2024-2025学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质教案 文 新人教A版选修2-1

2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质教案文新人教A版选修2-1主备人备课成员教学内容2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2节，以新人教A版选修2-1教材为依据，主要内容包括：

1.双曲线的定义及其标准方程；

2.双曲线的焦点、顶点、实轴、虚轴等基本概念；

3.双曲线的几何性质，如渐近线、对称性、顶点与焦点的位置关系等；

4.双曲线的图像绘制及其在实际问题中的应用；

5.双曲线的离心率、渐近线方程的推导和应用；

6.双曲线与直线、圆的位置关系及有关问题的求解方法。核心素养目标分析本节课围绕双曲线的几何性质，旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过以下教学活动实现目标：

1.数学抽象：引导学生从双曲线的定义和标准方程中，抽象出双曲线的基本概念和几何性质，培养学生对数学概念的理解和抽象能力。

2.逻辑推理：在教学过程中，组织学生通过观察、分析、归纳等逻辑推理方法，探讨双曲线的渐近线、对称性、顶点与焦点的位置关系等几何性质，提高学生的逻辑思维能力。

3.数学建模：通过双曲线在实际问题中的应用，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，增强学生的数学应用意识。

4.数学运算：在教学过程中，让学生掌握双曲线的离心率、渐近线方程的推导和应用，以及双曲线与直线、圆的位置关系及有关问题的求解方法，提高学生的数学运算能力。

5.数据分析：引导学生通过观察双曲线的图像，分析其几何性质，培养学生从数据中发现规律、总结结论的能力。

6.空间想象：通过双曲线图像的绘制，培养学生的空间想象能力，使其能够更好地理解双曲线的几何性质。重点难点及解决办法重点：

1.双曲线的定义及其标准方程的理解；

2.双曲线几何性质的理解与应用；

3.双曲线与直线、圆的位置关系及有关问题的求解方法。

难点：

1.双曲线离心率的理解及其在实际问题中的应用；

2.双曲线渐近线方程的推导和应用；

3.双曲线在实际问题中的建模和运算。

解决办法与突破策略：

1.对于重点和难点的理解，通过引入实际案例，结合图形直观展示，帮助学生形象化理解双曲线的定义和性质。

-采用多媒体教学工具，动态演示双曲线的构建过程，强化对焦点、顶点等概念的理解。

-设计课堂讨论环节，让学生通过小组合作，探讨双曲线的性质，加深记忆。

2.对于离心率和渐近线方程的理解，通过数学推导和实例分析相结合的方式进行教学。

-利用数学软件或图形计算器，让学生观察变化规律，理解离心率的意义。

-通过问题驱动的教学方法，引导学生发现渐近线方程的推导过程，增强理解。

3.对于建模和运算难点，通过以下方法突破：

-设计具有层次性的练习题，由浅入深地引导学生运用双曲线的性质解决实际问题。

-提供不同类型的实际问题，指导学生建立数学模型，培养学生的数学建模能力。

-在解答问题时，注重解题思路和方法的指导，提高学生的数学运算能力。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备为确保本节课“双曲线的几何性质”的教学效果，以下教学资源需提前准备：

