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文档简介
2024高考数学讲义:集合与常用逻辑用语
目录
1.集合........................................................................2
1.1.教学大纲................................................................2
1.2.集合的有关概念..........................................................2
1.3.集合间的基本关系........................................................2
1.4.集合的三种基本运算......................................................3
1.5.集合基本运算的性质......................................................3
1.6.练习....................................................................3
1.7.考点例析对点微练:互动课堂•考向探究..................................5
1.7.1.考点一集合的基本概念自主练习.....................................5
1.7.2.考点二集合间的基本关系..........................................7
1.7.3.考点三集合的基本运算微专题......................................9
1.8.根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的步骤..........................11
1.9.教师备用题..............................................................13
1.10.深度探究素养达成:课外阅读•增分培优,集合中的新定义问题..........14
2.命题及其关系、充分条件与必要条件...........................................16
2.1.教学大纲...............................................................16
2.2.自主学习知识积淀.....................................................16
2.3.练习..................................................................17
2.4.考点例析对点微练:互动课堂•考向探究................................19
2.4.1.考点一四种命题及其关系自主练习.................................19
2.4.2.考点二充分条件与必要条件的判断.................................21
2.4.3.考点三充分条件与必要条件的应用微专题..........................23
2.5.注意事项..............................................................24
3.简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词.......................................25
3.1.教学大纲..............................................................25
3.2.练习..................................................................27
3.3.考点例析对点微练:互动课堂•考向探究................................28
3.3.1.考点一简单的逻辑联结词自主练习.................................28
3.3.2.考点二全称命题与特称命题的真假判断............................30
3.3.3.考点三含有一个量词的命题的否定微专题..........................31
3.3.4.考点四根据全(特)称命题的真假求参数的取值范围微专题............33
第1页共36页
3.4.根据全(特)称命题的真假求参数取值范围的思路............................33
3.5.教师备用题.............................................................34
1.集合
1.1.教学大纲
内容要求考题举例考向规律
2020•全国I
卷・T2(集合的
1.了解集合的含义,
交集运算)
元素与集合的属于关
2020•全国H
系;能用列举法或描
卷・T1(集合的
述法表示集合
并集、补集运考情分析:集合的概念及运算一直是高考热
2.理解集合之间包
算)点,同时近两年新课标高考试题加强了对以集
