人教A版（2019）选择性必修第二册 5.3.1 函数的单调性 教案

人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.1函数的单调性教案主备人备课成员教学内容人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.1函数的单调性

本节课主要内容包括：

1.函数单调性的定义及概念；

2.判断函数单调性的方法；

3.函数单调性与导数的关系；

4.通过实例分析函数的单调性；

5.练习相关题目，巩固单调性判断方法。核心素养目标1.让学生能够运用数学语言描述函数单调性的概念，提升逻辑思维能力和数学抽象素养；

2.通过分析函数单调性与导数的关系，发展学生的直观想象和数学推理素养；

3.培养学生运用函数单调性解决实际问题的能力，提高数学建模和应用意识素养；

4.培养学生独立思考、合作交流的能力，增强数学学习的自信心和兴趣。教学难点与重点1.教学重点

-函数单调性的定义与理解：重点讲解函数单调递增和单调递减的定义，通过具体函数图像和表达式来加深学生对单调性的认识，例如，通过分析函数f(x)=x^2在区间(-∞,0]和[0,+∞)上的单调性，让学生理解单调性的概念。

-判断函数单调性的方法：重点介绍通过一阶导数判断函数单调性的方法，例如，对于函数f(x)=x^3-3x，通过求导得到f'(x)=3x^2-3，分析导数的正负来判断函数的单调区间。

-函数单调性与实际应用：重点强调函数单调性在解决实际问题中的应用，如优化问题、函数图像分析等。

2.教学难点

-函数单调性的证明：难点在于如何用数学语言严格证明函数的单调性，例如，对于函数f(x)=x^2，学生可能难以理解如何从定义出发证明其在区间[0,+∞)上单调递增。

-导数与单调性的关系：难点在于理解导数的正负与函数单调性之间的关系，学生可能会混淆导数为0的点是否影响函数的单调性，例如，对于f(x)=x^3，在x=0时导数为0，但并不改变函数的单调性。

-复杂函数单调性的判断：难点在于如何处理包含多个因式或复合函数的单调性判断，例如，对于函数f(x)=(x-1)(x+2)，需要分析每个因子的单调性以及它们的组合对整个函数的影响。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段1.教学方法

-讲授法：通过讲解函数单调性的定义、性质及判断方法，使学生系统掌握知识。

-讨论法：引导学生就函数单调性的应用实例进行小组讨论，培养学生的合作能力和问题解决能力。

-练习法：通过大量练习题巩固学生对函数单调性知识的理解和应用。

2.教学手段

-多媒体演示：使用PPT展示函数图像，直观演示单调性的变化，增强学生的直观感受。

-动态数学软件：利用软件如GeoGebra进行函数图像的动态演示，帮助学生直观理解单调性。

-网络资源：引导学生利用网络资源查找相关资料，拓宽知识面，提高自主学习能力。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：通过提问“同学们，你们在生活中有没有遇到需要比较物体大小或数量多少的情况？”引发学生对大小比较的思考，进而引出函数单调性的概念。

-回顾旧知：回顾上节课学习的导数的基本概念和计算方法，为讲解函数单调性打下基础。

2.新课呈现（约30分钟）

-讲解新知：详细讲解函数单调性的定义，包括单调递增和单调递减的概念，以及如何通过图像观察函数的单调性。

-举例说明：以函数f(x)=x^2为例，通过图像和一阶导数f'(x)=2x，说明函数在x<0时单调递减，在x>0时单调递增。

-互动探究：将学生分成小组，让每组分析一个给定的函数，判断其单调性，并讨论判断过程中遇到的问题和解决方法。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：学生在纸上完成几个单调性判断的练习题，包括直接根据定义判断和利用导数判断。

