沪科版数学八年级下册章节整合提升试题及答案（全册）

最新沪科版数学八年级下册16章

专训1.巧用二次根式的有关概念求字母或代数式的值

名师点金：

本章涉及的概念有二次根式、最简二次根式及被开方数相同的最简二次根式

等，理解二次根式的定义要明确：被开方数是非负数；最简二次根式的特征：一

是被开方数中不含分母；二是被开方数中所有因数(或因式)的幕的指数都小于

2;被开方数相同的最简二次根式要确保在最简二次根式这一前提下看其被开方

数是否相同.

:创旅急医工利用二次根式的定义判断二次根式

1.下列式子不一定是二次根式的是()

A.y[3^B.^/X2+1

C.AJ—3X(XW0)X2+8X—16

冽粽食废圭利用二次根式有意义的条件求字母的范围

2.无论x取何实数，代数式Nx2—4x+m都有意义,化简式子N(m—3)2+

7(4-m)2.

冽娓喙度3利用最简二次根式的定义识别最简二次根式

3.下列二次根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？不是最简二次根式

的请说明理由.

[412—4()2,弋8—x2,^22,-^x2—4x+4(x>2),—r\j2x>qo.75ab,A/aP(b>0,

Qylx

a>0),^/9x2+16y2,yj(a+b)2(a—b)(a>b>0),

y3-

4.把下列各式化成最简二次根式.

(1)7^25;(2)、4a3b+8a2b(a20,b20)；

:明傣逸度4利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值

5.如果最简根式b―强和底W二是被开方数相同的最简二次根式，那

么（）

A.a=0,b=2B.a=2,b=0

C.a=-1,b=lD.a=l,b=—2

6.若最简二次根式）5a+b和^2a—b能合并,则代数式一|^+（3a+2b＞的值

为.

7.如果最简二次根式：3a—8与伺17—2a在二次根式加减运算中可以合并,

求使，4a—2x有意义的x的取值范围.

8.若m,n均为有理数，且小+也十=m+n小，求(m—n)2+2n的

值.

专训2.全章热门考点整合应用

名师点金:

本章内容在中考中主要考查二次根式及其性质，二次根式的计算与化简，多

以填空题'选择题或计算题的形式出现，有时也与其他知识结合在一起综合考查,

二次根式的内容是中考热点之一.其主要考点可概括为：二个概念四个性质一

一个运算一两个技巧.

澧忌上二个概念

概念1：二次根式

1.下列各式一定是二次根式的是（）

A.yfaB.^/X3+1

C.^/l-x2D.-\jx2+1

2.己知x,y为实数，且满足W+x—(y—Rl—y=0,那么x?。馆―y2017

的值是多少？

概念2：最简二次根式

3.二次根式4、同，而1,弧，,，（其中a,b均大于或等于0）中，

是最简二次根式的有（）

A.4个8.3个C.2个£>.1个

:潴;嘉妻四个性质

性质1：（6）2=a（a》0）

4.下列计算正确的是（）

A.一（由）2=-7B.辟？=25

仁（啊2=±9D—流）=卷

5.在实数范围内分解因式：x4—9=.

6.要使等式（勺8—x）2=x—8,则x=.

性质2：=a（a20）

7.若实数a,b在数轴上的对应点如图，则化简-a2-4ab+4b2+|a+b|的结

果为.

~ba0►

（第7题）

8.已知三角形的两边长分别为3和5,第三边长为c,化简：#2-4©+4—

^^c2—4c+16.

9.甲、乙两位同学做一道相同的题目:

化简求值：2,其中a=1.

甲同学的解法是：

乙同学的解法是：

原式W+侪刁M+a—*a=g.

请问哪位同学的解法正确？请说明理由.

性质3：积的算术平方根

10.化简旧的结果是（）

A.4mB.2y[6C.6巾D.84

11.能使得N（3—a）~（a+l）=43—a-^/a+l成立的所有整数a的和是

性质4：商的算术平方根

12.化简下列二次根式:

121b5

（2>-^T（aV0,b>0）.

;考点3：一个运算—二次根式的运算

13.计算：

（1）（3仍+4）X（亚一472）；

（2）（小+加一也）X（小一加一地）;

4

考点•两个技巧

技巧1：比较大小

14.比较4201772016与寸2016—72015的大小.