含与相等的含义,能
2020•全国m合为工具与其他知识相结合的考查,一般为基
识别给定集合的子
卷-T1(集合的础题,解题时要充分利用Venn图、数轴的直
集;了解全集与空集
表示)观性迅速得解,预计今后这种考查方式不会变
的含义
2020•新高考I核心素养:数学运算、数学抽象
3.理解并会求并
卷-T1(集合的
集、交集、补集;能
并集运算)
用Venn图表示集合
2020•新高考I
的关系与运算
卷-T5(集合的
实际应用)
1.2.集合的有关概念
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性。
(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作—A;若b
不属于集合A,记作场A。
(3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法。
(4)五个特定的集合:
集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集
符号NN*或N+ZQR
1.3.集合间的基本关系
表示
关系^\文字语言记法
集合子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素AUB或B?A
集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属
AB或BA
的基于A
集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,集合B中AGB且BGA
相等
关系的每一个元素也都是集合A中的元素=A=B
第2页共36页
空集是任何集合的子集0GA
空集
空集是任何非空集合的真子集0B且B"
⑴ACA=A,Ari0=0o
(2)AUA=A,AU0=A。
(3)AG&A)=g,AU([(/A)={/,[U&A)=A。
(4)ACB=AnB=AOAU8=B0[M3[uB=AG([u8)=0。
1.6.练习
一、常规题
1.若集合P={%£N|%W,2021},a=2®则()
A.aGPB.{a}£P
C.[a}^PD.aqP
解析因为a=2也不是自然数,而集合尸是不大于二2021
的自然数构成的集合,所以海尸。
答案D
2.已知集合A={x|f—2%—3<0},8={%[0<xW4},则AU
第3页共36页
B=()
A.[-1,4]B.(0,3]
C.(-l,0]U(l,4]D.[—1,0]U(1,4]
解析A={%|f—2%—3W0}={%|—lW%W3},故AU3=[一
l,4]o
答案A
3.设全集为R,集合A={%[0<x<2},则AA([
附=()
A.{%[0<xWl}B.{x|0<x<l}
C.{%|lWx<2}D.{x|0<x<2}
解析因为集合3=,所以[R3=,所以
An([RB)={x|0<ji<l}o
答案B
二、易错题
4.(忽视元素的互异性)已知集合A={1,3,-\fm},B={\,
m},若贝!]根=()
A.1B.0或1或3
C.0或3D.1或3
解析由得m=3或m=Gi,解m=5t,得加=0
或m=1,由集合元素的互异性知相?1。所以加=0或m=3。
答案C
5.(忽视空集的情形)已知集合a=0},N={x\ax-
1=0},若MCN=N,则实数”的值是()
A.-1B.1
C.-1或1D.0或1或一1
解析由MCN=N,得NJM,当N=0时,a=0;当N#
0时,解得a=±l,故a的值为±1,0。
第4页共36页
答案D
6.(忽视集合运算中端点取值)已知集合A={%|%23},B=
{x\x^m},且AU8=A,则实数机的取值范围是。
解析因为集合A={%|%23},B={x\x^m},且AU8=A,
所以如图所示,所以m23。
答案[3,+°°)
1.7.考点例析对点微练:互动课堂•考向探究
1.7.1.考点一集合的基本概念自主练习
1.(2021・重庆一诊)已知集合A={xeZ|x2+2x-8<0),B=
{/|%£A},则3中元素个数为()
A.4B.5
C.6D.7
解析A={%£Z|f+2%—8<0}={]£Z[—4<x<2}={—3,一
2,-1,0,1},8={/|%£A}={0,l,4,9},故3中元素个数为4。故
选A。
答案A
2.已知集合4=则集合A中的元素个
数为()
A.2B.3
C.4D.5
3
解析因为一GZ,且%EZ,所以2—%的取值有-3,-
2—x
1,1,3,所以%的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为
4o
答案C
第5页共36页
3.(2020•全国川卷)已知集合A={(%,y)|%,y£N*,y^x],
3={(%,y)|%+y=8},则AG3中元素的个数为()
A.2B.3
C.4D.6
解析由题意得,AG3={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},所以
AG8中元素的个数为4。故选C。
答案C
4.已知集合A={%£N[l<x<log2%},集合A中至少有3个元
素,贝女)
A.女216B.%>16
C.%28D.%>8
解析由集合A中至少有3个元素,得log2%>4,解得人>16。
故选Bo
答案B
f2
5.设集合A=j2,3,/—3a,Q+"+7,,3={|a—2|,3},已
知4£A且4q3,则〃的取值集合为o
2'
解析因为4£A,4G2,3,〃-3",«+-+7,所以
2
4—3白=4或a+/+7=4。若/—3a=4,则Q=—1或a=4;
2.
