高中数学平面解析几何知识点归纳

高中数学平面解析几何知识点归纳

高中数学平面解析几何学问点有哪些你知道吗?近年的高中数学

解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审究竟，应

走一步解决一步，一起来看看高中数学平面解析几何学问点，欢迎查

阅！

高中数学平面解析几何学问点

平面解析几何初步：

①直线与方程是解析几何的基础，是高考重点考查的内容，单

独考查多以选择题、填空题消失;间接考查则以直线与圆、椭圆、双

曲线、抛物线等学问综合为主，多为中、高难度试题，往往作为把关

题消失在高考题目中。直接考查主要考查直线的倾斜角、直线方程，

两直线的位置关系，点到直线的距离，对称问题等，间接考查肯定会

消失在高考试卷中，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题。

②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆

的位置关系以及圆的集合性质的争论，难度中等或偏易，多以选择题、

填空题的形式消失，其中（热点）为圆的切线问题。③空间直角坐

标系是平面直角坐标系在空间的推广，在解决空间问题中具有重要的

作业，空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。空间直

角坐标系也是解答立体几何问题的重要工具，一般是与空间向量在坐

标运算结合起来运用，也不排解消失考查基础学问的选择题和填空题。

高中数学平面解析几何学问点

1

平面解析几何，又称解析几何（英语：Analyticgeometry）坐标几

何（英语：Coordinategeometry）或卡氏几何（英语：Cartesiangeometry）,

早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形讨论的几何学

分支。解析几何通常使用二维的平面直角坐标系讨论直线、圆、圆锥

曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标

系来讨论平面、球等各种一般空间曲面，同时讨论它们的方程，并定

义一些图形的概念和参数。

平面解析几何基本理论

坐标

在解析几何当中，平面给出了坐标系，即每个点都有对应的一对

实数坐标。最常见的是笛卡儿坐标系，其中，每个点都有x-坐标对应

水平位置，和y-坐标对应垂直位置。这些常写为有序对（x,y）。这种系

统也可以被用在三维几何当中，空间中的每个点都以多元组呈现

（x,y,z）。坐标系也以（其它）形式消失。在平面中最常见的另类坐标

系是极坐标系，其中每个点都以从原点动身的半径r和角度0表示。

在三维空间中，最常见的另类坐标系统是圆柱坐标系和球坐标系。

曲线方程

在解析几何当中，任何方程都包含确定面的子集，即方程的解集。

例如，方程y=x在平面上对应的是全部x-坐标等于y-坐标的解集。这

些点汇合成为一条直线，y=x被称为这道方程的直线。总而言之，线

性方程中x和y定义线，一元二次方程定义圆锥曲线，更简单的方程

则阐述更简单的形象。通常，一个简洁的方程对应平面上的一条曲线。

2

但这不肯定如此：方程x=x对应整个平面，方程x2+y2=0只对应。0)

一点。在三维空间中，一个方程通常对应一个曲面，而曲线经常代表

两个曲面的交集，或一条参数方程。方程*2+丫2F代表了是半径为r

且圆心在(0,0)上的全部圆。

距离和角度

在解析几何当中，距离、角度等几何概念是用公式来表达的。这

些定义与背后的欧几里得几何所蕴含的主旨相符。例如，使用平面笛

卡儿坐标系时,两点A(xl,yl),B(x2,y2)之间的距离d(又写作|AB|被定

义为

上述可被认为是一种勾股定理的形式。类似地，直线与水平线所

成的角可以定义为

其中m是线的斜率。

变化

变化可以使母方程变为新方程，但保持原有的特性。

交集

主题问题编辑解析几何中的重要问题：

向量空间

平面的定义

距离问题

点积求两个向量的角度

外积求一向量垂直于两个已知向量(以及它们的空间体积)

平面解析几何初步综合检测

3

一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

1.直线3ax-y-l=0与直线(a-23)x+y+l=0垂直，则a的值是()

A.-1或13B.1或13

C.-13或-1D.-13或1

解析：选D.由3a(a-23)+(-l)l=0,得a=-13或a=l.

