2023届江苏炸无锡市锡山区数学九年级第一学期期末预测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE．若AE=6，DE=5，∠BEC=90°，则△BCE的周长是（）A．12 B．24 C．36 D．482．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB，若∠B＝25°，则∠P的度数为（）A．25° B．40° C．45° D．50°3．反比例函数y=的图象经过点（3，﹣2），下列各点在图象上的是（）A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，3）4．如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，O为AD的中点，以AD为直径的弧DE与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为（）A．π B． C．π+2 D．+45．若一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（）．A． B． C． D．6．如图，在扇形中，∠，，则阴影部分的面积是（）A． B．C． D．7．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（）A． B． C． D．8．如图所示，在矩形ABCD中，点F是BC的中点，DF的延长线与AB的延长线相交于点E，DE与AC相交于点O，若，则（）A．4 B．6 C．8 D．109．如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=140°，则∠BIC的度数为()A．110° B．125° C．130° D．140°10．已知一个几何体从三个不同方向看到的图形如图所示，则这个几何体是（）A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，矩形中，，，是边上的一点，且，点在矩形所在的平面中，且，则的最大值是_________．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=20，请用含α的式子表示BC的长___________．13．为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计发现共抛掷次啤酒瓶盖，凸面向上的次数为次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为_______________________(结果精确到)14．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，40min后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程（）与乙车行驶时间（）之间的函数图象如图所示，则下列说法：①②甲的速度是60km/h；③乙出发80min追上甲；④乙车在货站装好货准备离开时，甲车距B地150km；⑤当甲乙两车相距30km时，甲的行驶时间为1h、3h、h；其中正确的是__________．15．如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为_____．16．如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则ΔABE的面积为________cm217．⊙O的半径为10cm，点P到圆心O的距离为12cm，则点P和⊙O的位置关系是_____．18．如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是___________.三、解答题(共66分)19．（10分）已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB．（1）求证：DE＝OE；（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，求证：四边形ABCD是菱形．20．（6分）如图，在中，，于点，于点.（1）求证：；（2）若，求四边形的面积.21．（6分）“渝黔高速铁路”即将在2017年底通车，通车后，重庆到贵阳、广州等地的时间将大大缩短.9月初，铁路局组织甲、乙两种列车在该铁路上进行试验运行，现两种列车同时从重庆出发，以各自速度匀速向A地行驶，乙列车到达A地后停止，甲列车到达A地停留20分钟后，再按原路以另一速度匀速返回重庆，已知两种列车分别距A地的路程y(km)与时间x(h)之间的函数图象如图所示.当乙列车到达A地时，则甲列车距离重庆_____km.22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，请在图中画出旋转后的图形△A′B′C，点B′的坐标为________；（2）在（1）的条件下，求出点A经过的路径的长（结果保留π）．23．（8分）在如图网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝1．（1）试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并直接写出A、C两点的坐标；（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并直接写出点A2、B2、C2的坐标．24．