若a+7+7=4,即/+34+2=0,则Q=—1或a=—2。由〃
2
—3a与+7互异,得a乎—10故。=—2或a=4。又44B,
即44{|。一2|,3},所以|。一2|力4,解得Q/—2且4力6。综上所
述,a的取值集合为{4}。
答案{4}
第6页共36页
1.解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的
元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的
条件)构造关系式解决相应问题。
2.集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大,特
别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的
元素是否满足互异性。
1.7.2.考点二集合间的基本关系
【例1】(1)已知集合4={%£24一2%—3W0},8={y|y=
2'},则AG8的子集的个数为()
A.10B.16
C.8D.7
解析因为A={—1,0,1,2,3},8=(0,+8),所以
{1,2,3},其子集的个数为23=8。
答案C
(2)已知集合人={0,1},B={%[%£A},则下列集合A与8的
关系中正确的是()
A.BUAB.AB
C.BAD.AUB
解析因为%GA,所以B={。,{0},{1},{0,1}},又集合
A={0』}是集合3中的元素,所以AE8。
答案D
(3)已知集合A={x|—2W%W5},B=11),
若5UA,则实数机的取值范围为0
解析因为3UA,所以①若8=0,则2〃2—1<加+1,此时
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2m~11,
m<2o②若BN。,则{根+12—2,解得2W〃zW3。由①②
J2m—1W5,
可得,符合题意的实数相的取值范围为(-8,3]o
答案(一8,3]
1.判断集合之间关系的方法
(1)化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系。
(2)用列举法表示集合,从元素中寻找关系。
(3)利用数轴,在数轴上表示出两个集合(集合为数集),从而
确定集合与集合的关系。
2.根据两集合的关系求参数的方法
已知两集合间的关系求参数的取值范围时,关键是将两个集
合之间的关系准确转化为参数所满足的条件,应注意子集与真子
集的区别。此类问题多与不等式(组)的解集相关,常常需要利用
数轴、Venn图辅助分析。
【变式训练】(1)设尸={丁|丁=—f+l,%£R},Q={y\y=
2X,xeR},贝ij()
A.PQQB.QQP
C.(CRP)GQD.Q=([RP)
解析因为P={y\y=~^+1,%£R}={y|yWl},Q={y\y
=2》,xGR}={>>0},所以[丁={九>1},所以[RPUQ。故选
Co
答案c
(2)在例1(3)中,若“BQA”变为“BA”,其他条件不变,
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如何求解?
解因为3A,所以①若8=0,成立,此时加<2。
2m—11,2m-11,
②若BW0,则<根+1]一2,或<m+1>—2,
J2m—1<5、2根一1W5,
解得2W%W3。
由①②可得相的取值范围为(-8,3]0
1.7.3.考点三集合的基本运算微专题
微考向1:集合的基本运算
【例2】(1)(多选)已知全集U=R,函数y=ln(%—2)的定
义域为M,集合N={%*—2x>0},则下列结论正确的是()
A.MCN=MB.Mn([uN)=。
C.MUN=UD.M=luN
解析由X—2>0,得%>2,所以M=(2,+8),由x2—2%>0,
得%<0或%>2,所以N=(—8,0)U(2,+8),[W=[0,2],所
以MC(luN)=0,MCN=M,MUN=N^U,故选ABo
答案AB
(2)(2021•八省联考)已知M,N均为R的子集,且[RMCN,
则MU([RN)=()
A.0B.MC.ND.R
解析解法一:因为鼠用包N,所以M3[RN,所以MU([
RN)=MO故选B。
解法二:如图所示,设矩形ABCD表示全集R,矩形区域
ABHE表示集合M,则矩形区域CQEH表示集合[RM,矩形区域
CDFG表示集合N,满足[RMCN,结合图形可得MU(CRA0=
M。故选B。
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答案B
解集合的运算题的常用技巧
1.若已知的集合是不等式的解集,常利用数轴求解。
2.若已知的集合是点集,常利用数形结合法求解。
3.若已知的集合是抽象集合,常利用Venn图求解。
微考向2:利用集合的运算求参数
【例3】(1)(2020•全国I卷)设集合4={%/一4W0},B=
{x|2%+aW0},且AG3={%|一2W%W1},则“=()
A.-4B.-2C.2D.4
解析解法一:易知A={%|—2WxW2},B=g,
因为An3={%|—2WxWl},所以一3=1,解得Q=-2。故选B。
解法二:由题意得A={x|-2W%W2}。若1=-4,则3=
{%|%W2},又A={%|-2W%W2},所以AnB={%|一2W%W2},不
满足题意,排除A;若a=~2,则3={%|%W1},又A={x]—
2W%W2},所以An8={%|一2W%W1},满足题意;若〃=2,则
8={%|%W-1},又A={%|一2W%W2},所以AGB={%|-2WxW
-1},不满足题意,排除C;若Q=4,则8={%|%W-2},又A
={%]-2忘%忘2},所以4门3={%|%=-2},不满足题意,排除D。
故选Bo
答案B
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(2)已知集合A=[x\x<a},B={xlx2_3x+2<0},若APlB=
B,则实数〃的取值范围是()
A.a<lB.aWlC.a>2D.
