高中数学人教A版选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系的实际应用（第 2 课时）基础练习

2.5.1直线与圆的位置关系的实际应用（第2课时）

基础练习

一、单选题

1.某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机

以每分钟50米的速度从设备正东方向50#米的A处出发，沿A处西北方向走向位于设备正北

方向的B处，则这名工作人员被持续监测的时长为（）

3

A.1分钟B.1■分钟

D.1■分钟

C.2分钟

【答案】C

【分析】以设备的位置为坐标原点o,其正东方向为工轴正方向，正北方向为y轴正方向建立

平面直角坐标系xoy,求得直线3和圆。的方程，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式,

求得MN的长，进而求得持续监测的时长.

t详解】以设备的位置为坐标原点o,其正东方向为8轴正方向，正北方向为y轴正方向建立

平面直角坐标系xOy,如图所示，

则A（50n,0）,B（0,50>/6）,可得的：x+y=50几，圆O:/+丁=10000.

记从N处开始被监测，到〃处监测结束，

|-50而「

因为。到L的距禺为O。'=।।=50/米，

#77

所以MN=2^MO2-O（y2=100米，故监测时长为熊=2分钟.

二、多选题

2.己知直线/：x+y-4=0,圆O：/+y2=2,M是/上一点，MA,何8分别是圆。的切线,

贝IJ（）

A.直线/与圆。相切B.圆。上的点到直线/的距离的最小值为近

C.存在点使NA7WS=90。D.存在点M,使为等边三角形

【答案】BD

【分析】对于A选项，分析圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，若』=八则直线/与

圆0相切，若d片厂，则直线/与圆0不相切；对于B选项，圆。上的点到直线I的距离的最

小值为圆心到直线的距离减去半径长；对于C选项，当M。最短时，有最大的张角NAM8；

对于D选项，考虑ZAMB能否等于60°.

【详解】对于A选项，圆心到直线的距离d=4%=2&>a=r,所以直线和圆相离，故

vlz+lz

A错误；

对于B选项，圆O上的点到直线/的距离的最小值为=夜，故B正确；

对于C选项，当。时，NAMB有最大值60。，故C错误；

对于D选项，当OM，/时，AMB为等边三角形,故D正确.

三、填空题

3.(2022.云南•罗平县第一中学高二开学考试)直线or+6y+c=0与圆O:W+y2=i6相交于两

点N,若满足/=4(/+灯，贝”,小=.

【答案】4右

【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可求出圆心到直线的距离，从而求出弦长，再由面积公

式计算可得.

【详解】解：圆0：/+产=16圆心为0(0,0),半径厂=4，

所以=lyjr-d1=2742-22=40

所以SM0M=；X2X46=4技

4.在平面直角坐标系xOy中，已知直线以-旷+2=0与圆C:/+y2-2x-3=0交于A,8两点,

若钝角一A5C的面积为则实数a的值是.

3

【答案】一-##-0.75

4

【分析】由钝角的面积为百，求得sinNACB=」L得至l」ZACB=M，进而求得圆心

23

到直线的距离为1,结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.

【详解】解：由圆C:f+y2-2x-3=0,即(才-11+/=4,

可得圆心坐标为C(l,0),半径为r=2,

因为钝角，A8C的面积为可得SMe=gx2x2sinNACB=6,

解得sinNAC8=且，因为*ZAC8〈万，所以NACB=T，

223

可得|AB\=-JAC2+BC2-2AC-BCcosZACB=2G,

设圆心到直线的距离为d,又由圆的弦长公式，可得2/^Z=20，解得4=1,

根据点到直线6-丫+2=0的距离公式1=力^=1,解得

5.规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是

指该球的球心点A.两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方

向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半

径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系,

如图，设母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向48.-4)处运动,

则母球A的球心运动的直线方程为.

【答案】y=^^-x

7

【分析】求出BC所在的直线方程，得到碰撞时A的坐标，可得母球A球心运动的直线方程.

【详解】点8(4,0),C(8,-4)所在直线的方程为x+y-4=0,如图所示

可知A,B两球碰撞时，球A的球心在直线x+y-4=0上，且在第一象限，设A,8两球碰撞

a+b-4=0

时，球A的球心坐标为A'(aS),此时|AB|=2,则《血-叫从=2,解得，。=4-应力=&

a>0,b>0

即A,B两球碰撞时，球A的球心坐标川4-四,企)

所以母球A的球心运动的直线方程为y=x,即y=马?x.