2.直线11：ax-y+b=O,12：bx-y+a=O(aO,bO,ab)在同一坐标系中

的图形大致是图中的0

解析：选C.直线11：ax-y+b=O,斜率为a,在y轴上的截距为b,

设kl=a,ml=b.直线12：bx-y+a=O,斜率为b,在y轴上的截距为

a,

设k2=b,m2=a.

由A知:由于I何2,kl=k2O,mlO,即a=bO,bO,冲突.

由B知:klk2,mlO,即ab,bO,冲突.

由C知：klO,m20,即aO,可以成立.

由D知：klO,m2ml,即aO,ab,冲突.

3.已知点和圆C：(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A经x轴反

射到圆C上的最短路程是()

A.62-2B.8

C.46D.10

解析：选B.点A关于x轴对称点A(-l,-1),A与圆心(5,7)的距离

为5+12+7+12=10.所求最短路程为10-2=8.

4

4.圆x2+y2=l与圆x2+y2=4的位置关系是()

A.相离B.相切

C.相交D.内含

解析：选D.圆x2+y2=l的圆心为(0,0),半径为1,圆x2+y2=4的

圆心为(0,0),半径为2,则圆心距02-1=1,所以两圆内含.

5.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a0)及直线I：x-y+3=0,当直线I被圆

C截得的弦长为23时，a的值等于0

A.2B.2-1

C.2-2D.2+1

解析:选B.圆心(a,2)到直线l：x-y+3=0的距离d=|a-2+3|2=|a+l|2,

依题意|a+l|22+2322=4,解得a=2-l.

6.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是()

A.3x-2y-6=0

B.2x+3y+7=0

C.3x-2y-12=0

D.2x+3y+8=0

解析：选D.团所求直线平行于直线2x+3y-6=0,

设所求直线方程为2x+3y+c=0,

由12-3+c122+32=12-3-6122+32,

c=8,或c=-6(舍去)，

所求直线方程为2x+3y+8=0.

7.若直线y-2=k(x-l)与圆x2+y2=l相切，则切线方程为()

5

A.y-2=34(l-x)

B.y-2=34(x-l)

C.x=l或y-2=34(l-x)

D.x=l或y-2=34(x-l)

解析：选B.数形结合答案简单错选D,但要留意直线的表达式是

点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分.

8.圆x2+y2-2x=3与直线y=ax+l的公共点有()

A.0个B.1个

C.2个D.随a值变化而变化

解析：选C.直线y=ax+l过定点。1),而该点肯定在圆内部.

9.过P(5,4)作圆C：x2+y2-2x-2y-3=0的切线,切点分别为A、B,

四边形PACB的面积是0

A.5B.10

C.15D.20

解析:选B.团圆C的圆心为(1,1),半径为5.

|PC1=5-12+4-12=5,

|PA|=|PB|=52-52=25,

S=122552=10.

10.若直线mx+2ny-4=0(m>nR,nm)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0

的周长，则mn的取值范围是0

A.(0zl)B.(0,-1)

C.(-,1)D.(-,-1)

6

解析：选C.圆x2+y2-4x-2y-4=0可化为(x-2)2+(y-l)2=9,直线

mx+2ny-4=0始终平分圆周,即直线过圆心(2,1),所以2m+2n-4=0,即

m+n=2,mn=m(2-m)=-m2+2m=-(m-l)2+ll,当m=l时等号成立，此时

n=l,与"mn”冲突，所以mnl.

11.已知直线I：y=x+m与曲线y=l-x2有两个公共点，则实数m的

取值范围是()

A(2,2)B.(-l,l)

C.[l,2)D.(-2,2)

解析：选C.曲线y=l-x2表示单位圆的上半部分，画出直线I与

曲线在同一坐标系中的图象，可观看出仅当直线I在过点(-1,0)与点

。1)的直线与圆的上切线之间时，直线I与曲线有两个交点.

