高中数学选择性必修一课件：2 1 2 两条直线平行和垂直的判定(人教版)

2.1.2两条直线平行和垂直的判定第二章

§2.1直线的倾斜角与斜率1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.学习目标过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？导语随堂演练课时对点练一、两条直线平行的判定二、两条直线垂直的判定三、平行与垂直的综合应用内容索引一、两条直线平行的判定问题1

在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？提示两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补.问题2

平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？提示两直线平行，倾斜角相等.对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔

.注意点：(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合.(2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在).(3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在.k1＝k2知识梳理例1

判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5).则A，B，M不共线.故l1∥l2.解由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5).则A，B，M不共线.故l1∥l2.解由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.延伸探究已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为

.0或1解析当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；因为AB∥MN，所以kAB＝kMN，当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合.综上，m的值为0或1.反思感悟判断两条不重合的直线是否平行的方法跟踪训练1

(1)已知l1经过点A(0,3)，B(5,3)，l2经过点M(2,5)，N(6,5)，判断直线l1与l2是否平行.解∵l1与l2都与y轴垂直，且l1与l2不重合，∴l1∥l2.(2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行.解由题意知直线CD的斜率存在，得m＝－2.经验证，当m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.(2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行.解由题意知直线CD的斜率存在，得m＝－2.经验证，当m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.二、两条直线垂直的判定问题3

平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？提示k1·k2＝－1.对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1l1与l2中的一条斜率

，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2图示

不存在知识梳理注意点：(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在.(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率.例2

已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值.解若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.反思感悟判断两条直线是否垂直的方法在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.跟踪训练2

(多选)下列各对直线互相垂直的是A.l1过点M(1,1)，N(1,2)，l2过点P(1,5)，Q(3,5)D.l1过点M(1,0)，N(4，－5)，l2过点P(－6,0)，Q(－1,3)√√√解析A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直；三、平行与垂直的综合应用例3

已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状.解A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD.由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行.∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形.反思感悟利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤跟踪训练3

已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).解设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰.(1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3.又kAD＝kBC，故所求点D的坐标为(3,3).(2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，1.知识清单：(1)两直线平行的判定.(2)两直线垂直的判定.2.方法归纳：分类讨论、数形结合.3.常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况.课堂小结随堂演练1.若过点P(3,2m)和点Q(－m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是√1234解析由题意知，PQ的斜率存在，2.(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为√1234√当a＝0时，l2的斜率不存在.3.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是A.垂直 B.平行C.重合 D.平行或重合√1234解析直线l1的倾斜角为135°，故斜率

＝tan135°＝－1.由l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，所以

，所以直线l1与l2平行或重合.4.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝

.1234解析设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC，由题意，得AD⊥BC，则有kAD·kBC＝－1，课时对点练1.过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是A.相交 B.平行

C.重合 D.以上都不对√解析斜率都为0且不重合，所以平行.基础巩固123456789101112131415162.直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为解析如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°，12345678910111213141516√3.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是A.平行 B.垂直C.可能重合 D.无法确定√解析由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立.故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在.设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故选B.123456789101112131415164.若直线l1的斜率k1＝

，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为A.1 B.3C.0或1 D.1或3√解析因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，12345678910111213141516解得a＝1或a＝3.5.(多选)设平面内四点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论正确的是A.PQ∥SR B.PQ⊥PSC.PS∥QS D.PR⊥QS√12345678910111213141516√√解析由斜率公式知，∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行，故ABD正确.6.已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则D点的坐标为A.(－1,0) B.(0，－1)C.(1,0) D.(0,1)√12345678910111213141516解析设D(x，y)，12345678910111213141516又CD⊥AB，CB∥AD，7.已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P

的坐标为

.(0，－6)或(0,7)解析设点P的坐标为(0，y).因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP，12345678910111213141516解得y＝－6或y＝7.所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7).8.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，其中a＋b≠3，则线段PQ的垂直平分线的斜率为

.－1所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.123456789101112131415169.当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°；12345678910111213141516(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行.(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；1234567891011121314151610.已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4).(1)求点D的坐标；12345678910111213141516解设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，所以D(－1,6).(2)试判定▱ABCD是否为菱形？12345678910111213141516所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形.11.(多选)已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为A.－1 B.0 C.1 D.2√解析当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD.12345678910111213141516综合运用√12.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是A.(－3,1) B.(4,1)C.(－2,1) D.(2，－1)√解析如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选A.1234567891011121314151613.已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为

.(－19，－62)12345678910111213141516解析设A(x，y)，14.已知点A(－1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是

.解析以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.12345678910111213141516(1,0)或(2,0)所以交点C的坐标是(1,0)或(2,0).拓广探究1234567891011121314151615.直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝

.解析如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，1234567891011121314151616.已知M(1，－1)，N(2,2)，P(3,0).(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；12345678910111213141516解设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1，由已知得kPN＝－2，由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，联立①②求解得x＝0，y＝1，即Q(0,1).(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.12345678910111213141516解设Q(x,0)，∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝－kNP.∴Q(1,0).又∵M(1，－1)，∴MQ⊥x轴，故直线MQ的倾斜角为90°.备用工具&资料16.已知M(1，－1)，N(2