6.如下图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2肛水面宽12见当水面下降加后,

水面宽为I

12—

【答案】2底

【分析】以圆拱拱顶为坐标原点，以水平与圆拱相切的直线为横轴，以过拱顶的竖线为纵轴，建立

直角坐标系，根据题意可以求出找到一个点的坐标，这样可以求出圆的方程，最后可以求出当水

面下降1,“后，水面宽的大小.

【详解】以圆拱拱顶为坐标原点，以水平与圆拱相切的直线为横轴，以过拱顶的竖线为纵轴，建立

直角坐标系，如卜图所示：

由题意可知：设圆的方程为：/+(3；+')2=尸(其中『为圆的半径),因为拱顶离水面2憾水面宽

12九所以设A(6,-2)，代入圆的方程中得：r=10.所以圆的方程为：

/+(),+10)2=100,当水面下降后，设4(%-3)(%>3)代入圆的方程中得:

x0=25/51.

7.已知圆C的方程为V+y2=2,点尸是直线x-2y-5=0上的一个动点，过点尸作圆C的两

条切线R4、PB,A、B为切点、,则四边形以C8的面积的最小值为

【答案】底

【分析】依题意可得=2S…2xJPAHAC|=夜|PA|,由点到直线的距离公式结合勾股定

理求出1尸川的最小值，即可求得四边形R4cB的面积的最小值；

【详解】解：由圆V+y2=2,得到圆心C(0,0),半径”0

由题意可得：PA=PB，PALCA,PBLCB,

•••SP4CB=25wc=2x11PA|.|AC|=>/21PA|)

在RtZ\R4C中,由勾股定理可得：|PA『TPC『f2=|PCF-2,

当IPC|最小时，IPA|最小，此时所求的面积也最小,

点户是直线x—2y—5=0」二的动点,

1.|-5|=石

当PC_U时，IPC|有最小值―"+(-2)2,此时|PA|=1,

所求四边形R4CB的面积的最小值为应x6="；

四、解答题

8.已知点A(—1,0),8(0,2),圆C的方程为/+/-©+—+4=0,过点8的直线/与圆C

相切，点P为圆C上的动点.

(1)求直线/的方程；

(2)求4PA8面积的最小值.

【答案］(l)x=0或3x+4y-8=0

⑵4-右

【分析】(1)当直线/的斜率不存在时，画图即可求出此时的切线方程，当切线的斜率存在时

设出直线/的方程利用点到直线的距离公式即可求解；

(2)利用点到直线的距离公式求出圆心到宜线4B的距离，则点P到直线AB的距离的最小值

为圆心到直线AB的距离减半径，故利用三角形面积公式即可求出△2$面积的最小值.

(1)①圆C:(x-2『+(y+2)2=4的圆心C(2,—2),半径/"=2,

当直线/的斜率不存在时，/的方程为x=0,易知此直线与圆C相切，符合题意;

②当直线/的斜率存在时，设/的方程为旷=丘+2,即京-y+2=0.

因为直线/与圆C相切，所以圆心到直线的距离d=2,

则2」2j+2：2|,解得无=

y/l+k24

3

所以直线/的方程为y=_：x+2,即3x+4y_8=0.

4

综上，直线/的方程为x=0或3x+4y-8=0.

（2）由题意，得|明=石，I,［线AB的方程为2x-y+2=0,

|4+2+2|8石

则圆心C（2,-2）到直线AB的距离d=

石一方

•••点P到直线A8的距离的最小值为曳5-2,

5

1/o/c

的面积的最小值为kx^x*-2=4-石.

9.已知圆M的圆心为（。,0）（。40）,它过点尸（0,-2）,且与直线x+y+2应=0相切.

（1）求圆M的标准方程；

（2）若过点。（0,1）且斜率为左的直线/交圆”于A,8两点，若弦A8的长为旧，求直线/的方

程.

【答案】⑴/+/=4

（2）y=±x+l

【分析】（1）先设出圆M的标准方程，再根据过点产（0,-2）及圆M与直线x+y+2&=0相

切建立方程组求解即可；

（2）由点到直线的距离公式及垂径定理可求解.

