(人教A版2019选择性必修第一册)重难点题型精讲专题1.7空间向量及其运算的坐标表示(原卷版+解析)

专题1.7空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型精讲1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.②相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．3．空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．4．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b35．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).6．空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).【题型1求空间点的坐标】【方法点拨】(1)求某点M的坐标的方法：作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．(2)空间点对称问题的解题策略：①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．【例1】(2023春•溧阳市期中）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC→=(1，2A．（0，4，7） B．（﹣2，0，1） C．（2，0，﹣1） D．（2，0，1）【变式1-1】（2023秋•蕲春县期中）设点M（1，1，1），A（2，1，﹣1），O（0，0，0）．若OM→=ABA．（1，0，﹣2） B．（3，2，0） C．（1，0，2） D．（3，﹣2，0）【变式1-2】（2023秋•西昌市期末）空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为（）A．（﹣1，﹣2，﹣3） B．（1，2，﹣3） C．（1，﹣2，﹣3） D．（1，2，3）【变式1-3】（2023秋•新源县期末）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1＝60°，BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则点A1的坐标为（）A．(−1，3，1) B．(−3【题型2空间向量运算的坐标表示】【方法点拨】空间向量坐标运算的规律及注意点:(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．【例2】（2023秋•河池期末）已知a→=（1，2，3），b→=（0，﹣1，4），则2A．（﹣4，6，14） B．（﹣4，0，6） C．（﹣4，3，6） D．（2，1，18）【变式2-1】（2023秋•柯桥区期末）在空间直角坐标系中，向量a→=(2，−3，A．（0，1，10） B．（﹣4，7，0） C．（4，﹣7，0） D．（﹣4，﹣12，25）【变式2-2】（2023秋•乌兰察布月考）已知向量a→=（2，3，﹣4），b→=（﹣4，﹣3，﹣2），b→A．（0，3，﹣6） B．（0，6，﹣20） C．（0，6，﹣6） D．（6，6，﹣6）【变式2-3】（2023秋•和平区期末）已知a→=（2，﹣3，1），b=（2，0，3），c→=（0，1，﹣2），则aA．（4，﹣4，6） B．（﹣6，﹣6，﹣5） C．（10，0，7） D．（10，﹣6，19）【题型3空间向量数量积运算的坐标表示】【例3】（2023秋•黄陵县校级期末）已知a→=(−1，−3，A．﹣5 B．﹣7 C．3 D．1【变式3-1】(2023春•厦门期末）若A（2，﹣4，﹣1），B（﹣1，5，1），C（3，﹣4，1），则CA→A．﹣11 B．3 C．4 D．15【变式3-2】（2023秋•泉州期末）已知a→=(1，3，5)，A．（﹣∞，﹣4） B．（﹣∞，10） C．（﹣4，+∞） D．（10，+∞）【变式3-3】（2023秋•无锡期末）（理科）若向量a→、b→的坐标满足a→+b→=(−2A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7【题型4空间向量的模与两点间的距离】【方法点拨】求空间中两点间的距离的步骤:(1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标A()，B()；(2)利用公式|AB|=||==求A、B间的距离.【例4】（2023秋•临沂期末）若AB→=（﹣1，2，3），BC→=（1，﹣1，﹣A．5 B．10 C．5 D．10【变式4-1】(2023春•古田县校级月考）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，﹣1，1）关于y轴的对称点为B，则|AB|＝（）A．22 B．26 C．25 D．6【变式4-2】(2023•湛江校级模拟）已知向量a→=（0，﹣1，1），b→（4，1，0），|λa→+b→|=A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【变式4-3】(2023春•盐城期中）在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称点为点B'，若点C（1，1，﹣2）关于Oxz平面的对称点为点C'，则|B'C'|＝（）A．2 B．6 C．14 D．30【题型5空间向量夹角问题】【方法点拨】建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，求出相关向量的坐标表示，利用空间向量的夹角的余弦值公式进行求解即可.【例5】(2023春•内江期末）已知a→=(2，−2，A．48585 B．−48585 C．【变式5-1】（2023秋•禅城区校级期中）已知向量a→=(3，0，1)，b→=（k，2，0A．−2 B．2 C．﹣1 D．【变式5-2】（2023秋•渭滨区期末）已知a→=(1，0，1)，b→A．