计数原理讲义2-高三数学二轮专题复习

计数原理21．二项式展开式的特定项、特定项的系数问题（1）二项式定理定义一般地，对于任意正整数,都有：，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，（2）二项式的展开式的特点：①项数：共有项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次数从到，每一项中，，次数和均为；④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系数）.（3）两个常用的二项展开式：①()②（4）二项展开式的通项公式二项展开式的通项：公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；②字母的次数和组合数的上标相同；③与的次数之和为．注释：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．2．二项式展开式中的最值问题（1）二项式系数的性质=1\*GB3①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即.=2\*GB3②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即.=3\*GB3③二项式系数和令,则二项式系数的和为，变形式.=4\*GB3④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，则，从而得到：.=5\*GB3⑤最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项,的二项式系数,相等且最大.（2）系数的最大项求展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来.3．二项式展开式中系数和有关问题（1）含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立，所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质.（2）二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式.（3）常用赋值举例：A、设，二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值.①令，可得：②令，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：.B、若，则①常数项：令，得.②各项系数和：令，得.③奇数项的系数和与偶数项的系数和a.当为偶数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为.（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”,奇偶交错搭配）b.当为奇数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为.（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”,奇偶交错搭配）若，同理可得.注：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果.考点一二项式展开式的特定项、特定项的系数问题考向1求二项展开式中的参数1、已知的展开式中含有项的系数是54，则=．2、的展开式中，的系数为，则=．3、若的展开式中的系数是，则实数=．4、二项式的展开式中的系数为15，则=（）A．4 B．5 C．6 D．75、展开式中的常数项为．6、使得的展开式中含有常数项最小的为（）A． B． C． D．7、的展开式中常数项是．8、二项式的展开式的常数项是_______．9、在的展开式中，系数为有理数的项共有项．10、的展开式中系数为有理数项的共有项．11、在二项式的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是．12、从二项式的展开式各项中随机选两项，选得的两项均是有理项的概率是．13、的展开式中，的系数是．14、的展开式中的系数为（）15、二项式的展开式中，含的项的系数是．16、在的展开式中，的系数为（）A．5 B．5 C．10 D．1017、的展开式中,的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．6018、求当的展开式中的一次项的系数为.19式子的展开式中的系数为．20、的展开式中常数项为．21、的展开式中常数项为．22、已知的展开式中的系数为5，则=（）A．4 B．3 C．2 D．123、的展开式中的常数项为．24、的展开式中的系数为．25、的展开式中，的系数为（）A.10B.20C.3026、展开式中的系数为（）27、的展开式中的系数为（）28、的展开式中的系数为（）A.12 29、的展开式中的系数为（）考点二二项式展开式中的最值问题1、设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则（）A．5 B．6 C．7 D．82、已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A． B． C． D．3、已知，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，展开式中二项式系数最大项的系数是．4、在的展开式中，二项式系数最大的项是．5、在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为．6、在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为．7、设则=．8、写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？9、若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？10、在的展开式中系数最大的项是多少？考点三二项式展开式中系数和有关问题1、的展开式中各项系数和为2，则该展开式中常数项为()2、已知的展开式中，各项系数和与其各项二项式系数和之比为，则n等于()3、设，则的值为（）A． B． C．1 D．24、展开式中不含项的系数的和为（）A． B．0 C．1 D．25、在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于