⑴设圆用的标准方程为：。一。）2+y2=r2（«<0）

则圆心M到直线x+y+2&=0的距融为I".

V2

/+4=/

由题意得1〃+2及］,解得a=0或a=4及（舍去）.

~^n~=r

所以产=4,所以圆M的方程为一+丁=4.

（2）设直线/的方程为丫="+1

1

则圆心M到直线/的距离为

jY+i

...,回=2^^=2格子，因为|他|=后，解得々2=1,;"=±1

则直线的方程为^=士犬+1.

10.已知圆C经过坐标原点。和点(4,0),且圆心在x轴上

⑴求圆C的方程；

(2)已知直线/：3x+4y-ll=0与圆C相交于A、8两点，求所得弦长|相|的值.

【答案】⑴(x-2y+y2=4

⑵

【分析】(1)求出圆心和半径，写出圆的方程；(2)求出圆心到直线距离，进而利用垂径定

理求出弦长.

(1)由题意可得，圆心为(2,0),半径为2.则圆的方程为(x-2)z+丁=4；

(2)由(1)可知：圆C半径为r=2,设圆心(2,0)至心的距离为由则〃=与5=1,由

垂径定理得：|AB|=2>/产-42=26.

11.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0和直线/：3x-4y+9=。，点P是圆C上的动点.

(1)求圆C的圆心坐标及半径；

(2)求点P到直线/的距离的最小值.

【答案】(1)圆心坐标(1,-2),半径为3；(2)1

【解析】(1)将圆化为标准方程：(x-iy+(y+2)2=9,即可求解.

(2)求出圆心到直线的距离，减去半径即可.

【详解】(1)由圆C:Y+y2-2尤+4y-4=0,

化为(x-1)2+(y+2『=9,

所以圆C的圆心坐标(1,-2),半径为3.

(2)由直线/：3x-4y+9=0,

|3xl-4x(-2)+9|

所以圆心到直线的距离」==4,

所以点尸到直线/的距离的最小值为4-3=1.

12.己知圆。：/+丁=8,〃(一1,2)是圆。内一点，P(4,0)是圆。外一点.

(1)AB是圆。中过点M最长的弦，C£>是圆。中过点M最短的弦，求四边形ACB。的面积;

(2)过点尸作直线/交圆于E、尸两点，求一OEF面积的最大值，并求此时直线/的方程.

【答案】⑴46

(2)40E尸面积的最大值为4，直线/的方程为y=±¥(x-4).

【分析】(1)圆内弦最长的即是圆的直径即A8为直径，而CD是过〃且与AB垂直的弦，从

而得到四边形ACBO的面积；

(2)利用正弦表示三角形面积，可知当NEO尸=]时，_OEF面积最大，从而得到直线的倾

斜角，进而得到直线方程.

(1)M(-l,2)在圆/+产=8内，由于圆内弦最长的即是圆的直径即为直径，

而C。是过M且与A6垂直的弦

此时AB=4日圆心(0,0)到直线CD的距离d=炉覆=石，

从而可得，CD=2班,

.­.5=1x2>/3x4x/2=4>/6；

(2)\OE\=\OF\=2y[2,S^OEf.=|x|OE|x|OF|xsinZEOF,

TT

当N£OF=5时，。比■面积的最大值为4,

此时，。到直线/的距离为2,|OR=4,

；•直线/的倾斜角为3或挈，

则直线/的斜率为土迫，

3

.•.直线/的方程为y=±争x-4).

13.圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱是一段圆弧，其跨度AB=20米，拱高OP=4米，在

建造时每隔4米需用一根支柱支撑.

(1)建立适当的坐标系，写出圆弧的方程；

(2)求支柱4星的长度(精确到0.01米).

【答案】(1)/+()，+3)2="，(T04xW10,04y44)；

24

⑵3.86米.

【分析】(1)以。为原点，AB,OP为X,y轴，确定4民P的点坐标，设圆弧方程为

(x-",)2+(y-〃)2=，H—104x410,04y44,将点坐标代入求参数，即可得方程.