技巧2：整体代入求值

15.已知*=啦一1,y—y[2+l,求的值.

16.已知x+y=-8,xy=8,求T1+x、》的值•

17.已知a—b=45+4Lb~c=y[3-y[2,求2(a2+b2+c2—ab—bc—ac^T

值.

答案

专训1

1.D点拨：勺3a2、lx?+1、1―3x(xW0)是二次根式,x?+8x—16可

化为(x—4)2,只有当x=4时，才是二次根式，故x2+8x—16不一定

是二次根式.

2.解：^/x2—4x+m=y](x-2)2+m—4,

且无论x取何实数，代数式52—4x+m都有意义,

，m—420,Am^4.

当m24时，yj(m—3)2+^/(4—m)2=(m—3)+(m—4)=2m—7.

3.解：y/8—x2,yf22,-\/9x2+16y2,3K是最简二次根式.

,?1412-402(41-40)X(41+40)=两=9,

42—4x+4=yj(x—2)2=x—2(x>2),

_/T—X而1r—

一xA42x—而.必——利2x,

[0.75ab=M().25X3abVaP=bVa(b>0,a>0),

xV3x

y/(a+b)2(a—b)=(a+b)^/a­b(a>b>0),

3=3，

402,^jx2—4x+4(x>2),—x‘一，q().75ab,^/ab^(b>0,a>0),

NX

yj(a+b)2(a—b)(a>b>0),］不是最简二次根式.

6

(2)Y4a3b+8a2b=、4a2(ab+2b)=2a^/ab+2b(a^0,b20).

-

1n_A/-nA/nA/—n

(3)由一/20,mn>0知：mVO,nVO,；.、27m2

m-mm,

也_置_(5一屈2x—2M+y

(xWy).

Vx+Vy(^/x+-\/y)(甫一正)x-y

b-a=2,a=0>

5.A点拨:由题意得＜解得故选A.

.3b=2b—a+2,b=2.

6.1点拨：,最简二次根式，5a+b和d2a—b能合并,.*.5a+b=2a—b,

；.3a+2b=0,.,.3a=—2b.

，一行+(3a+2b尸1+0=1.

7.解：由题意得3a—8=17—2a.

a=5.44a—2x="\/20—2x.

要使，4a—2x有意义,只需"\/20-2x有意义即可.

.•.20—2x20,Ax^lO.

8.解：,:小4+2小+2^=2V3=m+n^/3,

.7

••m—0>n=2,

(7Y74977

.".(m—n)2+2n=|^0—2j+2X]=]+7=].

专训2

1.D

2.解：由已知可得qi+x+(l—y[l—y=0「；1—y20,

...(l—y)，T三20,由非负数的性质得l+x=0且1—y=0,，X=-1,y

=1,.•.x2016-y2()I7=0

3.C点拨：根据最简二次根式的定义可知，只有4叵,这两个二次

根式是最简二次根式.故选C

4.A5.(X2+3)(X+V3)(X-V3)6.8

7.—3b点拨：因为b<a<0,所以a—2b>0,a+b<0,所以，a?—4ab+4b2+

|a+b|=^/(a—2b)2+|a+b|=(a-2b)—(a+b)=a—2b—a—b=-3b.

8.解：根据题意得2<c<8,

#2一代+4—16=yj(c—2)2—=c-2-

ID*-6

9.解：甲同学的解法是正确的，理由如下：

♦.・*+a2_2=[(a-=卜a(且a$

即:=5,aa，•••4a>0,

,ba卜>a.

乙同学在去绝对值时忽略了;与a的大小关系，导致错误.

d

10.B

3—a20,aW3,

11.5点拨：由题意，得解得《

a+120,.a2一1,

又是整数，，a可以取一1,0,1,2,3.

,它们的和是一1+0+1+2+3=5.

-解:⑴泥7F赞平・

1121b$dlZlb^blib2加

⑵市=_4a.

13.解：(1)(方法一：先将根号外的因数移到根号内，再计算)原式=(芦及5

+^32)X(^/27-^><2)=(^27+^32)X(727-732)=27-32=-5.