（8分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间具有某种函数关系，其对应规律如下表所示售价x（元/本）…222324252627…销售量y（件）…363432302826…（1）请直接写出y与x的函数关系式：．（2）设该文店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，写出W与x之间的函数关系式，并求出该纪念册的销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册每周所获利润最大？最大利润是多少？25．（10分）如图，已知二次函数G1：y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，0）和（0，3），对称轴为直线x＝1．（1）求二次函数G1的解析式；（2）当﹣1＜x＜2时，求函数G1中y的取值范围；（3）将G1先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新二次函数G2，则函数G2的解析式是．（4）当直线y＝n与G1、G2的图象共有4个公共点时，直接写出n的取值范围．26．（10分）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE＝DB；（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】试题解析：△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，是的中点，∠BEC=90°，△BCE的周长故选B.点睛：三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半.2、B【分析】连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，根据切线定理可得∠OAP＝90°，继而推出∠P＝90°﹣50°＝40°．【详解】连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠P＝90°﹣50°＝40°，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是求出∠AOP的度数．3、D【解析】分析：直接利用反比例函数图象上点的坐标特点进而得出答案．详解：∵反比例函数y=的图象经过点（3，-2），∴xy=k=-6，A、（-3，-2），此时xy=-3×（-2）=6，不合题意；B、（3，2），此时xy=3×2=6，不合题意；C、（-2，-3），此时xy=-3×（-2）=6，不合题意；D、（-2，3），此时xy=-2×3=-6，符合题意；故选D．点睛：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出k的值是解题关键．4、A【分析】连接OE交BD于F，如图，利用切线的性质得到OE⊥BC，再证明四边形ODCE和四边形ABEO都是正方形得到BE=2，∠DOE=∠BEO=90°，易得△ODF≌△EBF，所以S△ODF=S△EBF，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=S扇形EOD计算即可．【详解】连接OE交BD于F，如图，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，∴OE⊥BC．∵四边形ABCD为矩形，OA=OD=2，而CD=2，∴四边形ODCE和四边形ABEO都是正方形，∴BE=2，∠DOE=∠BEO=90°．∵∠BFE=∠DFO，OD=BE，∴△ODF≌△EBF(AAS)，∴S△ODF=S△EBF，∴阴影部分的面积=S扇形EOD．故选：A．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形面积公式．5、C【分析】根据相似图形对应边成比例列出关系式即可求解.【详解】如图，矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD∽矩形BFEA，设矩形的长边长是a，短边长是b，则AB=CD=EF=b，AD=BC=a，BF=AE=，根据相似多边形对应边成比例得：，即∴∴故选C.【点睛】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边成比例建立方程是关键.6、D【分析】利用阴影部分的面积等于扇形面积减去的面积即可求解.【详解】=故选D【点睛】本题主要考查扇形面积和三角形面积，掌握扇形面积公式是解题的关键.7、B【分析】求出△ABC的三边长，再分别求出选项A、B、C、D中各三角形的三边长，根据三组对应边的比相等判定两个三角形相似，由此得到答案.【详解】如图，，AC=2，,A、三边依次为：，，1，∵，∴A选项中的三角形与不相似；B、三边依次为：、、1，∵，∴B选项中的三角形与相似；C、三边依次为：3、、，∵，∴C选项中的三角形与不相似；D、三边依次为：、、2，∵，∴D选项中的三角形与不相似；故选：B.【点睛】此题考查网格中三角形相似的判定，勾股定理，需根据勾股定理分别求每个三角形的边长，判断对应边的比是否相等是解题的关键.8、C【解析】由矩形的性质得出AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，由ASA证明△BEF≌△CDF，得出BE=CD=AB，则AE=2AB=2CD，再根据AOECOD,面积比等于相似比的平方即可。【详解】∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EBF=90°，