当直线I过点(-1,0)时,m=l;

当直线I为圆的上切线时，m=2(注：m=-2,直线I为下切线).

12.过点P(-2,4)作圆0：(x-2)2+(y-l)2=25的切线I,直线m：ax-3y=0

与直线I平行，则直线I与m的距离为()

A.4B.2

C.85D.125

解析：选A.回点P在圆上，

切线I的斜率k=-lkOP=-ll-42+2=43.

直线I的方程为y-4=43(x+2),

即4x-3y+20=0.

又直线m与I平行，

7

直线m的方程为4x-3y=0.

故两平行直线的距离为d=|0-20|42+-32=4.

二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)

13.过点A(L-1),B卜1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是

解析：易求得AB的中点为(0,0),斜率为-1,从而其垂直平分线

为直线y=x,依据圆的几何性质，这条直线应当过圆心，将它与直线

x+y-2=0联立得到圆心0(1,1),半径r=|OA|=2.

答案：(x；)2+(y；)2=4

14.过点P(-2,0)作直线I交圆x2+y2=l于A、B两点，则

|PA||PB|=.

解析:过P作圆的切线PC,切点为C,在RtlSPOC中，易求|PC|=3,

由切割线定理，|PA||PB|=|PC|2=3.

答案：3

15.若垂直于直线2x+y=0,且与圆x2+y2=5相切的切线方程为

ax+2y+c=0,则ac的值为.

解析：已知直线斜率kl=-2,直线ax+2y+c=0的斜率为-a2.国两直

线垂直,(-2)(-a2)=-l,得a=-l.圆心到切线的距离为5,即|c|5=5,c=5,

故ac=5.

答案：5

16.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数

m的取值范围是.

8

解析：将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为标准方程，

得(x-l)2+(y+2)2=l,圆心为(1,-2),半径为1.若直线与圆无公共

点,即圆心到直线的距离大于半径，即d=131+4-2+m132+42=|m-5151,

mO或mlO.

答案：(-,O)(1O>+)

三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤)

17.三角形ABC的边AC,AB的高所在直线方程分别为2x-3y+l=O,

x+y=O,顶点A(l,2),求BC边所在的直线方程.

解：AC边上的高线2x-3y+l=O,

所以kAC=-32.

所以AC的方程为y-2=-32(x-l),

即3x+2y-7=0,

同理可求直线AB的方程为x-y+l=O.

下面求直线BC的方程，

由3x+2y-7=0,x+y=O,得顶点C(7,-7),

由x-y+l=O,2x-3y+l=O,得顶点B(-2,-1).

所以kBC=-23,直线BC：y+l=-23(x+2),

即2x+3y+7=0.

18.一束光线I自八(-3,3)发出，射到乂轴上,被*轴反射后与圆(：：

x2+y2-4x-4y+7=0有公共点.

(1)求反射光线通过圆心C时、光线I所在直线的方程；

9

⑵求在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围.

解：圆C的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=l.

(1)圆心C关于x轴的对称点为C(2,-2),过点A,C的直线的方

程x+y=O即为光线I所在直线的方程.

(2)A关于X轴的对称点为A(-3,-3),

设过点A的直线为y+3=k(x+3).

当该直线与圆C相切时,有12k-2+3k-31l+k2=l,解得k=43或k=34,

所以过点A的圆C的两条切线分别为y+3=43(x+3),y+3=34(x+3).

令y=0,得xl=-34,x2=l,

所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是[-34,1].

19.已知圆x2+y2-2x-4y+m=0.

⑴此方程表示圆，求m的取值范围；

⑵若⑴中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OMON(O

为坐标原点)，求m的值；

(3)在⑵的条件下，求以MN为直径的圆的方程.

解：⑴方程x2+y2-2x-4y+m=0,可化为

(x-l)2+(y-2)2=5-m,

回此方程表示圆，

5-mO,即m5.

