2024高考数学讲义：集合与常用逻辑用语

2024高考数学讲义：集合与常用逻辑用语

目录

1.集合........................................................................2

1.1.教学大纲................................................................2

1.2.集合的有关概念..........................................................2

1.3.集合间的基本关系........................................................2

1.4.集合的三种基本运算......................................................3

1.5.集合基本运算的性质......................................................3

1.6.练习....................................................................3

1.7.考点例析对点微练：互动课堂•考向探究..................................5

1.7.1.考点一集合的基本概念自主练习.....................................5

1.7.2.考点二集合间的基本关系..........................................7

1.7.3.考点三集合的基本运算微专题......................................9

1.8.根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的步骤..........................11

1.9.教师备用题..............................................................13

1.10.深度探究素养达成：课外阅读•增分培优，集合中的新定义问题..........14

2.命题及其关系、充分条件与必要条件...........................................16

2.1.教学大纲...............................................................16

2.2.自主学习知识积淀.....................................................16

2.3.练习..................................................................17

2.4.考点例析对点微练：互动课堂•考向探究................................19

2.4.1.考点一四种命题及其关系自主练习.................................19

2.4.2.考点二充分条件与必要条件的判断.................................21

2.4.3.考点三充分条件与必要条件的应用微专题..........................23

2.5.注意事项..............................................................24

3.简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词.......................................25

3.1.教学大纲..............................................................25

3.2.练习..................................................................27

3.3.考点例析对点微练：互动课堂•考向探究................................28

3.3.1.考点一简单的逻辑联结词自主练习.................................28

3.3.2.考点二全称命题与特称命题的真假判断............................30

3.3.3.考点三含有一个量词的命题的否定微专题..........................31

3.3.4.考点四根据全（特）称命题的真假求参数的取值范围微专题............33

第1页共36页

3.4.根据全（特）称命题的真假求参数取值范围的思路............................33

3.5.教师备用题.............................................................34

1.集合

1.1.教学大纲

内容要求考题举例考向规律

2020•全国I

卷・T2（集合的

1.了解集合的含义，

交集运算）

元素与集合的属于关

2020•全国H

系；能用列举法或描

卷・T1（集合的

述法表示集合

并集、补集运考情分析：集合的概念及运算一直是高考热

2.理解集合之间包

算）点，同时近两年新课标高考试题加强了对以集

含与相等的含义，能

2020•全国m合为工具与其他知识相结合的考查，一般为基

识别给定集合的子

卷-T1（集合的础题，解题时要充分利用Venn图、数轴的直

集；了解全集与空集

表示）观性迅速得解，预计今后这种考查方式不会变

的含义

2020•新高考I核心素养：数学运算、数学抽象

3.理解并会求并

卷-T1（集合的

集、交集、补集；能

并集运算）

用Venn图表示集合

2020•新高考I

的关系与运算

卷-T5（集合的

实际应用）

1.2.集合的有关概念

（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

（2）集合与元素的关系：若a属于集合A,记作—A；若b

不属于集合A,记作场A。

（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。

（4）五个特定的集合:

集合非负整数集（或自然数集）正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N+ZQR

1.3.集合间的基本关系

表示

关系^\文字语言记法

集合子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素AUB或B?A

集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属

AB或BA

的基于A

集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中AGB且BGA

相等

关系的每一个元素也都是集合A中的元素=A=B

第2页共36页

空集是任何集合的子集0GA

空集

空集是任何非空集合的真子集0B且B"

⑴ACA=A，Ari0=0o

(2)AUA=A，AU0=A。

(3)AG&A)=g,AU([(/A)={/,[U&A)=A。

(4)ACB=AnB=AOAU8=B0[M3[uB=AG([u8)=0。

1.6.练习

一、常规题

1.若集合P={%£N|%W,2021},a=2®则()

A.aGPB.{a}£P

C.[a}^PD.aqP

解析因为a=2也不是自然数，而集合尸是不大于二2021

的自然数构成的集合，所以海尸。

答案D

2.已知集合A={x|f—2%—3<0},8={%[0<xW4},则AU

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B=()

