第11讲圆锥曲线中的中点弦问题（高阶拓展）（学生版）

圆锥曲线中的中点弦问题（高阶拓展）（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙卷（文科），第12题,5分由弦中点求弦方程或斜率已知方程求双曲线的渐近线讨论双曲线与直线的位置关系2022年新Ⅱ卷，第16题,5分由中点弦求弦方程根据弦长求参数2022年新Ⅱ卷，第21题,12分求双曲线中的弦长由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数根据韦达定理求参数根据双曲线的渐近线求标准方程2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为512分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的中点弦及其相关计算2.会用点差法求解相关问题【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习知识讲解椭圆中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为椭圆xkAB.kOM=−b2a2=e2kAB.双曲线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为双曲线x2a2−y2b2=1弦AB(AB不平行y轴)的中点,则

k3.抛物线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为抛物线y2=2px弦AB(AB不平行y轴)的中点,则kAB=py04.中点弦斜率拓展在椭圆x2a2+y2b2=1中,以Px0,y0为中点的弦所在直线的斜率k=−b5.椭圆其他斜率形式拓展椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有点差法妙解中点弦问题

若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为Ax将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

（1）设点:若Ax1,y1,Bx2,y2是椭圆x2a2+y2b2=1a>b化简可得y1+考点一、椭圆中的中点弦问题1．（全国·高考真题）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝12．（重庆·高考真题）直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为．3．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．4．（全国·高考真题）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．5．（浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（）A． B．C． D．2．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第四中学校校考模拟预测）已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．13．（2023·河南郑州·统考二模）已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）（多选）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则（

）A．直线的方程为 B．C．椭圆的标准方程为 D．椭圆的离心率为5．（2023·江西吉安·江西省峡江中学校考一模）已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆的离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程．6．（2023·重庆·统考一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，O为坐标原点，A为椭圆C上顶点，过平行于的直线与椭圆交于B，C两点，M为弦BC的中点且直线的斜率与OM的斜率乘积为，则椭圆C的离心率为；若，则直线的方程为．考点二、双曲线中的中点弦问题1．（江苏·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A． B．C． D．2．（全国·高考真题）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为A． B． C． D．3．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．4．（全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，点在上（1）求的方程（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.1．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(

)A． B． C． D．2．（2022·山东烟台·统考三模）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．3．（2022·上海青浦·统考一模）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是.4．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为.5．（2022·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则．考点三、抛物线中的中点弦问题1．（四川·高考真题）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（）A．3 B．4 C． D．2．（山东·高考真题）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A． B．C． D．3．（北京·高考真题）已知点在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点重合(如图).（1）写出该抛物线的方程和焦点的坐标；（2）求线段中点的坐标；（3）求所在直线的方程.1．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（

）A． B．C． D．2．（2023·陕西咸阳·统考二模）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为，则线段AB的中点到x轴的距离是．3．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为.4．（2023·云南红河·校考模拟预测）已知抛物线，过点的直线l交C于M，N两点．(1)当点A平分线段时，求直线l的方程；(2)已知点，过点的直线交C于P，Q两点，证明：．【能力提升】1．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（

）A． B．C． D．2．（2023·贵州·统考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于的中点坐标为，则的方程为（

）A． B．C． D．3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．4．（2023·四川绵阳·四川省绵阳江油中学校考模拟预测）已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为（

）A． B．C． D．5．（2023·山东青岛·山东省青岛第五十八中学校考一模）已知m，n，s，t为正数，，，其中m，n是常数，且s＋t的最小值是，点M(m,n)是曲线的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（）A．x－4y＋6=0 B．4x－y－6=0C．4x＋y－10=0 D．6．（2023·四川雅安·统考三模）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（

）A． B．C． D．7．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C：，圆O：，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为．8．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为．9．（2023·安徽合肥·校考一模）已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是.10．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，斜率为正的直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于P，Q两点，且，则直线l的斜率为．11．（2023·安徽滁州·校考二模）已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是.12．（2022·贵州贵阳·贵阳一中校考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（

）A．2 B． C． D．13．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，在双曲线上，且点为线段的中点，，双曲线的离心率为，则（

）A． B． C． D．14．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，直线l过且与双曲线交于A，B两点，若直线l不与x轴垂直，且，则直线l的斜率为（

）A． B． C． D．15．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（

）A． B． C． D．16．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．17．（2022·浙江绍兴·统考模拟预测）已知双曲线，直线l交双曲线两条渐近线于点A、B，M为线段的中点，设直线l、的斜率分别为，若，则渐近线方程为．18．（2023·河南开封·统考三模）不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为．19．（2023·陕西商洛·统考三模）如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为3，则双曲线的离心率为.20．（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（

）A． B．4 C． D．21．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于、两点，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（

）A． B． C． D．22．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，抛物线的准线上一点满足，则（

）A． B． C．5 D．623．（2023·重庆·校联考模拟预测）（多选）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（

）A．直线过焦点时，最小值为4B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），C．若中点的横坐标为3，则最大值为8D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：24．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）（多选）抛物线为定值焦点为，与直线相交于两点，为作轴的垂线，垂足为，过作的垂线，交轴于，则（

）A．B．的纵坐标是定值C．为定值D．存在唯一的使得25．（2023·安徽宿州·统考一模）若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为.26．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若A，B是抛物线上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为．27．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，则.28．（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段