解析集合3={4^—3%+2<0}={%|14<2},由AHB=B
可得作出数轴如图。可知122。
答案D
1.8.根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的步骤
1.将集合的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合
中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合
中元素之间的关系;若集合是与不等式有关的集合,则一
般利用数轴解决,要注意端点值能否取到。
2.将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题。
3.根据求解结果来确定参数的值或取值范围。
【题组对点练】
1.(微考向1)(2020•全国n卷)已知集合u={-2,-
1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则[u(AUB)=()
A.{-2,3}B.{-2,2,3}
C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}
解析解法一:由题意,得AUB={—1,0,1,2},所以[u(AU
B)={-2,3}o故选A。
解法二:因为2WB,所以26(AUB),所以24[u(AU3),故
排除B,D;又0£A,所以0£(AU8),所以0q[“AUB),故排
除C。故选A。
第11页共36页
答案A
2.(微考向1)(2020•新高考I卷)某中学的学生积极参加体育
锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,
82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数
占该校学生总数的比例是()
A.62%B.56%
C.46%D.42%
解析不妨设该校学生总人数为100,既喜欢足球又喜欢游
泳的学生人数为%,则100X96%=100X60%—%+100X82%,
所以%=46,所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总
数的比例为46%。故选C。
答案C
3.(微考向2)已知集合A={xez|x2-4x-5<0},B=
{%|4、>2勺,若AG3中有三个元素,则实数m的取值范围是()
A.[3,6)B.[1,2)
C.[2,4)D.(2,4]
解析因为x2—4%—5<0,所以一l<x<5。集合A={%£Z|f
-4X-5<0}={0,1,2,3,4},B={x\4x>2m}={
%%>,卜又因为ACB中有三个元素,所以1W,<2,解得
2W机<4,所以实数机的取值范围是[2,4)。
答案C
4.(微考向2)设全集U=R,集合A={%|%>1},集合B=
{x\x>p},若([UA)G8=0,则〃应该满足的条件是()
A.p>\B.p>l
C.p<\D.pWl
第12页共36页
解析全集U=R,集合A={%|%>1},集合8={%|%>"},所
以[uA={x[%Wl},又([UA)G3=0,所以pel。
答案B
1.9.教师备用题
【例1】(配合考点一使用)已知集合4={川>=/},B={y\y=^-],C=
{(x,)')1)'=/},则AAB=,AAC=o
解析集合A是函数y=/的定义域,即A=(—8,+8),
集合8是函数的值域,即3=[0,+°°),所以AC8=[0,
2
+°°)o集合C是函数yuji的图象上的点的集合,故ACC=0。
答案[0,+°°)0
【例2】(配合例1使用)已知集合M,N,P为全集。的
子集,且满足则下列结论不正确的是()
A.[uNU[dB.[N尸与CNM
c.([d)rw=0D.QM)GN=0
解析解法一:根据已知条件画出Venn图结合各选项知,
只有D不正确。故选D。
解法二:(特例法)取u=z,M={1},尸={1,2},N={1,2,3},
验证各选项知D不正确。
答案D
【例3](配合例1使用)设A={%|f—8%+15=0},B—
{x|a%—1=0}。
(1)若。=/试判断集合A与3的关系;
⑵若5A,求实数。组成的集合C。
解(1)由%2—81+15=0,
得%=3或%=5,所以A={3,5}。
若。=:,由“%—1=0,得;%—1=0,即%=5。
第13页共36页
所以8={5}。所以8Ao
(2)因为A={3,5},又8A,
故若3=0,则方程以一1=0无解,有”=0;
若BW。,则“N0,由如一1=0,得%=:。
所以,=3或,=5,即Q=J或a=!。
aaf35
故C=<0,I,;>。
【例4】(配合例3使用)已知集合A={%|1<%<%},集合3
={yly=2x-5,x^A},若An8={%|1<%<2},则实数%的值为
()
A.5B.4.5C.2D.3.5
解析3=(—3,2%—5),由An3={%[l<x<2},知%=2或2%
-5=2,因为%=2时,2%—5=-1,AG8=0,不合题意,所以
%=3.5。故选D。
答案D
1.10.深度探究素养达成:课外阅读•增分培优,集合中的新
定义问题
一、定义新运算
【例1】设尸,。为两个非空实数集合,定义集合P*Q=
[z\z=ah,a^P,b^Q},若。={1,2},Q={-1,0,1},则集合P*Q