5π6 B．2π3 C．π3 【变式5-3】（2023秋•广东期中）已知向量a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，2，A．（﹣∞，﹣6） B．(−C．(103，+∞)【题型6空间向量的平行与垂直】【方法点拨】(1)利用空间向量证明两直线平行的步骤①建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；②求出直线的方向向量；③证明两向量共线；④说明其中一个向量所在直线上的点不在另一个向量所在直线上，即表示方向向量的有向线段不共线，即可得证.(2)利用空间向量证明两直线垂直的步骤①建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标；②求出直线的方向向量的坐标；③计算两向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直.【例6】（2023秋•迎江区校级月考）已知向量a→=(λ，−2，0)，b→A．1 B．1或﹣2 C．﹣2 D．2【变式6-1】（2023秋•安康期末）已知A（2，1，3），B（1，3，1），C（4，y，z），若AB→∥AC→，则y﹣2A．﹣20 B．﹣17 C．11 D．4【变式6-2】（2023秋•庆安县校级期末）已知AB→=（1，5，﹣2），BC→=（3，1，z），若A．5 B．2 C．3 D．4【变式6-3】（2023秋•屯溪区校级期中）已知向量a→=（1，1，0），b→=（﹣1，0，2），且ka→−A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2专题1.7空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型精讲1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.②相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．3．空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．4．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b35．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).6．空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).【题型1求空间点的坐标】【方法点拨】(1)求某点M的坐标的方法：作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．(2)空间点对称问题的解题策略：①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．【例1】(2023春•溧阳市期中）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC→=(1，2A．（0，4，7） B．（﹣2，0，1） C．（2，0，﹣1） D．（2，0，1）【解题思路】点A1的坐标为（a，b，c），由A1C1→【解答过程】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC→设点A1的坐标为（a，b，c），则由A1C1→=AC→，得（﹣1﹣a，2﹣b，4﹣c解得a＝﹣2，b＝0，c＝1，则点A1的坐标为（﹣2，0，1）．故选：B．【变式1-1】（2023秋•蕲春县期中）设点M（1，1，1），A（2，1，﹣1），O（0，0，0）．若OM→=ABA．（1，0，﹣2） B．（3，2，0） C．（1，0，2） D．（3，﹣2，0）【解题思路】根据空间向量的线性坐标运算法则，即可得解．【解答过程】解：设B（x，y，z），则AB→=（x﹣2，y﹣1，z因为OM→=AB→，OM→=（所以（1，1，1）＝（x﹣2，y﹣1，z+1），所以x＝3，y＝2，z＝0，即点B为（3，2，0）．故选：B．【变式1-2】（2023秋•西昌市期末）空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为（）A．（﹣1，﹣2，﹣3） B．（1，2，﹣3） C．（1，﹣2，﹣3） D．（1，2，3）【解题思路】直接利用点关于面的对称的应用求出结果．【解答过程】解：空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于平面yOz对称的点P1的坐标为B（1，2，﹣3）．故选：B．【变式1-3】（2023秋•新源县期末）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1＝60°，BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则点A1的坐标为（）A．(−1，3，1) B．(−3【解题思路】过A1作A1E⊥平面BCC1B1，垂足是E，连结B1E，C1E，则B1E∥OC1，C1E∥OB1，A1E∥AO，由此能求出点A1的坐标．【解答过程】解：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1＝60°，BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，过A1作A1E⊥平面BCC1B1，垂足是E，连结B1E，C1E，则B1E∥OC1，C1E∥OB1，A1E∥AO，∴点A1的坐标为（−3，1，1故选：B．【题型2空间向量运算的坐标表示】【方法点拨】空间向量坐标运算的规律及注意点:(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．【例2】（2023秋•河池期末）已知a→=（1，2，3），b→=（0，﹣1，4），则2A．（﹣4，6，14） B．（﹣4，0，6） C．（﹣4，3，6） D．