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文档简介
专题1.7空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型精讲1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i,j,k)),以O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.②相关概念:O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.2.空间一点的坐标在空间直角坐标系O-xyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→)),且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使eq\o(OA,\s\up6(→))=xi+yj+zk.在单位正交基底{i,j,k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x,y,z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.3.空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作eq\o(OA,\s\up6(→))=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z).4.空间向量的坐标运算设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),有向量运算向量表示坐标表示加法a+ba+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)减法a-ba-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)数乘λaλa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R数量积a·ba·b=a1b1+a2b2+a3b35.空间向量的平行、垂直及模、夹角设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则有当b≠0时,a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0;|a|=eq\r(a·a)=eq\r(a\o\al(2,1)+a\o\al(2,2)+a\o\al(2,3));cos〈a,b〉=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(a1b1+a2b2+a3b3,\r(a\o\al(2,1)+a\o\al(2,2)+a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)+b\o\al(2,2)+b\o\al(2,3))).6.空间两点间的距离公式设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则P1P2=|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|=eq\r(x2-x12+y2-y12+z2-z12).【题型1求空间点的坐标】【方法点拨】(1)求某点M的坐标的方法:作MM′垂直平面xOy,垂足M′,求M′的横坐标x,纵坐标y,即点M的横坐标x,纵坐标y,再求M点在z轴上射影的竖坐标z,即为M点的竖坐标z,于是得到M点的坐标(x,y,z).(2)空间点对称问题的解题策略:①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,才能准确求解.②对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论.【例1】(2023春•溧阳市期中)平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AC→=(1,2A.(0,4,7) B.(﹣2,0,1) C.(2,0,﹣1) D.(2,0,1)【变式1-1】(2023秋•蕲春县期中)设点M(1,1,1),A(2,1,﹣1),O(0,0,0).若OM→=ABA.(1,0,﹣2) B.(3,2,0) C.(1,0,2) D.(3,﹣2,0)【变式1-2】(2023秋•西昌市期末)空间直角坐标系中,点P(﹣1,2,﹣3)关于平面yOz对称的点P1的坐标为()A.(﹣1,﹣2,﹣3) B.(1,2,﹣3) C.(1,﹣2,﹣3) D.(1,2,3)【变式1-3】(2023秋•新源县期末)如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C是边长为2菱形,∠CBB1=60°,BC1交B1C于点O,AO⊥侧面BB1C1C,且△AB1C为等腰直角三角形,如图建立空间直角坐标系O﹣xyz,则点A1的坐标为()A.(−1,3,1) B.(−3【题型2空间向量运算的坐标表示】【方法点拨】空间向量坐标运算的规律及注意点:(1)由点的坐标求向量坐标:空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定;(2)直接计算问题:首先将空间向量用坐标表示出来,然后代入公式计算.(3)由条件求向量或点的坐标:把向量坐标形式设出来,通过解方程(组),求出其坐标.【例2】(2023秋•河池期末)已知a→=(1,2,3),b→=(0,﹣1,4),则2A.(﹣4,6,14) B.(﹣4,0,6) C.(﹣4,3,6) D.