1.教材：

-确保每位学生都有新人教A版选修2-1教材，方便学生跟随课堂教学进度；

-准备与本节课相关的内容复印件，便于学生随时查阅。

2.辅助材料：

-准备双曲线相关的图片、图表、动画等多媒体资源，以便在课堂上演示双曲线的几何性质，增强学生的直观感受；

-搜集双曲线在实际应用中的案例，如天文学、工程学等领域的应用，以激发学生的学习兴趣；

-准备双曲线与直线、圆的位置关系示例图，帮助学生理解并掌握相关知识。

3.实验器材：

-准备几何画板软件、图形计算器等教学工具，供学生进行双曲线图像绘制和性质探究；

-准备实验用直尺、圆规等文具，方便学生动手操作和探究。

4.教室布置：

-将教室座位按照小组合作学习的方式进行布置，每组配备一台电脑或平板，便于学生查阅资料和进行讨论；

-在教室前方设置多媒体教学设备，包括投影仪、计算机等，用于展示多媒体教学资源；

-在教室后方或侧方设置实验操作台，方便学生进行实际操作和实验探究。

具体教学资源准备如下：

（1）教材与学习资料：

-新人教A版选修2-1教材；

-双曲线相关内容的教学大纲、学习指南；

-双曲线的性质、图像、实际应用案例等学习资料。

（2）多媒体资源：

-双曲线的定义、标准方程、几何性质等图文并茂的PPT课件；

-双曲线与直线、圆的位置关系动画演示；

-双曲线在天文学、工程学等领域实际应用的图片和视频。

（3）实验器材：

-几何画板软件、图形计算器；

-直尺、圆规、量角器等文具；

-双曲线模型、实验报告册等。

（4）教室布置：

-按照小组合作学习的方式，将学生分成若干小组，每组配备一台电脑或平板；

-教室前方设置多媒体教学设备，用于展示多媒体教学资源；

-教室后方或侧方设置实验操作台，配备必要的实验器材。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对双曲线的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道双曲线是什么吗？它在我们的生活中有什么样的应用？”

展示一些双曲线的图片和实际应用场景，如卫星轨迹、建筑设计等，让学生初步感受双曲线的美和特点。

简短介绍双曲线的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.双曲线基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解双曲线的基本概念、组成部分和性质。

过程：

讲解双曲线的定义，包括其标准方程和主要组成元素。

详细介绍双曲线的焦点、顶点、实轴、虚轴等概念，使用图表和示意图帮助学生理解。

通过实例，让学生更好地理解双曲线在实际问题中的应用。

3.双曲线案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解双曲线的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的双曲线案例进行分析，如双曲线轨道设计、双曲线型冷却塔等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解双曲线的应用。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用双曲线解决实际问题。

小组讨论：让学生分组讨论双曲线的未来发展或改进方向，并提出创新性的想法或建议。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与双曲线相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对双曲线的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调双曲线的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括双曲线的基本概念、性质、案例分析等。

强调双曲线在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用双曲线。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于双曲线在现实应用中的短文或报告，以巩固学习效果。教学资源拓展1.拓展资源：

-推荐阅读：《圆锥曲线及其应用》、《几何学中的双曲线》等数学专业书籍，以加深对双曲线理论的理解；

-建议学生查阅有关双曲线在物理学、天文学、工程学等领域应用的资料，如卫星轨道设计、建筑结构分析等；

-鼓励学生了解数学历史，探究双曲线的发现、发展过程及其在数学史上的地位；

-提供数学期刊、学术论文等资源，让学生了解双曲线研究的最新动态和发展趋势；

-推荐数学软件和工具，如Mathematica、MATLAB等，供学生进行双曲线图像绘制、性质探究和数据分析。

2.拓展建议：

-学生可以结合教材内容，自主探究双曲线的几何性质，如渐近线、对称性等，并将其运用到实际问题中；

-鼓励学生开展小组合作，共同研究双曲线在实际问题中的建模和运算方法，如求解双曲线与直线、圆的位置关系问题；

-建议学生参加数学竞赛、讲座、研讨会等活动，以提高自己在双曲线及其应用领域的认识；

-引导学生关注数学与现实生活的联系，尝试发现生活中的双曲线现象，如建筑、艺术、自然界等；

-鼓励学生进行跨学科学习，将双曲线知识与其他学科领域相结合，如物理、计算机科学等，以提高解决问题的综合能力。板书设计①重点知识点：

-双曲线的定义与标准方程

-双曲线的焦点、顶点、实轴、虚轴

-双曲线的几何性质：渐近线、对称性

-双曲线的离心率、渐近线方程

-双曲线与直线、圆的位置关系

②关键词：

-双曲线

-焦点、顶点

-实轴、虚轴

-渐近线

-离心率

-位置关系

③重点句：

-双曲线是到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹。

-双曲线的离心率e>1，是判断双曲线形状的关键。

-双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。

板书设计示例：

```

双曲线的几何性质

---------------------------

||

|定义：到两定点的距离之差|

|等于常数|

||

|标准方程：|

|x^2/a^2-y^2/b^2=1|

||

|焦点、顶点：|

|F1(-c,0)、F2(c,0)|

|V1(-a,0)、V2(a,0)|

||

|实轴、虚轴：|

|2a、2b|

||

|渐近线：|

|y=±(b/a)x|

||

|离心率：|

|e=c/a|

||

|位置关系：|

|双曲线与直线、圆|

|的交点、切点问题|

||

---------------------------

