专题14有理数的乘除（举一反三）（沪科版）

专题1.4有理数的乘除【十大题型】【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1根据有理数的乘法法则判断不等关系】 1【题型2巧用分配律简化运算】 3【题型3有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】 6【题型4关于有理数乘法的新定义问题】 8【题型5利用有理数的乘法解决实际问题】 12【题型6巧用分配律进行有理数的四则混合运算】 16【题型7利用有理数的四则混合运算解决实际问题】 18【题型8巧用倒数解有关有理数除法的问题】 22【题型9运用有理数的除法化简分数】 24【题型10与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】 26【知识点1有理数乘法的法则】①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同零相乘，都得0．

③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数；若a≠0，则a的倒数是1a【题型1根据有理数的乘法法则判断不等关系】【例1】（2023春·广东广州·七年级统考期末）如果a+b=a-b>0，A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b【答案】B【分析】根据有理数加法法则和绝对值的性质得到a>b，根据有理数乘法法则得到a与b异号，即可得出a是正数，【详解】解：∵a+b=∴a与b异号，且a>∴a>0，b故选：B．【点睛】此题考查了有理数乘法法则，加法法则绝对值的性质，能熟记有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键．【变式11】（2023春·重庆江津·七年级校考阶段练习）已知a>b>c，且A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定【答案】B【分析】根据题意，判断出a、c的正负，即可求解．【详解】解：∵a>b>∴a>0，c<0，即a与则ac的值一定是负数．故选：B．【点睛】此题考查了有理数乘法以及加法运算，解题的关键是正确判断出a、c的正负．【变式12】（2023春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）若a+b<0，且ab>0，那么a、b应满足的条件是（

）A．a>0、b>0 B．a<0，b<0C．a、b同号 D．a、b异号，且负数的绝对值较大【答案】B【分析】直接利用有理数的乘法运算法则结合加法运算法则分析得出答案．【详解】解：∵a+b∴a<0，故选：B．【点睛】此题主要考查了有理数的乘法运算以及加法运算，正确掌握运算法则是解题关键．【变式13】（2023春·河北邢台·七年级校考阶段练习）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，A．ab>0 B．C．a-1b【答案】B【分析】先根据数轴确定a，【详解】解：由数轴可得：-1<∴ab<0，a+b>0故选：B．【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是根据数轴确定a，【题型2巧用分配律简化运算】【例2】（2023春·河南焦作·七年级焦作市实验中学校考期中）用简便方法计算：(1)4×(2)-(3)-(4)99【答案】(1)2(2)-(3)0(4)-【分析】（1）利用乘法的交换律求解即可；（2）利用乘法分配律求解即可；（3）利用乘法分配律的逆运算求解即可；（4）把原式变形为100-1【详解】（1）解：原式==-1×=2；（2）解：原式=-=-28+18-2=-12；（3）解：原式==0×=0；（4）解：原式==100×=-3600+=-35991【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数乘法运算律是解题的关键．【变式21】（2023春·山西晋中·七年级统考期末）计算-0.125×20×-A．乘法交换律 B．乘法分配律C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律【答案】D【分析】解答时，运用了乘法交换律和乘法结合律．【详解】∵运用的运算律为乘法交换律和乘法结合律，故选D．【点睛】本题考查了用运算律进行有理运算，熟练掌握运算律的使用规律是解题的关键．【变式22】（2023春·七年级单元测试）用简便方法计算：(1)913(2)-5【答案】(1)-(2)0【分析】（1）先将带分数拆成整数部分与分数部分的和的形式，然后按照乘法分配律运算法则计算即可；（2）先提公因数-3【详解】（1）解：9=9+=9×=-=-（2）解：-=-=0×=0【点睛】本题考查了有理数乘法运算、乘法分配律逆运算，采用合适的运算方法可以使计算简便，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题关键．