(2)x2+y2-2x-4y+m=0,x+2y-4=0,

消去xW(4-2y)2+y2-2(4-2y)-4y+m=0,

化简得5y2-16y+m+8=0.

io

设M(x1,yl),N(x2,y2),则

yl+y2=165,0yly2=m+85.②

由OMON得yly2+xlx2=O

即yly2+(4-2yl)(4-2y2)=0,

16-8(yl+y2)+5yly2=0.

将①②两式代入上式得

16-8165+5m+85=0,

解之得m=85.

⑶由m=85,代入5y2-16y+m+8=0,

化简整理得25y2-80y+48=0,解得yl=125,y2=45.

xl=4-2yl=-45,x2=4-2y2=125.

M-45,125,N125,45,

MN的中点C的坐标为45,85.

又|MN|=125+452+45-1252=855,

所求圆的半径为455.

所求圆的方程为x-452+y-852=165.

20.已知圆0：x2+y2=l和定点A(2,l),由圆O外一点P(a,b)向

圆0引切线PQ切点为Q,|PQ|=|PA|成立，如图.

(1)求a、b间关系；

⑵求|PQ|的最小值；

⑶以P为圆心作圆，使它与圆0有公共点，试在其中求出半径

最小的圆的方程.

11

解：⑴连接OQ、OP,则向OQP为直角三角形，

又|PQ|=|PA|,

所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2

=1+|PA|2,

所以a2+b2=l+(a-2)2+(b-l)2,

故2a+b-3=O.

(2)由⑴知,P在直线I：2x+y-3=0上,

所以|PQ|min=|PA|min,为A到直线I的距离，

所以|PQ|min=122+1-3122+12=255.

(或由

|PQI2=10P12-l=a2+b2-l=a2+9-12a+4a2-l=5a2-12a+8=5(a-1.2)2+0.8,

得|PQmin=255.)

(3)以P为圆心的圆与圆0有公共点，半径最小时为与圆0相切

的情形，而这些半径的最小值为圆0到直线I的距离减去圆0的半径，

圆心P为过原点与I垂直的直线I与I的交点P0,所以1322+12-1=355-1,

又I：x-2y=0,

联立I：2x+y-3=0得P0(65,35).

所以所求圆的方程为(x-65)2+(y-35)2=(355-l)2.

21.有一圆与直线I：4x-3y+6=0相切于点A(3,6),且经过点B(5,2),

求此圆的方程.

解：法一：由题意可设所求的方程为(x-3)2+(y-6)2+(4x-3y+6)=0,

又由于此圆过点(5,2),将坐标(5,2)代入圆的方程求得=-1,所以所求圆

12

的方程为x2+y2-10x-9y+39=0.

法二：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

则圆心为C(a,b),由|CA|=|CB|,CAI,得

3-a2+6-b2=r2,5-a2+2-b2=r2,b-6a-343=-l,解得a=5,b=92,r2=254.

所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-92)2=254.

法三：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由CAI,A(3,6),B(5,2)

在圆上，得

32+62+3D+6E+F=0,52+22+5D+2E+F=0,-E2-6-D2-343=-l,解得

D=-10,E=-9,F=39.

所以所求圆的方程为x2+y2-10x-9y+39=0.

法四：设圆心为C,贝IJCAI,又设AC与圆的另一交点为P,贝IJCA

的方程为y-6=-34(x-3),

即3x+4y-33=0.

又由于kAB=6-23-5=-2,

所以kBP=12,所以直线BP的方程为x-2y-l=0.

解方程组3x+4y-33=0,x-2y-l=0,得x=7,y=3.所以P(7,3).

所以圆心为AP的中点(5,92),半径为|AC|=52.

所以所求圆的方程为(x-5)2+(y-92)2=254.

22.如图在平面直角坐标系xOy中，已知圆Cl：(x+3)2+(y-l)2=4

和圆C2：(x-4)2+(y-5)2=4.

(1)若直线I过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线I

的方程;

13

⑵设P为平面上的点，满意：存在过点P的无穷多对相互垂直的

直线II和12,它们分别与圆C