(方法二：先化简，再计算)原式=(3小+46)X(3y/3-46)=(3小>

-(4/)2=27—32=—5.

⑵原式=[(小—啦)+加]义[(小—6)—&]=(小—啦>一(%)2=5一

2X小X6+2-6=1-2y[lb.

/4由#3/5ab5/2acf/15bc),r—35

(3)原式=x5AJVx〔一2弋〔+辰=一mXg

X2X义l,c=--^5X2X5X3abc+y[^c=­5[6abe+

[abc.

14解.1____________________________________

'岭:201772016川2017r2016)X(^2017+^2016)

J2017+J2016,------।------

="(^2017P-(^2016~=^^+^6，

]____________________^2016+^/2015

42016—42015一川2016r2015)X(A/2016+^2015)

、2016+、2015

5=42016+42015,

'(42016)2-(12015)

而42017+^2016*2016+、2015,

•广「「，l」L

,\2017-^/2016^2016-^/2015'

又^2017-A/2016>0,^2016-A/2015>0,

^201772016<42016—、2015.

点拨：一般地，已知a〉0,b>0,如果;>(，那么a<b；如果!那么a>b.

dDaD

15.解：因为x+y=(啦-1)+(啦+1)=2啦，xy=(啦一1)义(6+1)=1,

g、jXYx2+y2(x+y)2-2xy(2/)2-2

所以g+x=^7-==1=6.

点拨：若将x,y的值直接代入计算，则计算量较大，而且容易出错.通过

观察已知条件和欲求值的式子可以发现x+y,xy的值是一个常数，故将x+y,

xy作为一个整体代入求值.

16.解：*.*x+y=—8,xy=8,

(x+y)2—2xy.

xya=

(-8)2-2X8

X小=-12y/2.

8

17.解：a—b=y/5+yfi,b-c=/一y/29

/.(a—b)+(b—c)=(y[3+V2)"I"(^3~y[2),即a—c=2y[3.

2(a2+b2+c2—ab—be—ac)=(a2—2ab+b2)+(b2—2bc+c2)+(a2—2ac+c2)

=(a—b)2+(b—c)2+(a—c)2=(^3+A/2)2+^y[2)2+(2V§)2=5+2#+5一

2册+12=22.

9

最新沪科版数学八年级下册17章专训全章热门考点整合

应用

名师点金：

一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根'一元二次方

程的解法'一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方

程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，

明了.本章热门考点可概括为：两个概念，一个解法，两个关系，一个应用，三

种思想.

澧式1两个概念

概念1：一元二次方程的定义

1.当m取何值时，方程(m—l)xm2+l+2mx+3=0是关于x的一元二次方

程？

概念2：一元二次方程的根

2.(中考・兰州)若一元二次方程ax2—bx—2015=0有一根为x=-1,则a

+b=.

3-.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为一1,且a=^/4—c+

I---4(a+b)2016,,..

#—4—2,求2oi5c的值.

送■点2一个解法一一元二次方程的解法

4.用配方法解方程x2—2x—l=o时，配方后所得的方程为()

A.(x+1)2=0B.(x-l)2=0

C.(x+1产=2D.(x-l)2=2

5.一元二次方程x2—2x—3=0的解是()

A.xi=­1，X2=3B.XI=1，X2=-3

C.xi=­1，X2=-3D.xi=l，X2=3

6.选择适当的方法解下列方程：

(l)(x-l)2+2x(x-l)=0；

(2)x2—6x—6=0；

(3)6000(1-x)2=4860；

(4)(10+x)(50-x)=800；

(5)(中考•山西)(2X—1)2=X(3X+2)—7.

:考点3两个关系

关系1：一元二次方程的根的判别法

7.(中考・河北)若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范

围是()

A.a<lB.a>lC.aWlD.a»l

8.在等腰三角形ABC中，三边长分别为a,b,c.其中a=5,若关于x的

方程x2+(b+2)x+(6-b)=0有两个相等的实数根，求4ABC的周长.

关系2：一元二次方程根与系数的关系

9.已知a,0是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等

的实数根，且满足渭=—1,则m的值是()

A.3B.1

C.3或一1D.-3或1

10.(中考・南充)已知关于x的一元二次方程(x—l)(x—4)=p2,p为实数.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根.

