当数学遇到计算机

策划/本刊编辑部文/何锐叮当猫绘/春光

20必25智・皎学1猊indd42019/5/61837:32

‘计算机”这个名称就能看出来，它与

数学有着不解的渊源。

计算机的发明者约翰诺依曼是著名

的数学家，它的发明最初也是为了满足计算的

需要。不过呢，计算机诞生之后，不断地演进

和发展，被人们开发出了更多、更广的用途。

计算机改变了整个世界，让人类进入信息

社会。

本期特别策划给大家讲述了一些计算机背后的

奥秘，我们平常使用计算机时可能从未考虑过这些

数学问题。

那么，古老的数学与现代的计算机到底碰撞出

了什么样的火花呢？就让我们一起去探究吧。

智”学l04ndd52019/5/61837:55

第1讲二进制和十进制

计算机中的数据存储模式和数学密切相关，

采用的是二进制。小到我们在记事本中输入的一

个字母，大到整个操作系统，虽然它们的呈现形

我们每天打开电

式各异，但是其本质都是一串由0和1组成的二进

脑、手机，就能看到五

制码。

彩缤纷的网页、炫酷的

。和1这两个数字，就如同人身体中的细胞一

视频，还有各种各样的样，在计算中组成了一个庞大的机体。

功能性软件、游戏、聊

天工具……你有没有想

过，这些花花绿绿的东

西在计算机中是以什么

样的形式存在的？它们

又是怎样在计算机中展

示出来的呢？

十进制

同学们现在在数学课上接触

到的数字，都是十进制。

所谓十进制数字，就是用十

进制计数法表示的数字，0、1、

2、3、4、5、6、7、8、9这10个

数字分别表示不同的含义，每个

数中不同的数位表示的含义也不

比如一个十进制的五位数

12345,含义如图1所示。

2019,s世总教学IS.indd6■e201WS/6

万位，表示千位，表示百位，表前什位，表示］（个位，栽示'

该数中包含该数中包含该数中包含该数中包含该数中包含1

10000的个数1000的个数100的个数10的个数〔的个数

图1

因此十进制数字12345的含义就是：该数中包含1个10000,2个1000,3个100,

4个10和5个1,即：

12345=1x104+2x103+3x102+4x10,+5x10°

十进制计数法的含义大家从小就很熟悉，很容易理解。

二进制

有了十进制的基础，大家再来理解二进制计数法就不难了。

在二进制计数法中，所有的数都用0和1这两个数字来表示。换句话说，。和1在不同

数位上表示的含义是不同的。例如一个二进制数11001,含义如图2。

表示7的个数表示T的个数表示2s的个数表示21的个数表示2°的个数

图2

二进制数11001的含义就是：该数中包含1个2、1个23,0个22,0个2,和1个2°。因

432

此该数等于：11001（2）=1x2+1x2+0x2+0x2'+lx2°0

@在11001这个数字的右下方有个括号，里面写个小小的“2”，就代表这个数字

是二进制。下标如果是（6）,代表六进制，以此类推。

在计算机中，一个0和1的二进制位简称位，又称比

特；每8位称为一个字节，都是计算机里常用的单位。让科学记数法是一种记数的方

聂北个数表示帆与篇鬻

十进制数和二进制数15大的区别是：十进制数“逢

十进一”，二进制数则是"逢二进一-o有人说，古代鬻乘的形式（1wa<10,盛

荔:暮指的某个数和自己:

的数学之所以选择使用十进制计数法，是因为人长有10

个手指头，逢十进一来计数比较方便。形式，叫面的舄。可写成°的

201sVM*I-«9.indd72019/3/6IBJ7:40

i第2讲从二进制到十进制!

