高考数学微专题集专题8利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题微点3利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合训练(原卷版+解析)

专题8利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题微点3利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合训练专题8利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题微点3利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合训练1．已知直线l与椭圆交于M，N两点，当______，面积最大，并且最大值为______.记，当面积最大时，_____﹐_______.Р是椭圆上一点，，当面积最大时，______.2．过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则面积最大值为_______.3．已知A，B，C分别是椭圆上的三个动点，则面积最大值为_____________.4．已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且，（是非零实数），求______________.5．已知椭圆C：，A，B是椭圆C上两点，且关于点对称，P是椭圆C外一点，满足，的中点均在椭圆C上，则点P的坐标是___________.6．已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，过作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于四点，若当两条弦垂直于轴时，点所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为______________.7．已知椭圆C：过点A(2，0)，B(0，1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.8．已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线：与椭圆有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；（Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点，证明：存在常数，使得，并求的值．9．分别是椭圆于的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；(2)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.10．已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点．（1）求点的轨迹的方程；（2）四边形的四个顶点都在曲线上，且对角线、过原点，若，求证：四边形的面积为定值，并求出此定值．专题8利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题微点3利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合训练专题8利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题微点3利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合训练1．已知直线l与椭圆交于M，N两点，当______，面积最大，并且最大值为______.记，当面积最大时，_____﹐_______.Р是椭圆上一点，，当面积最大时，______.2．过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则面积最大值为_______.3．已知A，B，C分别是椭圆上的三个动点，则面积最大值为_____________.4．已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且，（是非零实数），求______________.5．已知椭圆C：，A，B是椭圆C上两点，且关于点对称，P是椭圆C外一点，满足，的中点均在椭圆C上，则点P的坐标是___________.6．已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，过作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于四点，若当两条弦垂直于轴时，点所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为______________.7．已知椭圆C：过点A(2，0)，B(0，1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.8．已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线：与椭圆有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；（Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点，证明：存在常数，使得，并求的值．9．分别是椭圆于的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；(2)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.10．已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点．（1）求点的轨迹的方程；（2）四边形的四个顶点都在曲线上，且对角线、过原点，若，求证：四边形的面积为定值，并求出此定值．参考答案：1．

4

2

1分析：作伸缩变换，将椭圆变为圆，根据三角形面积公式求得当时，最大，进而依次计算可得.【详解】作变换此时椭圆变为圆，方程为，当时，最大，并且最大为，此时，.由于，，∴，，因为，所以.故答案为：；；4；2；1.2．##分析：利用仿射变换，将椭圆变换为圆，利用圆的性质求出面积的最大值，从而可求出面积最大值【详解】作变换之后椭圆变为圆，方程为，，由于，因此时面积最大，此时，那么，故答案为：3．##4.5分析：作变换之后椭圆变为圆，方程为，是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则，求出，代入即可得出答案.【详解】作变换之后椭圆变为圆，方程为，是圆的内接三角形，设的半径为，设所对应边长为，所以，当且仅当时取等，因为在上为凸函数，则，，当且仅当时取等，所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此，又因为，∴.故答案为：.4．1分析：设，由以及解出，代入椭圆方程求出；同理可得；进而求出的值．【详解】解法1：可得点，设，则，由可得，即有，，，两边同乘以，可得，解得，将代入椭圆方程可得，由可得，可得；故答案为：．解法2：作变换之后椭圆变为圆，方程为，，设，则，，∴，，∴.故答案为：．5．或.【解析】先利用点差法可求出直线AB的斜率为，即可得出直线方程，代入椭圆方程可求出A，B坐标，设出点P，则可表示出PA，PB中点坐标，代入椭圆方程即可求出点P坐标.【详解】设，A，B是椭圆C上两点，则，两式相减得，是AB中点，则，即，故直线AB斜率为，则直线AB方程为，即，将直线方程代入椭圆得，解得，则可得，设，则PA中点为，PB中点为，，的中点均在椭圆C上，则，解得或，的坐标为或.故答案为：或.【点睛】本题考查中点弦问题，解题的关键是先利用点差法求出直线斜率，进而求出A,B坐标，再结合题意求解.6．分析：利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时四点分别变换为四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点，当为多少时，能使得过的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大.【详解】作仿射变换，令，可得仿射坐标系，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆，点坐标分别为，过作两条平行的弦分别与圆交于四点.由平行四边形性质易知，三角形的面积为四点所形成的平行四边形面积的，故只需令三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到即可.当时，三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为.故答案为：.7．(1)；；(2)证明见解析.分析：(1)由顶点可求a和b，由可求c，则椭圆的方程可求，离心率为可求；(2)设，，求出、所在直线方程，得到，的坐标，求得，．由，结合在椭圆上求得四边形的面积为定值．（1）由题可知，，则，椭圆的方程为，离心率为；（2）设，，则，所在直线方程为，取，得；，所在直线方程为，取，得．，．．四边形的面积为定值2．【点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.8．（Ⅰ），点T坐标为（2,1）；（Ⅱ）.【详解】试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（Ⅰ）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y得关于x的方程有两个相等的实数根，解出b的值，从而得到椭圆E的方程；第（Ⅱ）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解.试题解析：（Ⅰ）由已知，，则椭圆E的方程为.由方程组得.①方程①的判别式为，由，得，此时方程①的解为，所以椭圆E的方程为.点T坐标为（2,1）.（Ⅱ）由已知可设直线的方程为，由方程组可得所以P点坐标为（），.设点A，B的坐标分别为.由方程组可得.②方程②的判别式为，由，解得.由②得.所以，同理，所以.故存在常数，使得.【考点】椭圆的标准方程及其几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入的值，这种方法是解析几何中的“设而不求”法，可减少计算量，简化解题过程．9．(1)(2)分析：（1）由题意可知、的坐标，设，表示出，，代入向量的数量积可得，由二次函数的性质计算可得.（2）设，，联立直线与椭圆方程消去整理可得，解方程可求，，根据点到直线的距离公式可求，点，到直线的距离，，代入四边形的面积为，结合基本不等式可求面积的最大值.(1)解：由题意可知，，，，设，，，由椭圆的性质可知，，，故，即.(2)解：设，，联立消去整理可得，，，，，直线的方程为：，根据点到直线的距离公式可知，点，到直线的距离分别为，，，，四边形的面积为，当且仅当即时，上式取等号，所以的最大值为.10．（1）；（2）证明详见解析，定值为．分析：（1）利用椭圆的定义即可得到点的轨迹的方程；（2）不妨设点、位于轴的上方，则直线的斜率存在，设的方程为，与椭圆方程联立，求出四边形的面积，即