(2)p为何值时，方程有整数解.(直接写出三个，不需说明理由).

11.设X”X2是关于X的一元二次方程x2+2ax+a2+4a—2=0的两个实数

根，当a为何值时，X3+X22有最小值？最小值是多少？

11

:考点4一个应用—一元二次方程的应用

12.（中考・湖州）随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区

养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加.

（1）该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，

求该市这两年（从2013年底到2015年底）拥有的养老床位数的年平均增长率；

（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房

间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养

老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包

括10和30）,且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为

t.

①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；

②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少

个？

13.小林准备进行如下操作实验：把一根长为40c机的铁丝剪成两段，并把

每一段各围成一个正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cM,小林该怎么剪？

（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48CH?”他的说

法对吗？请说明理由.

:考点5三种思想

思想1：整体思想

14.已知x=a是2J?+X—2=0的一个根，求代数式2a4+a3+2/+2a+]

的值.

思想2：转化思想

15.解方程:(2x+l)2-3(2r+l)=-2.

12

思想3：分类讨论思想

16.已知关于x的方程/一(2化+1卜+4,—；)=0.

(1)求证：无论％取什么实数，这个方程总有实数根.

(2)若等腰三角形ABC的一边长。=4,另两边的长江c恰好是这个方程的

两个根，求△ABC的周长.

答案

专训

1.解：当m2+l=2且m—1W0时，方程(m—l)xm2+1+2mx+3=0是关

于x的一元二次方程.

由0?+1=2,得n?=l,所以m=±l.

由m—1W0,得mWl,所以只能取m=-1.

所以当m=—1时，方程(m—l)xm2+i+2mx+3=0是关于x的一元二次方

程.

点拨：要准确理解一元二次方程的概念，需从次数和系数两方面考虑.

2.2015点拨：把x=-l代入方程中得到a+b—2015=0,即a+b=2015.

3.解：2,，c—4》0且4—c20,即c=4,则a=

—2.又:一1是一1元二次方程ax2+bx+c=0的根，a—b+c=0,/.b=a+c—

,.“(-2+2)2°i6

・•原式=，

-2+4=2.0ZmU1cDvz\4/I=0

4.D5A

6.解：(l)(x-l)2+2x(x-l)=0,

(x-l)(x-l+2x)=0,

(x-l)(3x-l)=0,

13

Xl=l,X23・

(2)x2—6x—6=0,

,•*3—1,b=-6,c=-6,

・・・b2-4ac=(-6)2-4XIX(-6)=60.

AX=6^60=3±VB)

，xi=3+正，X2=3-^B.

(3)6000(1-x)2=4860,

(l-x)2=0.81,

1一x=±0.9,

xi=1.9,X2=0.1.

(4)(10+x)(50-x)=800,

X2-40X+300=0,

xi=10,X2=3O.

(5)(2X-1)2=X(3X+2)-7,

4x2—4x+1=3x2+2x-7,

x2—6x+8=0,

xi=2,X2=4.

7.B

8.解：•.•关于x的方程x2+(b+2)x+(6—b)=0有两个相等的实数根，

.,.J=(b+2)2-4(6-b)=0,Abi=2,b2=—10(舍去).

当a为腰长时，^ABC周长为5+5+2=12.

当b为腰长时，2+2V5,不能构成三角形.

.,.△ABC的周长为12.

9.A

10.(1)证明：化简方程，得x2—5x+4—p2=0.

J=(-5)2-4(4-p2)=9+4p2.

为实数，则p220,，9+4p2>0.即/>0,

...方程有两个不相等的实数根.

(2)解：当p为0,2,—2时，方程有整数解.(答案不唯一)

点拨：(1)先将一元二次方程化为一般形式，由题意得，一元二次方程根的

判别式b2-4ac=(-5)2-4X1X(4-p2)=9+4p2,易得,9+4p2>0,从而得证.(2)

一元二次方程的解为x=2誓至，若方程有整数解，则9+4p2必须是完全平

方数，故当p=0、2、一2时，9+4p2分别对应9、25、25,此时方程的解分别

为整数.