那么，当我们在计算机中看到一串二进制数1001010001100001101000时，怎么才能

把它变短一些？或者说，怎么把它改写成十进制呢？

八进制和十六进制

二进制在计算机内部的使用是畅通无阻的，但人机交流时，二进制就表现出一个致命

的弱点——数字的书写特别冗长，人们一不小心就会看漏、看错。

例如，十进位制的100000写成二进制会变成11000011010100000。为了解决这个问

题，人们又采用了两种辅助的进位缶!I—八进制和十六进制。

二进制的三个数位正好记为八进制的一个数位，这样，数字长度就变成二进制的三

分之一，与十进位制数字的长度相差不多了。例如，十进位制的100000写成八进制就是

303240(8)o

和前面讲过的规则相同，八进制只使用从。到7这8个数字，逢八进一。

543211

比如：303240(8)=3X8+0X8+3X8+2X8+4X8+4X8

十六进制的一个数位可以代表二进制的四个数位，这样，一个字节正好是十六进制的

两个数位。十六进制要使用16个不同的符号，而数字只有0到9十个，所以又引入了6个字

母A、B、C、D、E、F来代表十进位制中的10、11、12、13、14、15。这样，十进位制

的100000写成十六进制就是186Ao(⑹o

八进制和十六进制避免了数字冗长带来的不便，所以这两种计数法在人机交流中很常

用。

‘。/〃0二进制和十进制的换算

,0100二进制、八进制、十进制和十六

进制之间的换算并没有大家想象中那么

难，我们一起来试试。

首先，我们来看一个十进制数字

371541：

371541=3x105+7x104+1xW3

+5x102+4x10l+1X10°

J

2019-76WWItTl-69.LnddB2019/5后1837:45

场别忠

数字中的乘数1。5、10\103被称为方法是这样：将十进制的数字除以

权值，最低位权值为1。因为十进制中逢2,对得到的商再除以2,反复进行这个过

十进一，所以每提高一位，权值就乘10。程，直到商为0。这时第每次除以2所得到

要知道一个数有多大，只要将各位数字和的余数倒着排列起来，就是该数对应的二

相应的权值的乘积都加起来就好了。进制形式。

推广到二进制也一样，从最低位开将十进制数90(⑶转化为二进

始，权值为2°,21,22,23……这样就可制。

以求出一串二进制0、1所对应的十进制分析我们对90不断除2,有:

数。2嚣O

21第一个余数

OB求二进制数MOIio”的十进制第二个余数

2窿O

第三个余数

21倒着抄

值。第四个余数

21这些数

［分析2O第五个余数

2第六个余数

1x24+1x23+1x2+1=2191

(l0)0fe:F:第七个余数

反过来，当你需要把一个十进制数字

输入计算机，怎么找到它对应的二进制形则十进制数90的二进制形式为

式呢9可以采用“除余法”o1011010(2)。

J

八进制和十进制的换算

八进制和十六进制转为十进制的换算原理，和二进制类似，同样可以采用除余法。

O1将十进制数725,192转换为八进制数。

分析利用除余法，有:

余8

8I725

余8

抄

抄

倒着

倒着

8I90余

些

些

数

数

这

这8

8I11余

8LJ_

0

所以，转换结果是：725(10)=1325(8),(192)10=(300)8O

类似地，一个十进制数转换成十六进制数,可按除16取余的方法进行。

将十进制数725转换为十六进制数。

分析)利用除余法，有:

数

余5

着抄

倒_史

数

16I725余还出现过三进制计算

这

些数

数

16I45余13

16I212方进法数字系统为基

0二进制就是“逢三进

十六进制中，13是用字母D表示，所以，转换结果是:一，退一还三”的进扇・

725»0)=2D5(16)。

e

2019，.8智融教学1glndd92019/5/618)7:48

T

常用的门电路

电路和计算

计算机是机器，它没有意识。二逻辑门电路逻辑符号输入和输出值

进制是对人而言的，如果我们拆开电与门（AND门）ABAB

它具有两个

脑来看，只能看到许许多多的设备和输入端，一个输出A000

芯片，井不能看到0和1这些数字。如始，其逻辑关系是口010

全部的输入都为1

果我们拿着设备去检查电脑芯片，则时，输出才为1,否

则为0。■■■

会检测到有高高低低的电流从芯片里

流过——正是这些电流，呈现出。和

1或门（OR门）ABA+B

这样的数字。具有两个输入

端，一个输出端，000

A

在大多数计算机芯片中，对0和1其逐辑关系是全部■■■

的输入都为。时，B

是这样定义的：输出才为0,否则为■■■

1o■■■

高电平有电流1

低电平无电流0非门（NOTH）

具有一个输入

A■

就，一个输出端，

计算机的运算过程，是让电流输

其逻抨关系是输入10

为0时，输出为1,

入的状态变成一个新的状态，从而给01

输入为1时，输出为

人一种计算机会"计算.的假象。

芯片中电流的改变是通过电路来

实现的。一些电子元器，如三极管、与非门（NAND门）ABAB

“与”和

电容、电阻等组成开关，这些开关“非”的复合运算001

称为“马非”运

必须在满足某些规定的条件时才能接算，与非门相当于■■■

通，不满足条件就不能接通，就好像在与门的基础上加■■■

了一个非门。

满足一定条件时才会自动打开的门一■

样，所以数字电路中把这种特殊的电

异或门（XOR门）AB磁

子开关称为门电路。有两个输入

端、一个榆出端。A000

门电路通常有多个输入端，但是若两个输入的电平A+B

B■■■

不同，则输出1;若

仅仅会产生一个输出。两个输入的电平相■■■

同，则输出为0。■■■

20!9*7-sV*!tt^]49Jndd102019/5/6IBJ7:5l

集成电路和加法器

当多个门电路组合在一起的时候，就成为集成电路。我们平时说的芯片，就是集成电路的

简称，手机和电脑使用的CPU（中央处理器）就是一块大的集成电路。根据芯片里门电路的数

量，集成电路可以分为以下几类：

小规模集成电路，集成的门电路的数量不超过10个；

中规模集成电路：集成的门电路的数量通常在10-100个；

大规模集成电路：集成的门电路的数量通常在100~1000个；

超大规模集成电路：集成的门电路的数量通常在1000个以上。

我们以加法器为例，来看一看它是如何实现运算的。

下图是一个2位的半加法器，由一个异或门和一个与门组成，有两个输入端A和B,一个输

出端S和一个进位端C。这个加法器可以实现二进制的一位数加法运算。

AO»AA腕入B冶出进位代表的二进制的加法

BO低电平（0）低电平（0）低电平（0）高电平（010+0=0

高电平（1）低电平（0）高电平（1）低电平（0）1+0=1

高电平（0）低电平（1）高电平（1）低电平（0）0+1=1

高电平（1）高电平（1）低电平（0）高电平（1）1+1=10

这个加法器只能计算不超过2位的二进制数据。如果想要计算更大的数据，就要把多个2

位加法器组合起来，变成8位、16位、32位……或者更大规模的加法器。下图是一个8位的

加法器，由8个2位加法器组成，可计算八位二进制数相加。

回回回回回回回回

・两位…两位

加法蜴加法需加法需’加法鹘加法播加法㈱加法㈱

___I11I||I11I

...土…土……土…•土一…吐…・士…•士•…土...•

201978智总教学1楞Indd1!2019/5/61837:57

动动脑---

进制数的应用

桌子上一共有3类药，每类药的

每一粒分别重1克、2克、3克。把药

放到若干个瓶子中，现在能确定每

个瓶子中只有其中一类药，且每瓶

中的药片足够多。你能只称一次就

判断出各个瓶子中分别装的是哪类

药吗？如果有4类药呢＜?5类药呢？

百万富

哈里是一个百万富翁，他有很多很多

钱，不过他生活得很不快乐。于是，他决定送一笔

峭一些贫穷但快乐的朋友。

他准备拿出100万美元分给他们。但是他又是

一个有点强迫症和迷信的人，对他来讲送钱的金额

有个不能被破坏的规矩，不是1美元或者7美元相关

的不能送。比如数字7,49,343,2401,

尽这些数字都是7的倍数。另外一个规矩是他

吩绝对不会给超过6个人同样多的钱。现在，

他应该怎样来分这100万美

1元？要求你在满足以上条件的

情况下把钱分给更多的人，最

多为多少人？

201978智*效狗心9.indd122019国618:38:10

.小魔术

於3

将5张有数字的卡片交给你的小伙

第1张卡片A

第2张卡片B伴，让小伙伴心里牢记卡

3-

9片上的某一个数，比如

111□314211

17□m,然后请他把含有数字

25191315232622

TH的几张卡片退还给你，

237312721

627183110你将几张卡片重柱在一

29□15□5

30719起，再把没有数字的第

张卡片放在最上面（注

第张卡片6

3C第4张卡片D

意，卡片上的小方块是小

1213□5

11□9□12孔），你向小孔一瞧，就

23304立刻能猜出小伙伴心中想

28142913□1528

203121的数字。你知道其中的契

15222526271024

7□29□秘吗？

631814□30

第5张卡片E

19□21□31

2718□2520

2430172926

22□231628

2019/5/61138:19

同学们是不是经常缠着爸爸妈妈想玩他们的手

机呀？那你有没有发现，手机上网速度越来越快？

移动网络从3G到4G,马上5G也要来了。家里的网

