第08讲 二次函数y＝ax2与 y＝ax2＋k的图象和性质-2024年新九年级数学暑假提升讲义（人教版 学习新知）

第08讲二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的图象和性质（6个知识点+12个考点）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会用描点法画出y＝ax2，y＝ax2＋k的图象．2．掌握形如y＝ax2，y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系．知识点1：二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：x…-2-1012……41014…112341234xyxyOO1212-2-1-2-1图1图2（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．要点归纳：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y轴x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小.当x=0时，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y轴x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大.当x=0时，y最大=0要点归纳：

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.知识点4：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）知识点5：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.最大（小）值当时，当时，知识点6：二次函数与之间的关系；（上加下减）.的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.要点归纳：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．考点1：y＝ax2图象的识别【例1】已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是()【变式1-1】（2023九年级·河北保定·期末）二次函数y=ax2的图象如图所示，则a的值可能为（A．2 B．0 C．−1 D．−2【变式1-2】函数与的图像可能是（）xyxyxyxyxyOOOOA．B．C．D．【变式1-3】已知h关于t的函数关系式为h＝eq\f(1,2)gt2(g为正常数，t为时间)，则函数图象为()考点2：利用y＝ax2图象判断二次函数的增减性【例2】作出函数y＝－x2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：(1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2<x1<0，试比较y1与y2的大小；(2)在y轴右侧图象上任取两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，使x3＞x4＞0，试比较y3与y4的大小；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？【变式2-1】已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1【变式2-2】（2023九年级·吉林四平·期末）抛物线y=2x2，y=−2xA．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y随x的增大而减小【变式2-3】（2023九年级·北京海淀·期中）已知点A−1,y1,B2,y2A．y1<y2 B．y1考点3：二次函数y＝ax2的图象与性质的综合题【例3】已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？(3)当m为何值时，该函数有最小值？(4)试说明函数的增减性．【变式3-1】（2023九年级·全国·课后作业）关于抛物线y=−2x①抛物线开口向下，顶点是原点；②当x>1时，y随x的增大而减小；③当−1<x<2时，−4<y<0；④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上的两点，则m+n=0．其中正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3-2】（2023九年级·全国·课后作业）观察二次函数y=x(1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________；(2)二次函数y=x(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值________；当x>0时，随着x值的增大，y的值________．【变式3-3】物线与直线交于点（1，b）．（1）求a和b的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大．考点4：利用图象确定y＝ax2的解析式【例4】一个二次函数y＝ax2(a≠0)的图象经过点A(2，－2)关于坐标轴的对称点B，求其关系式．【变式4-1】抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点，则该抛物线的表达式为______．【变式4-2】（2023九年级·河北廊坊·阶段练习）已知某抛物线的开口向下，且该抛物线的对称轴为y轴，经过原点O，请写出一个满足条件的抛物线的解析式：．【变式4-3】已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式．考点5：二次函数y＝ax2的图象与几何图形的综合应用【例5】已知二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求：(1)a，b的值；(2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标．【变式5-1】如图，正方形OABC的边长为2，OC与y轴正半轴的夹角为30°，点A在抛物线的图象上，则a的值为（

）A． B． C． D．【变式5-2】如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线（）上有两个点A、B，它们的横坐标分别为-1，2．若为直角三角形，求a的值．AABOxy【变式5-3】已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为．（1）求直线和抛物线的函数解析式；（2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标．考点6：二次函数y＝ax2的实际应用【例6】如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离OM为3m，跨度AB＝6m.(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；(2)一艘小船上平放着一些长3m，宽2m且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？【变式6-1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=2x2与y=−2x

【变式6-2】如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD，这时水面宽度10米．（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式；（2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能达到拱桥顶？xxyABCDO考点7：y＝ax2＋k的图象与性质的识别【例7】若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是()A．a＝2B．当x＜0，y随x的增大而减小C．顶点坐标为(2，0)D．图象有最低点【变式7-1】（2023九年级·吉林长春·期末）当a<0,c>0时，二次函数y=ax2+cA．B．C．D．【变式7-2】（2023九年级·浙江杭州·阶段练习）若二次函数y=ax2+1的图象过点PA．1,2 B．−1,−2 C．−2,1 D．2,−1【变式7-3】已知二次函数，则（）A．当时，y有最小值 B．当时，y有最小值C．当时，y有最大值 D．当时，y有最大值考点8：二次函数y＝ax2＋k增减性判断【例8】已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是()A．若y1＝y2，则x1＝x2B．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2【变式8-1】（2023·安徽池州·三模）下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（