【变式23】（2023春·湖南张家界·七年级统考期中）简便计算：(1)-(2)(-【答案】(1)2(2)-【详解】（1）解：-=-24×-=12-18+8=2（2）(-=6=6==-【点睛】本题考查的是乘法运算律的应用，掌握利用乘法的分配律进行简便运算是解本题的关键．【题型3有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】【例3】（2023春·海南省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求|a【答案】当m=2时，原式=5，当m=-2【分析】先根据相反数性质、倒数的定义及绝对值的性质得出a+b=0，cd=1，【详解】解：根据题意知a+b=0，cd=1，当m=2时，原式=4×2-3=5当m=-2时，原式=4×(-2)-3=-11综上，当m=2时，原式=5，当m=-2时，原式【点睛】本题主要考查了相反数性质、倒数的定义、绝对值的性质等知识点，根据m进行分类讨论是解答本题的关键．【变式31】（2023春·重庆万州·七年级校联考阶段练习）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|x-4|=3【答案】-1313【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，可得a+b=0，cd=1，即原式可以化简为：12x-【详解】∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，∴a+b=0即：cd∵|x∴x-∴x=7，或者x当x=7时，1当x=1时，1即值为：-131314【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握相反数，倒数，绝对值等概念和有理数相关运算的法则．【变式32】（2023春·吉林白城·七年级统考期中）已知a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，求m【答案】1【分析】根据a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，得到a+b=0，cd=1，m=1，【详解】解：∵a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，m∴a+b=0，cd=1，∴b=-a，将a+b=0，cd=1，a=-∴m=1--=1+1-1=1．【点睛】本题考查了相反数，倒数，绝对值的意义，代数式求值等知识，解此题的关键是根据题意得出a+b=0，cd【变式33】（2023春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2.(1)求a＋b，cd，m的值；(2)求m+2【答案】（1）a+b=0，cd=1，m=±2；（2）4,0.【分析】（1）根据互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，即可解答；（2）分两种情况讨论，即可解答．【详解】(1)∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，∴a+b=0，cd=1，m=±2.(2)当m=2时,m+2cd-当m=−2时,m+2cd故答案为4,0.【点睛】此题考查相反数，绝对值，倒数，解题关键在于掌握各性质定义.【题型4关于有理数乘法的新定义问题】【例4】（2023春·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考阶段练习）定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数a，b，a※b=-3(1)若m与-2互为倒数，n与5互为相反数，求m※n的值(2)求(-3)※[6※(-4)]的值．【答案】(1)-(2)648【分析】（1）由题意得：-2m=1，n+5=0，从而可求得（2）根据新定义的运算，再相应的值代入求解即可．【详解】（1）解：∵m与-2互为倒数，n与∴-2m=1，解得：m=-12∴m※=(-12=-3×(-=-15（2）解：(-3)※[6※(-4)]=(-3)※[-3×6×(-4)]=(-3)※72=-3×(-3)×72=648．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【变式41】（2023春·重庆石柱·七年级重庆市石柱中学校校考阶段练习）a，b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”：定义a⊕b＝a×b﹣2×（b﹣a）﹣5，例如：2⊕3＝2×3﹣2（3﹣2）﹣5＝6﹣2﹣5＝﹣1．请根据“⊕”的定义计算：(1)﹣2⊕4；(2)（﹣1⊕1）⊕（﹣7）．【答案】(1)﹣25(2)59【分析】（1）根据题目中的定义计算即可；（2）根据题目中的定义和运算顺序计算即可．【详解】（1）解：﹣2⊕4＝（﹣2）×4﹣2×[4﹣（﹣2）]﹣5＝（﹣8）﹣2×（4+2）﹣5＝（﹣8）﹣2×6﹣5＝（﹣8）﹣12﹣5＝﹣25．