络从宽带变成了光纤，同样越来越快了。各种信

息，包括你们玩的游戏，就在这些电缆、电线或是

无线网络中流通，到达地球的各个地方。

如果我说，所有这一切都依托于数学规则，你

相信吗？当你看完了这期特别策划之后，一定会恍=

然大悟一这个你本来以为很神奇的虚拟世界，其

实一点都不复杂。

%/niiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiin^

i第1讲入网依据・IP地址

网络长什么样子？当你开始了解网络时，首先就要明白这一点：网络犹如各式大大

小小的“蜘蛛网”，交织在你我的四周。

这个网络四通八达，你的手机、电脑都位于它的某一点上，通过网络上一些“有

形”或“无形”的线与全世界的人或机构发生关联。这些有形无形的线，可能埋在地底

下，放在深海中，或是通过卫星连接起来。

不够用的IPv4地址

每一个设备想要进入网络，首先都要有一个IP地址。IP

地址相当于手机和电脑的入网证明，有它才能上网，没有就

不行，因此非常重要。

IP地址是由服务器自动分配的，当设备通过网络信号连

接到运营商（比如联通、移动、电信）的服务器，就会随机

获得一个IP。

20I978智♦教学［由.InddI42019/5/61838:31

毛那么因特网上到底有多少个IP呢？

我们先来看看P的表示法。IP地址是用32位二进制

数值表示的，分成4个字节，所以又被称为IPv4地址。

IPv4地址的表示法

十进制192.168.I1I.I34

二进制11000000101010000000000100100010

8位8位8位8位

32位（4x8）

理论上说，IPv4地址的个数有：

2x2x2x...x2x2=256x256x256x256=4294967296

7------

32个2相乘

近43亿个IPv4地址，确实很多！但是具体使用中没有这么多，如127.0.0.1,

255.255.255.255等IPv4地址无法使用，能够同时使用的仅40亿个左右。随着因特网的

迅速扩张，这些IPv4早在2011年就已经分配完毕了。

这40亿个IPv4地址并不是平均分给全世界，北美地区占用了年，约30亿个。而人

口最多的亚洲只有不到4亿个，仅尢。这其中，中国的IPv4才2.5亿个1

可是，现在需要上网的人越来越多，比如同学们也开始加入网民行列。我国现在可

以上网的设备（如手机、电脑等）早已远远超出了2.5亿，那么人们怎么解决上网问题

呢？

现在，人们上网依靠的是一个很神奇的技术——NAT（英文全称是NelworkAddress

Translation）,中文含义是“网络地址转换”或“网络地址翻译”。

NAT技术就是在同一个IPv4地址内，再用端口号区分每台设备。可以使用的端口范

围为1024~65535,理论上，一个公网IPv4可以让65000台设备上网。

❾假设某个小区有2000台设备（手机、电脑）同时上网，但只有1个IPv4,那应

该怎么让它们同时上网呢？

分析让它们使用同一个IPv4,再给每个设备分配一个端口。

当然，这只是理论上，因为路由器等设备的限制，一个公网IPv4通常只能供几千台设

备上网。这样TR,通过NAT技术，IPv4支撑的设备也能从原有的的班展到几百万亿。

201978智•教学1elndd152019/5/61838:40

让每一颗沙子都上网的IPv6地址

即便有了NAT技术，IPv4地址依然局限着网络的发展。现在同学

们家里的智能家居设备越来越多，如冰箱、微波炉，艮至电灯泡、窗

帘等都能自动控制。也就是说，它们也需要上网，需要用到IP地址。

IPv4数量已经很紧张了，所以聪明的人们又发明了IPv6技术。有

一句流传很广的话——"IPv6可以让每一粒沙子都上网”，真的

哪倒吗？

IPv4是用32位的二进制数值表示，IPv6则是用128位

的二进制数值表示，其基本格式是：

x:x:x:x:x:x:x:x

其中X是一个4位十六进制整数，每个地址包括8个这

样的整数，如2001:1410:130F：A0B2:21DA:09C0:

876A:130B就是一个典型的IPv6地址。

IPv6地址的表示法

16位16位16位16位

/----------------------------N/----------N~/--------A--------------X/----------2_

00100001000010011000011100010011

11011010110000000110101000001011

21D^

十六进制2001:1410:130F:A0B2

'10100000

二进制001000000001010000010011

000000010001000000001111」10110010J

v\________Z\_________Z

~、—'V

16位16位16位16位

128位(16x8)

显然，IPv6中IP地址的长度为128,即IPv6最大地址个数为:

2x2x2x««x2x2x2=2128sa3.4x1这是一个极其

诲遍相乘巨大的数字！

地球的半径是6371千米，假设整个地球全都由沙子组成，是一个“沙球”，每粒

沙子的大小是1立方亳米。根据球的体积公式旷=271，，可以算出这颗“沙球”共有

1.098x1030粒沙子。

3.4X1O38>1.O98X1O30,所以“IPv6可以让每一粒沙子都上网”酶不假！

2019—7.8智尊教学149g£1(1162019/5/6IBM:47

i第2讲流量和网速j

大家有没有注意到，每到月底的时候，爸爸■妈妈可能就会抱怨：“我的流量用完

了！”这是什么意思呢？

所谓的流量，是指手机、电脑上网产生的流量数据。数据流量有大有小，还有着

不同的单位，常见的单位有b（比特）、B（字节）、KB（千字节）、MB（兆字节）、

GB（吉字节）等，类似描述长度的毫米、厘米、米。

上网的速度

和生活中感受到的速度一样，网速是指单位时间内，电脑或手机用于上网时，上传和下

载数据的流量。所以，网速的计算公式是：

网速=上网花掉的流量+时间

有计算公式就有