(2)由(I)及题设有员(-2,y),y>0且在圆弧上，代入圆弧所在方程求y,即可知&&的

长度

(1)构建如下直角坐标系，则A(-10,0),8(10,0),尸(0,4),

设A,B,P所在圆弧方程为(x-M、。-〃”产且-104XM10,0M”4,

（机+10）2+n2=r2

｛（10-ZH）2+n2=r2,解得,〃=一万

/«2+（4-n）2=r2,841

,一丁

所以圆弧的方程/+()>+32=亍，-10<x<10,0<y<4.

(2)由题设知：&(-2,0),则g(-2,y),y>0且在圆弧上，

所以4+(y+?)2=筌，可得)，=5"-21,故44的长度为5吗-21°3.86米.

14.某风暴中心位于某海礁A处，距离风暴中心A正西方向150km的B处有一艘轮船，正以北

偏东〃(夕为锐角)角方向航行，速度30km/h.已知距离风暴中心756km以内的水域受其影响.

(1)若轮船不被风暴影响，求角，的正切值的最大值？

(2)若轮船航行方向为北偏东45。，求轮船被风暴影响持续多少时间？

【答案】⑴tan®=且；(2)5小时.

3

【分析】(1)由题设分析知：当航行路线正好与圆A相切时轮船不被风暴影响，此时角。最

大，结合已知求最大。的正切值即可.

(2)写出轮船航行方向为北偏东45。所在直线的方程，再利用弦心距、圆的半径与弦长的几何

关系求该直线被圆A所截弦长，即可求轮船被风暴影响持续时间.

【详解】(1)设圆A为以坐标原点为圆心，75道为半径的圆，

由题意，要使轮船不被风暴影响，当航行路线正好与圆A相切时，角。最大，

由45=150,r-755/3»

（2）航行路线所在直线方程为x-y+150=0,圆心A到直线的距离为4=察=75a,

，该直线与圆A相交的弦长为150,即轮船被风暴影响持续时间为三三=5〃.

15.如图所示，AB是。的直径，CD是：。的一条弦，且ABLCD,E为垂足.利用坐标法

证明E是CD的中点.

OE

【分析】如图所示，以。为坐标原点，直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设的

半径为十>0），|0同=，〃，写出圆的标准方程，由|。耳=机及垂直求出的坐标，再求得CD

中点坐标后可证结论成立.

【详解】如图所示，以。为坐标原点，直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.

设〈O的半径为r（r>0）,|OE|=m,则，。的方程为/+丁=心因为ABLCQ,故设C（见乙），

£）（加也）.

则有病+"=/，/+孑=产，即姐%是关于的方程疗+〃=/的两个不等实根，解方

程得b=±5//—加2,

'J2-2-J2-2}

则CO的中点坐标为-r----m-于-r----m--，即（〃?,0）.故E（m,0）是C7）的中点，即E是CO

I7

的中点.

16.已知过点A（0,l）且斜率为&的直线/与圆C：（x-2『+（y-3『=l交于M,N两点；

(1)求k的取值范围；

(2)若。〃ON=12,其中。为坐标原点，点。(。,2。-10)的轨迹与MN的中垂线交于点P,求

/XPAM的面积.

【答案】(1)上也＜%〈生电

33

(2)12-30或小也

22

【分析】(1)由题意可得，直线斜率存在，联立直线和圆的方程，利用直线和圆有两个交点

可知联立后所得方程△＞(),解方程即可.

(2)设“(不切)，Nd，%)，利用OMON=12可以表达出坐标的关系，根据韦达定理代入

解得直线斜率，及|AM|长度，利用三角形面积公式求解.

(1)解：由题意得：

y=kx+l

设直线/的斜率为&，由小2/*,，得1+公片-4(1+%》+7=0

(x-2)+(y-3)=1''

A=—3公+8々—3＞0

解得上且＜%＜丑也

33

(2)设例(不必)，N(七,卜2),.+X，中2=gr

2H?

则OMON=xyx2+yiy1=(1+公)玉工2+%(%+%,)+!=7++1=12

解得％=1.

故直线方程为y=x+l,故由圆的方程可知圆心坐标为C(2,3),故该直线过圆心.

MN的中垂线方程为y=-x+5.

则。的轨迹为y=2x-10,则尸(5,0)

故|PC|二J(5-2'+(0-3)2=3五,|AC|二J(2-O1+(3-1)2=2夜

若M在N的下方：|AW|=|AC|-1=2&-1,

若M在N的上方：|AM=|AC|+1=20+1

SA.=夫(2&-1卜3忘=1^^或=gx(2立+1)X3忘=

17.(2022.江苏.南京市中华中学高二开学考试)已知圆C：(x-3)2+产=1与直线相：3x-

y+6=0,动直线/过定点A(0,1).

