机械制图-第二章投影基础

机械制图5制图基本知识与技能1投影基础2基本几何体3组合体4画法几何部分点的投影1直线的投影平面的投影几何元素的相对位置正投影法与三视图投影基础正投影法投影方法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法投影法就是投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。所有的投射线都通过投射中心的投影法。投影中心距离投影面无穷远时，可视为所有的投射线都相互平行。正投影法中心投影法投射线投射中心物体投影面投影物体位置改变，投影大小也改变投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性差投影三要素：空间物体、投射线、投影面。斜投影法投射线互相平行且垂直于投影面投射线互相平行且倾斜于投影面正投影法正投影法平行投影法投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性好工程图样多数采用正投影法绘制。正投影法平行投影的基本性质

同素性(类似性)点的投影仍是点，直线的投影一般仍为直线。真实性当直线或平面与投影面平行时，则直线或平面在该投影面上的投影反映实长或实行。积聚性当直线或平面与投影面垂直时，则直线或平面在该投影面上的投影积聚成一点或一直线。正投影法正投影法的基本性质

真实性积聚性同素性(类似性)主视图(frontview)：在正投影面上的投影。俯视图(verticalview)：在水平投影面上的投影。左视图(leftview)：在侧投影面上的投影。VWH视图：在由三个相互垂直的投影面所构成的投影体系中，用正投影法所绘制出的形体的图形。三视图右视图

主视图俯视图左视图后视图仰视图从右向左投射从下向上投射从后向前投射三视图主视俯视左视右视后视仰视三视图以主视图为基准,主视图在中间，俯视图位于主视图的下方，左视图在主视图的正右方。三视图主视图、俯视图长相等且对正。主视图、左视图高相等且平齐。俯视图、左视图宽相等且对应。主视图反映：上、下、左、右。俯视图反映：前、后、左、右。左视图反映：上、下、前、后。长对正高平齐宽相等这个特性就是多面体正投影的投影规律，形体整体结构要符合投影规律，形体局部也要符合投影规律。三视图的投影规律是指导画图和读图的最基本理论。三视图点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影规律点的坐标点的投影两点的相对位置重影点点的投影Pb

●●APB1●B2●B3●a

●已知空间点A和投影面P，过点A作P面的投射线，其与P面的交点a'即为A在H面的投影。一个空间点有其确定的投影，但点的一个投影不能确定该点的空间位置。点的投影点在三投影面体系中的投影WHVoXa

●a●a

●A●Y点A的水平投影点A的正面投影点A的侧面投影WVHaaZaa

yayaXYYO

●●az●x点的投影点在三投影面体系中的投影规律(1)点的正面和水平投影的连线垂直于OX轴，即aa'⊥OX轴。WVHaaZaa

yayaXYYO

●●az●x点的投影点在三投影面体系中的投影规律(2)点的正面投影到OX轴的距离、点的侧面投影到OY轴的距离，反映空间点A到H面的距离;WVHaaZaa

yayaXYYO

●●az●x点的投影点在三投影面体系中的投影规律点的水平投影到OX轴的距离、点的侧面投影到OZ轴的距离，反映空间点A到V面的距离;WVHaaZaa

yayaXYYO

●●az●x点的投影点在三投影面体系中的投影规律点的正面投影到OZ轴的距离、点的水平投影到OY轴的距离，反映空间点A到W面的距离。WVHaaZaa

yayaXYYO

●●az●x点的投影点在三投影面体系中的投影规律(3)点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离，即aax=

a"az。WVHaaZaa

yayaXYYO

●●az●x●●a

aax●a

●●a

aaxazaz解法一:通过作45°线使a

az=aax解法二:用圆规直接量取a

az=aaxa

●点的投影例题已知点的两个投影，求第三个投影。点的投影点的坐标点的投影到投影轴的距离，反映该点在空间的一个坐标，也就是该点到相应投影面的距离。如点A的空间位置可以表示为A(XA，YA，ZA)其中:XA=a′aZ=aaY=Aa″点A到W面的距离YA=aaX=a″aZ=Aa′点A到V面的距离

ZA=a′aX=a″aY=Aa点A到H面的距离

点的投影点的坐标例题已知空间点A的坐标为A（15，20，10），求作点A的三面投影图。点的投影两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。两点的正面投影和水平投影反映出他们的左右位置两点的正面投影和侧面投影反映出他们的上下位置两点的水平投影和侧面投影反映出他们的前后位置b

aa

a

b

b●●●●●●XYHYWZ点的投影两点的相对位置练习判断点A、点B的左右、上下、前后位置关系点的投影重影点位于同一条投射线上的两点具有两个相同的坐标，在反映这两个坐标的投影面上两点投影重合，称之为两点对该投影面的重影点。A点在B点正前方，故点A可见，点B不可见。规定把不可见点的投影打上括号点的投影作业练习册：P19、P20、P21直线投影的画法一般直线的投影特性投影面平行线的投影特性投影面垂直线的投影特性直线上点的投影直线的投影两直线的相对位置直角投影定理直线的投影直线投影的画法