11.解：；方程有两个实数根，."=3)2—4包2+42—2)力0,.,总

又<*]+x2=12a,xiX2=a2+4a—2,

.*.XI2+X22=(XI+X2)2—2xiX2=2(a—2)2—4.

且2(a—2)220,・••当a=g时，的值最小.

222

此时X1+X2=2(1-2)-4=1,即最小值为;.

点拨：本题中考虑/20从而确定a的取值范围这一过程易被忽略.

12.解：(1)设该市这两年(从2013年底到2015年底)拥有的养老床位数的年

平均增长率为x,由题意可列出方程：

2(1+X)2=2.88.

解得xi=0.2=20%,及=一2.2(不合题意，舍去).

答：该市这两年拥有的养老床位数的年平均增长率为20%.

(2)①因为规划建造单人间的房间数为f(10W/W30),则建造双人间的房间数

为2t,三人间的房间数为100—3f,由题意得：，+4/+3(100—3/)=200.解得片

25.

答：f的值是25.

②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，

由题意得：y=r+4r+3(100-3r)=-4r+300(10^r^30),

•.•%=-4<0,.'y随「的增大而减小.

当，=10时，y有最大值为300—4X10=260,

当f=30时，y有最小值为300-4X30=180.

答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180

个.

13.解：(1)设剪成的较短的一段为XC7H,则较长的一段为(40—X)C/W,由题

意，得饼2=58,解得xi=12,X2=28.当x=12时，较长的一段为40

—12=28(c〃z),当x=28时，较长的一段为40—28=12©〃)<28。加(舍去)....较

短的一段为12cm,较长的一段为28cm.

(2)小峰的说法正确.理由如下：设剪成的较短的一段为m。”则较长的一

段就为(40—m)cm,由题意得匕J+匕一J=48,变形为m2-40m+416=

15

0.=(-40)2—4X416=-64VO,.•.原方程无实数解，.•.小峰的说法正确，这

两个正方形的面积之和不可能等于48cm2.

14.解：•.^x=a是2x2+x—2=0的一个根，

2a2+a—2=0,即2a?+a=2.

原式=a2(2a2+a)+2a?+2a+1=2a2+2a2+2a+1=2(2a2+a)+1=5.

15.解：设2x+l=y,则原方程可变形为y2—3y=-2.

解得yi=Lyi=2.

当y=l时，有2x+l=l,所以x=0；

当y=2时，有2x+l=2,所以x=/.

所以原方程的解为Xl=0,X2=1.

点拨：利用换元法将复杂的一元二次方程转化为简单的一元二次方程来求

解.

16.(1)证明：△=[-(2R+l)F-4X4(k-，=4F-12A+9=(2Z-3)2.

•.•无论k取什么实数，均有(2k—3)220,

，无论k取什么实数，原方程总有实数根.

(2)解：•.'△ABC是等腰三角形，，有两条边长相等，若6=孰•・•>c是所

给方程的两个根，

3

.,./=(2k—3)2=0,即k=N

此时方程为X2—4X+4=0,.\b=c=2.

又•••a=4,.•.b+c=a,不符合三角形的三边关系定理，

•••不存在这种情况.

若b、c中有一值与a相等，不妨设b=a=4.

•••b是所给方程的根，

42—4Q&+1)+41一；)=0.

.,.无此时方程为X?—6x+8=0,.*.b=4,c=2.

Va=b=4,c=2,符合三角形的三边关系定理，

.'.△ABC的周长为a+b+c=4+4+2=10.

点拨：涉及等腰三角形的问题时，在没有指明底或腰的情况下，要先分类讨

论再求解，同时对所求得的解进行检验，取舍，即所得的解还必须满足三角形的

三边关系定理，不满足的解应舍去.

最新沪科版数学八年级下册18章专训1.证垂直在解题中的

应用

名师点金：

证垂直的方法：（1）在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线；（2）等

腰三角形中“三线合一”；（3）勾股定理的逆定理：在几何中，我们常常通过证

垂直，再利用垂直的性质来解各相关问题.

.凑期L利用三边的数量关系说明直角

1.如图，在aABC中，点D为BC边上一点，且AB=10,BD=6,AD=

8,AC=17,求CD的长.

