第17讲 平行线分线段成比例-2024年新九年级数学暑假提升讲义（北师大版 学习新知）

第17讲平行线分线段成比例模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．平行线分线段成比例及其推论；2．平行线分线段成比例及其推论的应用。一、平行线截线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式成立.要点：(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示：等等.（2）有推论可以得出以下结论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.二、把已知线段AB五等分.已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分.作法:1.以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.2.连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点.依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式∵AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，∴AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分.要点：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线.考点一：A型平行线分线段成比例例1．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是．

【答案】6【分析】由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：6．【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键．【变式1-1】（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【详解】解：，，，，；∴选项A、C、D正确，故选：B．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．【变式1-2】（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知直线，下列结论中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可进行解答．【详解】解：，，，，选项A、B、C正确，不符合题意，故选：D．【变式1-3】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，，若，，，则的长等于．【答案】【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，解得：，故答案为：．考点二：X型平行线分线段成比例例2.（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，如果，，那么．

【答案】【分析】根据平行线的性质可得，设，则，利用求出的值，即可得出的值．【详解】解：，，，设，则，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．【变式2-1】（22-23九年级上·河南周口·期末）如图，，则的长为．

【答案】4.5/【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【详解】即解得故答案为：4.5．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．【变式2-2】（22-23九年级上·福建泉州·期中）如图，已知直线，直线m与直线、、分别交于点A、D、F，直线n与直线、、分别交于点B、C、E．若，则．

【答案】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可．【详解】解：直线，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．【变式2-3】（22-23九年级上·上海徐汇·期中）如图，已知直线，直线分别与直线、、相交于点、、．直线分别与直线、、相交于点、、，直线与交于点．如果，，那么的长为．【答案】8【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．【详解】解：，，，，，，故答案为：8．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题关键．考点三：A字三角形例3.（23-24九年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，，则的长．【答案】【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例进行求解即可．【详解】解：∵∴，∴∴，故答案为：．【变式3-1】（2024·辽宁营口·一模）在中，点在直线上，过点作，交直线于点，若，，则的值是．【答案】/0.5【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．首先解得的值，再结合，由求解即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴．故答案为：．【变式3-2】（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，两个小朋友在水平地面坐跷跷板．支点O是跷跷板的中点，若支柱．当跷跷板的一端B完全着地时，跷跷板的另一端A离地面的高度为．【答案】1【分析】本题考查的是三角形中位线定理，平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例可得，从而得到是的中位线，即可求解．【详解】解：过点A作，垂足为D，则，∴，∵O为中点，即，∴，即C为中点，∴．故答案为：1【变式3-3】（2024·广东广州·一模）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是．【答案】4【分析】本题考查的是数轴，熟练掌握两点间的距离公式和平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据题意，设点在数轴上表示的数为，再根据平行线分线段成比例定理，可得，即，求解即可．【详解】解：由图可知，点在直尺的0刻度上，点在直尺的3刻度上，直尺的5刻度表示的数为8，图中的虚线相互平行，点在数轴上表示的数是，设点在数轴上表示的数为，，即，解得：，即点在数轴上表示的数为4，故答案为：4．考点四：X字三角形例4.（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，与相交于点，且，如果，，，那么．

【答案】【分析】本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，故答案为．【变式4-1】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知，分别在直线，上，且，若，则的值是．【答案】/【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解．【详解】解：∵∴故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．【变式4-2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，、相交于点，，，，则的长．

【答案】【分析】利用平行线证明判定三角形相似，得到线段成比例求解．【详解】解：，，，即，，．故答案为：．【点睛】本题考查三角形相似判定和性质，利用这些知识是解题的关键．【变式4-3】如图，、相交于点，，若，，则．【答案】6【分析】根据平行线所截线段成比例求解即可．【详解】解：∵，∴设，，则，∵，，∴，∴，解得：，故答案为：6．【点睛】本题考查平行线所截线段成比例，熟记概念是解题关键．考点五：类A字三角形例5.（2024·甘肃武威·二模）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于．【答案】【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴．故答案为：．【变式5-1】（2024·山东临沂·一模）如图，在中，分别交于点D，E．交于点F，，，则的长为．