中元素的个数是o
【解析】因为bGQ,所以”的取值只能为1,2;b
的取值只能为一1,0,1,z=">的不同运算结果如下表所示:
-101
a
1111
1
2
221
第14页共36页
由上表可知P*Q=<1,2-,显然该集合中共有3个不同
的元素。
【答案】3
二'定义新概念
【例2](多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世
纪。直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用
有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理
论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的
时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。所
谓戴德金分割,是指将有理数集Q划分为两个非空的子集”与
N,且满足MUN=Q,MCN=。,M中的每一个元素都小于N
中的每一个元素,则称(M,M为戴德金分割。试判断下列选项中,
可能成立的是()
A.M={x|x<0},N={%|%>0}是一个戴德金分割
B.M没有最大元素,N有一个最小元素
C.M有一个最大元素,N有一个最小元素
D.M没有最大元素,N也没有最小元素
【解析】对A,因为M={%[%<0},2V={x|x>0},MUN=
{%|%W0}WQ,故A错误;对B,设M={%£Q|%<0},N={%£
Q|%20},满足戴德金分割,则M中没有最大元素,N有一个最
小元素0,故B正确;对C,若M有一个最大元素,N有一个最
小元素,则不能同时满足MUN=Q,MHN=0,故C错误;对
D,设加={%£(^]%</},N={%£Q|X2/},满足戴德金分割,
此时M没有最大元素,N也没有最小元素,故D正确。故选BD。
【答案】BD
【名师微点】解决集合创新型问题的方法
(1)紧扣新定义。首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的
第15页共36页
问题本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是解决
新定义型问题的关键所在。
(2)用好集合的性质。集合的性质(概念、元素的性质、运算
性质等)是解决新定义集合问题的基础,也是突破口,在解题时
要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些信息,在关键之处
用好集合的性质。
2.命题及其关系、充分条件与必要条件
2.1.教学大纲
内容要求考题举例考向规律
2020•天津高考・T2(充分条
1.理解命题的概念考情分析:以选择题或填空
件与必要条件)
2.了解"若p,则q”形式的题为主要题型,一般为容易
2020•北京高考・T9(充分条
命题的逆命题、否命题与逆题或中等题,近两年的新课
件与必要条件)
否命题,会分析四种命题的标高考题多为对充要条件的
2019•天津高考・T3(充分条
相互关系考查,少数涉及到四种命题
件与必要条件)
3.理解充分条件、必要条及其真假的判断
2019•北京高考47(充分条
件与充要条件的含义核心素养:逻辑推理
件与必要条件)
2.2.自主学习•知识积淀
1.命题
(1)命题的概念:数学中把用语言、符号或式子表达的,能够
判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题,
判断为假的语句叫做假命题。
(2)四种命题及其相互关系
特别提醒:若两个命题互为逆否命题,则它们具有相同的真
第16页共36页
假性。
2.充分条件、必要条件与充要条件
(1)若P=9,则。是〃的充分条件。
(2)若乡0p,则.是〃的必要条件。
(3)若既有p=q,又有q=p,记作p0q,则p是q的充要条
件。
1.充要条件的两个结论:
(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,
则p是r的充分不必要条件。
(2)若夕是<7的充分不必要条件,则^学是㈱尸的充分不必
要条件。
2.充分、必要条件与集合的关系
使p成立的对象构成的集合为A,
使q成立的对象构成的集合为B
p是q的充分条件AGB
p是q的必要条件BeA
p是q的充分不必要条件AB
p是q的必要不充分条件BA
p是q的充要条件A=B
2.3.练习
一、常规题
1.命题“若5>y2,贝的逆否命题是()
A.“若工勺,则%2勺2"B.“若%>y,则r>产
C.“若%0,则D.“若%则%22y2”
解析根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题
“若/>产,贝的逆否命题是“若XWy,则%2Wy2”。故选
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Co
答案c
2.“(%—1)(%+2)=0”是的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析若%=1,则(%—1)(%+2)=0显然成立,但反之不成
立,即若。-1)(%+2)=0,则%的值也可能为一2。故选B。