-教师指导：在学生练习过程中，教师巡回指导，对学生的疑问进行解答，对学生的解题过程进行点评和指导。

4.应用拓展（约15分钟）

-应用练习：给出几个与实际生活相关的应用题，如温度变化、股票价格等，让学生分析这些情境下的函数单调性。

-小组讨论：学生分组讨论这些应用题，尝试将所学知识应用于实际问题中。

5.总结反馈（约10分钟）

-总结知识：教师引导学生总结本节课学习的函数单调性的关键点和判断方法。

-反馈评价：教师对学生的学习效果进行评价，鼓励学生的积极参与和认真态度，指出需要改进的地方。

6.作业布置（约5分钟）

-布置作业：教师布置几道单调性判断的作业题，要求学生在课后独立完成，巩固所学知识。

-提醒注意事项：教师提醒学生在完成作业时要注意的问题，如审题、规范解题步骤等。知识点梳理1.函数单调性的定义

-函数单调递增：如果对于区间I内的任意两点x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在区间I上单调递增。

-函数单调递减：如果对于区间I内的任意两点x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)在区间I上单调递减。

2.函数单调性的判断方法

-利用导数判断：如果函数f(x)在区间I上的导数f'(x)>0，则f(x)在区间I上单调递增；如果f'(x)<0，则f(x)在区间I上单调递减。

-利用函数图像判断：观察函数的图像，如果函数随着x的增加而逐渐上升，则为单调递增；如果函数随着x的增加而逐渐下降，则为单调递减。

3.函数单调性与导数的关系

-如果函数f(x)在区间I上可导，那么f(x)在区间I上单调递增的充分必要条件是f'(x)≥0，且f'(x)在区间I上不恒为0。

-如果函数f(x)在区间I上可导，那么f(x)在区间I上单调递减的充分必要条件是f'(x)≤0，且f'(x)在区间I上不恒为0。

4.函数单调性的证明

-通过定义证明：选择区间I内的任意两点x1和x2，根据单调性的定义，证明f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)。

