2021届高三高考数学复习压轴题38-数列四【含答案】

2021届高三高考数学复习压轴题专练38一数列(4)【含答

案】

一、单选题

1.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空

航天中应用广泛，若数列｛%｝满足则称数列｛苟｝为牛顿数列.如果函数

/'(%)

f(x)=x2-x-2,数列｛七｝为牛顿数列，设q=/〃上三且4=1,%>2,数列｛%｝的前〃

七+1

项和为S.，贝!JS202|=()

A.22021-1B.2202|-2C.(I)2021-1D.(；严|-2

解：vf(x)=x2-x-2,

fr(x)=2x-l,

()X“-2

又K+i/X“

2x,「l

x；-x“一2।_(%“+11

二%+|+1=%

2x“-l2x„-l

加-2=x“-2-xj"2=(x“-2)-

2x„-l2xn-l

-2=(\,-2]=(：v“一2-,

X»|+l(X“+l)2X„+l'

an=In--且4=1,x“>2,

x.+l

a=/〃&11二=历(主=>=2加3二2=2a,

x,+i+lx“+lX„+1

数列｛““｝是首项为1，公比为2的等比数歹人

\-2202'

=22*1,

1-2

故选：A.

2.设S“为数列｛4｝的前〃项和，S“=(-1)"4-5,〃GM,则3+星+…+品0=()

A.属)J]B.1f(1)98-l|C.l[(i)50-l]D.1[(i)49-l]

解：由5,=(-1)"可—£,〃€”，

当〃=1时，SI=_q_g,得q=一：;

当〃..2时，an=Sn-5,,-t=(-1)”为一\一(一1)""%_|+^zr>

即an=(T)"”“+(T)Zi+，•

当葭为偶数时，a,i=—5(〃..2),所以“，=一击，

当“为奇数时，4i=一2%+：=(-2)(-3)+/=白，所以为=!，

乙乙乙乙乙

所以一q——7,%—,

所以-4+“2=2*唳=2,一4=*,/

所以-4+4=2x/=l...-«99=击，400=/)

所以一须+40G=2、源=表.

因为

S|+S2+S3+…+Sjoo=(-4+出)+(一。3+々4)+(—“5+4)+•••+(―。99+。100)一(一万+^7+•••+

_1111J11、

=万+方+声+…+萍-(万+»+…+源)

<(1…*);(1-4)

1-114

=3/T>

故选：A.

3.已知数列｛%｝的前〃项和为S”，4=1,%=3,且S.+1+S,i=2"+2S“，(〃-2),若

“S,,-4,)+2+7..(2-2)n对任意nsN*都成立，则实数2的最小值为()

解：数列｛叫的前“项和为S“，4=1，出=3,且S向+S,i=2"+2S”(〃..2),

所以Sn+]-Sn=2"+S„-S―故an+i-an=2",

所以%-4T=2”T,

4-q=2,

累加可得4,-4=2+22+i+2-1

1_”

所以为=1+2+2?+…+2"T=-----=2"-1,

所以S“=2+2?+...+2"-(1+1+1+...+1)=20-2)―〃=2"+|一”-2,

所以5“—a“=2"—〃—1,

代入之(5〃-)+4+7..(2-2)〃,得A...——f

令b〃=竺由图也t，解得乙5.5,

由年.・％解得〃•.4.5,

所以数列/展｝的最大项为々=总，

所以；L.三,

32

所以4的最小值为』.