）A．y=3x2+1C．y=x+1 D．y=−5x+1【变式8-2】已知在二次函数的图象上，则为的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【变式8-3】已知点、、，都在函数的图象上，则、、的大小关系为A． B． C． D．【变式8-4】已知抛物线过点和点．（1）求这个函数的关系式；（2）写出当为何值时，函数随的增大而增大．考点九：识别y＝ax2＋k的图象与一次函数图象【例9】在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为()【变式9-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象大致为（）．【变式9-2】在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（）A． B． C． D．考点10：确定y＝ax2＋k与y＝ax2的关系【例10】抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？【变式10-1】（2023九年级·全国·课后作业）下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（

）A．y=2x2与y=3x2 C．y=2x2+3与y=3x2【变式10-2】（2023九年级·浙江宁波·期末）把函数y=3x2的图象向上平移1个单位后所得图象的函数表达式是【变式10-3】在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．(1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法；(2)如果点在函数的图象上，求点的坐标；(3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标．【变式10-4】在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：，，．（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．【变式10-5】在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？考点11：y＝ax2＋k的图象与几何图形的综合应用【例11】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a＜0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是________．【变式11-1】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系，纵轴上一点，横轴上有一动点，连接，作的中垂线，过点作横轴的垂线和交于点．设点的坐标为，当点在横轴上运动时，解决下列问题：(1)求之间满足的函数关系式；(2)已知在此函数图象上，请求出的面积．【变式11-2】（23-24九年级上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、．(1)求直线的函数表达式；(2)求的面积；(3)在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标和的最小值．考点12：二次函数y＝ax2＋k的实际应用【例12】如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－eq\f(1,5)x2＋eq\f(7,2)运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m.(1)球在空中运行的最大高度为多少？(2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？【变式12-1】（2023九年级·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯y=49x2+5【变式12-2】有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．一、单选题1．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）下列各点在二次函数图像上的是（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为（

）A． B．C．或 D．或3．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）在同一坐标系内，，，的图象，它们的共同特点是（

）A．都是关于原点对称，抛物线的开口方向向上B．都是关于轴对称，随增大而增大C．都是关于轴对称，随增大而减少D．都是关于轴对称，抛物线顶点都是原点4．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）抛物线的共同性质是（

）A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是轴 D．顶点都是原点5．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）抛物线的开口向上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2024·四川泸州·一模）已知点，都在函数的图象上，则与大小关系是（填＞，＜或＝）．7．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线的开口向下，且，则．8．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是．9．（23-24九年级上·陕西西安·期末）抛物线开口，顶点坐标是，当x0时，．10．（23-24九年级上·重庆石柱·阶段练习）直线经过第一、二、四象限，则抛物线不经过第象限．11．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）已知一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，请你写出一个符合条件的表达式：．12．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）点，均在二次函数的图象上，则．（填“>”或“<”）13．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是；②抛物线开口向上，顶点是；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而减小；其中正确说法有．（填序号）14．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知的顶点坐标为，若抛物线与该直角三角形无交点，则a的取值范围是三、解答题15．（23-24九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数的图象经过点，求该函数的解析式及对称轴．16．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知是关于x的二次函数．(1)若函数有最小值，求k的值；(2)判断点是否在（1）中的函数图象上．17．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点A、B分别在二次函数的图象上，且线段轴，若.

(1)求点A、B的坐标.(2)求三角形的面积.18．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值．19．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知二次函数的图像经过点．(1)求出这个函数关系式；(2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出的面积；(3)在抛物线上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由．20．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与直线的一个交点为，(1)求和．(2)求另一个交点的坐标．

第08讲二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的图象和性质（6个知识点+12个考点）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会用描点法画出y＝ax2，y＝ax2＋k的图象．2．掌握形如y＝ax2，y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系．知识点1：二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像．（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：x…-2-1012……41014…112341234xyxyOO1212-2-1-2-1图1图2（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示．要点归纳：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y轴x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小.当x=0时，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y轴x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大.当x=0时，y最大=0要点归纳：

顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.知识点4：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）知识点5：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.最大（小）值当时，当时，知识点6：二次函数与之间的关系；（上加下减）.的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.要点归纳：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．考点1：y＝ax2图象的识别【例1】已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是()解析：本题进行分类讨论：(1)当a＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝ax图象经过一、三象限，故排除选项B；(2)当a＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝ax图象经过二、四象限，故排除选项D；又因为在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C.方法总结：分a＞0与a＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”．【变式1-1】（2023九年级·河北保定·期末）二次函数y=ax2的图象如图所示，则a的值可能为（A．2 B．0 C．−1 D．−2【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象的开口方向求解即可．【详解】解：由图象知，二次函数y=ax2的图象开口向上，则故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，故选：A．【变式1-2】函数与的图像可能是（）xyxyxyxyxyOOOOA．B．C．D．【答案】D．【解析】当时，抛物线开口向下，一次函数一定过第一、三象限，当时，抛物线开口向上，一次函数一定过第二、四象限．【总结】本题考察抛物线和直线的性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．【变式1-3】已知h关于t的函数关系式为h＝eq\f(1,2)gt2(g为正常数，t为时间)，则函数图象为()解析：根据h关于t的函数关系式为h＝eq\f(1,2)gt2，其中g为正常数，t为时间，因此函数h＝eq\f(1,2)gt2图象是受一定实际范围限制的，图象应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A.方法总结：在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数的实际意义．考点2：利用y＝ax2图象判断二次函数的增减性【例2】作出函数y＝－x2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：(1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2<x1<0，试比较y1与y2的大小；(2)在y轴右侧图象上任取两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，使x3＞x4＞0，试比较y3与y4的大小；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？解析：根据画出的函数图象来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法．解：(1)图象如图所示，由图象可知y1＞y2，(2)由图象可知y3<y4；(3)在y轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小．方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．【变式2-1】已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1【答案】B【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解．【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当x>0时，y随x增大而增大，∴二次函数的图象开口向上，∴a-1>0，即：a>1，故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．【变式2-2】（2023九年级·吉林四平·期末）抛物线y=2x2，y=−2xA．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y随x的增大而减小【答案】B【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的性质解题．【详解】解：y=2x2开口向上，对称轴为y=−2x2开口向下，对称轴为∴抛物线y=2x2，y=−2x故选：B．【变式2-3】（2023九年级·北京海淀·期中）已知点A−1,y1,B2,y2A．y1<y2 B．y1【答案】A【分析】分别把A−1,【详解】把A−1,y1代入y=3把B2,y2代入y=3∵3<12，∴y故选：A.【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数上点的特征．考点3：二次函数y＝ax2的图象与性质的综合题【例3】已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？(3)当m为何值时，该函数有最小值？(4)试说明函数的增减性．解析：(1)由二次函数的定义可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋3m－2＝2，,m＋3≠0，))故可求m的值．(2)图象的开口向下，则m＋3＜0；(3)函数有最小值，则m＋3＞0；(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．解：(1)根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋3m－2＝2，,m＋3≠0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m1＝－4，m2＝1，,m≠－3.))∴当m＝－4或m＝1时，原函数为二次函数．(2)∵图象开口向下，∴m＋3＜0，∴m＜－3，∴m＝－4.∴当m＝－4时，该函数图象的开口向下．(3)∵函数有最小值，∴m＋3＞0，m＞－3，∴m＝1，∴当m＝1时，原函数有最小值．(4)当m＝－4时，此函数为y＝－x2，开口向下，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．当m＝1时，此函数为y＝4x2，开口向上，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a＜0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．【变式3-1】（2023九年级·全国·课后作业）关于抛物线y=−2x①抛物线开口向下，顶点是原点；②当x>1时，y随x的增大而减小；③当−1<x<2时，−4<y<0；④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上的两点，则m+n=0．其中正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线y=−2x2，可得抛物线的对称轴是y轴，顶点是【详解】解：∵y=−2x2，∴抛物线的对称轴是y轴，顶点是(0,0)，抛物线开口向下，∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确；②抛物线的对称轴为y轴，当x>1时，y随x的增大而减小，故②正确；③当−1<x<2时，x=0，y取最大值为0，x=2时，y取值最小值为−8，所以−8<y≤0，故③错误；④若(m,p)，(n,p)是该抛物线上的两点，则(m,p)，(n,p)关于y轴对称，横坐标互为相反数，所以m+n=0，故④正确；∴正确的说法共有3个，故选C．【变式3-2】（2023九年级·全国·课后作业）观察二次函数y=x(1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________；(2)二次函数y=x(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值________；当x>0时，随着x值的增大，y的值________．