-通过导数证明：求函数f(x)的导数f'(x)，根据导数的正负判断函数的单调性。

5.函数单调性的应用

-解决实际问题：利用函数单调性解决最值问题、优化问题等。

-分析函数图像：通过函数的单调性分析函数图像的走势和特征。

6.函数单调性的特殊性质

-常数函数：常数函数在定义域内既不是单调递增也不是单调递减。

-一次函数：一次函数的单调性取决于斜率的正负。

-二次函数：二次函数的单调性与其开口方向和顶点位置有关。

7.函数单调性的限制条件

-函数单调性的判断通常是在某个区间内进行的，需要考虑函数在该区间内是否连续和可导。

-对于分段函数，需要分别分析每个区间上的单调性，并考虑分段点处的单调性。

8.函数单调性的相关概念

-函数的极值点：函数的极大值点和极小值点是函数单调性的转折点。

-函数的拐点：函数的拐点是函数凹凸性的转折点，与单调性有一定的关联。

9.函数单调性的练习题

-判断函数的单调性：给定一个函数，判断其在某个区间内的单调性。

-证明函数的单调性：根据函数的定义或导数，证明函数在某个区间内的单调性。

-应用函数的单调性：利用函数的单调性解决实际问题或分析函数图像。

10.函数单调性的教学策略

-通过实例引入：使用实际例子来引入函数单调性的概念，增强学生的直观理解。

-结合图像教学：利用函数图像帮助学生理解单调性的变化和特征。

-强化练习：通过大量的练习题巩固学生对函数单调性的理解和应用能力。板书设计1.函数单调性的定义与理解

①函数单调递增的定义

②函数单调递减的定义

③单调性与区间的关系

2.函数单调性的判断方法

①利用导数判断单调性的方法

②利用函数图像判断单调性的方法

③导数与单调性的关系

3.函数单调性的应用与练习

①单调性与实际问题的联系

②单调性判断的练习题目类型

③练习题目的解题步骤与关键点

4.函数单调性的特殊性质与限制条件

①常数函数、一次函数、二次函数的单调性

②分段函数的单调性分析

③函数连续性与可导性的考虑

5.函数单调性的相关概念与教学策略

①极值点与拐点的概念

②结合图像的教学方法

③强化练习的教学策略课后拓展1.拓展内容

-阅读材料：《数学分析与应用》中关于函数单调性的章节，深入了解单调性的理论背景和应用实例。

-视频资源：观看教育平台上关于函数单调性的教学视频，如“函数单调性的直观理解”和“导数与函数单调性”。

2.拓展要求

-学生在课后选择至少一篇阅读材料进行学习，总结材料中的关键知识点，并在下一次课堂上分享学习心得。

-学生观看至少一个视频资源，记录下视频中的重点内容和对自己理解有帮助的部分，形成笔记。

-鼓励学生尝试解决一些与函数单调性相关的拓展题目，如分析复杂函数的单调性，或探讨单调性在物理、经济等领域的应用。

-教师在课后提供必要的指导，包括解答学生在自主学习过程中遇到的问题，推荐额外的学习材料，以及提供拓展题目的解答思路。

-学生在完成拓展学习后，应能够更好地理解函数单调性的概念，掌握判断单调性的方法，并能够将所学知识应用于实际问题中。

-教师在下次课堂上组织学生进行小组讨论，分享各自的学习成果，促进知识的内化和升华。教学评价与反馈1.课堂表现

-学生参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度，包括提问、回答问题、参与讨论等。

-学生理解度：通过学生的反应和提问，评估学生对函数单调性概念的理解程度。

-教学方法有效性：评估所采用的教学方法是否能够有效帮助学生理解和掌握函数单调性。

2.小组讨论成果展示

-讨论内容完整性：检查小组讨论的内容是否涵盖了单调性的定义、判断方法和应用。

-讨论深度：评估小组讨论是否能够深入探讨单调性的本质和相关概念。

-展示效果：观察学生在成果展示时的表达能力和对讨论内容的掌握程度。

3.随堂测试

-测试题目设计：设计涵盖单调性判断、证明和应用方面的随堂测试题目。

-学生答题情况：收集和分析学生的答题情况，了解学生对知识点的掌握情况。

-测试结果反馈：根据测试结果，及时给予学生反馈，指出错误和不足。

4.课后作业评价

-作业完成情况：检查学生课后作业的完成情况，包括作业的整洁度、正确率和解题步骤的完整性。

-作业难度适宜性：评估作业难度是否适合学生的实际水平，是否有助于巩固课堂所学知识。

5.教师评价与反馈

-课堂表现评价：对学生在课堂上的表现进行总结评价，包括对积极参与和认真听讲的学生给予表扬。

-小组讨论评价：对小组讨论成果进行评价，指出讨论的优点和需要改进的地方。

-随堂测试评价：根据测试结果，评价学生对知识点的掌握情况，提供针对性的学习建议。

-课后作业评价：对学生的课后作业进行评价，指出作业中的亮点和存在的问题，鼓励学生改进。

-整体教学反馈：结合学生的课堂表现、小组讨论、随堂测试和课后作业情况，对整个教学过程进行总结，提出改进措施，为下一节课的教学提供参考。教学反思今天的教学内容是关于函数的单调性。在课堂上，我首先通过生活中的例子引入了单调性的概念，然后详细讲解了单调性的定义和判断方法。我觉得学生们对单调性的概念有了初步的理解，但是在判断方法和证明方面还存在一些困惑。在小组讨论环节，学生们积极参与，讨论了一些具体的函数单调性判断问题，但讨论的深度还有待提高。随堂测试结果显示，大部分学生能够理解单调性的概念，但在判断和应用方面还存在一些问题。课后作业的完成情况总体较好，但也有一些学生存在解题步骤不完整的情况。总的来说，今天的课堂教学取得了一定的成果，但也存在一些不足之处。

在教学过程中，我意识到以下几点需要改进：

1.教学方法的灵活性：虽然我采用了讲授法、讨论法和练习法，但在实际教学中，我发现不同学生的学习风格和接受能力不同，需要根据学生的实际情况灵活调整教学方法。例如，对于理解能力较强的学生，可以适当增加讨论和探究的环节，而对于理解能力较弱的学生，可以多提供一些直观的例子和解释。

2.课堂互动的有效性：虽然我鼓励学生提问和参与讨论，但发现部分学生在课堂上还是比较被动，参与度不高。为了提高课堂互动的有效性，我需要更加注重激发学生的学习兴趣，通过提问、小组竞赛等方式引导学生积极参与课堂活动。

3.练习题目的针对性：在课后作业和随堂测试中，我发现一些学生对于单调性的判断和应用存在困惑。为了帮助