答案B
3.设%GR,贝心0<%<5”是“仅一1|<1"的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析由卜一1|<1可得0<%<2,因为小范围可以推出大范围,
大范围推不出小范围,所以是必要不充分条件。故选B。
答案B
二、易错题
4.(对命题中条件与结论否定不全面)命题“若a2+b2=0,
a,A£R,则a=b=0,,的逆否命题是。
答案若“W0或力WO,a,则4+/#。
5.(忽视大前提)已知命题“对任意a,Z?eR,若仍>0,则
。>0",则它的否命题是。
答案对任意a,b£R,若仍W0,则aWO
6.(忽视等号的选取)已知p:x>a,q:%22。
(1)若.是学的充分不必要条件,则实数Q的取值范围是
(2)若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是
________________________O
解析(1)因为〃是^的充分不必要条件,所以
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{%[%>。}{%|%22},则实数a的取值范围是422。
(2)因为.是的必要不充分条件,所以{%|422}{x\x>a),
则实数a的取值范围是a<2。
答案(1)。>2(2)a<2
2.4.考点例析对点微练:互动课堂•考向探究
2.4.1.考点一四种命题及其关系自主练习
1.已知命题“若函数/(%)=e、一如在(0,+8)上是增函数,
则mWl”,则下列说法正确的是()
A.否命题是“若函数=阳%在(0,+8)上是减函数,
则21”
B.逆命题是“若根W1,则函数如在(0,+°°)
上是增函数”
C.逆否命题是“若相>1,则函数/(%)=炉一阳%在(0,+8)
上是减函数”
D.逆否命题是“若根W1,则函数/(%)=]一根%在(0,+
8)上不是增函数”
解析原命题为“若函数阳%在(0,+8)上是增
函数,则mW1”。则其逆命题为“若MWI,则函数/(%)=8—
47%在(0,+8)上是增函数”;否命题为“若函数/(%)=ex一如
在(0,+8)上不是增函数,则m>1";逆否命题为“若相>1,
则函数/(%)=ex一g在(0,+8)上不是增函数”。综上所述,B
正确。
答案B
2.已知命题"设a,b,c《R,若a>。,则a+c>b+c”,
则在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个
数为()
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A.1B.2C.4D.0
解析因为原命题为“设a,b,c£R,若a>b,则a+c>力
+c”,是真命题,所以原命题的逆否命题是真命题;原命题的
否命题为“设a,b,c、£R,若aWb,则a+cWA+c”,是真命
题,所以原命题的逆命题是真命题。故真命题的个数为4。故选
Co
答案c
3.下列四个命题为真命题的是()
A.“设%£R,若2">8,则冲>3”的逆命题
B.“全等三角形的面积相等”的否命题
C.“若cWl,则/+2%+°=0无实根”的逆否命题
D.对于实数%,乃若%+yW3,则%W2或yWl
解析对于选项A,原命题的逆命题为“设X£R,若|%|>3,
则2、>8",为假命题;对于选项B,原命题的否命题为“不全等
的三角形的面积不相等",为假命题;对于选项C,原命题的逆
否命题为"若f+Zx+cuO有实根,则c>l",若%?+2%+c=
。有实根,则/=4-4c20,解得cWl,可知该命题为假命题;
对于选项D,该命题的逆否命题为“对于实数%,y,若%=2且
y=l,则x+y=3",为真命题,故原命题为真命题。故选D。
答案D
1.求一个命题的其他三种命题时,需注意:
(1)对于不是“若p,则/‘形式的命题,需先改写为“若p,
则乡”的形式。
(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提。
2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命
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题为假命题,只需举出反例。
2.4.2.考点二充分条件与必要条件的判断
【例1】(1)已知a,b《R,贝I":>>'是、<加'的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析先考虑充分性,当;〉(时,如a=l,/?=—1,但是
不成立,所以“."是、<加'的不充分条件;再考虑必要性,当
a<b时,如a=—1,力=1,但是不成立,所以是%<万”
的不必要条件。故“1>4"是、<加'的既不充分也不必要条件。
ab
答案D
(2)(2020•天津高考)设a£R,则”0>1”是“於>〃,,的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析由得a>l或a<0,反之,由a>l得a2>a,贝
是%2>q”的充分不必要条件。故选A。
答案A
(3)(2020•北京高考)已知a,/3UR,则“存在k£Z使得a=
