2023九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第2课时 实际问题与一元二次方程（2）教案（新版）新人教版

2023九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第2课时实际问题与一元二次方程（2）教案（新版）新人教版主备人备课成员教学内容分析本节课的主要教学内容为《2023九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第2课时实际问题与一元二次方程（2）》，侧重于通过实际问题引入一元二次方程，使学生掌握运用一元二次方程解决实际问题的方法。教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在之前的学习中掌握了方程的基本概念和解法，了解了一元二次方程的标准形式及求解方法，如配方法、公式法等。本节课将在此基础上，通过生活中的实际问题，让学生感受一元二次方程在现实中的应用，如面积计算、速度问题等，进一步巩固和提高学生对一元二次方程的理解和应用能力。核心素养目标本节课的核心素养目标在于培养学生以下能力：一是逻辑推理与分析能力，通过解决实际问题，让学生能够抽象出数学模型，即一元二次方程，并运用已学知识进行推理和分析，寻求解决方案；二是数学建模与运用能力，引导学生将现实问题转化为数学问题，建立一元二次方程模型，培养其在实际情境中运用数学知识的能力；三是问题解决与创新意识，鼓励学生在解决实际问题的过程中，积极探索解题思路，灵活运用一元二次方程知识，形成创新解决问题的思维方式。通过本节课的学习，使学生能够更好地将数学知识与实际生活相结合，提高数学学科核心素养。教学难点与重点1.教学重点

（1）理解和掌握一元二次方程在解决实际问题中的应用，包括如何从实际问题中抽象出一元二次方程模型。

举例：如在实际问题中，通过给定的面积和边长关系，构建出符合条件的一元二次方程，如“一个正方形的面积比另一个矩形面积大40平方厘米，已知正方形一边长为x厘米，求矩形的长和宽”。

（2）熟练运用一元二次方程的解法，包括配方法、公式法等，解决实际问题中的未知数求解。

举例：在解决实际问题时，能够正确应用配方法或公式法求解出一元二次方程的根，如“一个物体从高处落下，其高度h（米）与时间t（秒）之间的关系为h=5t^2+10t+20，求物体落地的时间”。

（3）掌握一元二次方程的图像特点及其在实际问题中的应用。

举例：理解一元二次方程图像的开口方向、顶点坐标等，如“一个抛物线y=ax^2+bx+c表示物体抛掷的运动轨迹，分析a、b、c的值对轨迹的影响”。

2.教学难点

（1）难点：将实际问题抽象为一元二次方程模型，尤其是涉及多步骤、复合条件的实际问题。

解释：学生在面对复杂实际问题时的难点在于如何抓住关键信息，筛选出与一元二次方程相关的条件，并正确构建方程模型。

（2）难点：在实际问题中灵活运用一元二次方程的解法，尤其是对根的判别式、根与系数的关系等理解不够深入。

解释：学生在解决实际问题时，可能对一元二次方程解法的运用不够熟练，例如在求解过程中忽视判别式的正负，或者在求解根与系数关系时出现错误。

（3）难点：理解一元二次方程图像在实际问题中的意义，如何通过图像分析问题，以及如何利用图像解决问题。

解释：学生对一元二次方程图像的物理意义理解不够，难以将图像与实际问题中的情境联系起来，从而在图像分析上存在困难。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与策略1.选择适合教学目标和学习者特点的教学方法

（1）讲授法：通过教师对一元二次方程在实际问题中的应用进行讲解，使学生理解并掌握一元二次方程的建模过程和解题方法。

（2）讨论法：组织学生针对实际问题进行小组讨论，共同探讨一元二次方程的构建和解法，提高学生的合作能力和解决问题的能力。

（3）案例研究：挑选具有代表性的实际问题案例，引导学生通过分析案例，抽象出一元二次方程模型，并解决实际问题。

（4）项目导向学习：设计具有挑战性的项目任务，让学生自主探究、分工合作，运用一元二次方程知识解决项目中的问题。

2.设计具体的教学活动

（1）角色扮演：让学生扮演实际问题中的角色，如设计师、工程师等，通过解决角色面临的问题，使学生更深入地理解一元二次方程的应用。

（2）实验：设计简单的数学实验，如测量物体抛掷的高度，让学生在实际操作中体会一元二次方程与实际问题的联系。

（3）游戏：设计一元二次方程解法相关的数学游戏，如“方程猜猜看”，使学生在轻松愉快的氛围中巩固所学知识。

（4）竞赛：组织一元二次方程解题竞赛，鼓励学生积极参与，提高解题速度和准确率。

3.确定教学媒体和资源的使用

（1）PPT：制作课件，展示一元二次方程在实际问题中的应用、解法步骤和图像特点，方便学生直观地理解。

（2）视频：播放与一元二次方程相关的实际案例分析视频，帮助学生更好地将理论知识与实际情境联系起来。

（3）在线工具：利用数学建模软件、在线计算器等工具，辅助学生解决实际问题，提高解题效率。

（4）教材和辅助资料：引导学生充分利用教材、教辅等纸质资源，巩固一元二次方程相关知识。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：激发学生兴趣，引导学生关注一元二次方程在实际问题中的应用。

