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拓展五:导数中的隐零点问题(精讲)目录第一部分:知识点精准记忆第二部分:典型例题剖析第一部分:知识点精准记忆第一部分:知识点精准记忆1、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数,导函数方程的根存在,却无法求出,设方程的根为,则有:①关系式成立;②注意确定的合适范围.2、含参函数的隐零点问题已知含参函数,其中为参数,导函数方程的根存在,却无法求出,设方程的根为,则有①有关系式成立,该关系式给出了的关系;②注意确定的合适范围,往往和的范围有关.3、函数零点的存在性(1)函数零点存在性定理:设函数在闭区间上连续,且,那么在开区间内至少有函数的一个零点,即至少有一点,使得.①若,则的零点不一定只有一个,可以有多个②若,那么在不一定有零点③若在有零点,则不一定必须异号(3)若在上是单调函数且连续,则在的零点唯一.第二部分:第二部分:典型例题剖析1.(2023·湖北·高三阶段练习)已知函数,其中实数.(1)当时,求函数的单调性;(2)若函数有唯一零点,求的值.2.(2023·北京朝阳·高三阶段练习)己知函数.(1)若不等式恒成立,求实数a的取值范围;(2)判断函数的零点的个数3.(2023·河南省驻马店高级中学模拟预测(理))已知,R.(1)讨论函数的单调性;(2)若对任意的,恒成立,求整数a的最小值.4.(2023·四川·模拟预测(理))已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)若函数在上恒成立,求证:.(注:)5.(2023·四川省宜宾市第四中学校模拟预测(文))已知函数.(1)若有两个极值点,求实数a的取值范围;(2)当时,证明:.6.(2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测(文))已知.(1)若在区间上有且仅有一个极值点,求实数的取值范围;(2)在(1)的条件下,证明.7.(2023·江西师大附中三模(文))已知函数(e是自然对数的底数,).(1)设的导函数为,试讨论的单调性;(2)当时,若是的极大值点,判断并证明与大小关系.8.(2023·辽宁·抚顺市第二中学三模)已知函数(1)当时,证明函数有两个极值点;(2)当时,函数在上单调递减,证明9.(2023·河南·模拟预测(理))已知函数,.(1)若,求函数的最大值;(2)若函数的一个极值点为,求证:.10.(2023·陕西·交大附中模拟预测(文))已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若,对任意的恒成立,求m的最大值.11.(2023·海南·嘉积中学模拟预测)已知函数.(1)判断函数的单调性;(2)若对于任意的,都有,求整数的最大值.12.(2023·北京·北师大实验中学模拟预测)设函数.(1)若曲线在点处的切线斜率为1,求实数的值;(2)求的单调区间;(3)若,为整数,且当时,恒成立,求的最大值.13.(2023·陕西·模拟预测(文))已知函数.(1)讨论的单调性;(2)当时,设函数,若对任意的恒成立,求b的最小值.14.(2023·四川省内江市第六中学模拟预测(文))已知函数,其中.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,证明:.拓展五:导数中的隐零点问题(精讲)目录第一部分:知识点精准记忆第二部分:典型例题剖析第一部分:知识点精准记忆第一部分:知识点精准记忆1、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数,导函数方程的根存在,却无法求出,设方程的根为,则有:①关系式成立;②注意确定的合适范围.2、含参函数的隐零点问题已知含参函数,其中为参数,导函数方程的根存在,却无法求出,设方程的根为,则有①有关系式成立,该关系式给出了的关系;②注意确定的合适范围,往往和的范围有关.3、函数零点的存在性(1)函数零点存在性定理:设函数在闭区间上连续,且,那么在开区间内至少有函数的一个零点,即至少有一点,使得.