(2,1,18)【变式2-1】(2023秋•柯桥区期末)在空间直角坐标系中,向量a→=(2,−3,A.(0,1,10) B.(﹣4,7,0) C.(4,﹣7,0) D.(﹣4,﹣12,25)【变式2-2】(2023秋•乌兰察布月考)已知向量a→=(2,3,﹣4),b→=(﹣4,﹣3,﹣2),b→A.(0,3,﹣6) B.(0,6,﹣20) C.(0,6,﹣6) D.(6,6,﹣6)【变式2-3】(2023秋•和平区期末)已知a→=(2,﹣3,1),b=(2,0,3),c→=(0,1,﹣2),则aA.(4,﹣4,6) B.(﹣6,﹣6,﹣5) C.(10,0,7) D.(10,﹣6,19)【题型3空间向量数量积运算的坐标表示】【例3】(2023秋•黄陵县校级期末)已知a→=(−1,−3,A.﹣5 B.﹣7 C.3 D.1【变式3-1】(2023春•厦门期末)若A(2,﹣4,﹣1),B(﹣1,5,1),C(3,﹣4,1),则CA→A.﹣11 B.3 C.4 D.15【变式3-2】(2023秋•泉州期末)已知a→=(1,3,5),A.(﹣∞,﹣4) B.(﹣∞,10) C.(﹣4,+∞) D.(10,+∞)【变式3-3】(2023秋•无锡期末)(理科)若向量a→、b→的坐标满足a→+b→=(−2A.﹣1 B.﹣5 C.5 D.7【题型4空间向量的模与两点间的距离】【方法点拨】求空间中两点间的距离的步骤:(1)建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标A(),B();(2)利用公式|AB|=||==求A、B间的距离.【例4】(2023秋•临沂期末)若AB→=(﹣1,2,3),BC→=(1,﹣1,﹣A.5 B.10 C.5 D.10【变式4-1】(2023春•古田县校级月考)在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A(2,﹣1,1)关于y轴的对称点为B,则|AB|=()A.22 B.26 C.25 D.6【变式4-2】(2023•湛江校级模拟)已知向量a→=(0,﹣1,1),b→(4,1,0),|λa→+b→|=A.﹣2 B.2 C.﹣3 D.3【变式4-3】(2023春•盐城期中)在空间直角坐标系中,B(﹣1,2,3)关于x轴的对称点为点B',若点C(1,1,﹣2)关于Oxz平面的对称点为点C',则|B'C'|=()A.2 B.6 C.14 D.30【题型5空间向量夹角问题】【方法点拨】建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标,求出相关向量的坐标表示,利用空间向量的夹角的余弦值公式进行求解即可.【例5】(2023春•内江期末)已知a→=(2,−2,A.48585 B.−48585 C.【变式5-1】(2023秋•禅城区校级期中)已知向量a→=(3,0,1),b→=(k,2,0A.−2 B.2 C.﹣1 D.【变式5-2】(2023秋•渭滨区期末)已知a→=(1,0,1),b→A.5π6 B.2π3 C.π3 【变式5-3】(2023秋•广东期中)已知向量a→=(2,﹣1,3),b→=(﹣4,2,A.(﹣∞,﹣6) B.(−C.(103,+∞)【题型6空间向量的平行与垂直】【方法点拨】(1)利用空间向量证明两直线平行的步骤①建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;②求出直线的方向向量;③证明两向量共线;④说明其中一个向量所在直线上的点不在另一个向量所在直线上,即表示方向向量的有向线段不共线,即可得证.(2)利用空间向量证明两直线垂直的步骤①建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;②求出直线的方向向量的坐标;③计算两向量的数量积为0;④由方向向量垂直得到两直线垂直.【例6】(2023秋•迎江区校级月考)已知向量a→=(λ,−2,0),b→A.1 B.1或﹣2 C.﹣2 D.2【变式6-1】(2023秋•安康期末)已知A(2,1,3),B(1,3,1),C(4,y,z),若AB→∥AC→,则y﹣2A.﹣20 B.﹣17 C.11 D.4【变式6-2】(2023秋•庆安县校级期末)已知AB→=(1,5,﹣2),BC→=(3,1,z),若A.5 B.2 C.3 D.4【变式6-3】(2023秋•屯溪区校级期中)已知向量a→=(1,1,0),b→=(﹣1,0,2),且ka→−A.1 B.﹣2 C.﹣1 D.2专题1.7空间向量及其运算的坐标表示-重难点题型精讲1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(i,j,k)),以O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.②相关概念:O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.2.空间一点的坐标在空间直角坐标系O-xyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→)),且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使eq\o(OA,\s\up6(→))=xi+yj+zk.在单位正交基底{i,j,k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x,y,z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.3.空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作eq\o(OA,\s\up6(→))=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z).4.