(2)若直线/与圆C相交于P、Q两点，点M是PQ的中点，直线/与直线相相交于点N.探

索AM.AN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

3

【答案】(1)y=l或丁=+1；(2)是，-5.

4

【分析】(1)由题意可得直线的斜率存在，所以设直线/的方程为丁=如+1,然后利用点到

直线的距离公式可得g空4=1求出机的值，从而可求出切线方程，

Vl+m2

(2)设/的方程为y=^+l,M(xo,%),将直线方程与圆方程联立方程组消去y,解方程可

求出点M的坐标，再将两直线方程联立可求出点N的坐标，从而可表示出丽？.丽，化简可

得结论

【详解】解：(1)1°当直线/的斜率不存在时,

/的方程为x=0,与圆C不相切：

2。当直线/的斜率存在时，

设直线/的方程为丫=皿+1,即於-y+l=0,

|3/n+l|3

i,=],解得相=0或"?=->

V1+W4

3

.••直线/的方程为y=l或y=-9+l；

(2)由题意可知直线/的斜率存在,

设/的方程为y=fcr+l,M(x(),yo),

由消去，得,(1+&2)/-(6-2k)x+9=0,

3-k3Z+1

3-k3A+1)(3-k3k-k2

：.MT7F,TTFj,：.AM

5

x=----

y=fcr+lk-3

由

3%-y+6=06攵一3

y=-----

k-3

・・.AN=

15-545.2（3/

AMAN=

（］+公）任_3）+（［+公）亿_3）

A例•AN为定值.

18.（2022•浙江♦瑞安市第六中学高二开学考试）已知点尸（0,-2）关于直线y=一工的对称点为°,

以。为圆心的圆与直线>=-x相交于A,B两点，且HM=2j7.

⑴求圆。的方程；

（2）过坐标原点。任作一直线交圆。于C,。两点，求证：|OC|・|oq为定值.

【答案】（1）（*-2）2+9=9

（2）证明见解析

【分析】（1）先求出。点坐标，然后根据圆心到直线的距离公式及|明的值求出半件即可求

得圆的方程.

（2）设出直线方程，联立圆和直线方程利用韦达定理来求解.

（1）解：点尸（0,-2）关于直线y=-x的对称点。为（2,0）由0到直线的距离d=0,

所以r=^/7寿=3所以圆的方程为（x-2）2+y2=9.

（2）当直线CD斜率不存在时，|OC|=|O£>|=内二齐=石，所以|。。卜|。&=5.当直线CQ

斜率存在时，设为鼠则直线为丫=依，记C（x“y）,联立+"=9,得

y=kx

（1+A：2）X2_4X_5=0所以王+g:一^y,

1I/v

x}x2=-5|OC|-|OD|=qx；+y：Jx；+£=小（4网+5）（4/+5）=Jl6玉々+20（%+刍）+25

ivK

=.p^Z-^P+25=5.综上，|oq-|oq为定值5.

Vl+fc-1+Z~

fx=14-coscr,「、

19.已知曲线G的参数方程为£：.（其中aw0,2g），以坐标原点为极点，以X

［y=sma

轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为C2：0sin（g+F）=O.

（1）分别求曲线G，G的直角坐标方程;

(2)若曲线G，C?相交于A,B两点，。点为曲线C1上的一动点，求△A8O面积的最大值.

【答案】(l)(x_lj+y2=l,x+y=O

⑵M

2

【分析】(1)消去参数即可将C|化为直角坐标方程，将极坐标转化为直角坐标即可将C。化为

直角坐标方程.(2)由圆上的点到直线的距离最大即可求面积最大.

⑴将G化为直角坐标方程为(x-l)2+y2=i,即以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，将G化为

直角坐标方程为x+y=o；

(2)圆心(1,0)到直线x+y=O的距离〃=专=当，

则|48|=2jl_1=&.

QO点到AB的最大距离为：圆心到直线AB的距离与半径之和孝+1,

提升训练

一、多选题

1.已知&和乂)，Bg,%)是圆O：V+y2=l上两点，则下列结论正确的是()

A.若=则NA08=?