①若,则的零点不一定只有一个,可以有多个②若,那么在不一定有零点③若在有零点,则不一定必须异号(3)若在上是单调函数且连续,则在的零点唯一.第二部分:第二部分:典型例题剖析1.(2023·湖北·高三阶段练习)已知函数,其中实数.(1)当时,求函数的单调性;(2)若函数有唯一零点,求的值.答案:(1)在上单调递增,在上单调递减(2)(1),令在上单调递增,即在上单调递增令,则,令,则在上单调递减,在上单调递增(2)令在上单调递增,即在上单调递增设,则当时,,所以在上单调递增当时,,所以在上单调递减所以所以,即所以又,所以存在唯一的,使得,即(1)当时,,在上单调递减当时,,在上单调递增所以,又因为函数有唯一的零点,所以,即(2)由(1)(2)得即令又因为所以函数在上单调递减,在上单调递增而,则代入(1)得综上:2.(2023·北京朝阳·高三阶段练习)己知函数.(1)若不等式恒成立,求实数a的取值范围;(2)判断函数的零点的个数答案:(1);(2)当或时,函数无零点;当时,函数有一个零点.(1)因为,∴,①若,因为,所有,所以,不符合题意;②若,由,令,因为,设方程两根为,则,不妨设,当时,在上,,单调递增,,不合题意;所以,故,即,这时,在上,,单调递减,所以恒成立;综上,a的取值范围是;(2)当时,因为,所有,所以,函数无零点;当时,(i)若,则,即,由(1)知,在上单调递增,上单调递减,,由,可知,又,所以存在使,所以当时,有一个零点;(ii)若,即时,则在上单调递减,,无零点;综上,当或时,函数无零点;当时,函数有一个零点.3.(2023·河南省驻马店高级中学模拟预测(理))已知,R.(1)讨论函数的单调性;(2)若对任意的,恒成立,求整数a的最小值.答案:(1)分类讨论见解析(2)2(1)由题意得的定义域为,,①时,,在内单调递减,②时,令得或(舍)当,单调递减当,,单调递增.(2)由题意得,整理得,因为,所以原命题等价于在区间内恒成立,令,则,令,易知在区间内单调递增,又,,故存在唯一的,使得,当时,,单调递增;当时,,单调递减;故当时,函数有极大值,也即为最大值,,故,又,故,又a为整数,故a的最小整数值为4.(2023·四川·模拟预测(理))已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)若函数在上恒成立,求证:.(注:)答案:(1)当时,在上单调递;当时,数在上单调递增;在上单调递减;(2)证明见解析.【详解】(1)由题知函数的定义域为,①当时,,此时函数在上单调递;②当时,令,得;令,得,所以函数在上单调递增;在上单调递减;综上,当时,在上单调递;当时,数在上单调递增;在上单调递减;(2)由题意,在上恒成立,可化为在上恒成立,设,则设,则,所以在上单调递增,又,所以方程有且只有一个实根,且,,所以在上,,单调递减,在上,,单调递增,所以函数的最小值为,从而.5.(2023·四川省宜宾市第四中学校模拟预测(文))已知函数.(1)若有两个极值点,求实数a的取值范围;(2)当时,证明:.答案:(1)(2)证明见解析(1)的定义域为,,由题意在上有两解,即,即有两解.令,即的图象与直线有两个交点.,得,当时,,递增;当时,,递减,,,时,;时,,,,a的取值范围是.(2)当时,,即证,即证,令,,令,则,当时,,在递增.,,存在唯一的,使得,当时,,递减;当时,,递增,.又,,,,,.6.(2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测(文))已知.(1)若在区间上有且仅有一个极值点,求实数的取值范围;(2)在(1)的条件下,证明.答案:(1)(2)证明见解析(1)解:,因为在区间上有且仅有一个极值点,所以在区间上有且仅有一个零点,设,当单调递减,因为,故只需,所以(2)解:由(1)知,在区间上有且仅有一个极值点,所以,即,所以所以,所以函数在上单调递增,所以,即,证毕.7.(2023·江西师大附中三模(文))已知函数(e是自然对数的底数,).