BDC（第1题）

.M2：利用转化为三角形法构造直角三角形

2.如图，在四边形ABCD中，ZB=90°,AB=2,BC=下,CD=5,AD

=4,求S四边形ABCD.

。（第2题）

送缴更利用倍长中线法构造直角三角形

3.如图，在aABC中，D为边BC的中点，AB=5,AD=6,AC=13,求

证：AB±AD.

A

（第3题）

黄墨&利用化分散为集中法构造直角三角形

4.在AABC中，CA=CB,NACB=a,点P为AABC内一点，将CP绕

点C顺时针旋转a得到CD,连接AD.

(1)如图①，当a=60。，PA=10,PB=6,PC=8时，求NBPC的度数；

(2)如图②,当a=90。时,PA=3,PB=1,PC=2时，求NBPC的度数.

娄里,利用“三线合一”法构造直角三角形

5.如图①，在aABC中，CA=CB,ZACB=90°,D为AB的中点，M,

N分别为AC,BC上的点，且DMLDN.

(1)求证：CM+CN=A/2BD；

(2)如图②，若M,N分别在AC,CB的延长线上，探究CM,CN,BD之

间的数量关系.

(第5题)

专训2.全章热门考点整合应用

名师点金：

本章主要学习了勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用，勾股定理揭示了直

角三角形三边长之间的数量关系.它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长

的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后

学习直角三角形的依据之一.本章的考点可概括为：两个定理，两个应用.

考总工两个定理

定理1:勾股定理

1.如图，在心^ABC中，NC=90。，点D是BC上一点，AD=BD.若AB

=8,BD=5,求CD的长.

CD-------、（第1题）

定理2：勾股定理的逆定理

2.在4ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边.当a2+b2=c2

时，^ABC是直角三角形；当a2+b?Wc2时，利用代数式a?+b2和c2的大小关

系，可以判断AABC的形状(按角分类).

(1)请你通过画图探究并判断：当AABC三边长分别为6,8,9时，4ABC

为_______三角形；当AABC三边长分别为6,8,11时，Z^ABC为

三角形.

(2)小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2+b2>c2时，^ABC为锐

角三角形；当a2+b2«2时，ZXABC为钝角三角形.”请你根据小明的猜想完成

下面的问题：当a=2,b=4时，最长边c在什么范围内取值时，^ABC是锐角

三角形、直角三角形、钝角三角形？

:考点2两个应用

应用1：勾股定理的应用

3.如图，在公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处爆破.已知C与

公路上的停靠站A的距离为300m,与公路上的另一停靠站B的距离为400m,

且CA_LCB.为了安全起见，爆破点C周围半径250m范围内(包括250加)不得有

人进入.问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？需要暂时封锁吗？

应用2：勾股定理逆定理的应用

4.如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙

两艘巡逻艇立即从相距5nmile的A,B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达

C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行40〃机诋，乙巡逻艇每小时航行30〃

mile,航向为北偏西37。，问：甲巡逻艇的航向？

，,北c

上A

「（第4题）

答案

专训1

1.解：VAD2+BD2=100=AB2,

...△ABD为直角三角形，且NADB=90。.

在心Z\ACD中，CD2+AD2=AC2,

CD=^AC2-AD2=^/172-82=15.

2.解：连接AC.在R/7XACB中，AB2+BC2=AC2,

，AC=3,/.AC2+AD2=CD2.

...△ACD为直角三角形，且NCAD=90。，

'•S四边形ABCD=2X2X+/X3X4=6+"^^.

A

E

（第3题）

3.证明：如图，延长AD至点E,使DE=AD,连接CE,BE.

•••D为BC的中点，

，CD=BD.

又•.,AD=DE,ZADC=ZBDE,

/.△ADC^AEDB,

.,.BE=AC=13.

在AABE中，AE=2AD=12,

AAE2+AB2=122+52=169.

XVBE2=132=169,.,.AE24-AB2=BE2,

.'.△ABE是直角三角形，且NBAE=90。，即ABLAD.

点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用勾股定理

的逆定理证明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直.