（2，1，18）【解题思路】运用空间向量坐标的线性运算即可得出答案．【解答过程】解：由a→=（1，2，3），b→=（0，﹣可得2a→+3b→=2（1，2，3）+3（0，﹣1，4）＝（2故选：D．【变式2-1】（2023秋•柯桥区期末）在空间直角坐标系中，向量a→=(2，−3，A．（0，1，10） B．（﹣4，7，0） C．（4，﹣7，0） D．（﹣4，﹣12，25）【解题思路】进行向量坐标的加法运算即可．【解答过程】解：∵a→∴a→故选：A．【变式2-2】（2023秋•乌兰察布月考）已知向量a→=（2，3，﹣4），b→=（﹣4，﹣3，﹣2），b→A．（0，3，﹣6） B．（0，6，﹣20） C．（0，6，﹣6） D．（6，6，﹣6）【解题思路】推导出c→=4【解答过程】解：∵向量a→=（2，3，﹣4），b→=（﹣4，﹣3，﹣2），∴c→=4a→+2b→=（8，12，﹣16）+（﹣8，﹣6，﹣4故选：B．【变式2-3】（2023秋•和平区期末）已知a→=（2，﹣3，1），b=（2，0，3），c→=（0，1，﹣2），则aA．（4，﹣4，6） B．（﹣6，﹣6，﹣5） C．（10，0，7） D．（10，﹣6，19）【解题思路】使用向量的坐标运算计算．【解答过程】解：a→+4b→−3c→=（2，﹣3，1）+（8，0，12）﹣（0，3，﹣6）＝（故选：D．【题型3空间向量数量积运算的坐标表示】【例3】（2023秋•黄陵县校级期末）已知a→=(−1，−3，A．﹣5 B．﹣7 C．3 D．1【解题思路】利用向量空间向量坐标运算法则求解．【解答过程】解：∵a→=(−1，∴a→⋅b→=−1故选：B．【变式3-1】(2023春•厦门期末）若A（2，﹣4，﹣1），B（﹣1，5，1），C（3，﹣4，1），则CA→A．﹣11 B．3 C．4 D．15【解题思路】先求出CA→【解答过程】解：由已知，CA→=（2﹣3，﹣4﹣（﹣4），﹣1﹣1）＝（﹣1，0，﹣CB→=（﹣1﹣3，5﹣（﹣4），1﹣1）＝（﹣4，9，∴CA→⋅CB→故选：C．【变式3-2】（2023秋•泉州期末）已知a→=(1，3，5)，A．（﹣∞，﹣4） B．（﹣∞，10） C．（﹣4，+∞） D．（10，+∞）【解题思路】利用向量数量积公式直接求解．【解答过程】解：∵a→=(1，3，∴a→⋅b→=2+18+5x＜0∴x的取值范围是（﹣∞，﹣4）．故选：A．【变式3-3】（2023秋•无锡期末）（理科）若向量a→、b→的坐标满足a→+b→=(−2A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7【解题思路】利用向量的运算和数量积运算即可得出．【解答过程】解：∵a→=12[(a→b→=12[(a→∴a→⋅b→=1×（﹣3）﹣2故选：B．【题型4空间向量的模与两点间的距离】【方法点拨】求空间中两点间的距离的步骤:(1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标A()，B()；(2)利用公式|AB|=||==求A、B间的距离.【例4】（2023秋•临沂期末）若AB→=（﹣1，2，3），BC→=（1，﹣1，﹣A．5 B．10 C．5 D．10【解题思路】求出AC→=AB【解答过程】解：∵AB→=（﹣1，2，3），BC→=（1，﹣∴AC→=AB→+BC→则|AC故选：A．【变式4-1】(2023春•古田县校级月考）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，﹣1，1）关于y轴的对称点为B，则|AB|＝（）A．22 B．26 C．25 D．6【解题思路】首先求出关于y轴的对称点坐标，再根据空间两点的距离公式计算可得结果．【解答过程】解：点A（2，﹣1，1）关于y轴的对称点为B（﹣2，﹣1，﹣1），∴|AB|=(−2−2)2故选：C．【变式4-2】(2023•湛江校级模拟）已知向量a→=（0，﹣1，1），b→（4，1，0），|λa→+b→|=A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【解题思路】对|λa→+b【解答过程】解：|a→|=2，|b→|=17∵|λa→+b→|=29，∴（λa→+b→）2＝29．即λ2|a→|2+2λa→⋅b→+|b→|2＝29，∴2λ故选：D．【变式4-3】(2023春•盐城期中）在空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称点为点B'，若点C（1，1，﹣2）关于Oxz平面的对称点为点C'，则|B'C'|＝（）A．2 B．6 C．14 D．30【解题思路】写出B关于x轴的对称点B'，点C关于Oxz平面的对称点C'，再计算|B'C'|的值．【解答过程】解：空间直角坐标系中，B（﹣1，2，3）关于x轴的对称点为点B'（﹣1，﹣2，﹣3），点C（1，1，﹣2）关于Oxz平面的对称点为点C'（1，﹣1，﹣2），所以|B'C'|=(1+1)故选：B．【题型5空间向量夹角问题】【方法点拨】建立适当的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，求出相关向量的坐标表示，利用空间向量的夹角的余弦值公式进行求解即可.【例5】(2023春•内江期末）已知a→=(2，−2，A．48585 B．−48585 C．【解题思路】利用空间向量的夹角余弦值公式cos＜【解答过程】解：∵a→=(2，∴cos＜故选：B．【变式5-1】（2023秋•禅城区校级期中）已知向量a→=(3，0，1)，b→=（k，2，0A．−2 B．2 C．﹣1 D．【解题思路】根据空间向量坐标求得|a→|=3+1=2【解答过程】解：因为a→=(3，0，1)则|a所以cos〈可知k＜0，解得：k=−故选：A．【变式5-2】（2023秋•渭滨区期末）已知a→=(1，0，1)，b→A．5π6 B．2π3 C．π3 【解题思路】通过空间向量的数量积求解x，然后求解向量的夹角．【解答过程】解：a→=(1，0，可得x﹣2＝﹣3，解得x＝﹣1，向量a→与b→的夹角为θ，cosθ=−32⋅1+1+4=−所以θ=5π故选：A．【变式5-3】（2023秋•广东期中）已知向量a→=（2，﹣1，3