32

故选：C.

n2+9

4.设数列｛4｝满足4=3,a>=6,atl+2=-----(n£N*),()

A.存在〃wN*,

B.存在〃>0,使得｛&“+1-p。”｝是等差数列

C.存在几wN*,an=\[5

D.存在〃>0,使得｛q+「p4｝是等比数列

a2+9

解：由a〃+2=H——5eN*),可得%+24=。〃+：+9①，

则a,,+Ei=4：+9②

①一②可得，all+2an-4+|41T=-a;,

所以a,®+2+%）=%+i（%+%），

则”“+|+q1%+2+”“,

'a“a,”

由此可得""2+%=%+%;■=...=经土幺,生=0*=15,

aa

。〃+1n24

所以氏+2+4=巨2=3,

*6

则。“+2=3%+1-。“且4=3eZ,a2=6eZ,

所以a,eZ,

故选项A,C错误；

由4+3=3q+2-«„+i>可得见+3-4+2=5。,用一2a,,不是常数，

所以不存在p>0,使得｛an+,-pa“｝是等差数列，

故选项3错误；

假设存在p>0,使得｛a“M-pa,｝是等比数列，公比为q,

则有«„+i-Pa“=q®-pa,-），

所以a,,+i=（P+q）a“-Pqa,i,

由%+2=3%+|一。“，

则[p+“=3,解得〃=生1,

[pq=i2

所以存在P=柠&>0,使得｛a„tl-pa,,｝是等比数列，

故选项£）正确.

故选：D.

5.已知等比数列｛%｝满足%=16,包-%=4,若〃=“，S"是数列｛2｝的前〃项和，且

V〃eM，不等式S〃r血,,1恒成立，则实数机的取值范围为（）

A.[1,4-00)B.[2,+oo)C.[3,+co)D.[4,+oo)

解：设等比数列｛a,,｝的公比为q,由%=16,%-%=4,

2

可得16,Oyif,-ayq=4,

解得4=1,q=2,

n

则a“=2i,blt=n-2-',

可得S“=l-20+2・2i+3-2?+…+w・2"T,

2S„=1-2+2-22+3.23+...+M-2Z,,

两式相减可得-S“=1+2i+2?+…+2"-'-n-T

化简可得S“=(〃-1)•2"+1,

YnwN,,不等式S„-mbn„1恒成立，

即(〃-1)•2"+1-〃吐1,即胆…迎二。恒成立，

n

由细二g<2,可得加.2,

n

则，”的取值范围是[2,+00).

故选：B.

6.已知等差数列｛q｝的公差为2,前”项和为S“，且S—S,,邑成等比数列.令

44+2

数列｛d｝的前〃项和为7；，若对于V〃eN*,不等式7；<2恒成立，则实数2的取值范围是(

)

A.A...-B.2>-C.2...-D.A>0

355

解：由题意，可知

4x3

S]=%,S2=2%+2,S4=4qH——x2=4(q+3),

•・•$,s2,成等比数列，

2

S；=S,S4,即(2《+2)=4«,(a,+3),

解得q=l，

故。“=1+2(〃-1)=2〃-1,neN*，

,111,11、

••>=-----=-------------=—(------------),

cinan+2(2〃-1)(2〃+3)42n-l2〃+3

则雹=a+a+4+…+〃1+勿

1“1、1/1、1/I1、1/11、1/11、

4543745942〃-32n+l42n-l2/?+3

1111111111、

=­•(1---1-------1------F...H--------------1-------------)

4537592n-32n+l2n-l2/7+3

1n111、

432n+l2〃+3

1九+1

-3-(2n+l)(2n+3)

1

<一,

3

;对于YnwN*,不等式Tn<A恒成立，

故选：A.

7.已知数列｛/｝满足4=1,〃〃+]=2a〃，数列电｝满足伪=2,勿+%=£，若数列｛〃〃也)

的前〃项和为7；,则数列｛37；-2〃4｝的前10项和为()

