河南省顶尖名校高三下学期第二次素养调研数学（理）试题

2022届河南省顶尖名校高三下学期第二次素养调研数学（理）试题一、单选题1．复数的共轭复数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】运用复数的四则运算求得，再根据共轭复数的定义即可得到答案.【详解】因为，所以的共轭复数为.故选.2．已知集合，，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，然后由条件结合数轴可得答案.【详解】由解得或，则或，又，若，则.故选：.3．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由结合诱导公式可得答案.【详解】，故选:.C4．随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分.下图是20122020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这年的统计信息，下列说法正确的是（

）20122020年我国快递业务量变化情况A．这年我国快递业务量有增有减B．这年我国快递业务量同比增速的中位数为C．这年我国快递业务量同比增速的极差未超过D．这年我国快递业务量的平均数超过亿件【答案】D【分析】对于A，由条形图有变化进行判断即可；对于B，先对这9年的增速排列，找到第5个数就是中位数；对于C，求出极差进行判断；对于D，从条形图可知，自2016年起，各年的快递业务量远超过亿件，从而可得平均数超过亿件【详解】由条形图可知，这年我国快递业务量逐年增加，故错误；将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：，，，，，，，，，故中位数为第个数，故错误；这年我国快递业务量同比增速的极差为，故错误；由条形图可知，自2016年起，各年的快递业务量远超过亿件，故快递业务量的平均数超过亿件，正确.故选：D.5．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，则（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】先将已知条件用首项和公差表示，然后可得的倍数关系，然后将用的形式表示并结合倍数关系，即可求解出结果.【详解】设数列的公差为，因为，所以，所以，所以.故选：B.6．已知函数的导数为，则的图象在点处的切线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导函数，再令，得，求出，最后在点处的切线的斜率.【详解】，令，得，所以，所以，的图象在点处的切线的斜率为.故选:B.【点睛】关键点点睛：是的导函数值，是一个常数，所以在求导函数时要注意.7．在西方人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，这个比例被称为黄金分割比例.黄金分割比例符合人类潜意识里的审美观，给人以强烈的视觉美感，因此在绘画、设计、建筑等领域有着广泛的应用.如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分便很好地体现了黄金分割比例，其中矩形、矩形、矩形、矩形、矩形，则点恰好落在黄金矩形内的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题可设、、、、、，然后根据题意得出以及，最后求出矩形的面积以及矩形的面积，即可得出结果.【详解】如图，设，，，，，，则，故，，，，则矩形的面积，矩形的面积，故点恰好落在黄金矩形内的概率，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查几何概型的相关问题的求解，能否求出矩形的面积以及矩形的面积是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.8．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由的解析式分析得出其奇偶性和单调性,从而利用单调性和奇偶性解不等式即可得出答案.【详解】易知定义域为，且，故为偶函数，当时，为增函数，，故，即，即所以，则，或，解得或，所以，故选：.【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解答本题的关键是得出为偶函数和在上单调递增，由对数的性质结合函数为偶函数将不等式化为，即，再由单调性求解，属于中档题.9．一个长方体的平面展开图如图所示，其中，，，点为的中点，则将该长方体还原后，与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出该长方体还原后的直观图求解.【详解】将该长方体还原后的直观图如图所示，取的中点，则易证得，所以（或补角）即为异面直线与所成的角，易求得，，由余弦定理得.故选：B.10．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数，若满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据图象求解出的解析式，然后根据图象的平移变换求解出的解析式，由已知条件分析出的图象关于直线对称，即可根据求解出的值.【详解】法一：由图可知，，图象过点，，，.的图象过点，，，，，，由，得的图象关于直线对称，所以，，，又，所以，故选：.法二：，故图象对称轴可表示为，的图象的一条对称轴为，当时，可知的左侧图象离最近的对称轴为，故的最小值为，故选：.【点睛】方法点睛：根据正、余弦型函数（）的对称轴、对称中心求解参数的方法：（1）已知正、余弦型函数的对称轴，则必有，由此求解出参数；（2）已知正、余弦型函数的对称中心，则必有，由此求解出参数.11．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为A，，过点A的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为B，若，且，则的离心率为(