A.[-1,4]B.(0,3]

C.(-l,0]U(l,4]D.[—1,0]U(1,4]

解析A={%|f—2%—3W0}={%|—lW%W3},故AU3=[一

l,4]o

答案A

3.设全集为R,集合A={%[0<x<2},则AA([

附=()

A.{%[0<xWl}B.{x|0<x<l}

C.{%|lWx<2}D.{x|0<x<2}

解析因为集合3=,所以[R3=,所以

An([RB)={x|0<ji<l}o

答案B

二、易错题

4.(忽视元素的互异性)已知集合A={1,3,-\fm},B={\,

m},若贝！]根=()

A.1B.0或1或3

C.0或3D.1或3

解析由得m=3或m=Gi,解m=5t,得加=0

或m=1,由集合元素的互异性知相?1。所以加=0或m=3。

答案C

5.(忽视空集的情形)已知集合a=0},N={x\ax-

1=0},若MCN=N,则实数”的值是()

A.-1B.1

C.-1或1D.0或1或一1

解析由MCN=N,得NJM,当N=0时，a=0;当N#

0时，解得a=±l,故a的值为±1,0。

第4页共36页

答案D

6.（忽视集合运算中端点取值）已知集合A={%|%23},B=

{x\x^m},且AU8=A,则实数机的取值范围是。

解析因为集合A={%|%23},B={x\x^m},且AU8=A,

所以如图所示，所以m23。

答案[3,+°°）

1.7.考点例析对点微练：互动课堂•考向探究

1.7.1.考点一集合的基本概念自主练习

1.（2021・重庆一诊）已知集合A={xeZ|x2+2x-8<0）,B=

{/|%£A},则3中元素个数为（）

A.4B.5

C.6D.7

解析A={%£Z|f+2%—8<0}={]£Z[—4<x<2}={—3,一

2,-1,0,1},8={/|%£A}={0,l,4,9},故3中元素个数为4。故

选A。

答案A

2.已知集合4=则集合A中的元素个

数为（）

A.2B.3

C.4D.5

3

解析因为一GZ,且％EZ,所以2—%的取值有-3,-

2—x

1,1,3,所以％的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为

4o

答案C

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3.(2020•全国川卷)已知集合A={(%,y)|%,y£N*,y^x],

3={(%,y)|%+y=8},则AG3中元素的个数为()

A.2B.3

C.4D.6

解析由题意得，AG3={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},所以

AG8中元素的个数为4。故选C。

答案C

4.已知集合A={%£N[l<x<log2%},集合A中至少有3个元

素，贝女)

A.女216B.%>16

C.%28D.%>8

解析由集合A中至少有3个元素，得log2%>4,解得人>16。

故选Bo

答案B

f2

5.设集合A=j2,3,/—3a,Q+"+7，，3={|a—2|,3},已

知4£A且4q3,则〃的取值集合为o

2'

解析因为4£A,4G2,3,〃-3"，«+-+7,所以

2

4—3白=4或a+/+7=4。若/—3a=4,则Q=—1或a=4;

2.

若a+7+7=4,即/+34+2=0,则Q=—1或a=—2。由〃

2

—3a与+7互异，得a乎—10故。=—2或a=4。又44B,

即44{|。一2|,3},所以|。一2|力4,解得Q/—2且4力6。综上所

述，a的取值集合为{4}。

答案{4}

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1.解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的

元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的

条件）构造关系式解决相应问题。

2.集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特

别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的

元素是否满足互异性。

1.7.2.考点二集合间的基本关系

【例1】（1）已知集合4={%£24一2%—3W0},8={y|y=

2'},则AG8的子集的个数为（）

A.10B.16

C.8D.7

解析因为A={—1,0,1,2,3},8=（0,+8）,所以

{1,2,3},其子集的个数为23=8。

答案C

（2）已知集合人={0,1},B={%[%£A},则下列集合A与8的

关系中正确的是（）

A.BUAB.AB

C.BAD.AUB

解析因为％GA,所以B={。，{0},{1},{0,1}},又集合

A={0』}是集合3中的元素，所以AE8。

答案D

（3）已知集合A={x|—2W%W5},B=11）,

若5UA,则实数机的取值范围为0

解析因为3UA,所以①若8=0,则2〃2—1＜加+1,此时

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2m~11,

m<2o②若BN。，则｛根+12—2,解得2W〃zW3。由①②

J2m—1W5,

可得，符合题意的实数相的取值范围为(-8,3]o

答案(一8,3]