4.解：（1）如图①，连接DP,易知4DCP为等边三角形，易证得

△CPB^ACDA,.•.NBPC=NADC,NCDP=60。，AD=6,DP=8,AAD2

+DP2=AP2,.\ZADP=90o,AZADC=150°,

.,.ZBPC=150°,

(2)如图②，连接DP,易得ADCP为等腰直角三角形，易证得

△CPB^ACDA,.".ZBPC=ZADC,ZCDP=45°,AD=1,DP=/CD=2啦,

.,.AD2+DP2=AP2,.,.ZADP=90°,.，.ZADC=135°,

•,.ZBPC=135°.

5.(1)证明：如图①，连接CD,VDM1DN,

.,.ZMDC+ZCDN=90°.

VZACB=90°,AC=CB,D为AB的中点，/.CD±AB,ZACD=ZBCD

=45°,，ZCDN+NNDB=90°.，ZMDC=ZNDB.

VCD1AB,NBCD=45°,

21

，CD=BD.在ACMD和aRND中，

VZMDC=ZNDB,ZMCD=ZNBD,CD=BD,

.,.△CMD^ABND,ACM=BN.ACM+CN=BN+CN=BC.

在7?/ACBD中，ZB=45°,NCDB=90。，，BC=V^BD.，CM+CN=V^BD.

⑵解:CN-

专训2

1.解：设CD=x,在RZ\ABC中,有AC2+(CD+BD)2=AB2,

整理，得AC2=AB2—(CD+BD)2=64—(x+5)2.①

在RtAADC中，有AC2+CD2=AD2,

整理，得AC2=AD2-CD?=25—x2.②

由①②两式，得64—(X+5)2=25—X2,解得X=1.4,即CD的长是1.4.

点拨：勾股定理反映了直角三角形三边长之间的数量关系，利用勾股定理列

方程思路清晰、直观易懂.

2.解：⑴锐角;钝角

(2)a2+b2=22+42=20,为最长边，2+4=6,，4Wc<6.

①由a?由b?>c2,得/<20,0<c<2小，.,.当4WcV2小时，这个三角形是

锐角三角形；

②由a2+b2=c2,得c2=20,c=2小，，当c=2小时，这个三角形是直

角三角形；

③由a?+b2<c2,得c2>20,c>2小，.,.当2小<c<6时，这个三角形是钝角

三角形.

3.解：如图，过点C作CD_LAB于点D.在放aABC中，因为BC?+AC2

=AB2,BC=400z/?,AC=300m,

所以AB2=4002+3002=5002,所以AB=500m.

22

BDA

(第3题)

ab

因为S/CZAABC=2-CD=^BC-AC,

所以500XCD=400X300,所以CD=240m.

因为240<250,所以公路AB段有危险，需要暂时封锁.

4.解：AC=40X0.1=4(〃〃”/e),BC=30X0.1=3(/1znz/e).

因为AB=5〃〃“7e,所以AB2=BC2+AC2,所以NACB=90°.

因为NCBA=9(r-37o=53。，所以NCAB=37。，

所以甲巡逻艇的航向为北偏东53°.

最新沪科版数学八年级下册19章专训1.利用特殊四边形的

性质巧解折叠问题

23

名师点金：

四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照

要求完成相应的计算和证明.折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与

原图形全等.

姜空！平行四边形的折叠问题

1.在DABCD中，AB=6,AD=8,NB是锐角，将4ACD沿对角线AC所

在直线折叠，点D落在AABC所在平面内的点E处.如果AE恰好经过BC的

中点，那么口ABCD的面积是.

2.如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在

点E处，AE恰好经过BC边的中点.若AB=3,BC=6,求/B的度数.

委矍Z矩形的折叠问题

3.(中考・衢州)如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的

点A，处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处.再

将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处.如图②.

(1)求证：EG=CH；

(2)已知AF=qi求AD和AB的长.

送集学菱形的折叠问题

4.如图，在菱形ABCD中，NA=12（r,E是AD上的点，沿BE折叠aABE,

点A恰好落在BD上的F点，连接CF,那么NBFC的度数是（）

A.60°B.70°C.75°D.80°

5.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O

处，折痕为EF.若菱形的边长为2,ZA=120°,求EF的长.