【答案】(1)顶点，（(2)抛物线，上，y轴（或直线x=0）(3)减小，增大【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握y=ax（1）根据y=x（2）根据y=x（3）根据y=x【详解】（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是（0故答案为：顶点，（（2）二次函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线故答案为：抛物线，上，y轴（或直线x=0）（3）当x<0时，随着x值的增大，y的值减小；当x>0时，随着x值的增大，y的值增大．故答案为：减小，增大．【变式3-3】物线与直线交于点（1，b）．（1）求a和b的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大．【答案】（1），；（2），顶点坐标为，对称轴为轴；（3）当时，二次函数的值随的增大而增大．【解析】（1）把（1，b）代入得，∴交点坐标为．把代入得，∴；（2）由（1）得抛物线的解析式为，顶点坐标为，对称轴为轴；（3）∵抛物线开口向下，在对称轴的左侧二次函数的y值随x的增大而增大，即当时，二次函数的值随的增大而增大．【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式及二次函数的性质．考点4：利用图象确定y＝ax2的解析式【例4】一个二次函数y＝ax2(a≠0)的图象经过点A(2，－2)关于坐标轴的对称点B，求其关系式．解析：坐标轴包含x轴和y轴，故点A(2，－2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点A(2，－2)关于x轴的对称点B1(2，2)，点A(2，－2)关于y轴的对称点B2(－2，－2)．解：∵点B与点A(2，－2)关于坐标轴对称，∴B1(2，2)，B2(－2，－2)．当y＝ax2的图象经过点B1(2，2)时，2＝a×22，∴a＝eq\f(1,2)，∴y＝eq\f(1,2)x2；当y＝ax2的图象经过点B1(－2，－2)时，－2＝a×(－2)2，∴a＝－eq\f(1,2)，∴y＝－eq\f(1,2)x2.∴二次函数的关系式为y＝eq\f(1,2)x2或y＝－eq\f(1,2)x2.方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案．【变式4-1】抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点，则该抛物线的表达式为______．【答案】【分析】根据题意可设该抛物线解析式为，再利用待定系数法即可求解．【详解】根据题意可设该抛物线解析式为，将点(2，8)代入，即得，解得：，故该抛物线解析式为．故答案为：．【点睛】本题考查的图象和性质以及利用待定系数法求函数解析式．掌握二次函数的图象和性质是解题关键．【变式4-2】（2023九年级·河北廊坊·阶段练习）已知某抛物线的开口向下，且该抛物线的对称轴为y轴，经过原点O，请写出一个满足条件的抛物线的解析式：．【答案】y=−2x【分析】根据抛物线的开口向下和对称轴，设出函数解析y=ax2且【详解】解：根据题意可得：二次函数的顶点坐标为0，设y=ax2且a<0，例如：故答案为：y=−2x【点睛】本题主要考查了二次函数的性质与解析式的关系，正确写抛物线的表达式是解题的关键．【变式4-3】已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式．【答案】．【解析】∵为二次函数，∴，解得，， 又∵，∴，可得，∴二次函数为．∵要求的抛物线与开口方向相反，形状相同，∴要求的这个二次函数的解析式为．【总结】本题考查二次函数的概念及性质．考点5：二次函数y＝ax2的图象与几何图形的综合应用【例5】已知二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求：(1)a，b的值；(2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标．解析：直线与函数y＝ax2的图象交点坐标可利用方程求解．解：(1)∵点A(1，b)是直线与函数y＝ax2图象的交点，∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝a×12，,b＝2×1－3，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－1.))(2)由(1)知二次函数为y＝－x2，顶点M(即坐标原点)的坐标为(0，0)，由－x2＝2x－3，解得x1＝1，x2＝－3，∴y1＝－1，y2＝－9，∴直线与抛物线的另一个交点B的坐标为(－3，－9)．【变式5-1】如图，正方形OABC的边长为2，OC与y轴正半轴的夹角为30°，点A在抛物线的图象上，则a的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点C、A分别作CD⊥x轴，AE⊥x轴，垂足分别为D、E，可得△COD≌△OAE，在中，由∠COD=60°，可得∠OCD=30°，从而得到，，进而得到，可得到点，即可求解．【详解】解：如图，过点C、A分别作CD⊥x轴，AE⊥x轴，垂足分别为D、E，根据题意得∠AOC=90°，OA=OC=2，∠COD=90°-30°=60°，∴∠AOE+∠COD=90°，∵CD⊥x轴，AE⊥x轴，∴∠CDO=∠OEA=90°，∴∠AOE+∠OAE=90°，∴∠COD=∠OAE，∴△COD≌△OAE，∴AE=OD，OE=CD，在中，∠COD=60°，∴∠OCD=30°，∴，∴，∴，∴点，把代入，得：，解得：．故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意得到△COD≌△OAE是解题的关键．【变式5-2】如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线（）上有两个点A、B，它们的横坐标分别为-1，2．若为直角三角形，求a的值．AABOxy【答案】，．【解析】把横坐标-1，2分别代入（）得、，∴，，，当时，，即，解得，（舍）；当时，，即，解得，（舍）；当时，，，此方程无解，综上，当为直角三角形，a的值为1或．【总结】本题主要考察直角三角形的判定和二次函数的应用，要注意在的直角顶点不确定的情况下，要分类讨论，以免漏解．【变式5-3】已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为．（1）求直线和抛物线的函数解析式；（2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标．【答案】（1），；（2）【分析】（1）设直线的解析式为，根据的坐标，待定系数法求一次函数函数的解析式即可，将点的坐标代入即可求得的值，进而求得抛物线的函数解析式；（2）联立直线和抛物线解析式，求得的坐标，进而求得，根据题意，进而求得的坐标，【详解】（1）设直线的解析式为，解得直线的解析式为，抛物线过点抛物线的函数解析式为；（2）直线与抛物线相交于B，C两点，，即解得当时，直线令，得所以当时，【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点问题，数形结合是解题的关键．考点6：二次函数y＝ax2的实际应用【例6】如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离OM为3m，跨度AB＝6m.(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；(2)一艘小船上平放着一些长3m，宽2m且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？解析：可令O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为y＝ax2.由题意可得B点的坐标为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题．解：(1)以O点为坐标原点，平行于线段AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y＝ax2.由题意可得B点坐标为(3，－3)，∴－3＝a×32，解得a＝－eq\f(1,3)，∴抛物线的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x2.(2)当x＝1时，y＝－eq\f(1,3)×12＝－eq\f(1,3).∵OM＝3，∴木板最高可堆放3－eq\f(1,3)＝eq\f(8,3)(米)．方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想．【变式6-1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=2x2与y=−2x