∵F为BC的中点，

∴BF=CF，

在△BEF和△CDF中，，

∴△BEF≌△CDF（ASA），

∴BE=CD=AB，

∴AE=2AB=2CD，

∵AB∥CD，∴AOECOD,∴=4:1∵∴=8故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握有关的性质与判定是解决问题的关键．9、B【解析】解：∵点O为△ABC的外心，∠BOC=140°，∴∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵点I为△ABC的内心，∴∠IBC+∠ICB=55°，∴∠BIC=125°．故选B.10、D【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥．【详解】解：主视图和左视图都是三角形，此几何体为椎体，俯视图是一个圆，此几何体为圆锥．故选：D．【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．二、填空题(每小题3分,共24分)11、5+.【分析】由四边形是矩形得到内接于，利用勾股定理求出直径BD的长，由确定点P在上，连接MO并延长，交于一点即为点P，此时PM最长，利用勾股定理求出OM，再加上OP即可得到PM的最大值.【详解】连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠BCD=90，AD=BC=8，∴BD=10，以BD的中点O为圆心5为半径作，∵，∴点P在上，连接MO并延长，交于一点即为点P,此时PM最长，且OP=5，过点O作OH⊥AD于点H,∴AH=AD=4，∵AM=2，∴MH=2，∵点O、H分别为BD、AD的中点，∴OH为△ABD的中位线，∴OH=AB=3，∴OM=,∴PM=OP+OM=5+.故答案为：5+.【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，确定PM的位置是重点，再分段求出OM及OP的长，即可进行计算.12、【分析】在直角三角形中，角的正切值等于其对边与邻边的比值，据此求解即可.【详解】在Rt△ABC中，∵∠A=α，AC=20，∴=，即BC=.故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角函数解直角三角形，熟练掌握相关概念是解题关键.13、【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．【详解】∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为10次，∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为＝0.1，故答案为：0.1．【点睛】本题主要考查概率的意义、等可能事件的概率，大量重复试验事件发生的频率约等于概率．14、②③【分析】根据一次函数的性质和该函数的图象对各项进行求解即可．【详解】∵线段DE代表乙车在途中的货站装货耗时半小时，∴a=4+0.5=4.5（小时），即①不成立；∵40分钟=小时，∴甲车的速度为460÷（7+）=60（千米/时），即②成立；设乙车刚出发时的速度为x千米/时，则装满货后的速度为（x﹣50）千米/时，根据题意可知：4x+（7﹣4.5）（x﹣50）=460，解得：x=1．乙车发车时，甲车行驶的路程为60×=40（千米），乙车追上甲车的时间为40÷（1﹣60）=（小时），小时=80分钟，即③成立；乙车刚到达货站时，甲车行驶的时间为（4+）小时，此时甲车离B地的距离为460﹣60×（4+）=180（千米），即④不成立．设当甲乙两车相距30km时，甲的行驶时间为x小时，由题意可得1）乙车未出发时，即解得∵∴是方程的解2）乙车出发时间为解得解得3）乙车出发时间为解得∵所以不成立4）乙车出发时间为解得故当甲乙两车相距30km时，甲的行驶时间为h、1h、3h、h，故⑤不成立故答案为：②③．【点睛】本题考查了两车的路程问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．15、π【分析】根据图示知，所以根据弧长公式求得的长．【详解】根据图示知，，∴的长为：．故答案为：．【点睛】本题考查了弧长的计算公式，掌握弧长的计算方法是解题的关键．16、6【解析】由折叠的性质可知AE与BE间的关系，根据勾股定理求出AE长可得面积.【详解】解：由题意可知BE=ED.因为AD=AE+DE=AE+BE=9cm，所以BE=9-AEcm.在RtΔABE中，根据勾股定理可知，AB2+AE2=BE2，所以32+A故答案为：6【点睛】本题考查了勾股定理，由折叠性质得出直角边与斜边的关系是解题的关键.17、点P在⊙O外【分析】根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【详解】解：∵⊙O的半径r=10cm，点P到圆心O的距离OP=12cm，∴OP＞r，∴点P在⊙O外，故答案为点P在⊙O外．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．18、或【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.【详解】∵正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，∴（1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点.设AG所在的直线的解析式为解得∴AG所在的直线的解析式为当时，，所以EC与AG的交点为（2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点设AE所在的直线的解析式为解得∴AE所在的直线的解析式为设CG所在的直线的解析式为解得∴AG所在的直线的解析式为联立解得∴AE与CG的交点为综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或故答案为或【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键.