1.判断集合之间关系的方法

(1)化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系。

(2)用列举法表示集合，从元素中寻找关系。

(3)利用数轴，在数轴上表示出两个集合(集合为数集)，从而

确定集合与集合的关系。

2.根据两集合的关系求参数的方法

已知两集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将两个集

合之间的关系准确转化为参数所满足的条件，应注意子集与真子

集的区别。此类问题多与不等式(组)的解集相关，常常需要利用

数轴、Venn图辅助分析。

【变式训练】(1)设尸={丁|丁=—f+l,%£R},Q={y\y=

2X,xeR},贝ij()

A.PQQB.QQP

C.(CRP)GQD.Q=([RP)

解析因为P={y\y=~^+1,%£R}={y|yWl},Q={y\y

=2》，xGR}={>>0},所以[丁={九>1},所以[RPUQ。故选

Co

答案c

(2)在例1(3)中，若“BQA”变为“BA”，其他条件不变，

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如何求解?

解因为3A,所以①若8=0,成立，此时加<2。

2m—11,2m-11,

②若BW0,则<根+1］一2,或<m+1>—2,

J2m—1<5、2根一1W5,

解得2W%W3。

由①②可得相的取值范围为(-8,3]0

1.7.3.考点三集合的基本运算微专题

微考向1：集合的基本运算

【例2】(1)(多选)已知全集U=R,函数y=ln(%—2)的定

义域为M,集合N={%*—2x>0},则下列结论正确的是()

A.MCN=MB.Mn([uN)=。

C.MUN=UD.M=luN

解析由X—2>0,得％>2,所以M=(2,+8),由x2—2%>0,

得％<0或%>2,所以N=(—8,0)U(2,+8),[W=[0,2],所

以MC(luN)=0,MCN=M,MUN=N^U,故选ABo

答案AB

(2)(2021•八省联考)已知M,N均为R的子集，且[RMCN,

则MU([RN)=()

A.0B.MC.ND.R

解析解法一：因为鼠用包N,所以M3[RN,所以MU([

RN)=MO故选B。

解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R,矩形区域

ABHE表示集合M,则矩形区域CQEH表示集合[RM,矩形区域

CDFG表示集合N,满足[RMCN,结合图形可得MU(CRA0=

M。故选B。

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答案B

解集合的运算题的常用技巧

1.若已知的集合是不等式的解集，常利用数轴求解。

2.若已知的集合是点集，常利用数形结合法求解。

3.若已知的集合是抽象集合，常利用Venn图求解。

微考向2：利用集合的运算求参数

【例3】（1）（2020•全国I卷）设集合4={%/一4W0},B=

{x|2%+aW0},且AG3={%|一2W%W1},则“=（）

A.-4B.-2C.2D.4

解析解法一：易知A={%|—2WxW2},B=g,

因为An3={%|—2WxWl},所以一3=1,解得Q=-2。故选B。

解法二：由题意得A={x|-2W%W2}。若1=-4,则3=

{%|%W2},又A={%|-2W%W2},所以AnB={%|一2W%W2},不

满足题意，排除A;若a=~2,则3={%|%W1},又A={x]—

2W%W2},所以An8={%|一2W%W1},满足题意；若〃=2,则

8={%|%W-1},又A={%|一2W%W2},所以AGB={%|-2WxW

-1},不满足题意，排除C;若Q=4,则8={%|%W-2},又A

={%]-2忘％忘2},所以4门3={%|%=-2},不满足题意，排除D。

故选Bo

答案B

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(2)已知集合A=[x\x<a},B={xlx2_3x+2<0},若APlB=

B,则实数〃的取值范围是()

A.a<lB.aWlC.a>2D.

