路程最短,此时反射光线所在直线的方程为y=x-1-2=x-3.由y=-x+b,y若x=b+32∈92,5若x=b+32此时s=(5综上,s=2(18.解析(1)设l1的斜率为m(m≠0),l1,l2的夹角为α0<α<π2由夹角公式得tanα=m--3m1+(2)设直线RP,PQ,QR的斜率分别为k1,k2,k3,则k1当k1=32,k2=23,k3=6时,直线RP的方程为y=当k1=-32,k2=-23,k3=-6时,直线RP的方程为y=-32故点P的坐标为(3,3)或35(3)设直线a:y+2=k(x+1),b:y+2=-2k(x+1),其中k则d1d2=|k由于k2+4k2+5≥9(当且仅当k2=2,即k=±故1-9k2+4k2+5∈[0,1),所以d故原点O到直线a,b的距离之积的取值范围为[0,2).(17分)19.解析(1)当k=0时,点A与点D重合,折痕所在直线的方程为y=12当k≠0时,将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G(a,1),0<a≤2,所以A与G关于折痕所在的直线对称,则kAG·k=-1,即1a·k=-1,解得a=-k,故G点坐标为(-k,1),-2≤则线段AG的中点坐标为-k所以折痕所在直线的方程为y-12=kx故折痕所在直线的方程为y=kx+k22+12(2)当k=0时,折痕的长度为2.(7分)当折痕刚好经过B