（2）解：（﹣1⊕1）⊕（﹣7）＝{（﹣1）×1﹣2×[1﹣（﹣1）]﹣5}⊕（﹣7）＝[（﹣1）﹣2×（1+1）﹣5]⊕（﹣7）＝[（﹣1）﹣4﹣5]⊕（﹣7）＝（﹣10）⊕（﹣7）＝（﹣10）×（﹣7）﹣2×[（﹣7）﹣（﹣10）]﹣5＝70﹣2×（﹣7+10）﹣5＝70﹣2×3﹣5＝70﹣6﹣5＝59．【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是能够用运算法则求新定义．【变式42】（2023春·全国·七年级期末）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．对有理数a、b、c，在乘法运算中满足①交换律：ab=ba；②对加法的分配律：ca+b=ca(1)求2⊕-(2)求-3⊕(3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程．【答案】(1)2(2)24(3)不具有交换律，见解析【分析】（1）根据题目的新运算进行求解即可；（2）根据题意先算括号内新运算，再进行求解即可；（3）根据题意可举例出一个例子即可求解．【详解】（1）解：2⊕=2×=-2+4=2；（2）解：-=-3⊕=-3⊕==30-6=24；（3）不具有交换律，

例如：2⊕=2×=-2+4=2；-==-2-2=-4，∴2⊕-∴不具有交换律．【点睛】本题考查了新定义下的运算，解决本题的关键是掌握有理数的混合运算．【变式43】（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）对于有理数a、b，定义运算：a⊗b＝a×b+|a|﹣b．(1)计算（﹣5）⊗4的值；(2)求[2⊗（﹣3）]⊗4的值；(3)填空：3⊗（﹣2）______（﹣2）⊗3（填“＞”或“＝”或“＜”）．【答案】(1)﹣19(2)﹣7(3)＞【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（3）两式利用题中的新定义计算得到结果，比较即可．【详解】（1）解：（﹣5）⊗4＝﹣5×4+|﹣5|﹣4＝﹣20+5﹣4＝﹣19；（2）解：[2⊗（﹣3）]⊗4=[2×（3）+|2|（3）]⊗4＝（﹣6+2+3）⊗4＝（﹣1）⊗4=（﹣1）×4+|1|4＝﹣4+1﹣4＝﹣7；（3）解：3⊗（﹣2）=3×（2）+|3|（2）＝﹣6+3+2＝﹣1；（﹣2）⊗3=（2）×3+|2|3＝﹣6+2﹣3＝﹣7，所以3⊗（﹣2）＞（﹣2）⊗3．故答案为：＞．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．【题型5利用有理数的乘法解决实际问题】【例5】（2023春·广东深圳·七年级深圳市罗湖区翠园东晓中学校考期中）某出租车沿人民路东西方向行驶，如果把人民公园站台记为0，向东行驶记为正，向西行驶记为负，这辆车从人民公园站台出发以后行驶的路程如下表（单位：km）序号1234567路程+5-+10--+12-(1)这辆车离开出发点最远是千米；(2)这辆车在上述过程中一共行驶了多少路程？(3)若汽车耗油量为4升/千米，共耗油多少升？【答案】(1)12；(2)54km(3)共耗油216升【分析】（1）分别求出每一次出发点的距离，比较大小即可；（2）将所给的数的绝对值求和，即为总路程；（3）用总路程乘以每公里耗油量，即可求耗油总量．【详解】（1）解：第一次与出发点的距离为5km第二次与出发点的距离为+5+第三次与出发点的距离为+5+第四次与出发点的距离为+5+-第五次与出发点的距离为+5+-第六次与出发点的距离为+5+第七次与出发点的距离为+5+∴这辆车离开出发点最远是12km故答案为：12；（2）解：+5+∴这辆车在上述过程中一共行驶了54km；（3）解：∵54×4=216（升），∴汽车耗油量为3升/千米，共耗油216升．【点睛】本题考查正数与负数，有理数的乘法，能根据具体情境问题，灵活处理正数与负数的运算是解题的关键．【变式51】（2023·全国·七年级假期作业）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：星期一二三四五六日增减+5--+13-+16-(1)根据记录可知前四天共生产辆；(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产辆；(3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【答案】(1)412(2)26(3)42675【分析】（1）前四个数据的和加上原计划每天生产的数量乘以4，即可得解；（2）表格中数据最大的数减去最小的数即可得解；（3）先求出生产自行车的总数量，再根据题意，列出算式进行计算即可．【详解】（1）解：100×4+5-2-4+13故答案为：412；（2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产16--故答案为：26．（3）解：根据图表信息，本周生产的车辆共计：100×7+5-2-4+13-10+16-9709×60+709-700答：该厂工人这一周的工资总额是42675元．【点睛】本题考查正负数的意义，有理数运算的实际应用．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键．