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专题8利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题微点3利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合训练专题8利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题微点3利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合训练1.已知直线l与椭圆交于M,N两点,当______,面积最大,并且最大值为______.记,当面积最大时,_____﹐_______.Р是椭圆上一点,,当面积最大时,______.2.过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A,B两点,则面积最大值为_______.3.已知A,B,C分别是椭圆上的三个动点,则面积最大值为_____________.4.已知椭圆左顶点为,为椭圆上两动点,直线交于,直线交于,直线的斜率分别为且,(是非零实数),求______________.5.已知椭圆C:,A,B是椭圆C上两点,且关于点对称,P是椭圆C外一点,满足,的中点均在椭圆C上,则点P的坐标是___________.6.已知椭圆,分别为椭圆左右焦点,过作两条互相平行的弦,分别与椭圆交于四点,若当两条弦垂直于轴时,点所形成的平行四边形面积最大,则椭圆离心率的取值范围为______________.7.已知椭圆C:过点A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.8.已知椭圆:的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线:与椭圆有且只有一个公共点T.(Ⅰ)求椭圆的方程及点的坐标;(Ⅱ)设是坐标原点,直线平行于,与椭圆交于不同的两点、,且与直线交于点,证明:存在常数,使得,并求的值.9.分别是椭圆于的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点,求的取值范围;(2)设是它的两个顶点,直线与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.10.已知圆:,定点,是圆上的一动点,线段的垂直平分线交半径于点.(1)求点的轨迹的方程;(2)四边形的四个顶点都在曲线上,且对角线、过原点,若,求证:四边形的面积为定值,并求出此定值.专题8利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题微点3利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合训练专题8利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题微点3利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合训练1.已知直线l与椭圆交于M,N两点,当______,面积最大,并且最大值为______.记,当面积最大时,_____﹐_______.Р是椭圆上一点,,当面积最大时,______.2.过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A,B两点,则面积最大值为_______.3.已知A,B,C分别是椭圆上的三个动点,则面积最大值为_____________.4.已知椭圆左顶点为,为椭圆上两动点,直线交于,直线交于,直线的斜率分别为且,(是非零实数),求______________.5.已知椭圆C:,A,B是椭圆C上两点,且关于点对称,P是椭圆C外一点,满足,的中点均在椭圆C上,则点P的坐标是___________.6.已知椭圆,分别为椭圆左右焦点,过作两条互相平行的弦,分别与椭圆交于四点,若当两条弦垂直于轴时,点所形成的平行四边形面积最大,则椭圆离心率的取值范围为______________.7.已知椭圆C:过点A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.8.已知椭圆:的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线:与椭圆有且只有一个公共点T.(Ⅰ)求椭圆的方程及点的坐标;(Ⅱ)设是坐标原点,直线平行于,与椭圆交于不同的两点、,且与直线交于点,证明:存在常数,使得,并求的值.9.分别是椭圆于的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点,求的取值范围;(2)设是它的两个顶点,直线与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.10.已知圆:,定点,是圆上的一动点,线段的垂直平分线交半径于点.(1)求点的轨迹的方程;(2)四边形的四个顶点都在曲线上,且对角线、过原点,若,求证:四边形的面积为定值,并求出此定值.参考答案:1.