E+(—1)%”是“sina=sin4”的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析若存在使得。=也+(—1)的,则当左=2”,
Z时,a=2mi+/3,则sina=sin(2«7i+y^)=sinB;当k=2n~\~1,
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时,a=(2〃+l)兀一夕,则sina=sin(2〃兀+兀-Q)=sin(冗一夕)
=sin/?o若sina=sinp,则a=2〃兀+4或a=2〃冗+冗一夕,〃£Z,
即。=也+(—1)伊,kGZ。故选C。
答案C
充分条件、必要条件的三种判定方法
1.定义法:根据4np进行判断,适用于定义、定理
判断性问题。
2.集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断,
多适用于命题中涉及字母范围的推断问题。
3.等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性进行
判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题。
【变式训练】(1)已知条件p:4r+2—)1—2x>0,条件q:
(n
V-2P0,则〃是q成立的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
%+220,
解析由qX+2—q1—2%>。知<i—2%三o,解得一
Nx+2>q1—2%,
11r111rn
铲%t2,即p成立的条件为集合A=I%一铲%由2
W0得0W%母,即^成立的条件为集合3={X0<W,由
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于8A,所以"是学的必要不充分条件。
答案B
(2)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪,非常
之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,
请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的()
A.充要条件
B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件
D.必要不充分条件
解析非有志者不能至,是必要条件;但“有志”也不一定
“能至”,不是充分条件。
答案D
2.4.3.考点三充分条件与必要条件的应用微专题
【例2】已知P={4?—8%—20W0},非空集合S={X|1—
若是x^S的必要条件,求m的取值范围。
解由x2—8%—20W0,得一2W%W10,
所以P={%|一2W%W10}。
由%是%的必要条件,知SCP。
1—mW1+m,
则<1一m2—2,所以0WmW3。
+/71W10,
所以当0W机W3时,是%£5的必要条件,
即所求m的取值范围是[0,3]。
【母题变式】本例中,若遇P是遇S的必要条件,求小的
取值范围。
解若依P是KS的必要条件,则遥S0前P,
第23页共36页
所以%£P=>%£S,所以PNS,
1—mW1+根,
则<1—mW—2,所以加29,
故机的取值范围是[9,+°°)0
2.5.注意事项
充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上。
解题时需注意
1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关
系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式
组)求解。
2.要注意区间端点值的检验。
【变式训练】(1)(多选)已知%£R,条件条件,:
若是^的充分不必要条件,则实数a的取值可能有()
✓Vp
A.5B.1C.2D.—2
解析因为%6R,条件pifa,所以p对应的集合为A=
(0,1);因为条件学:所以当Q=0时,学对应的集合为8=
(11
当a>0时,q对t应的集合为B=当a<0时,
(0,+°°);I0,C;I;;
对应的集合为3=1—8,(U(0,+°°);因为p是^的充分不
必要条件,所以AB,所以当a=0时,学对应的集合为5=(0,
+°°),此时满足AB,故Q=0满足题意;当a>0时,学对应
的集合为此时满足B,需解得
3=I0,-a,Aci
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f1
当时,夕对应的集合为(+°°),此时满足
a<08=y—°°,-ClU0,
AB,故a<0满足题意。所以实数Q的取值范围是(一8,1]0
故选ABDo
答案ABD
10g2X,%>0,
(2)函数/(%)=…有且只有一个零点的充分不
2十a,xW0
必要条件是()
A.a<0B.0<a<;
C.;<a<lD.aWO或。>1
解析因为当%>0时,%=1是函数/(%)的一个零点;所以
当%W0时,一2'+470恒成立,即或恒成立,故QWO,
或。>1。又{a|aW0,或。>1}。故选A。
答案A
3.简
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