【变式52】（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表：与标准重量偏差（单位：千克）--0123袋数5103156(1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？(2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？(3)大米的单价是每千克5.5元，食堂购进大米总共花了多少钱？【答案】(1)5千克(2)9千克(3)8299.5元【分析】（1）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解；（2）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解；（3）首先求得大米的总重量，再乘以单价，即可求解【详解】（1）解：3--答：这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差5千克（2）解：-2答：这30袋大米的总重量比标准总重量多了9千克（3）解：这30袋大米的总重量为50×30+9=1509（千克），食堂购进大米总共花了1509×5.5=8299.5（元）．答：食堂购进大米总共花了8299.5元．【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意，准确列出算式是解决本题的关键．【变式53】（2023·浙江·七年级假期作业）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：星期一二三四五六日每斤价格相对于标准价格（元）+1-+3-+2+5-售出斤数2035103015550(1)第一周超市售出的百香果单价最高的是星期___________，最高单价是___________元；(2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）？(3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；方式二：每斤售价10元；为了给小明酿百香果蜜，张阿姨决定买35斤百香果，通过计算说明哪种方式购买更省钱．【答案】(1)六；15(2)这一周超市出售此种百香果盈利135元(3)选择方式一购买更省钱【分析】（1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论；（2）计算总进价和总售价，比较即可；（3）计算两种购买方式，比较得结论．【详解】（1）解：这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最高单价是10+5=15（元）．故答案为：六；15．（2）解：1×20-2×35+3×10-1×30+2×15+5×5-4×50=-195（元），10-8×-195+330=135答：这一周超市出售此种百香果盈利135元．（3）解：方式一：35-5×12×0.8+12×5=348方式二：35×10=350（元），∵348<350，∴选择方式一购买更省钱．【点睛】本题主要考查了正负数的应用及有理数的计算．计算本题的关键是看懂图表，理解图表．盈利就是总售价大于总进价，亏损就是总售价小于总进价．【知识点有理数除法的法则】①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．【题型6巧用分配律进行有理数的四则混合运算】【例6】（2013秋·七年级单元测试）用简便方法计算：9998【答案】-【详解】试题分析：先化99989=1000-1解：原式=（1000-19）×（-109）=1000×（-109）-1考点：有理数的混合运算【变式61】（2023春·湖南郴州·七年级校考期中）简便运算：-1【答案】24【分析】现将除法化为乘法，再利用乘法分配律进行计算即可．【详解】解：-==-=-8+36-4=24．【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，解答的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序，会利用乘法分配律进行简便运算．【变式62】（2023春·七年级课时练习）用简便方法计算：(1)(81)÷21494÷（16(2)1÷{(1111)×(156)(3.9)÷［134+(【答案】(1)-35【详解】试题分析：（1）根据除法法则把有理数的除法转化为乘法，然后计算即可；（2）根据除法法则把有理数的除法转化为乘法，然后根据有理数的运算法则依次计算即可.试题解析：（1）原式=81×49+49×116=36+136（2）原式=1÷［1211×116+3.9÷（0.45）］=1÷(2263点睛：本题考查了有理数的混合运算，正确运用有理数的混合运算法则是解题的关键.【变式63】（2023春·全国·七年级专题练习）小刚在课外书中看到这样一道有理数的混合运算题：计算：1她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题．（1）前后两部分之间存在着什么关系？（2）先计算哪步分比较简便？并请计算比较简便的那部分．（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．（4）根据以上分析，求出原式的结果．【答案】(1)前后两部分互为倒数；(2)先计算后部分比较简单；3；(3)13；(4)【分析】(1)根据被除数和除数之间的关系得出互为倒数；(2)根据乘法分配律进行计算得出答案；(3)根据倒数的性质得出答案；(4)根据有理数的加法计算法则得出答案.【详解】(1)前后两部分互为倒数；