【答案】【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键．先证得四边形是平行四边形，得到，再利用平行线截线段成比例列式求出即可．【详解】∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【变式5-2】（2024·山西大同·一模）如图，点为上靠近点的三等分点，交于点，点为上一点，连接交于点，点为的中点，则．【答案】/0.75【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例可得，再由线段中点的定义可得，即可求解．【详解】解：∵，点为上靠近点的三等分点，∴，∴，∵点为的中点，∴，∴．故答案为：【变式5-3】（23-24九年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，的角平分线与中线相交于点，若，，，则的长为．

【答案】【分析】过点作交于点，证明，得出，进而根据角平分线的性质，等面积法得出，进而得出是的中位线，是的中位线，在中，得出，进而即可求解．【详解】解：如图所示，过点作交于点，

∵，∴∵是的角平分线，∴，又∵∴∴，又∵是的中线，∴，则，∵是的角平分线，设到的距离为，设到的距离为，∴∴∵∴∴，∴是的中位线，∴又∵∴∴是的中位线，∵∴，

∴在中，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的性质，中线的性质，中位线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．考点六：类X字三角形例6.（23-24九年级上·上海·期中）如图，，，，那么．【答案】6【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质，熟练掌握性质并用其求解是基本要求．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算．【详解】∵，，，∴，即∴．故答案为：6．【变式6-1】（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则．【答案】/0.5【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．如图，过点作交于点．利用平行线等分线段定理，证明即可．【详解】解：如图，过点作交于点．∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案为：．【变式6-2】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，点D，E，F为各边的中点，交于点O，且，则cm．

【答案】6【分析】过点F作交于H，利用平行线分线段成比例定理求出的长，进而得出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，再运用三角形中位线定理即可得出的长.【详解】

解：过点F作交于H，为的中点，,为的中点，,,，，，中，，点D，E，分别、的中点，是的中位线，.故答案为：6.【点睛】本题主要考查三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质及平行线分线段成比例定理，熟练使用这些知识是正确解题的关键.【变式6-3】（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在中，，分别是，边上一点，连接，交于点，若，，则．

【答案】【分析】过点M作，交于点Q，根据平行线分线段成比例可得，设，求出，即可求解．【详解】解：过点M作，交于点Q，

∵，∴，∵，∴，∴，设，则，∵，∴，则，∵，∴．即．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是正确作出辅助线，根据题意，找出线段之间的比例关系．考点七：由平行截线求相关线段的常或比值之解答题例7.（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，相交于点E，在一条直线上．．(1)求的值；(2)求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了平行线分线段成比例；（1）由，利用平行线分线段成比例，可得出，由，再利用平行线分线段成比例，即可求出的值；（2）由，利用平行线分线段成比例，可得出，结合，，即可求出的长．【详解】（1）∵，，又∵，；（2）∵，，又，，．【变式7-1】（23-24九年级上·广西崇左·期中）如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若．(1)如果，求的长；(2)在（1）的条件下，如果，求的长．【答案】(1)4，14(2)15【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出是解决问题的关键．（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长，得出的长；（2）由平行线分线段成比例定理，得出，由平行线分线段成比例定理得出，再代入求得结果．【详解】（1）∵，∴，∴，∴，∴；（2）∵点G是的中点，，∴，∴，∵∴∴∴【变式7-2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：设D，E，F依次是的三边及其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线交的边于点D，交边于点E，交边的延长线于点F．过点C作交于点G，则，（依据）∴．∴，即．情况②：如图2，直线分别交的边的延长线于点D，E，F…(1)情况①中的依据指：_______．(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明．(3)如图3，D、E分别是的边上的点，且，连接并延长，交的延长线于点F，那么______．【答案】(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．(2)见解析(3)【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；（2）如图2中，作交于，模仿情况①的方法解决问题即可；（3）利用梅氏定理即可解决问题．【详解】（1）解：情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（2）作交于，∴，∴，∴，∴；（3）∵，，∴，∴；故答案为：．【变式7-3】（23-24九年级上·四川内江·期中）阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．材料：三角形的内角平分线定理：如图1，在中，平分，交于点，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于点．(1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长；(3)【拓展延伸】如图4，中，平分，的延长线交外角角平分线于点．①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明；②若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)(3)①、、、这四条线段的比例关系：，理由见解析；②【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，进而根据等角对等边得出，等量代换，即可得证；（2）根据角平分线分线段成比例定理得出，得出根据E是BC的中点，得到，根据，由平行线分线段成比例，即可求解；（3）①作交于点，则，进而证明，即可得出；②根据角平分线分线段成比例可得，由①知，则，代入数据，即可得出，即可求解．【详解】（1）证明：，，，，平分，，，，，即．（2）解：平分，，，，，，，是的中点，，，，．（3）①、、、这四条线段的比例关系：，理由如下：如图：作交于点，，，，平分，，，，．②平分，，由①知，，，，解得，不符合题意，舍去，．【点睛】本题考查了角平分线的定义，等边对等角，平行线的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键一、单选题1．（23-24九年级下·云南·阶段练习）如图，在中，，若，，则的长为（