三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）先判断出∠2+∠3＝90°，再判断出∠1＝∠2即可得出结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，根据平行线的性质得到∠4＝∠1，根据全等三角形的性质得到∠CBO＝∠CDO＝90°，于是得到结论；（3）先判断出△ABO≌△CDE得出AB＝CD，即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判断出CD＝AD即可．【详解】（1）如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠2+∠3＝∠1+∠COD＝90°，∵DE＝EC，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠COD，∴DE＝OE；（2）∵OD＝OE，∴OD＝DE＝OE，∴∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴∠4＝∠1，∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，∴∠BOC＝∠DOC＝60°，在△CDO与△CBO中，，∴△CDO≌△CBO（SAS），∴∠CBO＝∠CDO＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（3）∵OA＝OB＝OE，OE＝DE＝EC，∴OA＝OB＝DE＝EC，∵AB∥CD，∴∠4＝∠1，∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，∴△ABO≌△CDE（AAS），∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAE＝∠DOE＝30°，∴∠1＝∠DAE，∴CD＝AD，∴▱ABCD是菱形．【点睛】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，判断出△ABO≌△CDE是解本题的关键．20、（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OC，先根据得出∠AOC=∠BOC，利用角平分线的性质即可得出结论；（2）在直角三角形中利用的特性结合勾股定理，利用面积公式即可求得的面积，同理可求得的面积，继而求得答案．【详解】（1）连接，∵，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，∴．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．21、300【分析】先设乙列车的速度为，甲列车以的速度向地行驶，到达地停留20分钟后，以的速度返回重庆，依据题意列方程，求得未知数的值，进而得到重庆到地的路程，以及乙列车到达地的时间，最后得出当乙列车到达地时，甲列车距离重庆的路程.【详解】解：设乙列车的速度为，甲列车以的速度向地行驶，到达地停留20分钟后，以的速度返回重庆，则根据3小时后，乙列车距离A地的路程为240，而甲列车到达地，可得，①根据甲列车到达地停留20分钟后，再返回重庆并与乙列车相遇的时刻为4小时，可得，②根据甲列车往返两地的路程相等，可得，③由①②③，可得，，，∴重庆到地的路程为（），∴乙列车到达地的时间为（），∴当乙列车到达地时，甲列车距离重庆的路程为（），故答案为：300.【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，解答要注意数形结合思想的运用，解决问题的关键是依据等量关系，列方程求解．22、（1）图见解析；B′的坐标为（﹣1，3）；（2）.【分析】（1）过点C作B′C⊥BC，根据网格特征使B′C=BC，作A′C⊥AC，使A′C=AC，连接A′B′，△A′B′C即为所求，根据B′位置得出B′坐标即可；（2）根据旋转的性质可得∠ACA′=90°，利用勾股定理可求出AC的长，利用弧长公式求出的长即可.【详解】（1）如图所示，△A′B′C即为所求；B′的坐标为（﹣1，3）．（2）∵A（3，3），C（0，﹣1）．∴AC＝＝5，∵∠ACA′＝90°，∴点A经过的路径的长为：＝.【点睛】本题考查旋转的性质及弧长公式，正确得出旋转后的对应边和旋转角是解题关键.23、（1）见解析；（2）（0，1），（﹣3，1）；（3）（0，﹣1），（3，﹣5），（3，﹣1）．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B1、C1即可；（2）利用B点坐标画出直角坐标系，然后写出A、C的坐标；（3）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．【详解】解：（1）如图，△AB1C1为所作；（2）如图，A点坐标为（0，1），C点的坐标为（﹣3，1）；（3）如图，△A2B2C2为所作，点A2、B2、C2的坐标烦恼为（0，﹣1），（3，﹣5），（3，﹣1）．【点睛】本题考查的是平面直角坐标系，需要熟练掌握旋转的性质以及平面直角坐标系中点的特征.24、（1）y＝﹣2x+2；（2）W＝﹣2x2+120x﹣1600；当该纪念册销售单价定为30元/件时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元【分析】（1）由表中数据可知，y是x的一次函数，设y=kx+b，代入表中的两组数据，即可得出函数解析式，再将其余数据验证一下更好；

（2）根据（售价-进价）×销售量=利润，列出函数关系式，再由二次函数的性质可得何时取最大值即可．【详解】（1）由表中数据可知，y是x的一次函数，设y＝kx+b，由题意得：解得∴y＝﹣2x+2检验：当x＝24时，y＝﹣2×24+2＝32；当x＝25时，y＝﹣2×25+2＝30；当x＝1时，y＝﹣2×1+2＝28；当x＝27时，y＝﹣2×27+2＝1．故y＝﹣2x+2符合要求．故答案为：y＝﹣2x+2．（2）W与x之间的函数关系式为：W＝（x﹣20）（﹣2x+2）＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，∵﹣2＜0∴当x＝30时，W的值最大，最大值为200元．∴W与x之间的函数