解析集合3={4^—3%+2<0}={%|14<2},由AHB=B

可得作出数轴如图。可知122。

答案D

1.8.根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的步骤

1.将集合的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合

中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合

中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一

般利用数轴解决，要注意端点值能否取到。

2.将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题。

3.根据求解结果来确定参数的值或取值范围。

【题组对点练】

1.(微考向1)(2020•全国n卷)已知集合u={-2,-

1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则[u(AUB)=()

A.{-2,3}B.{-2,2,3}

C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}

解析解法一：由题意，得AUB={—1,0,1,2},所以[u(AU

B)={-2,3}o故选A。

解法二：因为2WB,所以26(AUB),所以24[u(AU3),故

排除B,D;又0£A,所以0£(AU8),所以0q[“AUB),故排

除C。故选A。

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答案A

2.（微考向1）（2020•新高考I卷）某中学的学生积极参加体育

锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,

82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数

占该校学生总数的比例是（）

A.62%B.56%

C.46%D.42%

解析不妨设该校学生总人数为100,既喜欢足球又喜欢游

泳的学生人数为％,则100X96%=100X60%—%+100X82%,

所以％=46,所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总

数的比例为46%。故选C。

答案C

3.（微考向2）已知集合A={xez|x2-4x-5<0},B=

{%|4、>2勺，若AG3中有三个元素，则实数m的取值范围是（）

A.[3,6）B.[1,2）

C.[2,4）D.（2,4]

解析因为x2—4%—5<0,所以一l<x<5。集合A={%£Z|f

-4X-5<0}={0,1,2,3,4},B={x\4x>2m}={

%%>,卜又因为ACB中有三个元素，所以1W,<2,解得

2W机<4,所以实数机的取值范围是[2,4）。

答案C

4.（微考向2）设全集U=R,集合A={%|%>1},集合B=

{x\x>p},若（[UA）G8=0,则〃应该满足的条件是（）

A.p>\B.p>l

C.p<\D.pWl

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解析全集U=R,集合A={%|%>1},集合8={%|%>"},所

以[uA={x[%Wl},又（[UA）G3=0,所以pel。

答案B

1.9.教师备用题

【例1】（配合考点一使用）已知集合4={川>=/},B={y\y=^-],C=

{（x，）'）1）'=/}，则AAB=，AAC=o

解析集合A是函数y=/的定义域，即A=（—8,+8）,

集合8是函数的值域，即3=[0,+°°）,所以AC8=[0,

2

+°°）o集合C是函数yuji的图象上的点的集合，故ACC=0。

答案[0,+°°）0

【例2】（配合例1使用）已知集合M,N,P为全集。的

子集，且满足则下列结论不正确的是（）

A.[uNU[dB.[N尸与CNM

c.（[d）rw=0D.QM）GN=0

解析解法一：根据已知条件画出Venn图结合各选项知,

只有D不正确。故选D。

解法二：（特例法）取u=z,M={1},尸={1,2},N={1,2,3},

验证各选项知D不正确。

答案D

【例3]（配合例1使用）设A={%|f—8%+15=0},B—

{x|a%—1=0}。

（1）若。=/试判断集合A与3的关系；

⑵若5A,求实数。组成的集合C。

解（1）由％2—81+15=0,

得％=3或%=5,所以A={3,5}。

若。=:，由“%—1=0,得;%—1=0,即％=5。

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所以8={5}。所以8Ao

(2)因为A={3,5},又8A,

故若3=0,则方程以一1=0无解，有”=0;

若BW。,则“N0,由如一1=0,得％=:。

所以，=3或，=5,即Q=J或a=!。

aaf35

故C=<0,I，；>。

【例4】(配合例3使用)已知集合A={%|1<%<%},集合3

={yly=2x-5,x^A},若An8={%|1<%<2},则实数％的值为

()