A.50B.55C.65D.70

解：由题意，可知

数列｛4｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

故〃〃=1.2"7=2"-1neN*,

对于数列｛2｝：当〃=1时，々+d=g，

•/b.=2,:.b^=--b,=--2=——f

-2122

又由Z?+b,=—,可得b,+b=，

iin+\2〃"+i"+/22"+l

两式相减，可得b2—b=...—,

①当〃为奇数时，〃-1为偶数,

•伍=2,4-4=一宠,h5-b}=-^4>•■-b„-b„_2=-^,

各项相加，可得

1_1

c,1115

=2—(——H——+…+=2--------1-9

222432“3

1-F

②当”为偶数时，”-1为奇数,

3111

,血=一万，b_2=一亍,b,-b3=-—,•••bn-bn_2

各项相加，可得

1

31131...-L)=-3落广15

b„=++

252”T21132-'3

1一牙

综合①②，可知

b=—^—r+--(-l)n-',nwN*,

"3・2”T3

a-h=2"-'-[―^+-•(-1)"-]=-+--(-2)"-',

""3-2'-'333

:.3an-bn=\+5-(-2y-',

则3(=3a,•伪+3%也+…+3o„-bn

=l+5-(-2)°+l+5-(-2)1+...+l+5-(-2rl

=n+5x[l+(-2)'+…+(_2产]

1—(—2)"

=n+5x-----------

1-(-2)

=n+----(-2)n-'

33

Th=2"-(―^+--(-I)"-']=-+—•(-2)"-',

“3・2”T333

3T-2"b^n+----(-2)'*-'+-+—•(-2)n-1=n+1,

“"n3333

..数列｛37；-2”4｝的前10项和为

^一10x(2+11)

2+3+...+11=---------------=65.

2

故选：C.

8.已知数列｛a“｝的通项公式为=〃sin?_,则4+/+q+…+42]=()

A.10116B.--C.—D.-1011V3

22

解：•.•数列｛%｝的通项公式为〃〃=〃sing,

且y=sing的周期为6〃,

故。6〃+1+。6“+2+。6”+3+。6〃+4+4〃+5+4“+6

〃八.(6〃+1)]“小.(6〃+2)乃小.(6〃+3)iz八.(6〃+4)乃«,.(6〃+5)乃々八.(6/?+6)产

=(6〃+l)sin--------+(6〃+2)sin--------+(6〃+3)-sm--------+(6n+4)sin--------+(6n+5)xsin--------+(6n+6)sin--------

333333

TT(2乃37r47r57r64

=(6〃+1)•sin§+(6〃+2)sin+(6/7+3)-sin—+(6〃+4)-sin—+(6〃+5)•sin丁+(6n+6)-sin—

=(6〃+l)x—+(6〃+2)x—+(6〃+3)x0+(6〃+4)x(--)+(6〃+5)x(--)+(6〃+6)x0

2222

=—3A/3,

又因为2021=6x336+5=6x337-1,

4+a?+4+...+a,。”=337x(—3\f^)—a、=—1011x/3,

故选：D.

二、多选题

9.设｛风｝是无穷数列,若存在正整数左依..2),使得对任意“eN*,均有4”>为，则称｛4｝

是“间隔递增数列"，4是｛〃“｝的“间隔数”，下列说法正确的是()

A.公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列”

B.若可=2〃+(-1)",则｛«„)是“间隔递增数列”

C.若％=〃+二(reN*,r..2),则｛4｝是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r

n

D.已知q,=1+5+2021,若｛”“｝是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3,则

-5<t„-4

解：选项A中，设等比数列的公比是式4>1),

则…q=-M=ww-1),

其中，>1,即/®A-1)>0,

若q<0,则。“+K-”“<0，即4,+为<4,，不符合定义，

故选项A错误；

选项B中,«„=2n+(-l)n,

故-4=[2(〃+幻+(T)叫-[2〃+(-1)"]=2k+(-1)"[(-1)*-1],

当"为奇数时，4+*-2=2%-(-1>+1,则存在k..l时，4,+&-为>0成立，即对任意“cN*,

均有嗫>%,符合定义；

当n为偶数时，«n+A-a„=2k+(-l)*-1,则存在Z..2时，an+k-an>0成立，即对任意"eN*,

均有“科>/，符合定义；

综上所述，存在£.2时，对任意〃eN*,均有勺+为>。“，符合定义，

故选项5正确；

选项C中，a=n+—(reN\r..2)>

lln

故--^=(«+^+~^)-(w+-)=^+———=^[1=^­—―――，

n+kn(n+k)n(n+k)n(n4-k)n

令=+%〃一〃，图象开口向上,对称轴为〃=工<0,

2

故/(/?)在〃£N*时单调递增，

令最小值/(1)=1+k—r>Q,解得人>〃—1,

又k^N*,k..2,reTV*,r..2,

故存在时，令.-%>0成立，即对任意〃wN次，均有为+*>%，符合定义，“间隔数”