(2)先计算后部分比较简便1(3)1(4)原式=-13+（3）=【题型7利用有理数的四则混合运算解决实际问题】【例7】（2023·浙江·七年级假期作业）有一个水库某天8:00的水位为-0.1米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：0.5，-0.8，0，-0.2，-(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？(2)现在由于下暴雨，水库水位以0.1米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按0.2米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间．【答案】(1)未超过(2)5小时【分析】（1）求得上述各数的和，然后根据结果与0的大小关系即可作出判断；（2）根据题意列式求解．【详解】（1）解：-0.1+0.5-0.8+0-0.2-0.3+0.4=-0.5答：水库的水位未超过警戒线．（2）-1-答：水库需放水5小时．【点睛】本题考查了有理数的混合运算及正负数在实际生活中的应用，根据题意列出算式是解题的关键．【变式71】（2023·浙江·七年级假期作业）明屹加油站周年庆，开展了加油每满10L立返现金5元（不足10L不返现金）的活动，出租车司机李师傅只在东西走向的路上开车接送乘客，他7:00从甲地出发（向东行驶的里程数记作正数），到8:00为止，他所行驶的里程记录如下（单位：公里）+4；-3；-6；+13；-10；-(1)计算到8:00时，李师傅在甲地的哪个方向，距甲地多远？(2)求从7:00开始到8:00为止，李师傅距甲地的最远距离．(3)若李师傅当日工作至17:00为止，每小时行驶的里程相同，该车每百公里耗油8L，每升油7元，若李师傅今天出车时油箱是满的，中间没有加油，收工时想加满油箱，则李师傅当日在该加油站加油共花费多少元？【答案】(1)李师傅在甲地的西边1公里位置；(2)李师傅距甲地的最远距离是8公里；(3)李师傅当日在该加油站加油共花费237元．【分析】（1）将记录的数字相加得到结果，根据正负即可得到结果；（2）根据几次的绝对值进行比较即可；（3）将记录数字绝对值相加，乘以10，得出行驶的公里数，用结果除以100乘8得出耗油的升数，再用升数乘7减3乘5即可得到结果．【详解】（1）解：4-3-6+13-10-4+5=-1（公里），∴李师傅在甲地的西边1公里位置；（2）解：第一站离甲地是4公里；第二站离甲地是5-3=1；第三站离甲地是1-6=-5；第四站离甲地是-5+13=8第五站离甲地是8-10=-2；第六站离甲地是-2-4=-6第七站离甲地是-6+5=-1取绝对值可以看出最远是8公里；（3）解：当日工作至17:00为止，共工作10小时，10×4+3+6+13+10+4+5450÷100×8=36（L），36×7-3×5=237（元）．答：李师傅当日在该加油站加油共花费237元．【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确理解本题中正数和负数的意义是解答本题的关键．【变式72】（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）2022年国庆节期间，若顺德长鹿农庄在9月30日的游客人数为3万人，下表为7天假期中每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数)：日期1日2日3日4日5日6日7日人数变化/万人+1.7+0.6+0.3--+0.2-(1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？(2)与9月30日相比，10月7日客流量是上升了还是下降了？变化了多少？(3)求这7天每天平均人数是多少万人？【答案】(1)游客人数最多的为3日，最少的为7日，这两天的游客人数相差1.4万人(2)与9月30日相比，10月7日客流量是上升了，上升了0.8万人(3)这7天每天平均人数4.9万人【分析】（1）由表知，从10月4日旅游的人数比前一天少，所以10月3日人数最多；10月7日人数最少；10月3日人数减去10月7日人数可得它们相差的人数；（2）由（1）的结论，根据正负数的意义即可求解；（3）分别计算这7天增加的人数，相加，再加上每天的3万人，可得总人数．【详解】（1）解：10月1日至7日每天游客与9月30日相比的变化情况是：1日：+1.7（万人）2日：1.7+0.6=2.3（万人）3日：2.3+0.3=2.6（万人）4日：2.6-0.3=2.3（万人）5日：2.3-0.6=1.7（万人）6日：1.7+0.2=1.9（万人）7日：1.9-1.1=0.8（万人）所以游客人数最多