A.5B.4.5C.2D.3.5

解析3=(—3,2%—5),由An3={%[l<x<2},知％=2或2%

-5=2,因为％=2时，2%—5=-1,AG8=0,不合题意，所以

%=3.5。故选D。

答案D

1.10.深度探究素养达成：课外阅读•增分培优，集合中的新

定义问题

一、定义新运算

【例1】设尸，。为两个非空实数集合，定义集合P*Q=

[z\z=ah,a^P,b^Q},若。={1,2},Q={-1,0,1},则集合P*Q

中元素的个数是o

【解析】因为bGQ,所以”的取值只能为1,2;b

的取值只能为一1,0,1,z=">的不同运算结果如下表所示：

-101

a

1111

1

2

221

第14页共36页

由上表可知P*Q=<1,2-,显然该集合中共有3个不同

的元素。

【答案】3

二'定义新概念

【例2]（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世

纪。直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用

有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理

论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的

时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。所

谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集”与

N,且满足MUN=Q,MCN=。,M中的每一个元素都小于N

中的每一个元素，则称（M,M为戴德金分割。试判断下列选项中，

可能成立的是（）

A.M={x|x<0},N={%|%>0}是一个戴德金分割

B.M没有最大元素，N有一个最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素

D.M没有最大元素，N也没有最小元素

【解析】对A,因为M={%[%<0},2V={x|x>0},MUN=

{%|%W0}WQ,故A错误；对B,设M={%£Q|%<0},N={%£

Q|%20},满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最

小元素0,故B正确；对C,若M有一个最大元素，N有一个最

小元素，则不能同时满足MUN=Q,MHN=0,故C错误；对

D,设加={%£（^]%</},N={%£Q|X2/},满足戴德金分割，

此时M没有最大元素,N也没有最小元素，故D正确。故选BD。

【答案】BD

【名师微点】解决集合创新型问题的方法

（1）紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的

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问题本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解决

新定义型问题的关键所在。

（2）用好集合的性质。集合的性质（概念、元素的性质、运算

性质等）是解决新定义集合问题的基础，也是突破口，在解题时

要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些信息，在关键之处

用好集合的性质。

2.命题及其关系、充分条件与必要条件

2.1.教学大纲

内容要求考题举例考向规律

2020•天津高考・T2（充分条

1.理解命题的概念考情分析：以选择题或填空

件与必要条件）

2.了解"若p,则q”形式的题为主要题型，一般为容易

2020•北京高考・T9（充分条

命题的逆命题、否命题与逆题或中等题，近两年的新课

件与必要条件）

否命题，会分析四种命题的标高考题多为对充要条件的

2019•天津高考・T3（充分条

相互关系考查，少数涉及到四种命题

件与必要条件）

3.理解充分条件、必要条及其真假的判断

2019•北京高考47（充分条

件与充要条件的含义核心素养：逻辑推理

件与必要条件）

2.2.自主学习•知识积淀

1.命题

（1）命题的概念：数学中把用语言、符号或式子表达的，能够

判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题,

判断为假的语句叫做假命题。

（2）四种命题及其相互关系

特别提醒：若两个命题互为逆否命题，则它们具有相同的真

第16页共36页

假性。

2.充分条件、必要条件与充要条件

(1)若P=9，则。是〃的充分条件。

(2)若乡0p,则.是〃的必要条件。

(3)若既有p=q,又有q=p,记作p0q,则p是q的充要条

件。

1.充要条件的两个结论：

(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件,

则p是r的充分不必要条件。

(2)若夕是＜7的充分不必要条件，则^学是㈱尸的充分不必

要条件。

2.充分、必要条件与集合的关系

使p成立的对象构成的集合为A,

使q成立的对象构成的集合为B

p是q的充分条件AGB

p是q的必要条件BeA

p是q的充分不必要条件AB

p是q的必要不充分条件BA

p是q的充要条件A=B

2.3.练习

一、常规题

1.命题“若5＞y2,贝的逆否命题是()

A.“若工勺，则%2勺2"B.“若%＞y,则r＞产

C.“若％0,则D.“若％则％22y2”

解析根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题

“若/＞产，贝的逆否命题是“若XWy,则％2Wy2”。故选

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Co

答案c

2.“(%—1)(%+2)=0”是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析若％=1,则(%—1)(%+2)=0显然成立，但反之不成