【答案】8【分析】根据题意，观察图形，利用割补法可知图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积．【详解】解：∵函数y=2x2与y=−2x∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，∵边长为4的正方形面积为16，∴图中的阴影部分的面积为8，故答案为：8．【点睛】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，根据解析式y=2x2与y=−2x【变式6-2】如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD，这时水面宽度10米．（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式；（2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能达到拱桥顶？xxyABCDO【答案】（1）；（2）5小时．【解析】（1）设抛物线解析式为（），如图，设，则，把、代入得，解得，∴抛物线的解析式为．（2）由（1）知，∴（小时）【总结】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．考点7：y＝ax2＋k的图象与性质的识别【例7】若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是()A．a＝2B．当x＜0，y随x的增大而减小C．顶点坐标为(2，0)D．图象有最低点解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得10＝4a＋2，所以a＝2，∴y＝2x2＋2，抛物线开口向上，有最低点，当x＜0，y随x的增大而减小，所以A、B、D均正确，而顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C.方法总结：抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点为(0，k)，对称轴是y轴．【变式7-1】（2023九年级·吉林长春·期末）当a<0,c>0时，二次函数y=ax2+cA．B．C．D．【答案】D【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可．【详解】解：y=ax∵a<0,c>0,b=0，∴抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为：x=−b故选D．【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【变式7-2】（2023九年级·浙江杭州·阶段练习）若二次函数y=ax2+1的图象过点PA．1,2 B．−1,−2 C．−2,1 D．2,−1【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质，求得对称轴，再根据二次函数的对称性即可求解，解题的关键是根据二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．【详解】解：∵二次函数y=ax2+1∴若图象经过点P−1,2，则该图象必经过点1,2故选：A．【变式7-3】已知二次函数，则（）A．当时，y有最小值 B．当时，y有最小值C．当时，y有最大值 D．当时，y有最大值【答案】C【分析】根据二次函数的增减性进行解答即可．【详解】解：∵，∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为，∴当时，y有最大值，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性和顶点坐标．考点8：二次函数y＝ax2＋k增减性判断【例8】已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是()A．若y1＝y2，则x1＝x2B．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2解析：如图所示，选项A：若y1＝y2，则x1＝－x2，所以选项A是错误的；选项B：若x1＝－x2，则y1＝y2，所以选项B是错误的；选项C：若0＜x1＜x2，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2，所以选项C是错误的；选项D：若x1＜x2＜0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，所以选项D是正确的．方法总结：讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线．【变式8-1】（2023·安徽池州·三模）下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（