```

板书设计要求条理清晰，通过有序的排列和简洁的表述，突出双曲线的重点知识点和关键词。同时，采用图形和符号相结合的方式，增加板书的艺术性和趣味性，激发学生的学习兴趣。典型例题讲解例题1：求双曲线的标准方程。

给定双曲线的焦点坐标为(-2,0)和(2,0)，离心率为√3。求该双曲线的标准方程。

解答：

首先，焦点坐标为(-2,0)和(2,0)，所以焦点距离为2c=4，即c=2。

离心率e=√3，所以e=c/a，代入c=2得a=2/√3。

根据双曲线的定义，b^2=c^2-a^2，代入c=2和a=2/√3得b^2=4-4/3=8/3。

所以双曲线的标准方程为x^2/(2/√3)^2-y^2/(8/3)=1，即x^2/4-y^2/8/3=1。

例题2：求双曲线的焦点坐标。

给定双曲线的标准方程为x^2/9-y^2/4=1。求该双曲线的焦点坐标。

解答：

标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，比较得a^2=9，b^2=4。

焦点坐标为(c,0)和(-c,0)，其中c^2=a^2+b^2=9+4=13。

所以焦点坐标为(√13,0)和(-√13,0)。

例题3：求双曲线的渐近线方程。

给定双曲线的标准方程为x^2/4-y^2/3=1。求该双曲线的渐近线方程。

解答：

渐近线方程为y=±(b/a)x，其中a^2=4，b^2=3。

所以渐近线方程为y=±(√3/2)x。

例题4：求双曲线与直线的交点。

给定双曲线的标准方程为x^2/4-y^2/3=1和直线方程为y=x+1。求该双曲线与直线的交点。

解答：

将直线方程y=x+1代入双曲线方程得x^2/4-(x+1)^2/3=1。

化简得x^2/4-(x^2/3+2x/3+1/3)=1。

合并同类项得x^2/12-2x/3-1/3=0。

解得x=2或x=-1/2。

将x值代入直线方程y=x+1得y=3或y=-1/2。

所以交点为(2,3)和(-1/2,-1/2)。

例题5：求双曲线与圆的切点。

给定双曲线的标准方程为x^2/4-y^2/3=1和圆的方程为(x-1)^2+y^2=1。求该双曲线与圆的切点。

解答：

将圆的方程(x-1)^2+y^2=1展开得x^2-2x+1+y^2=1。

将双曲线方程x^2/4-y^2/3=1代入得x^2-2x+1+(3/4)x^2-(3/4)y^2=1。

合并同类项得(7/4)x^2-(3/4)y^2-2x=0。

这是一个双曲线的方程，但我们需要找到切点，即圆与双曲线的交点。

将圆的方程代入得(7/4)x^2-(3/4)(1-(x-1)^2)-2x=0。

展开得(7/4)x^2-(3/4)x^2+3/4x^2-3/4x+3/4-2x=0。

合并同类项得(7/4)x^2-(5/4)x+3/4=0。

解得x=1或x=3/7。

将x值代入圆的方程得y=0或y=4/7。

所以切点为(1,0)和(3/7,4/7)。作业布置与反馈作业布置：

1.根据本节课的教学内容，布置以下作业：

-练习题1：求双曲线的标准方程，给定焦点坐标和离心率。

-练习题2：求双曲线的焦点坐标，给定标准方程。

-练习题3：求双曲线的渐近线方程，给定标准方程。

-练习题4：求双曲线与直线的交点，给定双曲线和直线的方程。

-练习题5：求双曲线与圆的切点，给定双曲线和圆的方程。

2.要求学生在规定时间内完成作业，并按时提交。

作业反馈：

1.及时批改学生的作业，对每个学生的作业进行认真评价。

2.指出学生在作业中存在的问题，包括解题思路、计算错误、表达不清等方面，并提供具体的改进建议。

3.针对学生的不同情况进行个别指导，帮助他们解决问题，提高他们的数学能力。

4.鼓励学生在作业中展现自己的思考过程和解题方法，培养他们的思维能力和