)A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由向量数量积等式推出l⊥x轴，求出点Q坐标，进而得点B坐标，再代入双曲线方程求解即得.【详解】由已知得，设，由，得，所以轴，即，不妨设点在第一象限，则.设，由，得，，，即，点在双曲线上，，整理得，，解得，或(负值舍去).故选C.故选：C【点睛】求解双曲线离心率的问题，根据条件建立关于a，b，c的齐次式，结合b2=c2a2转化为a，c的齐次式，再转化为关于e的方程，解之即可得e.12．已知数列的前项和为，，，记数列的前项和为.若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知递推关系先求的通项公式，用错位相减法求数列的前项的和，再变量分离不等式，构造新数列，确定新数列的单调性进而求最值.【详解】由，得，当时，，两式作差，得，化简得，当时，，，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列；，，，，错位相减得，，所以.令，则，故当时，，单调递增，且，当时，，单调递减，，，于是由题意得.故选:C.【点睛】方法点睛:确定数列问题中的参数取值范围（或最值），常通过变量分离，构造数列转化为求新数列的最值.二、填空题13．平面内单位向量满足则=_____________.【答案】【分析】由题可得，两边平方后结合是单位向量，即可求得结果.【详解】因为，故可得，则，则，又均为单位向量，则，解得.故答案为：.14．若实数，满足约束条件，则取最大值4时，的最小值为___________.【答案】2【分析】作出可行域，利用线性规划知识求出，再根据基本不等式可求出的最小值.【详解】作出可行域如图：联立，得，所以，因为，所以，将目标函数化为斜截式可得，因为直线的斜率为，所以由图可知，当直线经过时，，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故答案为：2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．孙子定理(又称中国剩余定理)是中国古代求解一次同余式组的方法.问题最早可见于南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题“物不知数”问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？它的基本解法之一是：列出用3整除余2的整数：2，5，8，11，14，17，20，23…，用5整除余3的整数：3，8，13，18，23，…，用7整除余2的整数：2，9，16，23…，则23就是“问物几何？”中“物”的最少件数，“物”的所有件数可用表示.试问：一个数被3除余1，被4除少1，被5除余4，则这个数最小是___________.【答案】19【分析】列举出被3除余1的整数有、被4除少1的整数、被5除余4的整数，从中找到同时满足条件的最小整数可得结果.【详解】因为被3除余1的整数有：被4除少1即被4除余3的整数有：被5除余4的整数有：所以这个数最小为.故答案为：1916．三棱锥的底面是边长为3的正三角形，面垂直底面，且，则三棱锥体积的最大值是___________.【答案】【分析】设到AB的距离为，，则可得，求出的最大值即可求出体积最大值.【详解】因为面垂直底面，则三棱锥的高即为到AB的距离，设为，，设，在中，，则，则，当，即时，，又，则三棱锥体积的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查三棱锥体积最值的求解，解题的关键是求出到AB的距离的最大值，根据题意能得出.三、解答题17．若函数的图象与直线（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成等差数列，且公差为.（1）函数的解析式；（2）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，且a、b、c成等比数列，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）、利用辅助角公式化简的表达式，由题意推导出周期,进一步利用求出即可求出函数表达式.（2）、由求,再根据a、b、c成等比数列求出，代入三角形面积公式得到答案.【详解】（1），的图象与直线相切，且切点的横坐标依次成等差数列，且公差为.，

∴.（2）由（1）知

∴，∵

∴

∴

又∵a、b、c成等比数列，，，∴.18．某慈善机构举办一次募捐演出,有一万人参加,每人一张门票,每张100元.在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张,其持有者获得价值1000元的奖品,并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮,电脑随机产生两个数,(,),随即按如右所示程序框图运行相应程序．若电脑显示”中奖”,则抽奖者获得9000元奖金;若电脑显示”谢谢”,则不中奖．(Ⅰ)已知小曹在第一轮抽奖中被抽中,求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率;(Ⅱ)若小叶参加了此次活动,求小叶参加此次活动收益的期望;(Ⅲ)若此次募捐除奖品和奖金外,不计其它支出,该机构想获得96万元的慈善款．问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）97；（Ⅲ）能达到预期目标.【分析】（Ⅰ）利用列举法，根据古典概型概率公式可得结果；（Ⅱ）设小叶参加此次活动的收益为，的可能取值为，利用古典概型概率公式与独立事件概率公式求出各随机变量对应的概率，可得分布列，利用期望公式可得结果；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，购票者每人收益期望为，该机构此次收益期望为元=万元，由可得结果.【详解】（Ⅰ）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有共9个，设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件，且事件所包含的基本事件有共2个，∴.（Ⅱ）设小叶参加此次活动的收益为，的可能取值为，，．∴的分布列为9009900∴．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，购票者每人收益期望为.∵有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其它支出，∴该机构此次收益期望为元=万元，∵，∴该慈善机构此次募捐能达到预期目标.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19．如图，菱形与正的边长均为，且平面平面，平面，且，（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）如图，作于，连，证明四边形是平行四边形得到答案.（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，计算平面和平面的法向量，根据向量夹角公式得到答案.【详解】（1）如图，作于，连，平面平面，，平面，平面，且，又平面，且，，且，故四边形是平行四边形，，平面，平面，故平面.（2），菱形，易知，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.则，有，设平面的一个法向量为，，，令，取，设平面的一个法向量为，由，，令，取，则，由题意知二面角是钝二面角，故二面角的余弦值是.【点睛】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理、用向量工具求二面角的方法，考查考生空间想象能力和运算求解能力.20．已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线交于点，证明：点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据已知确定基本量即可.（2）代入消元，运用韦达定理整体思想，求出的横坐标为定值得证.【详解】(1)当时，直线为，令，得.即椭圆的上顶点为，所以，又的周长为，即，又，解得，所以椭圆的方程为.(2)设，由，消去得，所以，又，所以直线的方程为，直线的方程为，联立直线、的方程得.由得代入上式，得，解得所以点在定直线上.21．已知函数，(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；(2)若，对，恒有成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求导函数，由恒成立，变量分离可得解.（2）构造函数，求导函数，再分类讨论得解.【详解】(1)因为在上单调递增，所以在恒成立，即在恒成立，当时，