）A．y=3x2+1C．y=x+1 D．y=−5x+1【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，一次函数中当一次项系数为正时，y的值随x值的增大而增大，一次项系数为负时，y的值随x值的增大而减小，二次函数中，二次项系数为正时，在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的值随x值的增大而减小，二次项系数为负时，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x值的增大而减小，据此求解即可．【详解】解：A、函数y=3x2+1在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧yB、函数y=−2x2+1中，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧yC、函数y=x+1中，y的值随x值的增大而增大，符合题意；D、函数y=−5x+1中，y的值随x值的增大而减小，不符合题意；故选：C．【变式8-2】已知在二次函数的图象上，则为的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数的对称性和增减性即可求出答案．【详解】解：∵二次函数，∴二次函数的开口向上，对称轴是y轴，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵在二次函数的图象上，∴关于y轴的对称点也在二次函数的图象上，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质找出函数的单调区间是解题的关键．【变式8-3】已知点、、，都在函数的图象上，则、、的大小关系为A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴是轴，根据函数的性质得出图象的开口向下，当时，随的增大而增大，根据二次函数的对称性和增减性即可得到．【详解】解：，函数图象的对称轴是轴，图象的开口向下，当时，随的增大而增大，点，关于对称轴的对称点的坐标是，，且，，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题的关键是能熟记二次函数的性质．【变式8-4】已知抛物线过点和点．（1）求这个函数的关系式；（2）写出当为何值时，函数随的增大而增大．【答案】（1）；（2）当时，函数随的增大而增大【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）求出对称轴，根据二次函数的图像与性质即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线过点和点，，解得∴这个函数得关系式为：．（2）∵二次函数开口向下，对称轴为x=0，∴当时，函数随的增大而增大．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．考点九：识别y＝ax2＋k的图象与一次函数图象【例9】在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋c的图象大致为()解析：当a＞0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升，当a＜0时，抛物线开口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A，C，D，故选B.【变式9-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象大致为（）．【答案】B.【变式9-2】在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（）A． B． C． D．【总结升华】先由一次函数y=ax+b图象得到字母a、b的正负，再与二次函数y=ax2﹣b的图象相比较看是否一致．【答案】D.【解析】解：A、由直线y=ax+b的图象经过第二、三、四象限可知：a＜0，b＜0，二次函数y=ax2﹣b的图象开口向上，∴a＞0，A不正确；B、由直线y=ax+b的图象经过第一、二、三象限可知：a＞0，b＞0，二次函数y=ax2﹣b的图象开口向下，∴a＜0，B不正确；C、由直线y=ax+b的图象经过第一、二、四象限可知：a＜0，b＞0，二次函数y=ax2﹣b的图象开口向上，∴a＞0，C不正确；D、由直线y=ax+b的图象经过第一、二、三象限可知：a＞0，b＞0，二次函数y=ax2﹣b的图象开口向上，顶点在y轴负半轴，∴a＞0，b＞0，D正确．故选D．【总结升华】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据函数图象逐条分析四个选项中a、b的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数的图象找出其系数的正负，再与二次函数图象进行比较即可得出结论．考点10：确定y＝ax2＋k与y＝ax2的关系【例10】抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0，3)，求抛物线的表达式，它是由抛物线y＝－5x2怎样得到的？解：抛物线y＝ax2＋c与y＝－5x2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a＝－5.又∵其顶点坐标为(0，3)．∴c＝3.∴y＝－5x2＋3.它是由抛物线y＝－5x2向上平移3个单位得到的．方法总结：抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2开口大小，方向都相同，只是顶点不同，二者可相互平移得到．【变式10-1】（2023九年级·全国·课后作业）下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（