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1分析:作伸缩变换,将椭圆变为圆,根据三角形面积公式求得当时,最大,进而依次计算可得.【详解】作变换此时椭圆变为圆,方程为,当时,最大,并且最大为,此时,.由于,,∴,,因为,所以.故答案为:;;4;2;1.2.##分析:利用仿射变换,将椭圆变换为圆,利用圆的性质求出面积的最大值,从而可求出面积最大值【详解】作变换之后椭圆变为圆,方程为,,由于,因此时面积最大,此时,那么,故答案为:3.##4.5分析:作变换之后椭圆变为圆,方程为,是圆的内接三角形,圆的内接三角形面积最大时为等边三角形,则,求出,代入即可得出答案.【详解】作变换之后椭圆变为圆,方程为,是圆的内接三角形,设的半径为,设所对应边长为,所以,当且仅当时取等,因为在上为凸函数,则,,当且仅当时取等,所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形,因此,又因为,∴.故答案为:.4.1分析:设,由以及解出,代入椭圆方程求出;同理可得;进而求出的值.【详解】解法1:可得点,设,则,由可得,即有,,,两边同乘以,可得,解得,将代入椭圆方程可得,由可得,可得;故答案为:.解法2:作变换之后椭圆变为圆,方程为,,设,则,,∴,,∴.故答案为:.5.或.【解析】先利用点差法可求出直线AB的斜率为,即可得出直线方程,代入椭圆方程可求出A,B坐标,设出点P,则可表示出PA,PB中点坐标,代入椭圆方程即可求出点P坐标.【详解】设,A,B是椭圆C上两点,则,两式相减得,是AB中点,则,即,故直线AB斜率为,则直线AB方程为,即,将直线方程代入椭圆得,解得,则可得,设,则PA中点为,PB中点为,,的中点均在椭圆C上,则,解得或,的坐标为或.故答案为:或.【点睛】本题考查中点弦问题,解题的关键是先利用点差法求出直线斜率,进而求出A,B坐标,再结合题意求解.6.分析:利用仿射变换将椭圆变换为圆,此时四点分别变换为四点,由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质,故将上述题目中的椭圆变换为圆时,四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与轴垂直时取到,故只需研究在圆的一条直径上,取关于圆心对称的两点,当为多少时,能使得过的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻,与圆的四个交点所形成的面积最大.【详解】作仿射变换,令,可得仿射坐标系,在此坐标系中,上述椭圆变换为圆,点坐标分别为,过作两条平行的弦分别与圆交于四点.由平行四边形性质易知,三角形的面积为四点所形成的平行四边形面积的,故只需令三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到即可.当时,三角形面积的最大值在弦与轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为.故答案为:.7.(1);;(2)证明见解析.分析:(1)由顶点可求a和b,由可求c,则椭圆的方程可求,离心率为可求;(2)设,,求出、所在直线方程,得到,的坐标,求得,.由,结合在椭圆上求得四边形的面积为定值.(1)由题可知,,则,椭圆的方程为,离心率为;(2)设,,则,所在直线方程为,取,得;,所在直线方程为,取,得.,..四边形的面积为定值2.【点睛】解决定值定点方法一般有两种:(1)从特殊入手,求出定点、定值、定线,再证明定点、定值、定线与变量无关;(2)直接计算、推理,并在计算、推理的过程中消去变量,从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.8.(Ⅰ),点T坐标为(2,1);(Ⅱ).【详解】试题分析:本题考查椭圆的标准方程及其几何性质,考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第(Ⅰ)问,利用直线和椭圆只有一个公共点,联立方程,消去y得关于x的方程有两个相等的实数根,解出b的值,从而得到椭圆E的方程;第(Ⅱ)问,利用椭圆的几何性质,数形结合,根据根与系数的关系,进行求解.试题解析:(Ⅰ)由已知,,则椭圆E的方程为.由方程组得.①方程①的判别式为,由,得,此时方程①的解为,所以椭圆E的方程为.点T坐标为(2,1).(Ⅱ)由已知可设直线的方程为,由方程组可得所以P点坐标为(),.设点A,B的坐标分别为.由方程组可得.②方程②的判别式为,由,解得.由②得.所以,同理,所以.故存在常数,使得.【考点】椭圆的标准方程及其几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质,考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及直线与椭圆(圆锥曲线)的交点问题时,一般设交点坐标为,同时把直线方程与椭圆方程联立,消元后,可得,再把用表示出来,并代入的值,这种方法是解析几何中的“设而不求”法,可减少计算量,简化解题过程.9.(1)(2)分析:(1)由题意可知、的坐标,设,表示出,,代入向量的数量积可得,由二次函数的性质计算可得.(2)设,,联立直线与椭圆方程消去整理可得,解方程可求,,根据点到直线的距离公式可求,点,到直线的距离,,代入四边形的面积为,结合基本不等式可求面积的最大值.(1)解:由题意可知,,,,设,,,由椭圆的性质可知,,,故,即.(2)解:设,,联立消去整理可得,,,,,直线的方程为:,根据点到直线的距离公式可知,点,到直线的距离分别为,,,,四边形的面积为,当且仅当即时,上式取等号,所以的最大值为.10.(1);(2)证明详见解析,定值为.分析:(1)利用椭圆的定义即可得到点的轨迹的方程;(2)不妨设点、位于轴的上方,则直线的斜率存在,设的方程为,与椭圆方程联立,求出四边形的面积,即
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