(1)设的导函数为,试讨论的单调性;(2)当时,若是的极大值点,判断并证明与大小关系.答案:(1)答案见解析(2),证明见解析(1)∵,∴令,则.①若,则,所以单调递增;②若,则当时,,所以所以单调递减;当时,,所以单调递增;综上,当时,在上单调递增;当时在单调递减,在单调递增.(2)由(1)知,当时,在上单调递减,在上单调递增;∵,且故存在两个零点且.的符号及的单调性如下表所示:x+0-0+↗极大↘极小↗由于是的一个零点,故,所以于是,∵,∴所以.8.(2023·辽宁·抚顺市第二中学三模)已知函数(1)当时,证明函数有两个极值点;(2)当时,函数在上单调递减,证明答案:(1)证明见解析(2)证明见解析(1)定义域为当时令∵时,,单调递减,时,,单调递增所以使此时时,,单调递增,时,,单调递减时,,单调递增∴是函数的两个极值点.(2)∵在上单调递减∴恒成立∴恒成立①时,令∵,∴∴在单调递减,∴又∵∴,∴②时,,∵,∴∴,∴又∵,∴令令,∴∴单调递减,∵使,即时,单调递增时,单调递减∴∴∴,∴综上9.(2023·河南·模拟预测(理))已知函数,.(1)若,求函数的最大值;(2)若函数的一个极值点为,求证:.答案:(1)1(2)证明见解析(1)函数的其定义域为,若,,所以,由,得;由,得,所以的单调递增区间为,单调递减区间为,所以.(2),则由题意知,解得,经检验,符合题意,所以,所以要证,即证.令,则.令.则在上单调递增,因为,,所以,使得,即,所以当时,,当时,所以在上单调递减,在上单调递增.所以.又因为,即,所以,所以,即,即.10.(2023·陕西·交大附中模拟预测(文))已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若,对任意的恒成立,求m的最大值.答案:(1)递增区间为,递减区间为(2)3(1)函数的定义域为,由,令可得,当时,,函数在上单调递减,当时,,函数在上单调递增,∴函数的递增区间为,递减区间为.(2)当时,不等式可化为,设,由已知可得,又,令,则,∴在上为增函数,又,,∴存在,使得,即.当时,,函数在上单调递减,当时,,函数在上单调递增,∴,∴,∴m的最大值为3.11.(2023·海南·嘉积中学模拟预测)已知函数.(1)判断函数的单调性;(2)若对于任意的,都有,求整数的最大值.答案:(1)在上单调递增,在上单调递减;(2)3.(1)的定义域为,求导得:,令,则,令,则,所以在上单调递增,在上单调递减.(2),,令,,则,由(1)知,在上单调递增,且,则在区间内存在唯一的零点,使,即,则当时,,,有在上单调递减,当时,,,在上单调递增,于是得,因此,,所以整数的最大值为3.12.(2023·北京·北师大实验中学模拟预测)设函数.(1)若曲线在点处的切线斜率为1,求实数的值;(2)求的单调区间;(3)若,为整数,且当时,恒成立,求的最大值.答案:(1)(2)答案见解析(3)最大值为2(1)由已知条件得,在点处的切线斜率为,即,(2)的定义域为,,若,则,则在上单调递增;若,由得,由得,则单调递增区间为,单调递减区间为;(3)由得,整理得,当时,,即令,则.令,由(2)知,函数在上单调递增,其中,,∵由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点,即,∴在上,在上,∴在上,在上,∴在上单调递减,在上单调递增,∴在上的最小值为,又∵,∴,即,∴,且为整数,∴的最大值.13.(2023·陕西·模拟预测(文))已知函数.(1)讨论的单调性;(2)当时,设函数,若对任意的恒成立,求b的最小值.答案:(1)单调递减区间为,单调递增区间为;(2).【详解】(1)因为,所以,当时,;当时,,故的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)由,因为对任意的恒成立,对任意的恒成立,构造函数,.∵,∴,且单调递增,∵,,∴一定存在唯一的,使得.即,.∴在上单调
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