）

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理等知识点，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【详解】∵，∴，∵，，∴，∴故选：D．2．（2024·陕西西安·一模）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，一条直线上的三个点都在五线谱的线上，若的长为3，则的长为（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，从而根据比例的性质可求出的长．【详解】解：五条平行横线的距离都相等，，的长为3，，故选：C．3．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，D、E分别为、边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质解答即可．本题考查了平行线判定三角形的相似和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．【详解】A、∵，∴，错误，不符合题意；B、∵，∴，错误，不符合题意；C、∵，∴，正确，符合题意；D、∵，∴，故Ｄ错误，不符合题意；故选C．4．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知直线，直线和直线分别交、、于点，，，，，，直线和直线交于点．若，，，若：：，则(

)A．4 B．5 C．7 D．6【答案】D【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理求出线段，再根据：：，求出可得结论．【详解】解：∵直线，∴，∵，则∵：：，∴，故选：D．5．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】过点作交的延长线于点，则为等腰三角形，由点为线段的中点可得出为的中位线，进而可得出，代入即可得出结论．本题考查了角平分线的性质、线段的中点以及平行线的性质，根据角平分线的性质结合线段的中点，找出是解题的关键．【详解】解：过点作交的延长线于点，如图1所示．，是的平分线，，．是中点，，∴∴点F是的中点，为的中位线，．故选：C．二、填空题6．（2024九年级下·云南·专题练习）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是．【答案】4【分析】本题考查平行线分线段成比例，由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入的值求解即可．【详解】解：∵线，∴ABBC又∵，∴，故答案为：．7．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，点、分别为、的中点，点为中点，连接并延长交于点，则．【答案】【分析】本题考查了中位线的判定和性质，平行线分线段成比例定理；熟练掌握“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题的关键．根据中位线的判定和性质可得，，结合题意可得；根据平行线分线段成比例定理即可求解．【详解】解：∵点、分别为、的中点，∴为的中位线，∴，，∴点为中点，∴；又∵，∴，∴，则；∴．故答案为：．8．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，已知四边形是的内接正方形，于H，且，则．【答案】4【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例．熟练掌握正方形的性质，平行线分线段成比例是解题的关键．如图，记的交点为，证明四边形为矩形，则，由，可得，即，求出的值，根据，作答即可．【详解】解：如图，记的交点为，∵四边形是的内接正方形，∴，，，∵，∴，∴四边形为矩形，∴，∵，∴，即，解得，，∴，故答案为：4．9．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为.【答案】【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．设，则，求出，再由，即可求出答案．【详解】解：设，，，，解得，，，，．故答案为：．10．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）在所在平面内，，且分别交直线于D，E，，，则．【答案】3或6/6或3【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，分当在内时，当在外时，两种情况根据平行线分线段成比例定理讨论求解即可．【详解】解：如图所示，当在内时，∵，，∴，∴如图所示，当在外时，∵，，∴，∴；综