）A．y=2x2与y=3x2 C．y=2x2+3与y=3x2【答案】D【分析】平移不改变图形的大小和形状，而二次项系数决定了抛物线的开口方向和大小，当二次项系数相同才能够互相平移．【详解】由于选项D中二次项系数相同，则抛物线y=2x2与抛物线故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质、平移的性质，关键是抓住二次项系数相同才能够互相平【变式10-2】（2023九年级·浙江宁波·期末）把函数y=3x2的图象向上平移1个单位后所得图象的函数表达式是【答案】y=3【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解．【详解】解：由题意得：平移后所得图象的函数表达式是：y=3x故答案为：y=3x【变式10-3】在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．(1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法；(2)如果点在函数的图象上，求点的坐标；(3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线；（2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A1的坐标；（3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A2的坐标．【详解】（1）解：将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线，如图：（2）解：由题意，得点的“关联点”为，由点在抛物线上，可得，∴，又在抛物线上，，解得．将代入，得；（3）解：点的“待定关联点”为，∵在抛物线的图象上，，．又,当时，，故可得．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标．【变式10-4】在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：，，．（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．【答案】（1）抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）．【分析】（1）首先利用取值、描点、连线的方法作出三个函数的图象，根据二次函数图象，可得二次函数的开口方向，对称抽，顶点坐标，通过观察归纳它们之间的关系．（2）由（1）的规律可得抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．【详解】解：（1）列表：…-3-2-10123……202…描点、连线，可得抛物线．将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）．抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）抛物线的开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象，发现图象的变化规律是解答此题的关键．【变式10-5】在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线有什么关系？【答案】画图见解析；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，2），抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，－2）；抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k）；当k＞0时，抛物线可由抛物线向上平移k个单位长度得到；当k＜0时，抛物线可由抛物线向下平移｜k｜个单位长度得到的．【分析】首先利用取值，描点，连线的方法画出二次函数的图像，再根据函数图像得出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，通过观察函数图像即可得到它们之间的关系．【详解】解：如图所示，即为三者的函数图像：由函数图像可知：函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，2）；函数的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-2）；由此可知，抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，k），由此可知当k＞0时，抛物线可由抛物线向上平移k个单位长度得到；当k＜0时，抛物线可由抛物线向下平移｜k｜个单位长度得到的．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，二次函数图像的平移，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．考点11：y＝ax2＋k的图象与几何图形的综合应用【例11】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a＜0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是________．解析：二次函数y＝ax2＋c与y轴的交点为(0，c)，因此OA＝c，根据正方形对角线互相垂直平分且相等，不难求得B(－eq\f(c,2)，eq\f(c,2))、C(eq\f(c,2)，eq\f(c,2))，因为C(eq\f(c,2)，eq\f(c,2))在函数y＝ax2＋c的图象上，将点C坐标代入关系式即可求出ac的值．解：∵y＝ax2＋c与y轴的交点为(0，c)，四边形ABOC为正方形，∴C点坐标为(eq\f(c,2)，eq\f(c,2))．∵二次函数y＝ax2＋c经过点C，∴eq\f(c,2)＝a(eq\f(c,2))2＋c，即ac＝－2.方法总结：在解决此类问题时，应充分利用抛物线及正方形的对称性．【变式11-1】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系，纵轴上一点，横轴上有一动点，连接，作的中垂线，过点作横轴的垂线和交于点．设点的坐标为，当点在横轴上运动时，解决下列问题：(1)求之间满足的函数关系式；(2)已知在此函数图象上，请求出的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，作于点H，根据中垂线的性质得到，再利用勾股定理，从而建立x和y之间的函数关系式；（2）将点D，C，B的坐标分别代入（1）中得到的解析式中，得到D，C，B的坐标，数形结合利用割补法得到的面积.【详解】（1）解：连接，过点作轴于．则，，，．．（2）由（1）知，，如图，.【点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的基本性质、中垂线的性质、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．【变式11-2】（23-24九年级上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、．(1)求直线的函数表达式；(2)求的面积；(3)在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标和的最小值．【答案】(1)直线的解析式为：；(2)；(3)，的最小值为．【分析】（1）将的横坐标分别代入求出的值，得到，点坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可；（2）求出的长，根据“”求解即可；（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的值最小，先利用待定系数法求得直线，进而即可求得点的坐标，利用勾股定理即可求得的最小值．【详解】（1）解：∵，是抛物线上的两点，∴当时，；当时，∴点的坐标为，点的坐标为设直线的解析式为，把，点坐标代入得解得，所以，直线的解析式为：；（2）解：对于直线：当时，∴∴；（3）解：∵，∴，如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的值最小，设直线∶，∵直线∶过点和点，∴，解得，∴直线∶，令，有，解得，∴，∵点关于轴的对称点为，∴，∴的最小值为的长：．【点睛】此题主要考查了运用待定系数法求直线解析式，轴对称的性质，勾股定理，二次函数二次函数的图像及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键．考点12：二次函数y＝ax2＋k的实际应用【例12】如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－eq\f(1,5)x2＋eq\f(7,2)运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05m.(1)球在空中运行的最大高度为多少？(2)如果该运动员跳起，球出手时离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则他距离篮筐中心的水平距离是多少？解：(1)∵y＝－eq\f(1,5)x2＋eq\f(7,2)的顶点坐标为(0，3.5)，∴球在空中运行的最大高度为3.5m.(2)在y＝－eq\f(1,5)x2＋eq\f(7,2)中，当y＝3.05时，3.05＝－eq\f(1,5)x2＋eq\f(7,2)，解得x＝±1.5.∵篮筐在第一象限内，∴篮筐中心的横坐标x＝1.5.又当y＝2.25时，2.25＝－eq\f(1,5)x2＋eq\f(7,2)，解得x＝±2.5.∵运动员在第二象限内，∴运动员的横坐标x＝－2.5.故该运动员距离篮球筐中心的水平距离为1.5－(－2.5)＝4(m)．【变式12-1】（2023九年级·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯y=49x2+5【答案】9【分析】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案．【详解】解：∵OD为14，∴令14=4解得x=±9∴A−9∴AC=92故答案为：9【变式12-2】有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．【答案与解析】（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax2+6（a＜0），