B.若点O到直线AB的距离为则|4同=乎

C.若=则|与+y-1|+尾+%-1|的最大值为2夜

D.若乙408=1，则|芭+乂一1|+后+丫2-1|的最大值为4

【答案】AD

【分析】对于选项A,B,根据垂径定理可判断，对于选项C,D,根据点到直线的距离公式

可求解判断.

【详解】对于A,若回=1,则可知点。到网的距离为弓，从而可知乙4。8=。，故A正

确；

对于B,若点O到直线A5的距离为则可知惇1=亭，从而得|45|=有，故B错误；

后花二1+与着臼的值可转化为单位圆上的AGMHW，%）两点到直线

对于C,D,

x+y-1=0的距离之和，乂403=90,所以三角形AOB是等腰直角三角形，设M是的

中点，则OM_LM,且|0M=4|O4|=q,则M在以。点为圆心，半径为孝的圆上，A.B

两点到直线x+N-1=。的距离之和为AB的中点M到直线x+y-i=o的距离的两倍.

1_V2

点。（0,0）到直线x+=0的星巨离为

所以点M到直线x+y-i=o的距离的最大值为"+变=应,

22

%+0-1|,旧+y2Tl

所以的最大值为2&.因此1%+M-1|+昆+、2-1|的最大值为4.从而可

7272

知C错误，D正确..

故选：AD.

2.三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线.已知圆O'的圆心在。48的欧拉线/上,

。为坐标原点，点8（4,1）与点4（1,4）在圆O'上，且满足则下列说法正确的是（）

A.圆O'的方程为x2+y2-4x-4y+3=0

B./的方程为x-y=0

C.圆O'上的点到/的最大距离为3

D.若点（X,y）在圆O'上，贝I"-y的取值范围是

【答案】BCD

【分析】分析可知的欧拉线/即为AB的中垂线，求出线段AB的中垂线方程，可判断B

选项；根据题意可设。（凡。），求出〃的值，可得出圆。'的方程，可判断A选项；求出圆O'上

的点到/的最大距离，可判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项.

【详解】对于B选项，由题意可知|。4|=|。叫=5/万，故的欧拉线/即为线段AB的中垂

线,

线段AB的中点为M佶,斗,直线AB的斜率为%=汜=T,

所以，线段A8的垂直平分线方程为y-|=x-|,U|Jy=x,B对；

对于A选项，因为圆。'的圆心在OA3的欧拉线/上，

因为CMLOB,|。4|=|研|明=30,所以[0刈=孝卜8|=3,

设圆心。'为则圆心的方程为(x-4+(y-a)2=9,

将4(1,4)代入圆O,的方程可得/_5“+4=0,解得。=1或a=4,

所以,圆。'的方程为(x-iy+(y-iy=9或(x-4y+(y-4)2=9,A错;

对于C选项，因为/过圆心。，所以圆O'上的点到/的最大距离为圆O'的半径3,C对；

对于D选项，因为点(x,y)在圆。'上，设2=》一八圆心在y=x上，半径为3,

贝IJ裳=1^^43n-3&4x-y43应，D对.

3.(2022•江苏镇江•高二开学考试)已知圆C的方程为(x+l?+y2=4,贝!!()

A.若过点(0,1)的直线被圆C截得的弦长为26，则该直线方程为y=i

B.圆C上的点到直线3x-4y-12=0的最大距离为5

C.在圆C上存在点。，使得。到点(-L1)的距离为4

D.圆C上的任一点M到两个定点0(0,0)、A(3,0)的距离之比为g

【答案】BD

【分析】根据勾股定理结合点到直线的距离公式求出直线的方程，可判断A选项：求出圆C上

的点到直线3x-4y-12=0的最大距离，可判断B选项；求出圆C上的点到点㈠⑴的距离的取

值范围，可判断C选项；求出点M的轨迹方程，可判断D选项.

【详解】圆C的圆心为C(—l,0),半径为r=2.

对于A选项，若过点(0,1)的直线的斜率不存在，则该直线的方程为x=0,

由勾股定理可知，圆心C到直线x=0的距离为@2-(石丫=1,

而圆心C到直线x=0的距离为1,合乎题意.