投影中，直线的投影一般仍未直线。根据几何定理，直线的空间位置可以由直线上的任意两点来决定，而直线的投影，则可以由直线上两点（通常取线段的两个端点）的同面投影来确定。AB●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a(b)(m)●●●一般位置直线直线的投影直线投影的画法一般位置直线abb

a

b

a

投影特性：三个投影都与投影轴倾斜且投影长度小于直线的实长。投影面平行线直线的投影直线投影的画法b

a

aba

b

b

aa

b

ba

水平线侧平线正平线实长实长实长ba

aa

b

b

投影特性：在其平行的那个投影面上的投影反映实长。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。投影面平行线投影面垂直线直线的投影直线投影的画法投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)投影特性：在其垂直的投影面上，投影有积聚性。另外两个投影，反映线段实长。且垂直相应的投影轴。直线的投影直线上点的投影ABCVHbcc

b

a

a直线上任意点的投影必在该直线的同面投影上。直线上两线段之比等于其投影之比。AC:CB=ac:cb=a'c':c'b'若点的投影有一个不在直线的同面投影上，则该点一定不在此直线上。定比定理直线的投影例题直线上点的投影判断点C是否在线段AB上。点C不在直线AB上abca

b

c

①c

②abca

b

●点C在直线AB上例题：判断点K是否在线段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。应用定比定理abka

b

k

●●还有其他的方法吗？直线的投影两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。⒈两直线平行aVHc

bcdABCDb

d

a

投影特性：空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。直线的投影两直线的相对位置两直线平行例题abcdc

a

b

d

判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD直线的投影两直线的相对位置两直线平行例题判断图中两条直线是否平行。b

d

c

a

cbadd

b

a

c

求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。求出侧面投影对于特殊位置直线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。直线的投影两直线的相对位置2.两直线相交HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

投影规律：若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。直线的投影两直线的相对位置两直线相交例题●●cabb

a

c

d

k

kd先作正面投影过C点作水平线CD与AB相交。直线的投影例题两直线的相对位置两直线交叉d

b

a

abcdc

1

(2

)3(4)投影特性：同面投影可能相交，但"交点"不符合空间一个点的投影规律。"交点"是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●1、2是Ｖ面的重影点，3、4是H面的重影点。12●●3

4

●●既不平行又不相交的两条直线，称为交叉直线。交叉直线在空间不存在交点，然而他们的同面投影却可能出现相交的情况。直线的投影直角投影定理定理：

垂直相交(或交叉)的两直线，若其中一直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍然反映直角关系。证明：设直角边BC//H面因BC⊥AB,同时BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面又因BC//bc故bc⊥ABba平面因此bc⊥ab即∠abc为直角直线在H面上的投影互相垂直ABCabcHa

c

b

abc.直线的投影直角投影定理逆定理：

若相交(或交叉)两直线在某一投影面上的投影为直角，且其中一条直线平行于该投影面，则该两直线在空间必相互垂直。ABCabcHa

c

b

abc.直线的投影直角投影定理练习d

abca

b

c

●●d过C点作直线CD与AB垂直相交。AB为正平线,正面投影反映直角。.直线的投影作业练习册：P22、P23、P24、P25、P26、P27一般平面的投影特性投影面平行面的投影特性投影面垂直面的投影特性平面上的直线和点平面的投影平面的表示方法平面的投影平面的表示方法平面的投影平面对一个投影面的投影特性平行垂直倾斜投影特性平面平行投影面-----投影就把实形现平面垂直投影面-----投影积聚成直线

平面倾斜投影面-----投影类似原平面实形性类似性积聚性一般位置平面平面的投影一般平面的投影特性a

b

c

a

c

b

abc三个投影都类似。投影特性：投影面平行面平面的投影投影面平行面的投影特性a

b

c

a

b

c

abc积聚性积聚性实形性投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。投影面垂直面平面的投影投影面垂直面的投影特性abca

c

b

c

b

a

类似性类似性积聚性投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。另外两个投影面上的投影有类似性。平面的投影平面上的直线和点——平面上取任意直线判断直线在平面内的方法

定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。平面的投影平面上的直线和点——平面上取任意直线练习abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d解法一解法二已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。n

m

nm10c

a

b

cab平面的投影平面上的直线和点——平面上取任意直线练习在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。平面的投影平面上的直线和点——平面上取点平面上取点的方法：先找出过此点，并在此平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置平面的投影平面上的直线和点——平面上取点练习已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●②●abca

b

k

c

d

k●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解bckada

d

b

c

k

平面的投影平面上的直线和点——平面上取点练习

已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。平面的投影几何元素的相对位置平行相交直线与平面平行平面与平面平行直线与平面相交平面与平面相交平面的投影几何元素的相对位置——直线与平面平行若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。过M点作直线MN平行于平面ABC。n

●●a

c

b

m

abcmnd'd过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。平面的投影几何元素的相对位置——直线与平面平行c

●●b

a

m

abcmnn

平面的投影几何元素的相对位置——平面与平面平行若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。c

f

b

d

e

a

abcdef平面的投影几何元素的相对位置——直线与平面相交直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。求直线与平面的交点。判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况平面的投影几何元素的相对位置——直线与平面相交平面为特殊位置abcmnc

n

b

a

m

空间及投影分析

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

为可见。还可通过重影点判别可见性。k

●1

(2

)作图k●●2●1●平面的投影几何元素的相对位置——直线与平面相交直线为特殊位置km(n)b●m

n

c

b

a

ac空间及投影分析

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性

点1位于平面上，在前；点2位于MN上，在后。故k

2

为不可见。1

(2

)k

●2●1●●作图用面上取点法平面的投影几何元素的相对位置——平面与平面相交两平面相交其交线为