立，即若。-1)(%+2)=0,则%的值也可能为一2。故选B。

答案B

3.设％GR,贝心0<%<5”是“仅一1|<1"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析由卜一1|<1可得0<%<2,因为小范围可以推出大范围，

大范围推不出小范围，所以是必要不充分条件。故选B。

答案B

二、易错题

4.(对命题中条件与结论否定不全面)命题“若a2+b2=0,

a,A£R,则a=b=0,,的逆否命题是。

答案若“W0或力WO,a,则4+/#。

5.(忽视大前提)已知命题“对任意a,Z?eR,若仍>0,则

。>0"，则它的否命题是。

答案对任意a,b£R,若仍W0,则aWO

6.(忽视等号的选取)已知p：x>a,q：%22。

(1)若.是学的充分不必要条件，则实数Q的取值范围是

(2)若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是

________________________O

解析(1)因为〃是^的充分不必要条件，所以

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{%[%>。}{%|%22},则实数a的取值范围是422。

(2)因为.是的必要不充分条件，所以{%|422}{x\x>a),

则实数a的取值范围是a<2。

答案(1)。>2(2)a<2

2.4.考点例析对点微练：互动课堂•考向探究

2.4.1.考点一四种命题及其关系自主练习

1.已知命题“若函数/(%)=e、一如在(0,+8)上是增函数,

则mWl”，则下列说法正确的是()

A.否命题是“若函数=阳%在(0,+8)上是减函数，

则21”

B.逆命题是“若根W1,则函数如在(0,+°°)

上是增函数”

C.逆否命题是“若相>1,则函数/(%)=炉一阳%在(0,+8)

上是减函数”

D.逆否命题是“若根W1,则函数/(%)=]一根%在(0,+

8)上不是增函数”

解析原命题为“若函数阳%在(0,+8)上是增

函数，则mW1”。则其逆命题为“若MWI,则函数/(%)=8—

47%在(0,+8)上是增函数”；否命题为“若函数/(%)=ex一如

在(0,+8)上不是增函数，则m>1"；逆否命题为“若相>1,

则函数/(%)=ex一g在(0,+8)上不是增函数”。综上所述，B

正确。

答案B

2.已知命题"设a,b,c《R,若a>。，则a+c>b+c”,

则在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个

数为()

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A.1B.2C.4D.0

解析因为原命题为“设a,b,c£R,若a>b,则a+c>力

+c”，是真命题，所以原命题的逆否命题是真命题；原命题的

否命题为“设a,b,c、£R,若aWb,则a+cWA+c”,是真命

题，所以原命题的逆命题是真命题。故真命题的个数为4。故选

Co

答案c

3.下列四个命题为真命题的是()

A.“设％£R,若2">8,则冲>3”的逆命题

B.“全等三角形的面积相等”的否命题

C.“若cWl,则/+2%+°=0无实根”的逆否命题

D.对于实数%,乃若％+yW3,则％W2或yWl

解析对于选项A,原命题的逆命题为“设X£R,若|%|>3,

则2、>8"，为假命题；对于选项B,原命题的否命题为“不全等

的三角形的面积不相等"，为假命题；对于选项C,原命题的逆

否命题为"若f+Zx+cuO有实根，则c>l",若％?+2%+c=

。有实根，则/=4-4c20,解得cWl,可知该命题为假命题；

对于选项D,该命题的逆否命题为“对于实数％,y,若％=2且

y=l,则x+y=3"，为真命题，故原命题为真命题。故选D。

答案D

1.求一个命题的其他三种命题时，需注意：

(1)对于不是“若p,则/‘形式的命题，需先改写为“若p,

则乡”的形式。

(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提。

2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命

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题为假命题，只需举出反例。

2.4.2.考点二充分条件与必要条件的判断

【例1】（1）已知a,b《R,贝I"：>>'是、<加'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析先考虑充分性，当;〉（时，如a=l,/?=—1,但是

不成立，所以“."是、<加'的不充分条件；再考虑必要性，当

a<b时，如a=—1,力=1,但是不成立，所以是％<万”