空间向量的坐标运算设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),有向量运算向量表示坐标表示加法a+ba+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)减法a-ba-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)数乘λaλa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R数量积a·ba·b=a1b1+a2b2+a3b35.空间向量的平行、垂直及模、夹角设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则有当b≠0时,a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0;|a|=eq\r(a·a)=eq\r(a\o\al(2,1)+a\o\al(2,2)+a\o\al(2,3));cos〈a,b〉=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(a1b1+a2b2+a3b3,\r(a\o\al(2,1)+a\o\al(2,2)+a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)+b\o\al(2,2)+b\o\al(2,3))).6.空间两点间的距离公式设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则P1P2=|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|=eq\r(x2-x12+y2-y12+z2-z12).【题型1求空间点的坐标】【方法点拨】(1)求某点M的坐标的方法:作MM′垂直平面xOy,垂足M′,求M′的横坐标x,纵坐标y,即点M的横坐标x,纵坐标y,再求M点在z轴上射影的竖坐标z,即为M点的竖坐标z,于是得到M点的坐标(x,y,z).(2)空间点对称问题的解题策略:①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,才能准确求解.②对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论.【例1】(2023春•溧阳市期中)平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AC→=(1,2A.(0,4,7) B.(﹣2,0,1) C.(2,0,﹣1) D.(2,0,1)【解题思路】点A1的坐标为(a,b,c),由A1C1→【解答过程】解:平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AC→设点A1的坐标为(a,b,c),则由A1C1→=AC→,得(﹣1﹣a,2﹣b,4﹣c解得a=﹣2,b=0,c=1,则点A1的坐标为(﹣2,0,1).故选:B.【变式1-1】(2023秋•蕲春县期中)设点M(1,1,1),A(2,1,﹣1),O(0,0,0).若OM→=ABA.(1,0,﹣2) B.(3,2,0) C.(1,0,2) D.(3,﹣2,0)【解题思路】根据空间向量的线性坐标运算法则,即可得解.【解答过程】解:设B(x,y,z),则AB→=(x﹣2,y﹣1,z因为OM→=AB→,OM→=(所以(1,1,1)=(x﹣2,y﹣1,z+1),所以x=3,y=2,z=0,即点B为(3,2,0).故选:B.【变式1-2】(2023秋•西昌市期末)空间直角坐标系中,点P(﹣1,2,﹣3)关于平面yOz对称的点P1的坐标为()A.(﹣1,﹣2,﹣3) B.(1,2,﹣3) C.(1,﹣2,﹣3) D.(1,2,3)【解题思路】直接利用点关于面的对称的应用求出结果.【解答过程】解:空间直角坐标系中,点P(﹣1,2,﹣3)关于平面yOz对称的点P1的坐标为B(1,2,﹣3).故选:B.【变式1-3】(2023秋•新源县期末)如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C是边长为2菱形,∠CBB1=60°,BC1交B1C于点O,AO⊥侧面BB1C1C,且△AB1C为等腰直角三角形,如图建立空间直角坐标系O﹣xyz,则点A1的坐标为()A.(−1,3,1) B.(−3【解题思路】过A1作A1E⊥平面BCC1B1,垂足是E,连结B1E,C1E,则B1E∥OC1,C1E∥OB1,A1E∥AO,由此能求出点A1的坐标.【解答过程】解:三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C是边长为2菱形,∠CBB1=60°,BC1交B1C于点O,AO⊥侧面BB1C1C,且△AB1C为等腰直角三角形,如图建立空间直角坐标系O﹣xyz,过A1作A1E⊥平面BCC1B1,垂足是E,连结B1E,C1E,则B1E∥OC1,C1E∥OB1,A1E∥AO,∴点A1的坐标为(−3,1,1故选:B.【题型2空间向量运算的坐标表示】【方法点拨】空间向量坐标运算的规律及注意点:(1)由点的坐标求向量坐标:空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定;(2)直接计算问题:首先将空间向量用坐标表示出来,然后代入公式计算.(3)由条件求向量或点的坐标:把向量坐标形式设出来,通过解方程(组),求出其坐标.【例2】(2023秋•河池期末)已知a→=(1,2,3),b→=(0,﹣1,4),则2A.(﹣4,6,14) B.(﹣4,0,6) C.(﹣4,3,6) D.(2,1,18)【解题思路】运用空间向量坐标的线性运算即可得出答案.