的最小值为r,

故选项C正确；

选项。中，因为4=/+切+2021,是“间隔递增数列”，

则an+k一4=〔(〃+々)2+/(〃+%)+2021]—(/?2+tn+2021)=2kn+k2+tk>0,即％+2〃+，>。对

任意成立,

设g(〃)=A+2〃+t,显然在〃wN*上g(〃)单调递增，

故要使g(〃)>0，只需g(1)=%+2+/>0成立，即一2-「<3

又“间隔数”的最小值为3,故存在A3,使-2T<么成立，且存在鼠2,使-2T.M成立,

故—2—f<3且—2—f..2,解得—5<r”4,

故选项Z)正确.

故选：BCD.

10.“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易

传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统

文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，

曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50.....记

大衍数列为{4},其前"项和为S”，“eM,则()

fa檀

丸2夕例夕总走M

乾丸点去总状艮坤

A.a”=220

n1111505

%%%生021I。11

C.§23=2156

D.a,+q+4+.,,+048=9800

解：数列｛”“｝的奇数项为0,4,12,24,40,....

22222

nn1-13-15-17-19-1

22222

所以凡二%」（〃为正奇数），

22

7d*父21。2

数列｛《,｝的偶数项为2,8,18,32,50,即上，—,—,—,—....

22222

所以为=/(〃为正偶数),

〜*一1，〃为正奇数

2

2

土，”为正偶数

,2

?02,

对于A,〃20=二葭=200,故选项A错误;

„2_

对于8,因为当〃为正奇数时，a„=—

2

所以—211

ann~~1(n+1)(/1-1)n-\n+1

,1111

所rr以I一+—+—+…+---

a

%。5i〃2021

=(，+J>+•••+(

)

20202022

--——,故选项8正确;

220221011

对于c，sn）+g+（/；）2321

+...+(---一日

2

=-(12+22-F...+232)-12X-

22

=J_x23x24x47_6=2156；故选项c正确;

26

对于。，里+%+。6----------48

22424821

=-----1-------F...+口—XQ2+42+…+48?)

2222

=-x48x25x49=9800,故选项。正确.

23

故选：BCD.

11.已知无穷数列｛4｝满足4-2=%+'%，其中2为常数，/IXT，则下列说法中正确的

1+A

有（）

A.若;1=-2,则｛〃〃｝是等差数列

B.若｛〃〃｝是等差数列，则2=-2

C.若q=l,〃2=—2,2=一；，则｛“〃｝是等比数列

D.若｛〃〃｝是等比数列，则q=1,%=—2,4=一；

解：对于A,若a=一2,贝ijq

，"+21-2

所以%+1%+1

所以数列｛%｝是等差数列，故A正确；

对于8,若｛4｝是等差数列，设公差为d,

a

所以4+2=„+2d，all+l=+d，所以““+2d=""+，

1+A

所以(4+2d)(l+^)=an+Aan+Ad，

an+2d+Aan+2dA=an+Aalt+Ad,

所以;ld=—2d,

当d=0时，丸为常数，2^-1,

当"工0时，解得4=一2,故3错误；

1

1〃“一弓为+1

对于C,A=一一，则。〃+2=----——，

22,1

1--

2

9

所以gan+2=。“一；4+14+2=2a〃-an+l，

所以*一%=-2(an+i-an)f

q=l,a、——2,a?-4=—3w0,

所以他“｝是首项为-3,公比为-2的等比数列，故C正确；

2

对于。，若｛〃〃｝是等比数列，设公比为9，an+2=anq,an+l=anq,

因为a,,丁=4*.也,所以〃2=11担，

14-Z1+4

所以石

q+qq

若4=1,%=-2,则q=-2,it匕时;l=],故。错误.