若所求直线的斜率存在，设直线的方程为y="+i,

则圆心C到直线y=履+1的距离为"=[\=]-=k\L=1,解得女=0,

J1+M

此时直线的方程为y=L

综上所述，满足条件的直线的方程为x=o或y=l,A错;

上3-12|

圆心C到直线3x-4y-12=0的距离为=3

对于B选项,行+㈠?

因此，圆C上的点到直线3x-4y-12=0的最大距离为3+2=5,B对;

对于C选项，记点（-1+1）2+12<4,即点N在圆C内,

当°、C、N三点不共线时，根据三角形三边关系可得||。1-|。7卜|，>叫<|。。+17|,即

1<|D7V|<3,

当C、N三点共线且当点N在线段0c上时，|3叫=|。［一］。叫=1,

当0、C、N三点共线且当点C在线段0V上时，|ZW|=|£）q+|CN|=3.

综上所述，14|OV|V3,C错；

对于D选项，设点M（x,y）,则|MA|=2|M0|,BP^-3y+y2=2^2+/,

整理可得（x+iy+V=l,即点M的轨迹为圆C,D对.

故选：BD.

二、填空题

4.若点尸为直线x-y+4=0上的一个动点，从点p引圆C:V+y2=2的两条切线尸”，尸N（M,

N为切点），则直线MN恒过定点E的坐标为.

【答案】卜第）

【分析】根据圆的切线方程的求解，求得MN的直线方程，再根据直线方程求其过的定点即可.

【详解】设P（x0,Xo+4）,〃a，x）,N（X2，），2）,过点M的切线方程为町+处=2,理由如下：

若过点M的切线斜率存在，则所求切线的斜率％=-_L=_A

k°My

故其切线方程为：y-y=-即X|X+xy=x；+y；,

又点M在圆Y+y2=2上，故x；+y；=2,则过点M的切线方程为*然+NJ=2：

若过点M的斜率不存在，此时M的坐标为(-血,0)或(0,0卜

对应切线方程为彳=-也或彳=&，也满足x/+xy=2,

综上所述，过点M的切线方程为：为x+%y=2；

同理所得：过点N的切线方程为叫+»2=2,

两切线均过点则玉田

P,+(x0+4)x=2,XOX2+5+4)%=2,

故过肠V的直线方程为/x+(/+4)y=2,

x=-

x+y=0,2

xO(x+y)+4y=2,

4y=2,1

y

2

则直线MN恒过定点E

5.已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的

半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度为米.

【答案】叵

2

【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得出半圆方程，设A(250),求出A点处半圆的高

度即可得.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，。是圆心，|。4|=2.5，

半圆方程为x2+V=i6(y^O)A(2.5,0),B在半圆上，且8A_Lx轴,

咽

则W=16-2.52=9.75,

%=~2~~

6.已知圆0：/+丁=3,/为过的圆的切线，A为/上任一点，过A作圆N：

(X+2)2+/=4的切线，则切线长的最小值是.

【答案】叵

3

【分析】先求得/的方程，再根据圆心到切线的距离，半径和切线长的勾股定理求最小值即可

【详解】由题，直线的斜率为正，故直线/的斜率为-乎，故，的方程为

l|-2+0-3|5

-1),即x+夜y-3=0.又N到/的距离d=J.二=耳，故切线长的最小

值是

7.设nzwR,圆M:x2+y2-2x-6y=(),若动直线4：x+”?y-2-机=0与圆M交于点A、C,

动直线/2：如-广2%+1=0与圆”交于点8、D,则|AC|+忸。的最大值是.

【答案】2而

【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其

中一条直线的距离为d,根据几何关系表示出|AC|+忸力，利用基本不等式即可求出其最大值.

【详解】x2+/-2x-6y=O=>(x-l)2+(y-3)2=IO,

圆心M(l,3),半径「=「而，

x+〃zy-2-帆=O=x-2+〃?(y-l)=O=4过定点£(2,1),

皿一、一2/77+1=0=/«(万-2)-'+1=0=>/2过定点£(2.1)，

且

如图，设AC和8。中点分别为F、G,则四边形EFMG为矩形,

设I"尸|=d,0<d<|A/E|=V5,则|MG|==片/,

则|AC|+忸0=2V10-J2+2^10-(5-J3)=2Mo-/+15+/)

,,2^2(10-J2+5+J2)=2同，当且仅当10-/=5+解即d=当时取等号.