过程：教师通过展示一个与学生生活密切相关的实际问题案例，如“一个篮球从一定高度自由落下，其高度与时间的关系如何表示？”引出本节课的主题，让学生思考如何运用一元二次方程来描述这个问题。

2.知识讲解（10分钟）

目标：使学生理解一元二次方程在解决实际问题中的建模过程和解法。

过程：教师详细讲解一元二次方程在实际问题中的建模方法，通过具体的例子展示如何从问题中抽象出一元二次方程，并运用配方法、公式法等解法求解未知数。

3.案例分析与练习（20分钟）

目标：巩固学生对一元二次方程实际应用的掌握，提高解题能力。

过程：教师提供几个实际问题案例，让学生独立分析并构建一元二次方程模型，然后运用所学的解法求解。在此过程中，教师巡回指导，解答学生疑问。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作意识和解决问题的能力。

过程：学生分成小组，针对案例分析和练习中的问题进行讨论，共同探讨解题思路和策略，总结一元二次方程在实际问题中的应用方法。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：提高学生的表达能力和自我反思能力。

过程：每组选派一名代表展示本组的讨论成果和解题过程，其他学生认真听讲并进行点评。教师对每组的表现进行评价，指出优点和不足，并进行总结。

6.课堂小结（5分钟）

目标：巩固本节课所学知识，提高学生的总结能力。

过程：教师引导学生回顾本节课所学的一元二次方程在实际问题中的应用、建模方法、解法以及小组讨论的收获，对重点知识进行梳理和强调，帮助学生巩固记忆。同时，鼓励学生在课后继续探索一元二次方程在实际生活中的应用。知识点梳理1.一元二次方程的定义与标准形式

一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0（a≠0）的方程，其中a、b、c为常数，x为未知数。掌握一元二次方程的标准形式及其相关概念，如二次项、一次项、常数项等。

2.一元二次方程的解法

（1）配方法：通过配方将一元二次方程转化为完全平方形式，从而求解未知数。

（2）公式法：利用一元二次方程的求根公式x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a)求解未知数。

（3）图像法：通过分析一元二次方程的图像，了解方程的根、顶点、开口方向等性质。

3.一元二次方程在实际问题中的应用

（1）面积问题：如正方形、矩形、三角形等平面图形的面积计算。

（2）速度问题：如物体运动中的速度、加速度与时间、位移之间的关系。

（3）其他实际问题：如电话费、购物折扣等生活中的问题。

4.实际问题与一元二次方程的建模

（1）从实际问题中抽象出一元二次方程模型。

（2）分析实际问题中的已知条件和未知数，正确构建一元二次方程。

5.一元二次方程的图像特点

（1）开口方向：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

（2）顶点坐标：(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a))。

（3）对称性：一元二次方程图像关于直线x=-b/2a对称。

（4）与x轴的交点：一元二次方程的根即为图像与x轴的交点。

6.一元二次方程的根的判别式

（1）判别式Δ=b^2-4ac。

（2）Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

（3）Δ=0时，方程有两个相等的实数根。

（4）Δ<0时，方程无实数根。

7.一元二次方程根与系数的关系

（1）根的和：x1+x2=-b/a。

（2）根的积：x1*x2=c/a。板书设计①重点知识点

-一元二次方程标准形式：ax^2+bx+c=0

-解法：配方法、公式法、图像法

-实际问题建模：面积问题、速度问题

-图像特点：开口方向、顶点坐标、对称性、与x轴交点

-判别式：Δ=b^2-4ac

-根与系数关系：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a

②关键词

-抽象、建模、解法、图像、判别式、根、系数

③重点句

-从实际问题中抽象出一元二次方程模型。

-利用配方法、公式法求解一元二次方程。

-分析一元二次方程图像，掌握其性质。

-根据判别式判断方程的根的情况。

-利用根与系数的关系解决实际问题。

板书设计：

```

一元二次方程

标准form:ax^2+bx+c=0

解法Methods

-配方法-图像法

-公式法-实际问题建模

实际问题Application

-面积-速度

-Δ判别式-根与系数关系

图像特点Graph

-开口方向-顶点坐标

-对称性-x轴交点

根Relations

-x1+x2=-b/a

-x1*x2=c/a

```

板书设计采用图表形式，将知识点、关键词和重点句清晰分类，便于学生理解和记忆。同时，通过简洁明了的布局和有趣的图形，激发学生的学习兴趣和主动性。课堂1.课堂评价

（1）提问：在课堂教学中，教师通过设计不同难度的问题，对学生进行逐一提问，了解学生对一元二次方程实际应用、建模、解法等知识点的掌握情况。针对学生的回答，教师应及时给予评价和指导，帮助学生纠正错误，巩固知识点。

（2）观察：教师应关注学生在课堂上的学习态度、参与程度和合作交流情况。通过观察，了解学生是否能够积极参与课堂讨论，与同学进行有效互动，以及在学习过程中是否遇到困难。

（3）测试：在课堂结束前，教师可设计一些一元二次方程的实际问题测试题，对学生进行现场测试，以评估学生对本节课知识的掌握程度。测试结果可作为课后作业和复习的参考。

2.作业评价

（1）批改：教师应认真批改学生的作业，关注学生的