故选：AC.

12.设S“为数列仅”｝的前”项和，且S,,=〃+£_l,若数列电｝满足：b„=n(l-a„),且

方=6+d+…+2，则以下说法正确的是()

A.数列他“-1｝是等比数列B.数列也,｝是递增数列

71+2

C.7；,=2--D.S„..Tn

解：因为S〃=〃+---1,

〃2〃

当〃..2时，Sn_{=n-\+一1,

两式相减可得““=1-5，

当〃=1时，q=S1=1也适合上式,

112

故数列｛q,-l｝是等比数列，故选项A正确；

因为d=H(1-a„))所以2=£，

故人=ZI±l_A=lz^,

〃+1n2"+i2〃2”+i

当儿.1时,%-%0,所以%”bn,

则数列｛〃｝不是递增数列，故选项B错误；

因为左二以工十？*，^.

2222”

所以=lx/+…+(〃-1*/+〃、击’

[111-X(1-)

两式相减可得/=/+齐+…+亍号=2]J___1_=1_

~2

所以7；,=2-耍，故选项C正确；

1n+2n+3

S0“一1T=〃,+*Ti/_n(2—)=n-3+-^-,

4

当〃=1时，S,-7；=l-3+-=0,则5=7；,

当〃=2时，52-7；=2-3+^>0,则邑>(，

当”..3时，Sn-Tl,=n-3+^>0,则S.>(，

综上可得，S...T”,故选项。正确.

故选：ACD.

三、填空题

13.定义：若数列｛/"｝满足1=乙-1"，则称该数列为函数f(x)的“切线-零点数列”.已

/(。)

知函数/(冗)=炉+〃穴+4有两个零点—1,2,数列｛%｝为函数/(x)的“切线-零点数列”，

设数列他“｝满足4=3,4=/〃七2,数列｛J｝的前〃项和为S“，则S，o20=_.

天+】

解：因为/*)=工2+px+g有两个零点,2,

所以/*)=*+])(工—2)=工2_1_2,fM=2x-],

由题意得X„+1=X”一x；f-2=x^+2,

2七一12xn-\

■+22,

所以如二二与Z」二%=止=臣二马，

士+i+l,一+21]%+2x„+lx„+l

2斗一1

因为4=>?1，

所以。”+|=1nM~-=2/n—―-=2a,,>又q=3,

x„+l+1x“+l

所以数列｛%｝是首项为3,公比为2的等比数列，

所以q=3・2"T,

所以$2映=3(1；2；)=3-22侬一3.

1—2

故答案为：

14.设首项为1的数列｛《,｝的前”项和为s"，数列[(-1)"-----%——1的前一项和为雹，

[(2»-1)(2M+1)J

若S7色S“,则使得由加|看+11<1成立的最小的，的值为

n

解：由题意可得，^=—,

s“n

S〃S-52/?+1n3[n(n+\)

当九.2时,------------c…-----0.=--------------=------------------

S,iST5,n-1n-212

当〃=1时，S]=%=1也适合上式,

n(n+\)

故S,=

2

当〃..2时，an-Sn-=n,当〃=1时，4=1也适合上式,

所以，则/020=2。20，

4,21

因为（一1）”•=(一1)"・=(-1/•(------------1------------），

(2〃一1)(2〃+1)(2〃-1)(2〃+1)2n—12/7+1

所以•一—+(-iy—=-i+(-iy—

335572/?-12n+l2n+i

所以嗫。•区等价于|4+1|</，解得〃>等,

所以使得0202G•Iq+11<1成立的最小的〃的值为1010.

故答案为：1010.

a

15.已知数列｛〃〃｝满足q=出=5，。〃+2=。〃+2x3"(〃£N*),且勿=%+/+](〃wN*).则

数列电｝的通项公式为_b=3〃2_neN*_.若b“c〃=(〃£N*),则数列｛%｝的前

1t3(4/r-1)

〃项和为.

3

n

解：