三、解答题

8.在平面直角坐标系xQy中.已知圆C经过A(0,2),0(0,0),0)(00)三点，〃是线

段AO上的动点，《4是过点8(1,0)且互相垂直的两条直线，其中乙交y轴于点E,&交圆C于

P,。两点.

（1）若工=鼻2=6,求直线4的方程；

（2）若r是使AA/428M恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值.

【答案】（l）4x-3y-l=0

【分析】（1）设直线4的方程丫=%（了-1）,即—厂％=0,根据圆心到直线的距离建立方程

求解即可；

22

（2）设”（x,y）,由点M在线段AD上，得：+1=1,依题意，线段AD与圆X-：+y+^>^-

至多有一个公共点，解得•心（舍）或£216+1°4,由此求得f=4,得出圆C的方程.分

11II

直线4的斜率不存在和直线4的斜率存在时，分别求得△EPQ的面积，运用关于斜率%的函数

求最值，比较可得最小值.

⑴解：由题意，圆心坐标为（3,1）,半径为则

设直线勾的方程y=Z（kl）,即去一y一%=0,

圆心到直线的距离d=塔』=710^9=1,

y/k2+\

4

.•M=0（舍）或

二直线4的方程为4L3厂1=0；

（2）解：设M（x,y）,由点“在线段AD上，得：+]=1,

即2x+ty_2r=0,

由3428“，得+（一）2W2（（x-l）2+y2,即x-三+>'+|>y,

依题意，线段A。与圆+改至多有一个公共点，

339

故

在T7F

解得/口述（舍）或此3叵，

1111

f是使4WW28M恒成立的最小正整数，.r=4,

圆C的方程为x—2?+y—/=5.

①当直线4：X=1时，直线4的方程为y=o,此时S.0=2；

②当直线4的斜率存在时，设4的方程为'二可广1)，ZxO,

则4的方程为y=-：(Ll),点E(o1),=

,\k+\\

又圆心到6的距离为力4^，

VI+*2

I115J15

)----H2----£±----,

Z442

・s-叵

…uEPQmin—?'

9.已知圆C:(x-2)-+V=9.

⑴直线6过点。(-■),且与圆C相切，求直线《的方程；

(2)设直线/2：x+6y—l=O与圆C相交于M,N两点,点P为圆C上的一动点，求PMN的面

积S的最大值.

【答案】(1)尤=-1或4x—3y+7=0

⑵返

4

【分析】(1)根据直线4的斜率是否存在，分别设出直线方程，再根据圆心到直线的距离等

于半径，即可解出；

(2)根据弦长公式求出再根据儿何性质可知，当CPLA8时，点P到直线4距离的最

大值为半径加上圆心C到直线AB的距离，即可解出.

(1)由题意得C(2,0),圆C的半径为3.

当直线4的斜率存在时，设直线《的方程为yT=A(x+1),即入一y+k+l=O,

由直线4与圆C相切，得%0+上+1=3,解得％=:,所以直线人的方程为4x—3y+7=0.

yjk2+l3

当直线4的斜率不存在时，直线4的方程为x=T,显然与圆C相切.

综上，直线/］的方程为X=-1或4无一3y+7=0.

(2)由题意得圆心C到直线4的距离〃等=；'

设圆C的半径为r,所以r=3,所以MM=2X=底，

7

点户到直线4距离的最大值为一+d=］，

则，的面积的最大值5皿=；x|MN|x(r+")=gx屈=A詈.

10.已知圆C:%2+y2+2x-4y+3=0.

⑴若圆c的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；

(2)从圆C外一点P(%,yJ向该圆引一条切线，切点为〃，。为坐标原点，且有|PM|=|PO|,

求使得PM的长度取得最小值的点P的坐标.

【答案】⑴x+y+l=0或x+y-3=0

33

10,5

【分析】(1)根据题意，设所求切线方程为x+y=a(a/0),利用圆心到直线的距离等于圆

的半径，可得出关于实数〃的等式，解出〃的值，即可得出所求切线的方程；

(2)利用两点间的距离公式结合勾股定理可知点尸在直线2x-4y+3=0上，再由可

知当OP与直线2x-4y+3=0垂直时，|PM|取最小