【解答过程】解:由a→=(1,2,3),b→=(0,﹣可得2a→+3b→=2(1,2,3)+3(0,﹣1,4)=(2故选:D.【变式2-1】(2023秋•柯桥区期末)在空间直角坐标系中,向量a→=(2,−3,A.(0,1,10) B.(﹣4,7,0) C.(4,﹣7,0) D.(﹣4,﹣12,25)【解题思路】进行向量坐标的加法运算即可.【解答过程】解:∵a→∴a→故选:A.【变式2-2】(2023秋•乌兰察布月考)已知向量a→=(2,3,﹣4),b→=(﹣4,﹣3,﹣2),b→A.(0,3,﹣6) B.(0,6,﹣20) C.(0,6,﹣6) D.(6,6,﹣6)【解题思路】推导出c→=4【解答过程】解:∵向量a→=(2,3,﹣4),b→=(﹣4,﹣3,﹣2),∴c→=4a→+2b→=(8,12,﹣16)+(﹣8,﹣6,﹣4故选:B.【变式2-3】(2023秋•和平区期末)已知a→=(2,﹣3,1),b=(2,0,3),c→=(0,1,﹣2),则aA.(4,﹣4,6) B.(﹣6,﹣6,﹣5) C.(10,0,7) D.(10,﹣6,19)【解题思路】使用向量的坐标运算计算.【解答过程】解:a→+4b→−3c→=(2,﹣3,1)+(8,0,12)﹣(0,3,﹣6)=(故选:D.【题型3空间向量数量积运算的坐标表示】【例3】(2023秋•黄陵县校级期末)已知a→=(−1,−3,A.﹣5 B.﹣7 C.3 D.1【解题思路】利用向量空间向量坐标运算法则求解.【解答过程】解:∵a→=(−1,∴a→⋅b→=−1故选:B.【变式3-1】(2023春•厦门期末)若A(2,﹣4,﹣1),B(﹣1,5,1),C(3,﹣4,1),则CA→A.﹣11 B.3 C.4 D.15【解题思路】先求出CA→【解答过程】解:由已知,CA→=(2﹣3,﹣4﹣(﹣4),﹣1﹣1)=(﹣1,0,﹣CB→=(﹣1﹣3,5﹣(﹣4),1﹣1)=(﹣4,9,∴CA→⋅CB→故选:C.【变式3-2】(2023秋•泉州期末)已知a→=(1,3,5),A.(﹣∞,﹣4) B.(﹣∞,10) C.(﹣4,+∞) D.(10,+∞)【解题思路】利用向量数量积公式直接求解.【解答过程】解:∵a→=(1,3,∴a→⋅b→=2+18+5x<0∴x的取值范围是(﹣∞,﹣4).故选:A.【变式3-3】(2023秋•无锡期末)(理科)若向量a→、b→的坐标满足a→+b→=(−2A.﹣1 B.﹣5 C.5 D.7【解题思路】利用向量的运算和数量积运算即可得出.【解答过程】解:∵a→=12[(a→b→=12[(a→∴a→⋅b→=1×(﹣3)﹣2故选:B.【题型4空间向量的模与两点间的距离】【方法点拨】求空间中两点间的距离的步骤:(1)建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标A(),B();(2)利用公式|AB|=||==求A、B间的距离.【例4】(2023秋•临沂期末)若AB→=(﹣1,2,3),BC→=(1,﹣1,﹣A.5 B.10 C.5 D.10【解题思路】求出AC→=AB【解答过程】解:∵AB→=(﹣1,2,3),BC→=(1,﹣∴AC→=AB→+BC→则|AC故选:A.【变式4-1】(2023春•古田县校级月考)在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A(2,﹣1,1)关于y轴的对称点为B,则|AB|=()A.22 B.26 C.25 D.6【解题思路】首先求出关于y轴的对称点坐标,再根据空间两点的距离公式计算可得结果.【解答过程】解:点A(2,﹣1,1)关于y轴的对称点为B(﹣2,﹣1,﹣1),∴|AB|=(−2−2)2故选:C.【变式4-2】(2023•湛江校级模拟)已知向量a→=(0,﹣1,1),b→(4,1,0),|λa→+b→|=A.﹣2 B.2 C.﹣3 D.3【解题思路】对|λa→+b【解答过程】解:|a→|=2,|b→|=17∵|λa→+b→|=29,∴(λa→+b→)2=29.即λ2|a→|2+2λa→⋅b→+|b→|2=29,∴2λ故选:D.【变式4-3】(2023春•盐城期中)在空间直角坐标系中,B(﹣1,2,3)关于x轴的对称点为点B',若点C(1,1,﹣2)关于Oxz平面的对称点为点C',则|B'C'|=()A.2 B.6 C.14 D.30【解题思路】写出B关于x轴的对称点B',点C关于Oxz平面的对称点C',再计算|B'C'|的值.【解答过程】解:空间直角坐标系中,B(﹣1,2,3)关于x轴的对称点为点B'(﹣1,﹣2,﹣3),点C(1,1,﹣2)关于Oxz平面的对称点为点C'(1,﹣1,﹣2),所以|B'C'|=(1+1)故选:B.【题型5空间向量夹角问题】【方法点拨】建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标,求出相关向量的坐标表示,利用空间向量的夹角的余弦值公式进行求解即可.【例5】(2023春•内江期末)已知a→=(2,−2,A.48585 B.−48585 C.【解题思路】利用空间向量的夹角余弦值公式cos<【解答过程】解:∵a→=(2,∴cos<故选:B.【变式5-1】(2023秋•禅城区校级期中)已知向量a→=(3,0,1),b→=(k,2,0A.−2 B.2 C.﹣1 D.【解题思路】根据空间向量坐标求得|a→|=3+1=2【解答过程】解:因为a→=(3,0,1)则|a所以cos〈可知k<0,解得:k=−故选:A.【变式5-2】(2023秋•渭滨区期末)已知a→=(1,0,1),b→A.5π6 B.2π3 C.π3 【解题思路】通过空间向量的数量积求解x,然后求解向量的夹角.【解答过程】解:a→=(1,0,可得x﹣2=﹣3,解得x=﹣1,向量a→与b→的夹角为θ,cosθ=−32⋅1+1+4=−所以θ=5π故选:A.【变式5-3】(2023秋•广东期中)已知向量a→=(2,﹣1,3
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