∵点A（-4，0）或B（4，0）在抛物线上，

∴0=a•（-4）2+6，

16a+6=0，16a=-6，

．

故抛物线的函数关系式为.（2）过点P作PQ⊥AB于Q，连接PB，则PQ=4.5m．

将y=4.5代入，得x=±2．

∴P（-2，4.5），Q（-2，0），

于是|PQ|=4.5，|BQ|=6，

从而|PB|=

所以照明灯与点B的距离为7.5m．【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax2+6，把点A（-4，0）代入即可；（2）灯离地面高4.5m，即y=4.5时，求x的值，再根据P点坐标，勾股定理求PB的值一、单选题1．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）下列各点在二次函数图像上的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查二次函数自变量与函数值的计算，掌握二次函数自变量与函数值的对应关系是解题的关键．根据题意，把点坐标代入二次函数计算，即可求解．【详解】解：A、当时，，故不在二次函数图象上，不符合题意；B、当时，，故不在二次函数图象上，不符合题意；C、当时，故在二次函数图象上，符合题意；D、当时，，故不在二次函数图象上，不符合题意；故选：C．2．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象开口大小与二次项系数绝对值的关系；把，分别代入求得，，然后根据图象即可求得答案．【详解】解：如图所示：把代入得，，把代入得，抛物线的开口越小，的绝对值越大，抛物与四边形的边没有交点，则的取值范围为：或故选C．

3．（23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）在同一坐标系内，，，的图象，它们的共同特点是（

）A．都是关于原点对称，抛物线的开口方向向上B．都是关于轴对称，随增大而增大C．都是关于轴对称，随增大而减少D．都是关于轴对称，抛物线顶点都是原点【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键；由二次函数的图象与性质即可求解．【详解】解：对于二次函数，其图象对称轴为y轴，顶点为原点；当时，开口向上，在y轴左边，函数值随自变量的增大而减小，在y轴右边，函数值随自变量的增大而增大；当时，开口向下，在y轴左边，函数值随自变量的增大而增大，在y轴右边，函数值随自变量的增大而减小；由此选项A、B、C均错误，选项D正确；故选：D．4．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）抛物线的共同性质是（

）A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是轴 D．顶点都是原点【答案】D【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值；根据二次函数的性质，可以分别写出题目中抛物线的开口方向，最值、对称轴和顶点坐标，从而可以解答本题．【详解】解：抛物线的开口向下，有最大值，对称轴是轴，顶点坐标为；抛物线的开口向上，有最小值，对称轴是轴，顶点坐标为；抛物线的开口向上，有最小值，对称轴是轴，顶点坐标为；故选：D．5．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）抛物线的开口向上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向上可得，进而求解，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴，故选：A．二、填空题6．（2024·四川泸州·一模）已知点，都在函数的图象上，则与大小关系是（填＞，＜或＝）．【答案】【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可．【详解】解：∵，∴当时，随的增大而减小，∵，∴；故答案为：．7．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线的开口向下，且，则．【答案】【分析】此题考查二次函数的性质，绝对值的意义，利用抛物线开口向下得出，是解决问题的关键．由抛物线的开口向下，得出，再由，，由此得出答案即可．【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴，，，．故答案为：．8．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如果抛物线（a为常数）经过了平面直角系的四个象限，那么a的取值范围是．【答案】【分析】本题抛物线的性质，能判断出抛物线开口向下是解题的关键．由已知条件得抛物线开口向下，得到，即可求出a的取值范围．【详解】解：抛物线（a为常数）恒过点，且经过了平面直角系的四个象限，抛物线开口向下，，解得：，故答案：．9．（23-24九年级上·陕西西安·期末）抛物线开口，顶点坐标是，当x0时，．【答案】向下