（第5题）

l型4正方形的折叠问题

A

（第6题）

6.如图，正方形纸片ABCD的边长AB=12,E是DC上一点，CE=5,折

叠正方形纸片使点B和点E重合，折痕为FG,则FG的长为.

7.（中考•德州）如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方

形AD边上的一点（不与点A,点D重合）.将正方形纸片折叠，使点B落在P

处，点C落在G处，PG交DC于H,折痕为EF,连接BP,BH.

（1）求证：ZAPB=ZBPH.

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结

>G

（第7题）

专训2.利用特殊四边形的性质巧解动点问题

名师点金：

利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运

25

用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)来解答.

沏泰通度芯平行四边形中的动点问题

1.如图，在口ABCD中，E,F两点在对角线BD上运动(E,F两点不重合),

且保持BE=DF,连接AE,CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关

系，并对你的猜想加以证明.

AD

测卷簧度?二矩形中的动点问题

2.已知，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF

分别交AD,BC于点E,F,垂足为O.

(1)如图①，连接AF,CE,试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

(2)如图②，动点P,Q分别从A,C两点同时出发，沿4AFB和4CDE各

边匀速运动一周.即点P自A-F-B-A停止，点Q自C-D-E-C停止.在

运动过程中，已知点P的速度为5c〃心，点Q的速度为4cm/s,运动时间为ts,

当以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.

则卷漉度3菱形中的动点问题

3.如图，在菱形ABCD中，ZB=60°,动点E在边BC上，动点F在边

CD上.

⑴如图①,若E是BC的中点，ZAEF=60°,求证：BE=DF；

(2)如图②，若NEAF=60。，求证：4AEF是等边三角形.

ADAD

BECBEC..

①②（第3题）

潮隆漉度上正方形中的动点问题

4.如图，正方形ABCD的边长为8c加，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,

DA上的动点，且AE=BF=CG=DH.

（1）求证：四边形EFGH是正方形；

（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由.

c（第4题）

专训3.特殊平行四边形中的五种常见热门题型

名师点金：

本章主要学习平行四边形'菱形'矩形、正方形的性质与判定的灵活应用，

其中特殊平行四边形中的折叠问题、动点问题'中点四边形问题、图形变换问题

是中考的热门考点.

Mi特殊平行四边形中的折叠问题

1.如图，将一张长为10c〃2,宽为8c机的矩形纸片对折两次后，沿所得矩

形两邻边中点的连线（图③中的虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）

A.10cm2B.20cm2

C.40cm2D.80cm2

2.（中考•泰安）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将aABE沿直线

BE折叠后得到aGBE,延长BG交CD于点F,若AB=6,BC=4般,则FD的

长为（）

A.2B.4C.^/6D.2小

3.如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB,CB均落在对角线BD上，

得折痕BE,BF,则/EBF的大小为（）

A.15°B.30°C.45°

特殊平行四边形中的动点问题

4.如图，在RfZSABC中，ZB=90°,AC=60cm,NA=60°.点D从点C

出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB

方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也

随之停止运动.设点D,E运动的时间是ts（0WtW15）.过点D作DFLBC于点

F,连接DE,EF.若四边形AEFD为菱形，则t的值为（）

A.5B.10

C.15D.20

5.如图，正方形ABCD的边长为4,NDAC的平分线交DC于点E.若点P,

Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是（）

A.2B.4C.2-J2D.4/

6题）

魄里3特殊平行四边形中的中点四边形问题

6.如图，在四边形ABCD中，AC=a,BD=b，且ACLBD,顺次连接四

边形ABCD各边中点，得到四边形AIBICID”再顺次连接四边形A1B1C1D1各

边中点，得到四边形A2B2c2D2,…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.下列

结论正确的是（）

①四边形A4B4c4D4是菱形；②四边形A3B3c3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7

的周长为小；④四边形AnBnCnDn的面积为*.

OZ

A.①②③B.②③④

C.①③④D.①②③④

7.（中考・广安）如图，已知E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点,

AB=6cm,ZABC=60°,则四边形EFGH的面积为.

（第7题）

（第8题）

邂要生特殊平行四边形中的图形变换问题

8.（中考・枣庄）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45。得到

正方形ABiGDi,边BiC与CD交于点0,则四边形ABQD的面积是（）

3