的不必要条件。故“1>4"是、<加'的既不充分也不必要条件。

ab

答案D

（2）（2020•天津高考）设a£R,则”0>1”是“於>〃，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析由得a>l或a<0,反之，由a>l得a2>a,贝

是％2>q”的充分不必要条件。故选A。

答案A

（3）（2020•北京高考）已知a,/3UR,则“存在k£Z使得a=

E+（—1）%”是“sina=sin4”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析若存在使得。=也+（—1）的，则当左=2”，

Z时，a=2mi+/3,则sina=sin（2«7i+y^）=sinB；当k=2n~\~1,

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时，a=(2〃+l)兀一夕，则sina=sin(2〃兀+兀-Q)=sin(冗一夕)

=sin/?o若sina=sinp,则a=2〃兀+4或a=2〃冗+冗一夕，〃£Z,

即。=也+(—1)伊，kGZ。故选C。

答案C

充分条件、必要条件的三种判定方法

1.定义法：根据4np进行判断，适用于定义、定理

判断性问题。

2.集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，

多适用于命题中涉及字母范围的推断问题。

3.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行

判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题。

【变式训练】(1)已知条件p：4r+2—)1—2x>0,条件q：

(n

V-2P0,则〃是q成立的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

%+220,

解析由qX+2—q1—2%>。知<i—2%三o,解得一

Nx+2>q1—2%,

11r111rn

铲%t2，即p成立的条件为集合A=I%一铲%由2

W0得0W%母，即^成立的条件为集合3={X0<W，由

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于8A,所以"是学的必要不充分条件。

答案B

(2)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常

之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，

请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的()

A.充要条件

B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件

D.必要不充分条件

解析非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定

“能至”，不是充分条件。

答案D

2.4.3.考点三充分条件与必要条件的应用微专题

【例2】已知P={4?—8%—20W0},非空集合S={X|1—

若是x^S的必要条件，求m的取值范围。

解由x2—8%—20W0,得一2W%W10,

所以P={%|一2W%W10}。

由％是％的必要条件，知SCP。

1—mW1+m,

则＜1一m2—2,所以0WmW3。

+/71W10,

所以当0W机W3时，是％£5的必要条件，

即所求m的取值范围是［0,3］。

【母题变式】本例中，若遇P是遇S的必要条件，求小的

取值范围。

解若依P是KS的必要条件，则遥S0前P,

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所以％£P=>%£S,所以PNS,

1—mW1+根,

则<1—mW—2,所以加29,

故机的取值范围是［9,+°°)0

2.5.注意事项

充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上。

解题时需注意

1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关

系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式

组)求解。

2.要注意区间端点值的检验。

【变式训练】(1)(多选)已知％£R,条件条件,：

若是^的充分不必要条件,则实数a的取值可能有()

✓Vp

A.5B.1C.2D.—2

解析因为％6R,条件pifa,所以p对应的集合为A=

(0,1);因为条件学：所以当Q=0时，学对应的集合为8=

(11

当a>0时，q对t应的集合为B=当a<0时,

(0,+°°);I0,C;I;;

对应的集合为3=1—8,(U(0,+°°)；因为p是^的充分不

必要条件，所以AB,所以当a=0时，学对应的集合为5=(0,

+°°),此时满足AB,故Q=0满足题意；当a>0时，学对应

的集合为此时满足B,需解得

3=I0,-a,Aci

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f1

当时，夕对应的集合为（+°°）,此时满足

a<08=y—°°,-ClU0,

AB,故a<0满足题意。所以实数Q的取值范围是（一8,1]0

故选ABDo

答案ABD

10g2X,%>0,

（2）函数/（%）=…有且只有一个零点的充分不

2十a,xW0

必要条件是（）

A.a<0B.0<a<；

C.；<a<lD.aWO或。>1

解析因为当％>0时，％=1是函数/（%）的一个零点；所以

当％W0时，一2'+470恒成立，即或恒成立，故QWO,

或。>1。又｛a|aW0,或。>1｝。故选A。

答案A

3.简